El mes de abril en Exercitium (Ejercicios con Haskell y Python)
Durante el mes de abril he publicado en Exercitium las soluciones de los siguientes problemas:
- 1. Caminos en un triángulo
- 2. Máxima suma de caminos en un triángulo
- 3. Números amigos
- 4. Primos equidistantes
- 5. Numeración de las ternas de números naturales
- 6. Números triangulares con n cifras distintas
A continuación se muestran las soluciones.
1. Caminos en un triángulo
Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo
1 2 3 4 |
3 7 4 2 4 6 8 5 9 3 |
se representa por
1 |
[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] |
Definir la función
1 |
caminos :: [[a]] -> [[a]] |
tal que (caminos xss) es la lista de los caminos en el triángulo donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,
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λ> caminos [[3],[7,4]] [[3,7],[3,4]] λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6]] [[3,7,2],[3,7,4],[3,4,4],[3,4,6]] λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] [[3,7,2,8],[3,7,2,5],[3,7,4,5],[3,7,4,9],[3,4,4,5],[3,4,4,9],[3,4,6,9],[3,4,6,3]] |
1.1. Soluciones en Haskell
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 |
module Caminos_en_un_triangulo where import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe) caminos :: [[a]] -> [[a]] caminos [] = [[]] caminos [[x]] = [[x]] caminos ([x]:[y1,y2]:zs) = [x:y1:us | (_:us) <- caminos ([y1] : map init zs)] ++ [x:y2:vs | (_:vs) <- caminos ([y2] : map tail zs)] -- Verificación -- ============ verifica :: IO () verifica = hspec spec spec :: Spec spec = do it "e1" $ caminos [[3],[7,4]] `shouldBe` [[3,7],[3,4]] it "e2" $ caminos [[3],[7,4],[2,4,6]] `shouldBe` [[3,7,2],[3,7,4],[3,4,4],[3,4,6]] it "e3" $ caminos [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] `shouldBe` [[3,7,2,8],[3,7,2,5],[3,7,4,5],[3,7,4,9],[3,4,4,5],[3,4,4,9],[3,4,6,9],[3,4,6,3]] -- La verificación es -- λ> verifica -- -- 3 examples, 0 failures |
1.2. Soluciones en Python
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 |
from typing import TypeVar A = TypeVar('A') def caminos(xss: list[list[A]]) -> list[list[A]]: if not xss: return [[]] if len(xss) == 1: return xss x = xss[0][0] y1 = xss[1][0] y2 = xss[1][1] zss = xss[2:] return [[x, y1] + us for _, *us in caminos([[y1]] + [zs[:-1] for zs in zss])] + \ [[x, y2] + us for _, *us in caminos([[y2]] + [zs[1:] for zs in zss])] # Verificación # ============ def test_caminos() -> None: assert caminos([[3],[7,4]]) == \ [[3,7],[3,4]] assert caminos([[3],[7,4],[2,4,6]]) == \ [[3,7,2],[3,7,4],[3,4,4],[3,4,6]] assert caminos([[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]) == \ [[3,7,2,8],[3,7,2,5],[3,7,4,5],[3,7,4,9],[3,4,4,5],[3,4,4,9],[3,4,6,9],[3,4,6,3]] print("Verificado") # La verificación es # >>> test_caminos() # Verificado |
2. Máxima suma de caminos en un triángulo
Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo
1 2 3 4 |
3 7 4 2 4 6 8 5 9 3 |
se representa por
1 |
[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] |
Definir la función
1 |
maximaSuma :: [[Integer]] -> Integer |
tal que (maximaSuma xss) es el máximo de las sumas de los de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,
1 2 3 4 5 6 7 8 |
maximaSuma [[3],[7,4]] == 10 maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]] == 14 maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] == 23 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..100]] == 10100 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..1000]] == 1001000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..2000]] == 4002000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..3000]] == 9003000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..4000]] == 16004000 |
2.1. Soluciones en Haskell
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 |
module Maxima_suma_de_caminos_en_un_triangulo where import Data.List (tails) import Test.Hspec (Spec, describe, hspec, it, shouldBe) -- 1ª solución -- =========== maximaSuma1 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma1 xss = maximum [sum ys | ys <- caminos xss] caminos :: [[Integer]] -> [[Integer]] caminos [] = [[]] caminos [[x]] = [[x]] caminos ([x]:[y1,y2]:zs) = [x:y1:us | (_:us) <- caminos ([y1] : map init zs)] ++ [x:y2:vs | (_:vs) <- caminos ([y2] : map tail zs)] -- 2ª solución -- =========== maximaSuma2 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma2 xss = maximum (map sum (caminos xss)) -- 3ª solución -- =========== maximaSuma3 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma3 = maximum . map sum . caminos -- 4ª solución -- =========== maximaSuma4 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma4 [] = 0 maximaSuma4 [[x]] = x maximaSuma4 ([x]:[y1,y2]:zs) = x + max (maximaSuma4 ([y1] : map init zs)) (maximaSuma4 ([y2] : map tail zs)) -- 5ª solución -- =========== maximaSuma5 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma5 xss = head (foldr1 g xss) where f x y z = x + max y z g xs ys = zipWith3 f xs ys (tail ys) -- 6ª solución -- =========== maximaSuma6 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma6 xss = head (foldr1 aux xss) where aux a b = zipWith (+) a (zipWith max b (tail b)) -- 7ª solución -- =========== maximaSuma7 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma7 xss = head (foldr (flip f) (last xss) (init xss)) where f = zipWith ((+) . maximum . take 2) . tails -- 8ª solución -- =========== maximaSuma8 :: [[Integer]] -> Integer maximaSuma8 = head . foldr1 aux where aux [] _ = [] aux (x:xs) (y0:y1:ys) = x + max y0 y1 : aux xs (y1:ys) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- Para la comparaciones se usará la siguiente función que construye un -- triángulo de la altura dada. Por ejemplo, -- triangulo 2 == [[0],[1,2]] -- triangulo 3 == [[0],[1,2],[2,3,4]] -- triangulo 4 == [[0],[1,2],[2,3,4],[3,4,5,6]] triangulo :: Integer -> [[Integer]] triangulo n = [[k..k+k] | k <- [0..n-1]] -- La comparación es -- (1.97 secs, 876,483,056 bytes) -- λ> maximaSuma1 (triangulo 19) -- 342 -- (2.37 secs, 1,833,637,824 bytes) -- λ> maximaSuma2 (triangulo 19) -- 342 -- (2.55 secs, 1,804,276,472 bytes) -- λ> maximaSuma3 (triangulo 19) -- 342 -- (2.57 secs, 1,804,275,320 bytes) -- λ> maximaSuma4 (triangulo 19) -- 342 -- (0.28 secs, 245,469,384 bytes) -- λ> maximaSuma5 (triangulo 19) -- 342 -- (0.01 secs, 153,272 bytes) -- λ> maximaSuma6 (triangulo 19) -- 342 -- (0.01 secs, 161,360 bytes) -- λ> maximaSuma7 (triangulo 19) -- 342 -- (0.01 secs, 187,456 bytes) -- λ> maximaSuma8 (triangulo 19) -- 342 -- (0.01 secs, 191,160 bytes) -- -- λ> maximaSuma4 (triangulo 22) -- 462 -- (2.30 secs, 1,963,037,888 bytes) -- λ> maximaSuma5 (triangulo 22) -- 462 -- (0.00 secs, 173,512 bytes) -- λ> maximaSuma6 (triangulo 22) -- 462 -- (0.01 secs, 182,904 bytes) -- λ> maximaSuma7 (triangulo 22) -- 462 -- (0.01 secs, 216,560 bytes) -- λ> maximaSuma8 (triangulo 22) -- 462 -- (0.01 secs, 224,160 bytes) -- -- λ> maximaSuma5 (triangulo 3000) -- 8997000 -- (2.25 secs, 2,059,784,792 bytes) -- λ> maximaSuma6 (triangulo 3000) -- 8997000 -- (2.15 secs, 2,404,239,896 bytes) -- λ> maximaSuma7 (triangulo 3000) -- 8997000 -- (1.53 secs, 2,612,659,504 bytes) -- λ> maximaSuma8 (triangulo 3000) -- 8997000 -- (3.47 secs, 3,520,910,256 bytes) -- -- λ> maximaSuma7 (triangulo 4000) -- 15996000 -- (3.12 secs, 4,634,841,200 bytes) -- Verificación -- ============ verifica :: IO () verifica = hspec spec specG :: ([[Integer]] -> Integer) -> Spec specG maximaSuma = do it "e1" $ maximaSuma [[3],[7,4]] `shouldBe` 10 it "e2" $ maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]] `shouldBe` 14 it "e3" $ maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] `shouldBe` 23 spec :: Spec spec = do describe "def. 1" $ specG maximaSuma1 describe "def. 2" $ specG maximaSuma2 describe "def. 3" $ specG maximaSuma3 describe "def. 4" $ specG maximaSuma4 describe "def. 5" $ specG maximaSuma5 describe "def. 6" $ specG maximaSuma6 describe "def. 7" $ specG maximaSuma7 describe "def. 8" $ specG maximaSuma8 -- La verificación es -- λ> verifica -- Finished in 0.0053 seconds -- 24 examples, 0 failures |
2.2. Soluciones en Python
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 |
from timeit import Timer, default_timer # 1ª solución # =========== def caminos(xss: list[list[int]]) -> list[list[int]]: if not xss: return [[]] if len(xss) == 1: return xss x = xss[0][0] y1 = xss[1][0] y2 = xss[1][1] zss = xss[2:] return [[x, y1] + us for _, *us in caminos([[y1]] + [zs[:-1] for zs in zss])] + \ [[x, y2] + us for _, *us in caminos([[y2]] + [zs[1:] for zs in zss])] # maximaSuma1 :: [[Integer]] -> Integer def maximaSuma1(xss: list[list[int]]) -> int: return max((sum(ys) for ys in caminos(xss))) # 2ª solución # =========== def maximaSuma2(xss: list[list[int]]) -> int: if not xss: return 0 if len(xss) == 1: return xss[0][0] x = xss[0][0] y1 = xss[1][0] y2 = xss[1][1] zss = xss[2:] return x + max(maximaSuma2([[y1]] + [us[:-1] for us in zss]), maximaSuma2([[y2]] + [us[1:] for us in zss])) # Verificación # ============ def test_maximaSuma() -> None: for maximaSuma in [maximaSuma1, maximaSuma2]: assert maximaSuma([[3],[7,4]]) == 10 assert maximaSuma([[3],[7,4],[2,4,6]]) == 14 assert maximaSuma([[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]) == 23 print("Verificado") # La verificación es # >>> test_maximaSuma() # Verificado # Comparación de eficiencia # ========================= # Para la comparaciones se usará la siguiente función que construye un # triángulo de la altura dada. Por ejemplo, # >>> triangulo(2) # [[0], [1, 2]] # >>> triangulo(3) # [[0], [1, 2], [2, 3, 4]] # >>> triangulo(4) # [[0], [1, 2], [2, 3, 4], [3, 4, 5, 6]] def triangulo(n: int) -> list[list[int]]: return [list(range(k, k+k+1)) for k in range(n)] def tiempo(e: str) -> None: """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e.""" t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1) print(f"{t:0.2f} segundos") # La comparación es # >>> tiempo('maximaSuma1(triangulo(20))') # 3.21 segundos # >>> tiempo('maximaSuma2(triangulo(20))') # 0.59 segundos |
3. Números amigos
Dos números amigos son dos números positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la función
1 |
amigos :: Integer -> Integer -> Bool |
tal que amigos x y
se verifica si los números x
e y
son amigos. Por ejemplo,
1 2 3 |
amigos 220 284 == True amigos 220 23 == False amigos 42262694537514864075544955198125 42405817271188606697466971841875 == True |
3.1. Soluciones en Haskell
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 |
module Numeros_amigos where import Data.List (genericLength, group, inits, nub, sort, subsequences) import Data.Numbers.Primes (primeFactors) import Test.Hspec (Spec, describe, hspec, it, shouldBe) -- 1ª solución -- -- =========== amigos1 :: Integer -> Integer -> Bool amigos1 x y = sumaDivisoresPropios1 x == y && sumaDivisoresPropios1 y == x -- (sumaDivisoresPropios1 x) es la suma de los divisores propios de -- x. Por ejemplo, -- sumaDivisoresPropios1 220 == 284 -- sumaDivisoresPropios1 284 == 220 sumaDivisoresPropios1 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios1 = sum . divisoresPropios1 -- (divisoresPropios1 x) es la lista de los divisores propios de x. Por -- ejemplo, -- divisoresPropios1 220 == [1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110] -- divisoresPropios1 284 == [1,2,4,71,142] divisoresPropios1 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios1 x = [n | n <- [1..x-1], x `mod` n == 0] -- 2ª solución -- -- =========== amigos2 :: Integer -> Integer -> Bool amigos2 x y = sumaDivisoresPropios2 x == y && sumaDivisoresPropios2 y == x sumaDivisoresPropios2 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios2 = sum . divisoresPropios2 divisoresPropios2 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios2 x = filter ((== 0) . mod x) [1..x-1] -- 3ª solución -- -- =========== amigos3 :: Integer -> Integer -> Bool amigos3 x y = sumaDivisoresPropios3 x == y && sumaDivisoresPropios3 y == x sumaDivisoresPropios3 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios3 = sum . divisoresPropios3 divisoresPropios3 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios3 = init . nub . sort . map product . subsequences . primeFactors -- 4ª solución -- -- =========== amigos4 :: Integer -> Integer -> Bool amigos4 x y = sumaDivisoresPropios4 x == y && sumaDivisoresPropios4 y == x sumaDivisoresPropios4 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios4 = sum . divisoresPropios4 divisoresPropios4 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios4 = init . sort . map (product . concat) . productoCartesiano . map inits . group . primeFactors -- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos -- xss. Por ejemplo, -- λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]] -- [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]] productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]] productoCartesiano [] = [[]] productoCartesiano (xs:xss) = [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss] -- 5ª solución -- -- =========== amigos5 :: Integer -> Integer -> Bool amigos5 x y = sumaDivisoresPropios5 x == y && sumaDivisoresPropios5 y == x sumaDivisoresPropios5 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios5 = sum . divisoresPropios5 divisoresPropios5 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios5 = init . sort . map (product . concat) . sequence . map inits . group . primeFactors -- 6ª solución -- -- =========== amigos6 :: Integer -> Integer -> Bool amigos6 x y = sumaDivisoresPropios6 x == y && sumaDivisoresPropios6 y == x sumaDivisoresPropios6 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios6 = sum . init . map (product . concat) . sequence . map inits . group . primeFactors -- 7ª solución -- -- =========== amigos7 :: Integer -> Integer -> Bool amigos7 x y = sumaDivisoresPropios7 x == y && sumaDivisoresPropios7 y == x -- Si la descomposición de x en factores primos es -- x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n) -- entonces la suma de los divisores de x es -- p(1)^(e(1)+1) - 1 p(2)^(e(2)+1) - 1 p(n)^(e(2)+1) - 1 -- ------------------- . ------------------- ... ------------------- -- p(1)-1 p(2)-1 p(n)-1 -- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc -- (sumaDivisoresPropios7 x) es la suma de los divisores propios de -- x. Por ejemplo, -- sumaDivisoresPropios7 220 == 284 -- sumaDivisoresPropios7 284 == 220 sumaDivisoresPropios7 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios7 x = product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x] - x -- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la -- descomposición prima de x. Por ejemplo, -- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)] factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)] factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors -- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs -- y la longitud de xs. Por ejemplo, -- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4) primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer) primeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs) -- Verificación -- ============ verifica :: IO () verifica = hspec spec specG :: (Integer -> Integer -> Bool) -> Spec specG amigos = do it "e1" $ amigos 220 284 `shouldBe` True it "e2" $ amigos 220 23 `shouldBe` False spec :: Spec spec = do describe "def. 1" $ specG amigos1 describe "def. 2" $ specG amigos2 describe "def. 3" $ specG amigos3 describe "def. 4" $ specG amigos4 describe "def. 5" $ specG amigos5 describe "def. 6" $ specG amigos6 describe "def. 7" $ specG amigos7 -- La verificación es -- λ> verifica -- 14 examples, 0 failures -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> amigos1 2803580 3716164 -- True -- (2.27 secs, 1,304,055,864 bytes) -- λ> amigos2 2803580 3716164 -- True -- (0.81 secs, 782,478,584 bytes) -- λ> amigos3 2803580 3716164 -- True -- (0.01 secs, 383,888 bytes) -- λ> amigos4 2803580 3716164 -- True -- (0.01 secs, 461,376 bytes) -- λ> amigos5 2803580 3716164 -- True -- (0.00 secs, 412,560 bytes) -- λ> amigos6 2803580 3716164 -- True -- (0.00 secs, 387,816 bytes) -- λ> amigos7 2803580 3716164 -- True -- (0.01 secs, 339,008 bytes) -- -- λ> amigos2 5864660 7489324 -- True -- (1.74 secs, 1,602,582,592 bytes) -- λ> amigos3 5864660 7489324 -- True -- (0.00 secs, 277,056 bytes) -- λ> amigos4 5864660 7489324 -- True -- (0.01 secs, 354,872 bytes) -- λ> amigos5 5864660 7489324 -- True -- (0.01 secs, 305,792 bytes) -- λ> amigos6 5864660 7489324 -- True -- (0.00 secs, 281,528 bytes) -- λ> amigos7 5864660 7489324 -- True -- (0.01 secs, 237,176 bytes) -- -- λ> amigos3 42262694537514864075544955198125 42405817271188606697466971841875 -- True -- (107.54 secs, 5,594,306,392 bytes) -- λ> amigos4 42262694537514864075544955198125 42405817271188606697466971841875 -- True -- (1.03 secs, 942,530,824 bytes) -- λ> amigos5 42262694537514864075544955198125 42405817271188606697466971841875 -- True -- (0.51 secs, 591,144,304 bytes) -- λ> amigos6 42262694537514864075544955198125 42405817271188606697466971841875 -- True -- (0.26 secs, 379,534,608 bytes) -- λ> amigos7 42262694537514864075544955198125 42405817271188606697466971841875 -- True -- (0.05 secs, 25,635,464 bytes) |
3.2. Soluciones en Python
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 |
from functools import reduce from operator import mul from timeit import Timer, default_timer from sympy import divisor_sigma, factorint, is_amicable, proper_divisors # 1ª solución # =========== # divisoresPropios1(x) es la lista de los divisores propios de x. Por # ejemplo, # divisoresPropios1(220) == [1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110] # divisoresPropios1(284) == [1,2,4,71,142] def divisoresPropios1(x: int) -> list[int]: return [n for n in range(1, x) if x % n == 0] # sumaDivisoresPropios1(x) es la suma de los divisores propios de # x. Por ejemplo, # sumaDivisoresPropios1(220) == 284 # sumaDivisoresPropios1(284) == 220 def sumaDivisoresPropios1(x: int) -> int: return sum(divisoresPropios1(x)) def amigos1(x: int, y: int) -> bool: return sumaDivisoresPropios1(x)== y and \ sumaDivisoresPropios1(y)== x # 2ª solución # =========== def divisoresPropios2(x: int) -> list[int]: return proper_divisors(x) def sumaDivisoresPropios2(x: int) -> int: return sum(divisoresPropios2(x)) def amigos2(x: int, y: int) -> bool: return sumaDivisoresPropios2(x)== y and \ sumaDivisoresPropios2(y)== x # 3ª solución # =========== # Si la descomposición de x en factores primos es # x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n) # entonces la suma de los divisores de x es # p(1)^(e(1)+1) - 1 p(2)^(e(2)+1) - 1 p(n)^(e(2)+1) - 1 # ------------------- . ------------------- ... ------------------- # p(1)-1 p(2)-1 p(n)-1 # Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc # producto(xs) es el producto de los elementos de xs. Por ejemplo, # producto([2, 3, 5]) == 30 def producto(xs: list[int]) -> int: return reduce(mul, xs) # sumaDivisoresPropios3(x) es la suma de los divisores propios de # x. Por ejemplo, # sumaDivisoresPropios3(220) == 284 # sumaDivisoresPropios3(284) == 220 def sumaDivisoresPropios3(x: int) -> int: return producto([(p**(e+1)-1) // (p-1) for (p,e) in factorint(x).items()]) - x def amigos3(x: int, y: int) -> bool: return sumaDivisoresPropios3(x)== y and \ sumaDivisoresPropios3(y)== x # 4ª solución # =========== def amigos4(x: int, y: int) -> bool: return divisor_sigma(x, 1) == divisor_sigma(y, 1) # 5ª solución # =========== def amigos5(x: int, y: int) -> bool: return is_amicable(x, y) # Verificación # ============ def test_amigos() -> None: for amigos in [amigos1, amigos2, amigos3, amigos4, amigos5]: assert amigos(220, 284) assert not amigos(220, 23) print("Verificado") # La verificación es # >>> test_amigos() # Verificado # Comparación de eficiencia # ========================= def tiempo(e: str) -> None: """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e.""" t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1) print(f"{t:0.2f} segundos") # La comparación es # >>> tiempo('amigos1(5864660, 7489324)') # 0.65 segundos # >>> tiempo('amigos2(5864660, 7489324)') # 0.00 segundos # >>> tiempo('amigos3(5864660, 7489324)') # 0.00 segundos # >>> tiempo('amigos4(5864660, 7489324)') # 0.00 segundos # >>> tiempo('amigos5(5864660, 7489324)') # 0.00 segundos # # >>> x = 42262694537514864075544955198125 # >>> y = 42405817271188606697466971841875 # >>> tiempo('amigos2(x, y)') # 0.10 segundos # >>> tiempo('amigos3(x, y)') # 0.00 segundos # >>> tiempo('amigos4(x, y)') # 0.00 segundos # >>> tiempo('amigos5(x, y)') # 0.00 segundos |
4. Primos equidistantes
Definir la función
1 |
primosEquidistantes :: Integer -> [(Integer,Integer)] |
tal que primosEquidistantes k
es la lista de los pares de primos cuya diferencia es k
. Por ejemplo,
1 2 3 4 5 |
take 3 (primosEquidistantes 2) == [(3,5),(5,7),(11,13)] take 3 (primosEquidistantes 4) == [(7,11),(13,17),(19,23)] take 3 (primosEquidistantes 6) == [(23,29),(31,37),(47,53)] take 3 (primosEquidistantes 8) == [(89,97),(359,367),(389,397)] primosEquidistantes 4 !! (10^5) == (18467047,18467051) |
4.1. Soluciones en Haskell
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 |
module Primos_equidistantes where import Data.Numbers.Primes (primes) import Test.Hspec (Spec, describe, hspec, it, shouldBe) -- 1ª solución -- =========== primosEquidistantes1 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosEquidistantes1 k = aux primos where aux (x:y:ps) | y - x == k = (x,y) : aux (y:ps) | otherwise = aux (y:ps) -- (primo x) se verifica si x es primo. Por ejemplo, -- primo 7 == True -- primo 8 == False primo :: Integer -> Bool primo x = [y | y <- [1..x], x `rem` y == 0] == [1,x] -- primos es la lista de los números primos. Por ejemplo, -- take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] primos :: [Integer] primos = 2 : [x | x <- [3,5..], primo x] -- 2ª solución -- =========== primosEquidistantes2 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosEquidistantes2 k = aux primos2 where aux (x:y:ps) | y - x == k = (x,y) : aux (y:ps) | otherwise = aux (y:ps) primos2 :: [Integer] primos2 = criba [2..] where criba (p:ps) = p : criba [n | n <- ps, mod n p /= 0] -- 3ª solución -- =========== primosEquidistantes3 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosEquidistantes3 k = [(x,y) | (x,y) <- zip primos2 (tail primos2) , y - x == k] -- 4ª solución -- =========== primosEquidistantes4 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosEquidistantes4 k = aux primes where aux (x:y:ps) | y - x == k = (x,y) : aux (y:ps) | otherwise = aux (y:ps) -- 5ª solución -- =========== primosEquidistantes5 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosEquidistantes5 k = [(x,y) | (x,y) <- zip primes (tail primes) , y - x == k] -- Verificación -- ============ verifica :: IO () verifica = hspec spec specG :: (Integer -> [(Integer,Integer)]) -> Spec specG primosEquidistantes = do it "e1" $ take 3 (primosEquidistantes 2) `shouldBe` [(3,5),(5,7),(11,13)] it "e2" $ take 3 (primosEquidistantes 4) `shouldBe` [(7,11),(13,17),(19,23)] it "e3" $ take 3 (primosEquidistantes 6) `shouldBe` [(23,29),(31,37),(47,53)] it "e4" $ take 3 (primosEquidistantes 8) `shouldBe` [(89,97),(359,367),(389,397)] spec :: Spec spec = do describe "def. 1" $ specG primosEquidistantes1 describe "def. 2" $ specG primosEquidistantes2 describe "def. 3" $ specG primosEquidistantes3 describe "def. 4" $ specG primosEquidistantes4 describe "def. 5" $ specG primosEquidistantes5 -- La verificación es -- λ> verifica -- 20 examples, 0 failures -- Comprobación de equivalencia -- ============================ -- La propiedad es prop_primosEquidistantes :: Int -> Integer -> Bool prop_primosEquidistantes n k = all (== take n (primosEquidistantes1 k)) [take n (f k) | f <- [primosEquidistantes2, primosEquidistantes3, primosEquidistantes4, primosEquidistantes5]] -- La comprobación es -- λ> prop_primosEquidistantes 100 4 -- True -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> primosEquidistantes1 4 !! 200 -- (9829,9833) -- (2.60 secs, 1,126,458,272 bytes) -- λ> primosEquidistantes2 4 !! 200 -- (9829,9833) -- (0.44 secs, 249,622,048 bytes) -- λ> primosEquidistantes3 4 !! 200 -- (9829,9833) -- (0.36 secs, 207,549,592 bytes) -- λ> primosEquidistantes4 4 !! 200 -- (9829,9833) -- (0.02 secs, 4,012,848 bytes) -- λ> primosEquidistantes5 4 !! 200 -- (9829,9833) -- (0.01 secs, 7,085,072 bytes) -- -- λ> primosEquidistantes2 4 !! 600 -- (41617,41621) -- (5.67 secs, 3,340,313,480 bytes) -- λ> primosEquidistantes3 4 !! 600 -- (41617,41621) -- (5.43 secs, 3,090,994,096 bytes) -- λ> primosEquidistantes4 4 !! 600 -- (41617,41621) -- (0.03 secs, 15,465,824 bytes) -- λ> primosEquidistantes5 4 !! 600 -- (41617,41621) -- (0.04 secs, 28,858,232 bytes) -- -- λ> primosEquidistantes4 4 !! (10^5) -- (18467047,18467051) -- (3.99 secs, 9,565,715,488 bytes) -- λ> primosEquidistantes5 4 !! (10^5) -- (18467047,18467051) -- (7.95 secs, 18,712,469,144 bytes) |
4.2. Soluciones en Python
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 |
from itertools import chain, count, islice, tee from timeit import Timer, default_timer from typing import Iterator from sympy import isprime # 1ª solución # =========== # primo(x) se verifica si x es primo. Por ejemplo, # primo(7) == True # primo(8) == False def primo(x: int) -> bool: return [y for y in range(1,x+1) if x % y == 0] == [1,x] # primos() es la lista de los números primos. Por ejemplo, # >>> list(islice(primos(), 10)) # [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29] def primos() -> Iterator[int]: return chain([2], (x for x in count(3, 2) if primo(x))) def primosEquidistantes1(k: int) -> Iterator[tuple[int,int]]: a, b = tee(primos()) next(b, None) return ((x,y) for (x,y) in zip(a, b) if y - x == k) # 2ª solución # =========== def primos2() -> Iterator[int]: return (n for n in count() if isprime(n)) def primosEquidistantes2(k: int) -> Iterator[tuple[int,int]]: a, b = tee(primos2()) next(b, None) return ((x,y) for (x,y) in zip(a, b) if y - x == k) # Verificación # ============ def test_primosEquidestantes() -> None: for primosEquidistantes in [primosEquidistantes1, primosEquidistantes2]: assert list(islice(primosEquidistantes(2), 3)) == \ [(3, 5), (5, 7), (11, 13)] assert list(islice(primosEquidistantes(4), 3)) == \ [(7, 11), (13, 17), (19, 23)] assert list(islice(primosEquidistantes(6), 3)) == \ [(23, 29), (31, 37), (47, 53)] assert list(islice(primosEquidistantes(8), 3)) == \ [(89, 97), (359, 367), (389, 397)] print("Verificado") # La verificación es # >>> test_primosEquidestantes() # Verificado # Comprobación de equivalencia # ============================ # La propiedad es def primosEquidistantes_equiv(n: int, k: int) -> bool: return list(islice(primosEquidistantes1(k), n)) == \ list(islice(primosEquidistantes2(k), n)) # La comprobación es # >>> primosEquidistantes_equiv(100, 4) # True # Comparación de eficiencia # ========================= def tiempo(e: str) -> None: """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e.""" t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1) print(f"{t:0.2f} segundos") # La comparación es # >>> tiempo('list(islice(primosEquidistantes1(4), 300))') # 3.19 segundos # >>> tiempo('list(islice(primosEquidistantes2(4), 300))') # 0.01 segundos |
5. Numeración de las ternas de números naturales
Las ternas de números naturales se pueden ordenar como sigue
1 2 3 4 5 |
(0,0,0), (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0), (0,0,2),(0,1,1),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(2,0,0), (0,0,3),(0,1,2),(0,2,1),(0,3,0),(1,0,2),(1,1,1),(1,2,0),(2,0,1),... ... |
Definir la función
1 |
posicion :: (Int,Int,Int) -> Int |
tal que posicion (x,y,z)
es la posición de la terna de números naturales (x,y,z)
en la ordenación anterior. Por ejemplo,
1 2 3 |
posicion (0,1,0) == 2 posicion (0,0,2) == 4 posicion (0,1,1) == 5 |
Comprobar con QuickCheck que
- la posición de (x,0,0) es x(x²+6x+11)/6
- la posición de (0,y,0) es y(y²+3y+ 8)/6
- la posición de (0,0,z) es z(z²+3z+ 2)/6
- la posición de (x,x,x) es x(9x²+14x+7)/2
5.1. Soluciones en Haskell
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 |
import Data.List (elemIndex) import Data.Maybe (fromJust) import Test.Hspec (Spec, describe, hspec, it, shouldBe) import Test.QuickCheck -- 1ª solución -- =========== posicion1 :: (Int,Int,Int) -> Int posicion1 t = aux 0 ternas where aux n (t':ts) | t' == t = n | otherwise = aux (n+1) ts -- ternas es la lista ordenada de las ternas de números naturales. Por ejemplo, -- λ> take 9 ternas -- [(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(0,1,1),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0)] ternas :: [(Int,Int,Int)] ternas = [(x,y,n-x-y) | n <- [0..], x <- [0..n], y <- [0..n-x]] -- 2ª solución -- =========== posicion2 :: (Int,Int,Int) -> Int posicion2 t = head [n | (n,t') <- zip [0..] ternas, t' == t] -- 3ª solución -- =========== posicion3 :: (Int,Int,Int) -> Int posicion3 t = indice t ternas -- (indice x ys) es el índice de x en ys. Por ejemplo, -- indice 5 [0..] == 5 indice :: Eq a => a -> [a] -> Int indice x ys = length (takeWhile (/= x) ys) -- 4ª solución -- =========== posicion4 :: (Int,Int,Int) -> Int posicion4 t = fromJust (elemIndex t ternas) -- 5ª solución -- =========== posicion5 :: (Int,Int,Int) -> Int posicion5 = fromJust . (`elemIndex` ternas) -- Verificación -- ============ verifica :: IO () verifica = hspec spec specG :: ((Int,Int,Int) -> Int) -> Spec specG posicion = do it "e1" $ posicion (0,1,0) `shouldBe` 2 it "e2" $ posicion (0,0,2) `shouldBe` 4 it "e3" $ posicion (0,1,1) `shouldBe` 5 spec :: Spec spec = do describe "def. 1" $ specG posicion1 describe "def. 2" $ specG posicion2 describe "def. 3" $ specG posicion3 describe "def. 4" $ specG posicion4 describe "def. 5" $ specG posicion5 -- La verificación es -- λ> verifica -- 15 examples, 0 failures -- Equivalencia -- ============ -- La propiedad es prop_posicion_equiv :: NonNegative Int -> NonNegative Int -> NonNegative Int -> Bool prop_posicion_equiv (NonNegative x) (NonNegative y) (NonNegative z) = all (== posicion1 (x,y,z)) [f (x,y,z) | f <- [ posicion2 , posicion3 , posicion4 , posicion5 ]] -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=20}) prop_posicion_equiv -- +++ OK, passed 100 tests. -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> posicion1 (147,46,116) -- 5000000 -- (5.84 secs, 2,621,428,184 bytes) -- λ> posicion2 (147,46,116) -- 5000000 -- (3.63 secs, 2,173,230,200 bytes) -- λ> posicion3 (147,46,116) -- 5000000 -- (2.48 secs, 1,453,229,880 bytes) -- λ> posicion4 (147,46,116) -- 5000000 -- (1.91 secs, 1,173,229,840 bytes) -- λ> posicion5 (147,46,116) -- 5000000 -- (1.94 secs, 1,173,229,960 bytes) -- Propiedades -- =========== -- La 1ª propiedad es prop_posicion1 :: NonNegative Int -> Bool prop_posicion1 (NonNegative x) = posicion5 (x,0,0) == x * (x^2 + 6*x + 11) `div` 6 -- Su comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=20}) prop_posicion1 -- +++ OK, passed 100 tests. -- La 2ª propiedad es prop_posicion2 :: NonNegative Int -> Bool prop_posicion2 (NonNegative y) = posicion5 (0,y,0) == y * (y^2 + 3*y + 8) `div` 6 -- Su comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=20}) prop_posicion2 -- +++ OK, passed 100 tests. -- La 3ª propiedad es prop_posicion3 :: NonNegative Int -> Bool prop_posicion3 (NonNegative z) = posicion5 (0,0,z) == z * (z^2 + 3*z + 2) `div` 6 -- Su comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=20}) prop_posicion3 -- +++ OK, passed 100 tests. -- La 4ª propiedad es prop_posicion4 :: NonNegative Int -> Bool prop_posicion4 (NonNegative x) = posicion5 (x,x,x) == x * (9 * x^2 + 14 * x + 7) `div` 2 -- Su comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=20}) prop_posicion4 -- +++ OK, passed 100 tests. |
5.2. Soluciones en Python
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 |
from itertools import count, islice, takewhile from timeit import Timer, default_timer from typing import Iterator from hypothesis import given from hypothesis import strategies as st # 1ª solución # =========== # ternas es la lista ordenada de las ternas de números naturales. Por ejemplo, # >>> list(islice(ternas(), 9)) # [(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(0,1,1),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0)] def ternas() -> Iterator[tuple[int, int, int]]: return ((x, y, n-x-y) for n in count() for x in range(n+1) for y in range(n-x+1)) def posicion1(t: tuple[int,int,int]) -> int: r = 0 for t1 in ternas(): if t == t1: return r r = r + 1 return -1 # 2ª solución # =========== def posicion2(t: tuple[int,int,int]) -> int: for (n,t1) in enumerate(ternas()): if t1 == t: return n return -1 # 3ª solución # =========== def posicion3(t: tuple[int,int,int]) -> int: return len(list(takewhile(lambda t1 : t1 != t, ternas()))) # Verificación # ============ def test_posicion() -> None: assert list(islice(ternas(), 9)) == \ [(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(0,1,1),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0)] for posicion in [posicion1, posicion2, posicion3]: assert posicion((0,1,0)) == 2 assert posicion((0,0,2)) == 4 assert posicion((0,1,1)) == 5 print("Verificado") # La verificación es # >>> test_posicion() # Verificado # Equivalencia # ============ @given(st.integers(min_value=1, max_value=10), st.integers(min_value=1, max_value=10), st.integers(min_value=1, max_value=10)) def test_posicion_equiv(x: int, y: int, z: int) -> None: r = posicion1((x, y, z)) assert posicion2((x, y, z)) == r assert posicion3((x, y, z)) == r # La comprobación es # >>> test_posicion_equiv() # >>> # Comparación de eficiencia # ========================= def tiempo(e: str) -> None: """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e.""" t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1) print(f"{t:0.2f} segundos") # La comparación es # >>> tiempo('posicion1((147,46,116))') # 0.72 segundos # >>> tiempo('posicion2((147,46,116))') # 0.68 segundos # >>> tiempo('posicion3((147,46,116))') # 0.93 segundos # Propiedades # =========== # La 1ª propiedad es @given(st.integers(min_value=1, max_value=100)) def prop_posicion1(x: int) -> None: assert posicion1((x,0,0)) == x * (x**2 + 6*x + 11) // 6 # Su comprobación es # >>> prop_posicion1() # >>> # La 2ª propiedad es @given(st.integers(min_value=1, max_value=100)) def prop_posicion2(y: int) -> None: assert posicion1((0,y,0)) == y * (y**2 + 3*y + 8) // 6 # Su comprobación es # >>> prop_posicion2() # >>> # La 3ª propiedad es @given(st.integers(min_value=1, max_value=100)) def prop_posicion3(z: int) -> None: assert posicion1((0,0,z)) == z * (z**2 + 3*z + 2) // 6 # Su comprobación es # >>> prop_posicion3() # >>> # La 4ª propiedad es @given(st.integers(min_value=1, max_value=10)) def prop_posicion4(x: int) -> None: assert posicion1((x,x,x)) == x * (9 * x**2 + 14 * x + 7) // 2 # Su comprobación es # >>> prop_posicion4() # >>> |
6. Números triangulares con n cifras distintas
Los números triangulares se forman como sigue
1 2 3 4 |
* * * * * * * * * * 1 3 6 |
La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son
1 2 3 4 5 |
1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 |
Definir la función
1 |
triangularesConCifras :: Int -> [Integer] |
tal que triangularesConCifras n
es la lista de los números triangulares con n
cifras distintas. Por ejemplo,
1 2 3 4 5 |
take 6 (triangularesConCifras 1) == [1,3,6,55,66,666] take 6 (triangularesConCifras 2) == [10,15,21,28,36,45] take 6 (triangularesConCifras 3) == [105,120,136,153,190,210] take 5 (triangularesConCifras 4) == [1035,1275,1326,1378,1485] take 2 (triangularesConCifras 10) == [1062489753,1239845706] |
6.1. Soluciones en Haskell
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 |
import Data.List (nub) import Test.Hspec (Spec, describe, hspec, it, shouldBe) import Test.QuickCheck -- 1ª solución -- =========== triangularesConCifras1 :: Int -> [Integer] triangularesConCifras1 n = [x | x <- triangulares1, nCifras x == n] -- triangulares1 es la lista de los números triangulares. Por ejemplo, -- take 10 triangulares1 == [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55] triangulares1 :: [Integer] triangulares1 = map triangular [1..] triangular :: Integer -> Integer triangular 1 = 1 triangular n = triangular (n-1) + n -- (nCifras x) es el número de cifras distintas del número x. Por -- ejemplo, -- nCifras 325275 == 4 nCifras :: Integer -> Int nCifras = length . nub . show -- 2ª solución -- =========== triangularesConCifras2 :: Int -> [Integer] triangularesConCifras2 n = [x | x <- triangulares2, nCifras x == n] triangulares2 :: [Integer] triangulares2 = [(n*(n+1)) `div` 2 | n <- [1..]] -- 3ª solución -- =========== triangularesConCifras3 :: Int -> [Integer] triangularesConCifras3 n = [x | x <- triangulares3, nCifras x == n] triangulares3 :: [Integer] triangulares3 = 1 : [x+y | (x,y) <- zip [2..] triangulares3] -- 4ª solución -- =========== triangularesConCifras4 :: Int -> [Integer] triangularesConCifras4 n = [x | x <- triangulares4, nCifras x == n] triangulares4 :: [Integer] triangulares4 = 1 : zipWith (+) [2..] triangulares4 -- 5ª solución -- =========== triangularesConCifras5 :: Int -> [Integer] triangularesConCifras5 n = [x | x <- triangulares5, nCifras x == n] triangulares5 :: [Integer] triangulares5 = scanl (+) 1 [2..] -- Verificación -- ============ verifica :: IO () verifica = hspec spec specG :: (Int -> [Integer]) -> Spec specG triangularesConCifras = do it "e1" $ take 6 (triangularesConCifras 1) `shouldBe` [1,3,6,55,66,666] it "e2" $ take 6 (triangularesConCifras 2) `shouldBe` [10,15,21,28,36,45] it "e3" $ take 6 (triangularesConCifras 3) `shouldBe` [105,120,136,153,190,210] it "e4" $ take 5 (triangularesConCifras 4) `shouldBe` [1035,1275,1326,1378,1485] spec :: Spec spec = do describe "def. 1" $ specG triangularesConCifras1 describe "def. 2" $ specG triangularesConCifras2 describe "def. 3" $ specG triangularesConCifras3 describe "def. 4" $ specG triangularesConCifras4 describe "def. 5" $ specG triangularesConCifras5 -- La verificación es -- λ> verifica -- 20 examples, 0 failures -- Comprobación de equivalencia -- ============================ -- La 1ª propiedad es prop_triangularesConCifras1 :: Bool prop_triangularesConCifras1 = [take 2 (triangularesConCifras1 n) | n <- [1..7]] == [take 2 (triangularesConCifras2 n) | n <- [1..7]] -- La comprobación es -- λ> prop_triangularesConCifras1 -- True -- La 2ª propiedad es prop_triangularesConCifras2 :: Int -> Bool prop_triangularesConCifras2 n = all (== take 5 (triangularesConCifras2 n')) [take 5 (triangularesConCifras3 n'), take 5 (triangularesConCifras4 n'), take 5 (triangularesConCifras5 n')] where n' = 1 + n `mod` 9 -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_triangularesConCifras -- +++ OK, passed 100 tests. -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> (triangularesConCifras1 3) !! 220 -- 5456556 -- (2.48 secs, 1,228,690,120 bytes) -- λ> (triangularesConCifras2 3) !! 220 -- 5456556 -- (0.01 secs, 4,667,288 bytes) -- -- λ> (triangularesConCifras2 3) !! 600 -- 500010500055 -- (1.76 secs, 1,659,299,872 bytes) -- λ> (triangularesConCifras3 3) !! 600 -- 500010500055 -- (1.67 secs, 1,603,298,648 bytes) -- λ> (triangularesConCifras4 3) !! 600 -- 500010500055 -- (1.20 secs, 1,507,298,248 bytes) -- λ> (triangularesConCifras5 3) !! 600 -- 500010500055 -- (1.15 secs, 1,507,298,256 bytes) |
6.2. Soluciones en Python
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 |
from itertools import count, islice from sys import setrecursionlimit from timeit import Timer, default_timer from typing import Iterator setrecursionlimit(10**6) # 1ª solución # =========== # triangular(n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo, # triangular(9) == 45 def triangular(n: int) -> int: if n == 1: return 1 return triangular(n-1) + n # triangulares1() es la lista de los números triangulares. Por ejemplo, # >>> list(islice(triangulares1(), 10)) # [1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55] def triangulares1() -> Iterator[int]: return (triangular(n) for n in count(1)) # nCifras(x) es el número de cifras distintas del número x. Por # ejemplo, # nCifras(325275) == 4 def nCifras(x: int) -> int: return len(set(str(x))) def triangularesConCifras1(n: int) -> Iterator[int]: return (x for x in triangulares1() if nCifras(x) == n) # 2ª solución # =========== def triangulares2() -> Iterator[int]: return ((n*(n+1)) // 2 for n in count(1)) def triangularesConCifras2(n: int) -> Iterator[int]: return (x for x in triangulares2() if nCifras(x) == n) # 3ª solución # =========== def triangulares3() -> Iterator[int]: x = 0 for n in count(1): x += n yield x def triangularesConCifras3(n: int) -> Iterator[int]: return (x for x in triangulares3() if nCifras(x) == n) # Verificación # ============ def test_triangularesConCifras() -> None: for triangularesConCifras in [triangularesConCifras1, triangularesConCifras2, triangularesConCifras3]: assert list(islice(triangularesConCifras(1), 6)) == \ [1,3,6,55,66,666] assert list(islice(triangularesConCifras(2), 6)) == \ [10,15,21,28,36,45] assert list(islice(triangularesConCifras(3), 6)) == \ [105,120,136,153,190,210] assert list(islice(triangularesConCifras(4), 5)) == \ [1035,1275,1326,1378,1485] print("Verificado") # La verificación es # >>> test_triangularesConCifras() # Verificado # Comparación de eficiencia # ========================= def tiempo(e: str) -> None: """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e.""" t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1) print(f"{t:0.2f} segundos") # La comparación es # >>> tiempo('list(islice(triangularesConCifras1(3), 300))') # 11.18 segundos # >>> tiempo('list(islice(triangularesConCifras2(3), 300))') # 0.03 segundos # >>> tiempo('list(islice(triangularesConCifras3(3), 300))') # 0.03 segundos # # >>> tiempo('list(islice(triangularesConCifras2(3), 700))') # 2.19 segundos # >>> tiempo('list(islice(triangularesConCifras3(3), 700))') # 2.01 segundos |