Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos
Este ejercicio es el 5º de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X
es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X
.
Los anteriores son
1. Igualdad de bloques de una partición cuando tienen elementos comunes.
2. Pertenencia a bloques de una partición con elementos comunes.
3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia.
4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos.
El ejercicio consiste en demostrar que si C
es una clase de equivalencia y a ∈ C
, entonces la clase de equivalencia de a
es C
.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import tactic variable {A : Type} variable (R : A → A → Prop) def clase (a : A) := {b : A | R b a} example (hR: equivalence R) {a b : A} : a ∈ clase R b → clase R a = clase R b := sorry |
[expand title=»Soluciones con Lean»]
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import tactic variable {A : Type} variable (R : A → A → Prop) def clase (a : A) := {b : A | R b a} -- Se usarán los siguientes dos lemas auxiliares lemma pertenece_clase_syss {a b : A} : b ∈ clase R a ↔ R b a := by refl lemma subclase_si_pertenece {R : A → A → Prop} (hR: equivalence R) {a b : A} : a ∈ clase R b → clase R a ⊆ clase R b := λ hab z hza, hR.2.2 hza hab -- 1ª demostración example (hR: equivalence R) {a b : A} : a ∈ clase R b → clase R a = clase R b := begin intro hab, apply set.subset.antisymm, { apply subclase_si_pertenece hR hab, }, { apply subclase_si_pertenece hR, rcases hR with ⟨-, hsymm, -⟩, exact hsymm hab } end -- 2ª demostración example (hR: equivalence R) {a b : A} : a ∈ clase R b → clase R a = clase R b := begin intro hab, apply set.subset.antisymm, { exact subclase_si_pertenece hR hab, }, { exact subclase_si_pertenece hR (hR.2.1 hab), } end -- 3ª demostración example (hR: equivalence R) {a b : A} : a ∈ clase R b → clase R a = clase R b := begin intro hab, exact set.subset.antisymm (subclase_si_pertenece hR hab) (subclase_si_pertenece hR (hR.2.1 hab)) end -- 4ª demostración lemma clases_iguales_si_pertenece (hR: equivalence R) {a b : A} : a ∈ clase R b → clase R a = clase R b := λ hab, set.subset.antisymm (subclase_si_pertenece hR hab) (subclase_si_pertenece hR (hR.2.1 hab)) |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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