Las clases de equivalencia son no vacías
Este ejercicio es el 6º de una serie, cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X
es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X
.
Los anteriores son
1. Igualdad de bloques de una partición cuando tienen elementos comunes.
2. Pertenencia a bloques de una partición con elementos comunes.
3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia.
4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos.
5. Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos.
El conjuntos de las clases correspondientes a una relación R
se define en Lean por
1 2 |
def clases : (A → A → Prop) → set (set A) := λ R, {B : set A | ∃ x : A, B = clase R x} |
El ejercicio consiste en demostrar que si C
es una clase de equivalencia de R
, entonces C
es no vacía.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import tactic variable {A : Type} variable (R : A → A → Prop) def clase (a : A) := {b : A | R b a} def clases : (A → A → Prop) → set (set A) := λ R, {B : set A | ∃ x : A, B = clase R x} example (hR: equivalence R) : ∀ (X : set A), X ∈ clases R → X.nonempty := sorry |
[expand title=»Soluciones con Lean»]
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import tactic variable {A : Type} variable (R : A → A → Prop) def clase (a : A) := {b : A | R b a} def clases : (A → A → Prop) → set (set A) := λ R, {B : set A | ∃ x : A, B = clase R x} -- Se usará el siguientes lema auxiliar lemma pertenece_clase_syss {a b : A} : b ∈ clase R a ↔ R b a := by refl -- 1ª demostración example (hR: equivalence R) : ∀ (X : set A), X ∈ clases R → X.nonempty := begin intros X hX, unfold clases at hX, dsimp at hX, cases hX with a ha, rw ha, rw set.nonempty_def, use a, rw pertenece_clase_syss, rcases hR with ⟨hrefl, -, -⟩, exact hrefl a, end -- 2ª demostración example (hR: equivalence R) : ∀ (X : set A), X ∈ clases R → X.nonempty := begin rintros _ ⟨a, rfl⟩, use a, rw pertenece_clase_syss, exact hR.1 a, end -- 3ª demostración example (hR: equivalence R) : ∀ (X : set A), X ∈ clases R → X.nonempty := begin rintros _ ⟨a, rfl⟩, use a, rw pertenece_clase_syss, apply hR.1, end -- 4ª demostración lemma clases_no_vacias (hR: equivalence R) : ∀ (X : set A), X ∈ clases R → X.nonempty := begin rintros _ ⟨a, rfl⟩, use a, exact (pertenece_clase_syss R).mpr (hR.1 a), end |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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