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Día: 13 octubre 2021

La función `relacionP` es inversa por la izquierda de la función `cociente`

Este ejercicio es el 14º de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X.

Los anteriores son
1. Igualdad de bloques de una partición cuando tienen elementos comunes.
2. Pertenencia a bloques de una partición con elementos comunes.
3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia.
4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos.
5. Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos.
6. Las clases de equivalencia son no vacías.
7. Las clases de equivalencia recubren el conjunto.
8. Las clases de equivalencia son disjuntas.
9. El cociente aplica relaciones de equivalencia en particiones.
10. Las relaciones definidas por particiones son reflexivas.
11. Las relaciones definidas por particiones son simétricas.
12. Las relaciones definidas por particiones son transitivas.
13. Aplicación de particiones en relaciones de equivalencia.

En los ejercicios 9 y 13 se han definido las funciones

   cociente : {R : A → A → Prop // equivalence R} → particion A
   relacionP : particion A → {R : A → A → Prop // equivalence R}

tales que

  • cociente R es el conjunto cociente de la relación de equivalencia R y
  • relacionP P es la relación de equivalencia definida por la partición P de forma que los elementos relacionados son los que pertenecen a los mismos bloques de P.

Demostrar que relacionP es inversa por la izquierda de cociente.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
@[ext] structure particion (A : Type) :=
(Bloques    : set (set A))
(Hno_vacios :  X ∈ Bloques, (X : set A).nonempty)
(Hrecubren  :  a,  X ∈ Bloques, a ∈ X)
(Hdisjuntos :  X Y ∈ Bloques, (X ∩ Y : set A).nonempty  X = Y)
 
namespace particion
 
variable  {A : Type}
variables {X Y : set A}
variable  {P : particion A}
variable  (R : A  A  Prop)
 
def clase (a : A) :=
  {b : A | R b a}
 
def clases : (A  A  Prop)  set (set A) :=
  λ R, {B : set A |  x : A, B = clase R x}
 
lemma pertenece_clase_syss
  {a b : A}
  : b ∈ clase R a  R b a :=
by refl
 
lemma clases_no_vacias
  (hR: equivalence R)
  :  (X : set A), X ∈ clases R  X.nonempty :=
begin
  rintros _ ⟨a, rfl⟩,
  use a,
  rw pertenece_clase_syss,
  apply hR.1,
end
 
lemma clases_recubren
  (hR: equivalence R)
  :  a,  X ∈ clases R, a ∈ X :=
begin
  intro a,
  use clase R a,
  split,
  { use a, },
  { exact hR.1 a, },
end
 
lemma subclase_si_pertenece
  {R : A  A  Prop}
  (hR: equivalence R)
  {a b : A}
  : a ∈ clase R b  clase R a ⊆ clase R b :=
λ hab z hza, hR.2.2 hza hab
 
lemma clases_iguales_si_pertenece
  {R : A  A  Prop}
  (hR: equivalence R)
  {a b : A}
  : a ∈ clase R b  clase R a = clase R b :=
λ hab, set.subset.antisymm
        (subclase_si_pertenece hR hab)
        (subclase_si_pertenece hR (hR.2.1 hab))
 
lemma clases_disjuntas
  (hR: equivalence R)
  :  X Y ∈ clases R, (X ∩ Y : set A).nonempty  X = Y :=
begin
  rintros X Y ⟨a, rfl⟩ ⟨b, rfl⟩ ⟨c, hca, hcb⟩,
  exact clases_iguales_si_pertenece hR (hR.2.2 (hR.2.1 hca) hcb),
end
 
def cociente : {R : A  A  Prop // equivalence R}  particion A :=
  λ R, { Bloques    := {B : set A |  x : A, B = clase R.1 x},
         Hno_vacios := clases_no_vacias R.1 R.2,
         Hrecubren  := clases_recubren R.1 R.2,
         Hdisjuntos := clases_disjuntas R.1 R.2, }
 
def relacion : (particion A)  (A  A  Prop) :=
  λ P a b,  X ∈ Bloques P, a ∈ X  b ∈ X
 
lemma reflexiva
  (P : particion A)
  : reflexive (relacion P) :=
λ a X hXC haX, haX
 
lemma iguales_si_comun
  (hX : X ∈ Bloques P)
  (hY : Y ∈ Bloques P)
  {a : A}
  (haX : a ∈ X)
  (haY : a ∈ Y)
  : X = Y :=
Hdisjuntos P X Y hX hY ⟨a, haX, haY⟩
 
lemma pertenece_si_pertenece
  (hX : X ∈ Bloques P)
  (hY : Y ∈ Bloques P)
  {a b : A}
  (haX : a ∈ X)
  (haY : a ∈ Y)
  (hbX : b ∈ X)
  : b ∈ Y :=
begin
  convert hbX,
  exact iguales_si_comun hY hX haY haX,
end
 
lemma simetrica
  (P : particion A)
  : symmetric (relacion P) :=
begin
  intros a b h X hX hbX,
  obtain ⟨Y, hY, haY⟩ := Hrecubren P a,
  specialize h Y hY haY,
  exact pertenece_si_pertenece hY hX h hbX haY,
end
 
lemma transitiva
  (P : particion A)
  : transitive (relacion P) :=
λ a b c hab hbc X hX haX, hbc X hX (hab X hX haX)
 
def relacionP : particion A  {R : A  A  Prop // equivalence R} :=
  λ P, ⟨λ a b,  X ∈ Bloques P, a ∈ X  b ∈ X,
        ⟨reflexiva P, simetrica P, transitiva P⟩⟩
 
lemma inversa_izq :
  function.left_inverse relacionP (@cociente A) :=
sorry
 
end particion
Soluciones con Lean
import tactic
 
@[ext] structure particion (A : Type) :=
(Bloques    : set (set A))
(Hno_vacios :  X ∈ Bloques, (X : set A).nonempty)
(Hrecubren  :  a,  X ∈ Bloques, a ∈ X)
(Hdisjuntos :  X Y ∈ Bloques, (X ∩ Y : set A).nonempty  X = Y)
 
namespace particion
 
variable  {A : Type}
variables {X Y : set A}
variable  {P : particion A}
variable  (R : A  A  Prop)
 
def clase (a : A) :=
  {b : A | R b a}
 
def clases : (A  A  Prop)  set (set A) :=
  λ R, {B : set A |  x : A, B = clase R x}
 
lemma pertenece_clase_syss
  {a b : A}
  : b ∈ clase R a  R b a :=
by refl
 
lemma clases_no_vacias
  (hR: equivalence R)
  :  (X : set A), X ∈ clases R  X.nonempty :=
begin
  rintros _ ⟨a, rfl⟩,
  use a,
  rw pertenece_clase_syss,
  apply hR.1,
end
 
lemma clases_recubren
  (hR: equivalence R)
  :  a,  X ∈ clases R, a ∈ X :=
begin
  intro a,
  use clase R a,
  split,
  { use a, },
  { exact hR.1 a, },
end
 
lemma subclase_si_pertenece
  {R : A  A  Prop}
  (hR: equivalence R)
  {a b : A}
  : a ∈ clase R b  clase R a ⊆ clase R b :=
λ hab z hza, hR.2.2 hza hab
 
lemma clases_iguales_si_pertenece
  {R : A  A  Prop}
  (hR: equivalence R)
  {a b : A}
  : a ∈ clase R b  clase R a = clase R b :=
λ hab, set.subset.antisymm
        (subclase_si_pertenece hR hab)
        (subclase_si_pertenece hR (hR.2.1 hab))
 
lemma clases_disjuntas
  (hR: equivalence R)
  :  X Y ∈ clases R, (X ∩ Y : set A).nonempty  X = Y :=
begin
  rintros X Y ⟨a, rfl⟩ ⟨b, rfl⟩ ⟨c, hca, hcb⟩,
  exact clases_iguales_si_pertenece hR (hR.2.2 (hR.2.1 hca) hcb),
end
 
def cociente : {R : A  A  Prop // equivalence R}  particion A :=
  λ R, { Bloques    := {B : set A |  x : A, B = clase R.1 x},
         Hno_vacios := clases_no_vacias R.1 R.2,
         Hrecubren  := clases_recubren R.1 R.2,
         Hdisjuntos := clases_disjuntas R.1 R.2, }
 
def relacion : (particion A)  (A  A  Prop) :=
  λ P a b,  X ∈ Bloques P, a ∈ X  b ∈ X
 
lemma reflexiva
  (P : particion A)
  : reflexive (relacion P) :=
λ a X hXC haX, haX
 
lemma iguales_si_comun
  (hX : X ∈ Bloques P)
  (hY : Y ∈ Bloques P)
  {a : A}
  (haX : a ∈ X)
  (haY : a ∈ Y)
  : X = Y :=
Hdisjuntos P X Y hX hY ⟨a, haX, haY⟩
 
lemma pertenece_si_pertenece
  (hX : X ∈ Bloques P)
  (hY : Y ∈ Bloques P)
  {a b : A}
  (haX : a ∈ X)
  (haY : a ∈ Y)
  (hbX : b ∈ X)
  : b ∈ Y :=
begin
  convert hbX,
  exact iguales_si_comun hY hX haY haX,
end
 
lemma simetrica
  (P : particion A)
  : symmetric (relacion P) :=
begin
  intros a b h X hX hbX,
  obtain ⟨Y, hY, haY⟩ := Hrecubren P a,
  specialize h Y hY haY,
  exact pertenece_si_pertenece hY hX h hbX haY,
end
 
lemma transitiva
  (P : particion A)
  : transitive (relacion P) :=
λ a b c hab hbc X hX haX, hbc X hX (hab X hX haX)
 
def relacionP : particion A  {R : A  A  Prop // equivalence R} :=
  λ P, ⟨λ a b,  X ∈ Bloques P, a ∈ X  b ∈ X,
        ⟨reflexiva P, simetrica P, transitiva P⟩⟩
 
-- 1ª demostración
example :
  function.left_inverse relacionP (@cociente A) :=
begin
  unfold function.left_inverse,
  intro S,
  cases S with R hR,
  unfold relacionP cociente relacion,
  simp,
  ext a b,
  split,
  { intros hab,
    apply hR.2.1,
    unfold clase at hab,
    dsimp at hab,
    apply hab,
    apply hR.1, },
  { intros hab c hac,
    unfold clase at *,
    dsimp at *,
    apply hR.2.2 (hR.2.1 hab) hac, },
end
 
-- 2ª demostración
example :
  function.left_inverse relacionP (@cociente A) :=
begin
  rintro ⟨R, hR⟩,
  simp [relacionP, cociente],
  ext a b,
  split,
  { intros hab,
    apply hR.2.1,
    apply hab,
    apply hR.1, },
  { intros hab c hac,
    apply hR.2.2 (hR.2.1 hab) hac, },
end
 
-- 3ª demostración
example :
  function.left_inverse relacionP (@cociente A) :=
begin
  rintro ⟨R, hR⟩,
  simp [relacionP, cociente],
  ext a b,
  split,
  { intros hab,
    exact hR.2.1 (hab a (hR.1 a)), },
  { intros hab c hac,
    exact hR.2.2 (hR.2.1 hab) hac, },
end
 
-- 4ª demostración
example :
  function.left_inverse relacionP (@cociente A) :=
begin
  rintro ⟨R, hR⟩,
  simp [relacionP, cociente],
  ext a b,
  split,
  { exact λ hab, hR.2.1 (hab a (hR.1 a)), },
  { exact λ hab c hac, hR.2.2 (hR.2.1 hab) hac, },
end
 
-- 5ª demostración
lemma inversa_izq :
  function.left_inverse relacionP (@cociente A) :=
begin
  rintro ⟨R, hR⟩,
  simp [relacionP, cociente],
  ext a b,
  exact ⟨λ hab, hR.2.1 (hab a (hR.1 a)),
         λ hab c hac, hR.2.2 (hR.2.1 hab) hac⟩,
end
 
end particion

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>