Números poligonales y sus propiedades en Haskell
Un número poligonal es aquel que puede ser representado como puntos dispuestos en forma de polígono regular, empezando por el 1. Los primeros números poligonales son los números triangulares, estos se forman a partir de triángulos.
Los siguientes son los números cuadrangulares
Los siguientes son los números pentagonales
Los números triangulares son 1, 3, 6, 10, 15, 21, … Sus diferencias son 2, 3, 4, 5, 6, … Por tanto, se obtienen como sigue
1 = 1
3 = 1+2
6 = 1+2+3
10 = 1+2+3+4
15 = 1+2+3+4+5
21 = 1+2+3+4+5+6
Los números cuadrangulares son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … Sus diferencias son 3, 5, 7, 9, … Por tanto, se obtienen como sigue
1 = 1
4 = 1+3
9 = 1+3+5
16 = 1+3+5+7
25 = 1+3+5+7+9
36 = 1+3+5+7+9+11
49 = 1+3+5+7+9+11+13
Los números pentagonales son 1, 5, 12, 22, 35, … Sus diferencias son 4, 7, 10, 13, … Por tanto, se obtienen como sigue
1 = 1
5 = 1+4
12 = 1+4+7
22 = 1+4+7+10
35 = 1+4+7+10+13
Siguiendo el mismo patrón, las diferencias entre los números hexagonales son 5, 9, 13, 17, … Por tanto, los primeros números hexagonales son
1 = 1
6 = 1+5
15 = 1+5+9
28 = 1+5+9+13
45 = 1+5+9+13+17
Continuando con este patrón se obtienen los número poligonales con k lados. Los siguientes son
k=7 Heptagonal: 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, …
k=8 Octagonal: 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, …
k=9 Nonagonal: 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, …
En la siguiente relación de ejercicios (elaborada para I1M) se muestran distintas definiciones de los números poligonales y algunas de sus propiedades, como el teorema de Fermat, en Haskell.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función -- poligonalR :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (poligonalR k n) es el n-ésimo número poligonal con k -- lados. Por ejemplo, -- [poligonalR 3 n | n <- [1..5]] == [1,3,6,10,15] -- [poligonalR 4 n | n <- [1..5]] == [1,4,9,16,25] -- [poligonalR 5 n | n <- [1..5]] == [1,5,12,22,35] -- [poligonalR 6 n | n <- [1..5]] == [1,6,15,28,45] -- --------------------------------------------------------------------- poligonalR :: Integer -> Integer -> Integer poligonalR _ 1 = 1 poligonalR k n = (1+(k-2)*(n-1)) + poligonalR k (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir, por recursión, la función -- poligonalC :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (poligonalC k n) es el n-ésimo número poligonal con k -- lados. Por ejemplo, -- [poligonalC 3 n | n <- [1..5]] == [1,3,6,10,15] -- [poligonalC 4 n | n <- [1..5]] == [1,4,9,16,25] -- [poligonalC 5 n | n <- [1..5]] == [1,5,12,22,35] -- [poligonalC 6 n | n <- [1..5]] == [1,6,15,28,45] -- --------------------------------------------------------------------- poligonalC :: Integer -> Integer -> Integer poligonalC k n = sum [1+(k-2)*(m-1) | m <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. A partir de la sucesión de los 5 primeros números -- poligonales, para k entre 3 y 9, conjeturar una fórmula para calcular -- el n-ésimo número poligonal con k lados. -- --------------------------------------------------------------------- -- Usando Wolfram Alpha se obtienen las siguientes fórmulas -- k=3 a(n) = n*(n+1)/2 http://wolfr.am/1b3qmaE -- k=4 a(n) = n^2 http://wolfr.am/1fvqPlX -- k=5 a(n) = n*(3*n-1)/2 http://wolfr.am/1llp3uF -- k=6 a(n) = 2*n^2-n http://wolfr.am/1k5nYTD -- k=7 a(n) = (5*n^2-3*n)/2 http://wolfr.am/1aGSjrl -- k=8 a(n) = 3*n^2-2*n http://wolfr.am/1llppRM -- k=9 a(n) = (7*n^2-5*n)/2 http://wolfr.am/1k5oT6w -- En general, -- a(n) = ((k-2)*n^2-(k-4)*n)/2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Comprobar con QuickCheck la fórmula para calcular el -- n-ésimo número poligonal con k lados conjeturada en el ejercicio -- anterior. -- --------------------------------------------------------------------- -- La conjetura es prop_poligonal :: Integer -> Integer -> Property prop_poligonal k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonalR k n == ((k-2)*n^2-(k-4)*n) `div` 2 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_poligonal -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 25. Definir, con la fórmula de ejercicio anterior, la -- función -- poligonal :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (poligonal k n) es el n-ésimo número poligonal con k -- lados. Por ejemplo, -- [poligonal 3 n | n <- [1..5]] == [1,3,6,10,15] -- [poligonal 4 n | n <- [1..5]] == [1,4,9,16,25] -- [poligonal 5 n | n <- [1..5]] == [1,5,12,22,35] -- [poligonal 6 n | n <- [1..5]] == [1,6,15,28,45] -- --------------------------------------------------------------------- poligonal :: Integer -> Integer -> Integer poligonal k n = ((k-2)*n^2-(k-4)*n) `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Comprobar con QuickCheck que las tres definiciones de -- poligonal son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_equivalencia_poligonal :: Integer -> Integer -> Property prop_equivalencia_poligonal k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonalR k n == x && poligonalC k n == x where x = poligonal k n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_equivalencia_poligonal -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Comparar el tiempo y espacio utilizado en los -- siguientes cálculos -- poligonalR 3 100000 -- poligonalC 3 100000 -- poligonal 3 100000 -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> :set +s -- ghci> poligonalR 3 100000 -- 5000050000 -- (0.32 secs, 30522312 bytes) -- ghci> poligonalC 3 100000 -- 5000050000 -- (0.30 secs, 28852176 bytes) -- ghci> poligonal 3 100000 -- 5000050000 -- (0.00 secs, 519272 bytes) -- ghci> :unset +s -- --------------------------------------------------------------------- -- § La sucesión de números poligonales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir, usando triangular, la función -- poligonales1 :: Integer -> [Integer] -- tal que (poligonales1 k) es la lista de los números poligonales de k -- lados. Por ejemplo, -- take 10 (poligonales1 3) == [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55] -- take 10 (poligonales1 4) == [1,4,9,16,25,36,49,64,81,100] -- take 10 (poligonales1 5) == [1,5,12,22,35,51,70,92,117,145] -- --------------------------------------------------------------------- poligonales1 :: Integer -> [Integer] poligonales1 k = [poligonal k n | n <- [1..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir, usando poligonales1, la función -- diferencias1 :: Integer -> [Integer] -- tal que (diferencias1 k) es la lista de las diferencias entre el -- n-ésimo número poligonal y su anterior, para n > 1. Por ejemplo, -- take 5 (diferencias1 3) == [2,3,4,5,6] -- take 5 (diferencias1 4) == [3,5,7,9,11] -- take 5 (diferencias1 5) == [4,7,10,13,16] -- --------------------------------------------------------------------- diferencias1 :: Integer -> [Integer] diferencias1 k = zipWith (-) (tail xs) xs where xs = poligonales1 k -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función -- diferencias :: Integer -> [Integer] -- tal que (diferencias k) es la lista de las diferencias entre el -- n-ésimo número poligonal y su anterior, para n > 1. Por ejemplo, -- take 5 (diferencias 3) == [2,3,4,5,6] -- take 5 (diferencias 4) == [3,5,7,9,11] -- take 5 (diferencias 5) == [4,7,10,13,16] -- --------------------------------------------------------------------- diferencias :: Integer -> [Integer] diferencias k = [k-1,2*k-3..] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir, por recursión, la función -- poligonales2 :: Integer -> [Integer] -- tal que (poligonales2 k) es la lista de los números poligonales de k -- lados. Por ejemplo, -- take 10 (poligonales2 3) == [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55] -- take 10 (poligonales2 4) == [1,4,9,16,25,36,49,64,81,100] -- take 10 (poligonales2 5) == [1,5,12,22,35,51,70,92,117,145] -- --------------------------------------------------------------------- poligonales2 :: Integer -> [Integer] poligonales2 k = 1 : zipWith (+) (diferencias k) (poligonales2 k) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir, usando scanl, la función -- poligonales3 :: Integer -> [Integer] -- tal que (poligonales3 k) es la lista de los números poligonales de k -- lados. Por ejemplo, -- take 10 (poligonales3 3) == [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55] -- take 10 (poligonales3 4) == [1,4,9,16,25,36,49,64,81,100] -- take 10 (poligonales3 5) == [1,5,12,22,35,51,70,92,117,145] -- --------------------------------------------------------------------- poligonales3 :: Integer -> [Integer] poligonales3 k = scanl (+) 1 (diferencias k) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- prop_equivalentes_poligonales :: Integer -> Int -> Bool -- tal que (prop_equivalentes_poligonales k n) se verifica si las tres -- definiciones de poligonales de k lados coinciden para todos los -- números entre 1 y n. -- -- Comprobar si coinciden para los números entre 1 y 1000 y k entre 3 y -- 5. -- --------------------------------------------------------------------- prop_equivalentes_poligonales :: Integer -> Int -> Bool prop_equivalentes_poligonales k n = take n (poligonales2 k) == xs && take n (poligonales3 k) == xs where xs = take n (poligonales1 k) -- La comprobación es -- ghci> prop_equivalentes_poligonales 1000 -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- § Relación entre números poligonales y triangulares -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota 1. En lo que sigue usaremos la siguiente notación -- P(k,n) es el n-ésimo número poligonal de k lados -- T(n) es el n-ésimo número triangular. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- triangular :: Integer -> Integer -- tal que (triangular n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo, -- [triangular n | n <- [1..5]] == [1,3,6,10,15] -- --------------------------------------------------------------------- triangular :: Integer -> Integer triangular = poligonal 3 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Comprobar con QuickCheck que -- P(k,n) = n + (k-2)T(n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_poligonal_triangular1 :: Integer -> Integer -> Property prop_poligonal_triangular1 k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonal k n == n + (k-2) * triangular (n-1) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_poligonal_triangular1 -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Comprobar con QuickCheck que -- P(k+1,n) - P(k,n) = T(n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_poligonal_triangular2 :: Integer -> Integer -> Property prop_poligonal_triangular2 k n = k > 0 && n > 0 ==> poligonal (k+1) n - poligonal k n == triangular (n-1) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_poligonal_triangular2 -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Combinaciones de números poligonales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la función -- interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (interseccion xs ys) es la intersección de las dos listas, -- posiblemente infinitas, ordenadas de menor a mayor xs e ys. Por ejemplo, -- take 5 (interseccion [2,4..] [3,6..]) == [6,12,18,24,30] -- --------------------------------------------------------------------- interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] interseccion [] _ = [] interseccion _ [] = [] interseccion (x:xs) (y:ys) | x == y = x : interseccion xs ys | x < y = interseccion (dropWhile (<y) xs) (y:ys) | otherwise = interseccion (x:xs) (dropWhile (<x) ys) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- poligonalesDobles :: Integer -> Integer -> [Integer] -- tal que (poligonalesDobles s t) es la lista de los números -- poligonales de s lados que también son poligonales de t lados. Por -- ejemplo, -- take 4 (poligonalesDobles 3 4) == [1,36,1225,41616] -- take 4 (poligonalesDobles 3 5) == [1,210,40755,7906276] -- take 4 (poligonalesDobles 3 6) == [1,6,15,28] -- take 4 (poligonalesDobles 4 5) == [1,9801,94109401,903638458801] -- take 4 (poligonalesDobles 4 6) == [1,1225,1413721,1631432881] -- --------------------------------------------------------------------- poligonalesDobles :: Integer -> Integer -> [Integer] poligonalesDobles s t = interseccion (poligonales3 s) (poligonales3 t) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Teorema de Fermat de números poligonales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- sumas :: [Integer] -> Integer -> Integer -> [[Integer]] -- tal que (sumas xs m n) es la lista de las de listas crecientes de, -- como máximo, m elementos de la lista ordenada creciente xs cuya suma -- es n. Por ejemplo, -- ghci> sumas [1..9] 2 7 -- [[1,6],[2,5],[3,4],[7]] -- ghci> sumas [1..9] 3 7 -- [[1,1,5],[1,2,4],[1,3,3],[1,6],[2,2,3],[2,5],[3,4],[7]] -- --------------------------------------------------------------------- sumas :: [Integer] -> Integer -> Integer -> [[Integer]] sumas _ _ 0 = [[]] sumas [] _ _ = [] sumas _ 0 _ = [] sumas (x:xs) m n | x > n = [] | otherwise = [x:ys | ys <- sumas (x:xs) (m-1) (n-x)] ++ sumas xs m n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Definir la función -- descomposicionesPoligonales :: Integer -> Integer -> Integer -> [[Integer]] -- tal que (descomposicionesPoligonales k m n) es la lista crecientes de, -- como máximo m números poligonales de k lados, cuya suma es n. Por -- ejemplo, -- descomposicionesPoligonales 4 4 20 == [[1,1,9,9],[4,16]] -- descomposicionesPoligonales 4 2 20 == [[4,16]] -- --------------------------------------------------------------------- descomposicionesPoligonales :: Integer -> Integer -> Integer -> [[Integer]] descomposicionesPoligonales k m n = sumas (takeWhile (<=n) (poligonales3 k)) m n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir -- gradoPoligonal :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (gradoPoligonal k n) es el menor cantidad de números -- poligonales de k lados cuya suma es n. Por ejemplo, -- gradoPoligonal 3 5 == 3 -- gradoPoligonal 3 7 == 2 -- gradoPoligonal 4 5 == 2 -- gradoPoligonal 4 7 == 4 -- --------------------------------------------------------------------- gradoPoligonal :: Integer -> Integer -> Integer gradoPoligonal k n = minimum [m | m <- [1..n], not (null (descomposicionesPoligonales k m n))] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Calcular el número mínimo de sumandos para expresar -- cualquiera de los 20 primeros números naturales usando números -- poligonales de 3, 4 ó 5 lados, respectivamente. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [gradoPoligonal 3 n | n <- [1..20]] -- [1,2,1,2,3,1,2,3,2,1,2,2,2,3,1,2,3,2,3,2] -- ghci> [gradoPoligonal 4 n | n <- [1..20]] -- [1,2,3,1,2,3,4,2,1,2,3,3,2,3,4,1,2,2,3,2] -- ghci> [gradoPoligonal 5 n | n <- [1..20]] -- [1,2,3,4,1,2,3,4,5,2,3,1,2,3,3,4,2,3,4,4] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. A la vista del cálculo del ejercicio anterior, -- conjeturar la menor cota superior del número mínimo de sumandos para -- expresar cualquiera número natural como suma de números poligonales -- de k lados y comprobar la conjetura con QuickCheck. -- --------------------------------------------------------------------- -- La conjetura es que todos los números naturales se pueden expresar -- como suma de k, o menos, números poligonales de k lados (no -- necesariamente distintos). -- La expresión de la conjetura prop_gradoPoligonal :: Integer -> Integer -> Property prop_gradoPoligonal k n = n >= 0 && k > 2 ==> not (null (descomposicionesPoligonales k k n)) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_gradoPoligonal -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota 1. En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich -- Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la -- suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió -- en su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso -- descubrimiento: "¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ". Posteriormente, Fermat la -- generalizó para todos los números poligonales. -- --------------------------------------------------------------------- |
Fuente
- Wikipedia. Polygonal number.
- Wikipedia. Teorema del número poligonal de Fermat.
Destino
La anterior relación de ejercicios la ha elaborado para
- la asignatura de Informática de 1º del Grado en Matemáticas y
- la ampliación del libro Piensa en Haskell.