Menu Close

Día: 15 octubre 2021

Isomorfismo entre relaciones de equivalencia y particiones

Este ejercicio es el 16º de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X.

Los anteriores son
1. Igualdad de bloques de una partición cuando tienen elementos comunes.
2. Pertenencia a bloques de una partición con elementos comunes.
3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia.
4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos.
5. Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos.
6. Las clases de equivalencia son no vacías.
7. Las clases de equivalencia recubren el conjunto.
8. Las clases de equivalencia son disjuntas.
9. El cociente aplica relaciones de equivalencia en particiones.
10. Las relaciones definidas por particiones son reflexivas.
11. Las relaciones definidas por particiones son simétricas.
12. Las relaciones definidas por particiones son transitivas.
13. Aplicación de particiones en relaciones de equivalencia.
14. La función relacionP es inversa por la izquierda de la función cociente
15. La función relacionP es inversa por la derecha de la función cociente.

En Lean, el tipo de los isomorfimos de un tipo α en un tipo β está definido mediante la siguiente estructura

   structure equiv (α : Sort*) (β : Sort*) :=
   (to_fun    : α  β)
   (inv_fun   : β  α)
   (left_inv  : left_inverse inv_fun to_fun)
   (right_inv : right_inverse inv_fun to_fun)

y se equiv α β se denota por α ≃ β. Por tanto, para demostrar que los dos tipos don isomorfos hay que definir dos funciones entre ellos y demostrar que una es la inversa de la otra.

Demostrar que los tipos de las relaciones de equivalencia sobre A y el de las particiones de A son isomorfos.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
@[ext] structure particion (A : Type) :=
(Bloques    : set (set A))
(Hno_vacios :  X ∈ Bloques, (X : set A).nonempty)
(Hrecubren  :  a,  X ∈ Bloques, a ∈ X)
(Hdisjuntos :  X Y ∈ Bloques, (X ∩ Y : set A).nonempty  X = Y)
 
namespace particion
 
variable  {A : Type}
variables {X Y : set A}
variable  {P : particion A}
variable  (R : A  A  Prop)
 
def clase (a : A) :=
  {b : A | R b a}
 
def clases : (A  A  Prop)  set (set A) :=
  λ R, {B : set A |  x : A, B = clase R x}
 
lemma pertenece_clase_syss
  {a b : A}
  : b ∈ clase R a  R b a :=
by refl
 
lemma clases_no_vacias
  (hR: equivalence R)
  :  (X : set A), X ∈ clases R  X.nonempty :=
begin
  rintros _ ⟨a, rfl⟩,
  use a,
  rw pertenece_clase_syss,
  apply hR.1,
end
 
lemma clases_recubren
  (hR: equivalence R)
  :  a,  X ∈ clases R, a ∈ X :=
begin
  intro a,
  use clase R a,
  split,
  { use a, },
  { exact hR.1 a, },
end
 
lemma subclase_si_pertenece
  {R : A  A  Prop}
  (hR: equivalence R)
  {a b : A}
  : a ∈ clase R b  clase R a ⊆ clase R b :=
λ hab z hza, hR.2.2 hza hab
 
lemma clases_iguales_si_pertenece
  {R : A  A  Prop}
  (hR: equivalence R)
  {a b : A}
  : a ∈ clase R b  clase R a = clase R b :=
λ hab, set.subset.antisymm
        (subclase_si_pertenece hR hab)
        (subclase_si_pertenece hR (hR.2.1 hab))
 
lemma clases_disjuntas
  (hR: equivalence R)
  :  X Y ∈ clases R, (X ∩ Y : set A).nonempty  X = Y :=
begin
  rintros X Y ⟨a, rfl⟩ ⟨b, rfl⟩ ⟨c, hca, hcb⟩,
  exact clases_iguales_si_pertenece hR (hR.2.2 (hR.2.1 hca) hcb),
end
 
def cociente : {R : A  A  Prop // equivalence R}  particion A :=
  λ R, { Bloques    := {B : set A |  x : A, B = clase R.1 x},
         Hno_vacios := clases_no_vacias R.1 R.2,
         Hrecubren  := clases_recubren R.1 R.2,
         Hdisjuntos := clases_disjuntas R.1 R.2, }
 
def relacion : (particion A)  (A  A  Prop) :=
  λ P a b,  X ∈ Bloques P, a ∈ X  b ∈ X
 
lemma reflexiva
  (P : particion A)
  : reflexive (relacion P) :=
λ a X hXC haX, haX
 
lemma iguales_si_comun
  (hX : X ∈ Bloques P)
  (hY : Y ∈ Bloques P)
  {a : A}
  (haX : a ∈ X)
  (haY : a ∈ Y)
  : X = Y :=
Hdisjuntos P X Y hX hY ⟨a, haX, haY⟩
 
lemma pertenece_si_pertenece
  (hX : X ∈ Bloques P)
  (hY : Y ∈ Bloques P)
  {a b : A}
  (haX : a ∈ X)
  (haY : a ∈ Y)
  (hbX : b ∈ X)
  : b ∈ Y :=
begin
  convert hbX,
  exact iguales_si_comun hY hX haY haX,
end
 
lemma simetrica
  (P : particion A)
  : symmetric (relacion P) :=
begin
  intros a b h X hX hbX,
  obtain ⟨Y, hY, haY⟩ := Hrecubren P a,
  specialize h Y hY haY,
  exact pertenece_si_pertenece hY hX h hbX haY,
end
 
lemma transitiva
  (P : particion A)
  : transitive (relacion P) :=
λ a b c hab hbc X hX haX, hbc X hX (hab X hX haX)
 
def relacionP : particion A  {R : A  A  Prop // equivalence R} :=
  λ P, ⟨λ a b,  X ∈ Bloques P, a ∈ X  b ∈ X,
        ⟨reflexiva P, simetrica P, transitiva P⟩⟩
 
lemma inversa_izq :
  function.left_inverse relacionP (@cociente A) :=
begin
  rintro ⟨R, hR⟩,
  simp [relacionP, cociente],
  ext a b,
  exact ⟨λ hab, hR.2.1 (hab a (hR.1 a)),
         λ hab c hac, hR.2.2 (hR.2.1 hab) hac⟩,
end
 
lemma inversa_dcha :
  function.right_inverse relacionP (@cociente A) :=
begin
  intro P,
  ext X,
  show ( (a : A), X = clase _ a)  X ∈ Bloques P,
  split,
  { rintro ⟨a, rfl⟩,
    obtain ⟨X, hX, haX⟩ := Hrecubren P a,
    convert hX,
    ext b,
    rw pertenece_clase_syss,
    split,
    { intro hba,
      obtain ⟨Y, hY, hbY⟩ := Hrecubren P b,
      specialize hba Y hY hbY,
      convert hbY,
      exact iguales_si_comun hX hY haX hba, },
    { intros hbX Y hY hbY,
      apply pertenece_si_pertenece hX hY hbX hbY haX, }},
  { intro hX,
    rcases Hno_vacios P X hX with ⟨a, ha⟩,
    use a,
    ext b,
    split,
    { intro hbX,
      rw pertenece_clase_syss,
      intros Y hY hbY,
      exact pertenece_si_pertenece hX hY hbX hbY ha, },
    { rw pertenece_clase_syss,
      intro hba,
      obtain ⟨Y, hY, hbY⟩ := Hrecubren P b,
      specialize hba Y hY hbY,
      exact pertenece_si_pertenece hY hX hba ha hbY, }}
end
 
theorem equivalencia_particiones
  (A : Type)
  : {R : A  A  Prop // equivalence R}  particion A :=
sorry
 
end particion
Soluciones con Lean
import tactic
 
@[ext] structure particion (A : Type) :=
(Bloques    : set (set A))
(Hno_vacios :  X ∈ Bloques, (X : set A).nonempty)
(Hrecubren  :  a,  X ∈ Bloques, a ∈ X)
(Hdisjuntos :  X Y ∈ Bloques, (X ∩ Y : set A).nonempty  X = Y)
 
namespace particion
 
variable  {A : Type}
variables {X Y : set A}
variable  {P : particion A}
variable  (R : A  A  Prop)
 
def clase (a : A) :=
  {b : A | R b a}
 
def clases : (A  A  Prop)  set (set A) :=
  λ R, {B : set A |  x : A, B = clase R x}
 
lemma pertenece_clase_syss
  {a b : A}
  : b ∈ clase R a  R b a :=
by refl
 
lemma clases_no_vacias
  (hR: equivalence R)
  :  (X : set A), X ∈ clases R  X.nonempty :=
begin
  rintros _ ⟨a, rfl⟩,
  use a,
  rw pertenece_clase_syss,
  apply hR.1,
end
 
lemma clases_recubren
  (hR: equivalence R)
  :  a,  X ∈ clases R, a ∈ X :=
begin
  intro a,
  use clase R a,
  split,
  { use a, },
  { exact hR.1 a, },
end
 
lemma subclase_si_pertenece
  {R : A  A  Prop}
  (hR: equivalence R)
  {a b : A}
  : a ∈ clase R b  clase R a ⊆ clase R b :=
λ hab z hza, hR.2.2 hza hab
 
lemma clases_iguales_si_pertenece
  {R : A  A  Prop}
  (hR: equivalence R)
  {a b : A}
  : a ∈ clase R b  clase R a = clase R b :=
λ hab, set.subset.antisymm
        (subclase_si_pertenece hR hab)
        (subclase_si_pertenece hR (hR.2.1 hab))
 
lemma clases_disjuntas
  (hR: equivalence R)
  :  X Y ∈ clases R, (X ∩ Y : set A).nonempty  X = Y :=
begin
  rintros X Y ⟨a, rfl⟩ ⟨b, rfl⟩ ⟨c, hca, hcb⟩,
  exact clases_iguales_si_pertenece hR (hR.2.2 (hR.2.1 hca) hcb),
end
 
def cociente : {R : A  A  Prop // equivalence R}  particion A :=
  λ R, { Bloques    := {B : set A |  x : A, B = clase R.1 x},
         Hno_vacios := clases_no_vacias R.1 R.2,
         Hrecubren  := clases_recubren R.1 R.2,
         Hdisjuntos := clases_disjuntas R.1 R.2, }
 
def relacion : (particion A)  (A  A  Prop) :=
  λ P a b,  X ∈ Bloques P, a ∈ X  b ∈ X
 
lemma reflexiva
  (P : particion A)
  : reflexive (relacion P) :=
λ a X hXC haX, haX
 
lemma iguales_si_comun
  (hX : X ∈ Bloques P)
  (hY : Y ∈ Bloques P)
  {a : A}
  (haX : a ∈ X)
  (haY : a ∈ Y)
  : X = Y :=
Hdisjuntos P X Y hX hY ⟨a, haX, haY⟩
 
lemma pertenece_si_pertenece
  (hX : X ∈ Bloques P)
  (hY : Y ∈ Bloques P)
  {a b : A}
  (haX : a ∈ X)
  (haY : a ∈ Y)
  (hbX : b ∈ X)
  : b ∈ Y :=
begin
  convert hbX,
  exact iguales_si_comun hY hX haY haX,
end
 
lemma simetrica
  (P : particion A)
  : symmetric (relacion P) :=
begin
  intros a b h X hX hbX,
  obtain ⟨Y, hY, haY⟩ := Hrecubren P a,
  specialize h Y hY haY,
  exact pertenece_si_pertenece hY hX h hbX haY,
end
 
lemma transitiva
  (P : particion A)
  : transitive (relacion P) :=
λ a b c hab hbc X hX haX, hbc X hX (hab X hX haX)
 
def relacionP : particion A  {R : A  A  Prop // equivalence R} :=
  λ P, ⟨λ a b,  X ∈ Bloques P, a ∈ X  b ∈ X,
        ⟨reflexiva P, simetrica P, transitiva P⟩⟩
 
lemma inversa_izq :
  function.left_inverse relacionP (@cociente A) :=
begin
  rintro ⟨R, hR⟩,
  simp [relacionP, cociente],
  ext a b,
  exact ⟨λ hab, hR.2.1 (hab a (hR.1 a)),
         λ hab c hac, hR.2.2 (hR.2.1 hab) hac⟩,
end
 
lemma inversa_dcha :
  function.right_inverse relacionP (@cociente A) :=
begin
  intro P,
  ext X,
  show ( (a : A), X = clase _ a)  X ∈ Bloques P,
  split,
  { rintro ⟨a, rfl⟩,
    obtain ⟨X, hX, haX⟩ := Hrecubren P a,
    convert hX,
    ext b,
    rw pertenece_clase_syss,
    split,
    { intro hba,
      obtain ⟨Y, hY, hbY⟩ := Hrecubren P b,
      specialize hba Y hY hbY,
      convert hbY,
      exact iguales_si_comun hX hY haX hba, },
    { intros hbX Y hY hbY,
      apply pertenece_si_pertenece hX hY hbX hbY haX, }},
  { intro hX,
    rcases Hno_vacios P X hX with ⟨a, ha⟩,
    use a,
    ext b,
    split,
    { intro hbX,
      rw pertenece_clase_syss,
      intros Y hY hbY,
      exact pertenece_si_pertenece hX hY hbX hbY ha, },
    { rw pertenece_clase_syss,
      intro hba,
      obtain ⟨Y, hY, hbY⟩ := Hrecubren P b,
      specialize hba Y hY hbY,
      exact pertenece_si_pertenece hY hX hba ha hbY, }}
end
 
theorem equivalencia_particiones
  (A : Type)
  : {R : A  A  Prop // equivalence R}  particion A :=
{ to_fun    := cociente,
  inv_fun   := relacionP,
  left_inv  := inversa_izq,
  right_inv := inversa_dcha, }
 
end particion

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>