El triángulo de Floyd en Haskell
El triángulo de Floyd, llamado así en honor a Robert Floyd, es un triángulo rectángulo formado con números naturales. Para crear un triángulo de Floyd, se comienza con un 1 en la esquina superior izquierda, y se continúa escribiendo la secuencia de los números naturales de manera que cada línea contenga un número más que la anterior. Las 5 primeras líneas del triángulo de Floyd son
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1 2 3 4 5 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
El triángulo de Floyd tiene varias propiedades matemáticas interesantes:
- los números de la hipotenusa es la sucesión de los números triangulares; es decir, los números que puede ser representado como puntos dispuestos en forma de triángulo, empezando por el 1. Los primeros números triangulares son
- los números del cateto de la parte izquierda es la sucesión de los números poligonales centrales; donde el n-ésimo número poligonal centrado es el máximo número de piezas que se pueden obtener a partir de un círculo con n líneas rectas. Los primeros números poligonales centrados son
En la siguiente relación de ejercicios (elaborada para I1M) se define en Haskell el triágulo de Floyd y se comprueban algunas de sus propiedades.
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Números poligonales y sus propiedades en Haskell
Un número poligonal es aquel que puede ser representado como puntos dispuestos en forma de polígono regular, empezando por el 1. Los primeros números poligonales son los números triangulares, estos se forman a partir de triángulos.
Los siguientes son los números cuadrangulares
Los siguientes son los números pentagonales
Los números triangulares son 1, 3, 6, 10, 15, 21, … Sus diferencias son 2, 3, 4, 5, 6, … Por tanto, se obtienen como sigue
1 = 1
3 = 1+2
6 = 1+2+3
10 = 1+2+3+4
15 = 1+2+3+4+5
21 = 1+2+3+4+5+6
Los números cuadrangulares son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … Sus diferencias son 3, 5, 7, 9, … Por tanto, se obtienen como sigue
1 = 1
4 = 1+3
9 = 1+3+5
16 = 1+3+5+7
25 = 1+3+5+7+9
36 = 1+3+5+7+9+11
49 = 1+3+5+7+9+11+13
Los números pentagonales son 1, 5, 12, 22, 35, … Sus diferencias son 4, 7, 10, 13, … Por tanto, se obtienen como sigue
1 = 1
5 = 1+4
12 = 1+4+7
22 = 1+4+7+10
35 = 1+4+7+10+13
Siguiendo el mismo patrón, las diferencias entre los números hexagonales son 5, 9, 13, 17, … Por tanto, los primeros números hexagonales son
1 = 1
6 = 1+5
15 = 1+5+9
28 = 1+5+9+13
45 = 1+5+9+13+17
Continuando con este patrón se obtienen los número poligonales con k lados. Los siguientes son
k=7 Heptagonal: 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, …
k=8 Octagonal: 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, …
k=9 Nonagonal: 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, …
En la siguiente relación de ejercicios (elaborada para I1M) se muestran distintas definiciones de los números poligonales y algunas de sus propiedades, como el teorema de Fermat, en Haskell.
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Números triangulares y sus propiedades en Haskell
Los números triangulares se forman como sigue
En la siguiente relación de ejercicios (elaborada para I1M) se muestran distintas definiciones de los números triangulares y algunas de sus propiedades en Haskell.
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El juego de Oslo en Haskell
En el número especial de la revista Mundo científico sobre El universo de los números se presenta el juego de Oslo. En dicho juego
se trata de obtener cualquier número natural no nulo, por medio de aplicaciones sucesivas de una de las reglas siguientes:
- poner un cero al final del número,
- poner un cuatro al final del número y
- dividir por 2 si el número es par.
Por ejemplo, el 3 y el 5 se pueden obtener como sigue
|
1 2 |
4 -> 2 -> 24 -> 12 -> 6 -> 3 4 -> 2 -> 1 -> 10 -> 5 |
En la siguiente relación de ejercicios (elaborada para I1M) veremos qué números se pueden alcanzar, cómo y en cuántos pasos. Además, se presentan distintas soluciones comparando sus eficiencias.
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