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Mes: septiembre 2022

Triángulo aritmético

Los triángulos aritméticos se forman como sigue

    1
    2  3
    4  5  6
    7  8  9 10
   11 12 13 14 15
   16 17 18 19 20 21

Definir las funciones

   linea     :: Integer -> [Integer]
   triangulo :: Integer -> [[Integer]]

tales que

  • linea n es la línea n-ésima de los triángulos aritméticos. Por ejemplo,
     linea 4  ==  [7,8,9,10]
     linea 5  ==  [11,12,13,14,15]
     head (linea (10^20)) == 4999999999999999999950000000000000000001
  • triangulo n es el triángulo aritmético de altura n. Por ejemplo,
     triangulo 3  ==  [[1],[2,3],[4,5,6]]
     triangulo 4  ==  [[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10]]

Suma de cuadrados menos cuadrado de la suma

Definir la función

   euler6 :: Integer -> Integera

tal que euler6 n es la diferencia entre el cuadrado de la suma de los n primeros números y la suma de los cuadrados de los nprimeros números. Por ejemplo,

   euler6 10       ==  2640
   euler6 (10^10)  ==  2500000000166666666641666666665000000000

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 6 del proyecto Euler.

Suma de los cuadrados de los primeros números naturales

Definir la función

   sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer

tal que sumaDeCuadrados n es la suma de los cuadrados de los primeros n números; es decir, 1² + 2² + … + n². Por ejemplo,

   sumaDeCuadrados 3    ==  14
   sumaDeCuadrados 100  ==  338350
   length (show (sumaDeCuadrados (10^100)))  ==  300

Números libres de cuadrados

Un número es libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2²

Definir la función

   libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

tal que libreDeCuadrados x se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,

   libreDeCuadrados 70  ==  True
   libreDeCuadrados 40  ==  False
   libreDeCuadrados (product (take 30000 primes))  ==  True

Divisores primos

Definir la función

   divisoresPrimos :: Integer -> [Integer]

tal que divisoresPrimos x es la lista de los divisores primos de x. Por ejemplo,

   divisoresPrimos 40 == [2,5]
   divisoresPrimos 70 == [2,5,7]
   length (divisoresPrimos (product [1..20000])) == 2262

Divisores de un número

Definir la función

   divisores :: Integer -> [Integer]

tal que divisores n es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,

  divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
  length (divisores (product [1..10]))  ==  270
  length (divisores (product [1..25]))  ==  340032

Diferencia conjuntista de listas

Definir la función

   diferencia :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]

tal que diferencia xs ys es la diferencia de las listas sin elementos repetidos xs e ys. Por ejemplo,

   diferencia [3,2,5,6] [5,7,3,4]  ==  [2,6]
   diferencia [3,2,5] [5,7,3,2]    ==  []

Intersección conjuntista de listas

Definir la función

   interseccion :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]

tal que interseccion xs ys es la intersección de las listas sin elementos repetidos xs e ys. Por ejemplo,

   interseccion [3,2,5] [5,7,3,4]  ==  [3,5]
   interseccion [3,2,5] [9,7,6,4]  ==  []

Unión conjuntista de listas

Definir la función

   union :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

tal que union xs ys es la unión de las listas, sin elementos repetidos, xs e ys. Por ejemplo,

   union [3,2,5] [5,7,3,4]  ==  [3,2,5,7,4]

Comprobar con QuickCheck que la unión es conmutativa.