Isomorfismo entre relaciones de equivalencia y particiones

Este ejercicio es el 16º de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X.

Los anteriores son
1. Igualdad de bloques de una partición cuando tienen elementos comunes.
2. Pertenencia a bloques de una partición con elementos comunes.
3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia.
4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos.
5. Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos.
6. Las clases de equivalencia son no vacías.
7. Las clases de equivalencia recubren el conjunto.
8. Las clases de equivalencia son disjuntas.
9. El cociente aplica relaciones de equivalencia en particiones.
10. Las relaciones definidas por particiones son reflexivas.
11. Las relaciones definidas por particiones son simétricas.
12. Las relaciones definidas por particiones son transitivas.
13. Aplicación de particiones en relaciones de equivalencia.
14. La función relacionP es inversa por la izquierda de la función cociente
15. La función relacionP es inversa por la derecha de la función cociente.

En Lean, el tipo de los isomorfimos de un tipo α en un tipo β está definido mediante la siguiente estructura

y se equiv α β se denota por α ≃ β. Por tanto, para demostrar que los dos tipos don isomorfos hay que definir dos funciones entre ellos y demostrar que una es la inversa de la otra.

Demostrar que los tipos de las relaciones de equivalencia sobre A y el de las particiones de A son isomorfos.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

[expand title=»Soluciones con Lean»]

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
[/expand]

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