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Día: 7 octubre, 2022

Números abundantes impares

Definir la lista

  abundantesImpares :: [Integer]

cuyos elementos son los números abundantes impares. Por ejemplo,

   λ> take 12 abundantesImpares
   [945,1575,2205,2835,3465,4095,4725,5355,5775,5985,6435,6615]

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


Soluciones en Haskell

import Math.NumberTheory.ArithmeticFunctions (sigma)
import Test.QuickCheck
 
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
abundantesImpares1 :: [Integer]
abundantesImpares1 = [x | x <- [1,3..], numeroAbundante1 x]
 
-- (numeroAbundante n) se verifica si n es un número abundante. Por
-- ejemplo,
--    numeroAbundante 5  == False
--    numeroAbundante 12 == True
--    numeroAbundante 28 == False
--    numeroAbundante 30 == True
numeroAbundante1 :: Integer -> Bool
numeroAbundante1 x =
  x < sumaDivisores1 x - x
 
-- (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,
--    sumaDivisores 12                 ==  28
--    sumaDivisores 25                 ==  31
sumaDivisores1 :: Integer -> Integer
sumaDivisores1 n = sum (divisores1 n)
 
-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,
--    divisores 60  ==  [1,5,3,15,2,10,6,30,4,20,12,60]
divisores1 :: Integer -> [Integer]
divisores1 n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
abundantesImpares2 :: [Integer]
abundantesImpares2 = filter numeroAbundante1 [1,3..]
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
-- Sustituyendo la definición de numeroAbundante1 de las soluciones
-- anteriores por cada una de las del ejercicio "Números abundantes"
-- https://bit.ly/3xSlWDU se obtiene una nueva definición de abundantes
-- impares. La usada en las definiciones anteriores es la menos
-- eficiente y la que se usa en la siguiente definición es la más eficiente.
 
abundantesImpares3 :: [Integer]
abundantesImpares3 = filter numeroAbundante3 [1,3..]
 
numeroAbundante3 :: Integer -> Bool
numeroAbundante3 x =
  x < sumaDivisores3 x - x
 
sumaDivisores3 :: Integer -> Integer
sumaDivisores3 = sigma 1
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_abundantesImpares :: Positive Int -> Bool
prop_abundantesImpares (Positive n) =
  all (== take n abundantesImpares1)
      [take n abundantesImpares2,
       take n abundantesImpares3]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=10}) prop_abundantesImpares
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> abundantesImpares1 !! 5
--    4095
--    (2.07 secs, 841,525,368 bytes)
--    λ> abundantesImpares2 !! 5
--    4095
--    (2.06 secs, 841,443,112 bytes)
--    λ> abundantesImpares3 !! 5
--    4095
--    (0.01 secs, 550,776 bytes)

El código se encuentra en GitHub.


Soluciones en Python

from timeit import Timer, default_timer
 
from hypothesis import given
from hypothesis import strategies as st
from sympy import divisor_sigma
 
# 1ª solución
# ===========
 
def abundantesImpares1(n: int) -> list[int]:
    return [x for x in range(1, n, 2) if numeroAbundante1(x)]
 
# divisores(n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,
#    divisores(30)  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
def divisores1(n: int) -> list[int]:
    return [x for x in range(1, n + 1) if n % x == 0]
 
# sumaDivisores(x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,
#    sumaDivisores(12)                ==  28
#    sumaDivisores(25)                ==  31
def sumaDivisores1(n: int) -> int:
    return sum(divisores1(n))
 
# numeroAbundante(n) se verifica si n es un número abundante. Por
# ejemplo,
#    numeroAbundante(5)  == False
#    numeroAbundante(12) == True
#    numeroAbundante(28) == False
#    numeroAbundante(30) == True
def numeroAbundante1(x: int) -> bool:
    return x < sumaDivisores1(x) - x
 
# 2ª solución
# ===========
 
def abundantesImpares2(n: int) -> list[int]:
    return list(filter(numeroAbundante1, range(1, n, 2)))
 
# 3ª solución
# ===========
#
# Sustituyendo la definición de numeroAbundante1 de las soluciones
# anteriores por cada una de las del ejercicio "Números abundantes"
# https://bit.ly/3xSlWDU se obtiene una nueva definición de abundantes
# impares. La usada en las definiciones anteriores es la menos
# eficiente y la que se usa en la siguiente definición es la más eficiente.
 
def abundantesImpares3(n: int) -> list[int]:
    return list(filter(numeroAbundante3, range(1, n, 2)))
 
def sumaDivisores3(n: int) -> int:
    return divisor_sigma(n, 1)
 
def numeroAbundante3(x: int) -> bool:
    return x < sumaDivisores3(x) - x
 
# Comprobación de equivalencia
# ============================
 
# La propiedad es
@given(st.integers(min_value=1, max_value=1000))
def test_abundantesImpares(n: int) -> None:
    r = abundantesImpares1(n)
    assert abundantesImpares2(n) == r
    assert abundantesImpares3(n) == r
 
# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q numeros_abundantes_impares.py
#    1 passed in 1.42s
 
# Comparación de eficiencia
# =========================
 
def tiempo(e: str) -> None:
    """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e."""
    t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1)
    print(f"{t:0.2f} segundos")
 
# La comparación es
#    >>> tiempo('abundantesImpares1(10000)[5]')
#    1.25 segundos
#    >>> tiempo('abundantesImpares2(10000)[5]')
#    1.22 segundos
#    >>> tiempo('abundantesImpares3(10000)[5]')
#    0.33 segundos

El código se encuentra en GitHub.