Números triangulares y sus propiedades en Haskell
Los números triangulares se forman como sigue
En la siguiente relación de ejercicios (elaborada para I1M) se muestran distintas definiciones de los números triangulares y algunas de sus propiedades en Haskell.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- § Números triangulares -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función -- triangularR :: Integer -> Integer -- tal que (triangularR n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo, -- triangularR 3 == 6 -- triangularR 4 == 10 -- --------------------------------------------------------------------- triangularR :: Integer -> Integer triangularR 1 = 1 triangularR n = n + triangularR (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir, por comprensión, la función -- triangularC :: Integer -> Integer -- tal que (triangularC n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo, -- triangularC 3 == 6 -- triangularC 4 == 10 -- --------------------------------------------------------------------- triangularC :: Integer -> Integer triangularC n = sum [1..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir, mediante una fórmula, la función -- triangular :: Integer -> Integer -- tal que (triangular n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo, -- triangular 3 == 6 -- triangular 4 == 10 -- --------------------------------------------------------------------- triangular :: Integer -> Integer triangular n = n*(n+1) `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Comprobar con QuickCheck que las tres definiciones -- anteriores son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_equivalencia :: Integer -> Property prop_equivalencia n = n > 0 ==> triangular n == triangularR n && triangular n == triangularC n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_equivalencia -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Comparar el tiempo y espacio utilizado en los -- siguientes cálculos -- triangularR 1000000 -- triangularC 1000000 -- triangular 1000000 -- --------------------------------------------------------------------- -- ghci> triangularR 1000000 -- 500000500000 -- (1.80 secs, 173351432 bytes) -- ghci> triangularC 1000000 -- 500000500000 -- (0.79 secs, 140856704 bytes) -- ghci> triangular 1000000 -- 500000500000 -- (0.01 secs, 521392 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Suma de pares de triangulares consecutivos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir, usando triangular, la función -- sumaTriangularesConsecutivos :: Integer -> Integer -- tal que (sumaTriangularesConsecutivos n) es la suma de número -- triangular n-ésimo y su siguiente número triangular. Por ejemplo, -- sumaTriangularesConsecutivos 3 == 16 -- --------------------------------------------------------------------- sumaTriangularesConsecutivos :: Integer -> Integer sumaTriangularesConsecutivos n = triangular n + triangular (n+1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Calcular los valores de (sumaTriangularesConsecutivos n) -- para n entre 1 y 10. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [sumaTriangularesConsecutivos n | n <- [1..10]] -- [4,9,16,25,36,49,64,81,100,121] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. A partir del cálculo del ejercicio anterior conjeturar -- una fórmula para calcular (sumaTriangularesConsecutivos n) y -- comprobarla con QuickCheck. -- --------------------------------------------------------------------- -- La conjetura es que (sumaTriangularesConsecutivos n) = (n+1)^2 conjetura :: Integer -> Property conjetura n = n > 0 ==> sumaTriangularesConsecutivos n == (n+1)^2 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck conjetura -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- § La sucesión de números triangulares -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir, usando triangular, la función -- triangulares1 :: [Integer] -- tal que triangulares1 es la lista de los números triangulares. Por -- ejemplo, -- take 10 triangulares1 == [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55] -- --------------------------------------------------------------------- triangulares1 :: [Integer] triangulares1 = [triangular n | n <- [1..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir, por recursión, la función -- triangulares2 :: [Integer] -- tal que triangulares2 es la lista de los números triangulares. Por -- ejemplo, -- take 10 triangulares2 == [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55] -- --------------------------------------------------------------------- triangulares2 :: [Integer] triangulares2 = 1 : zipWith (+) [2..] triangulares2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir, usando scanl, la función -- triangulares3 :: [Integer] -- tal que triangulares3 es la lista de los números triangulares. Por -- ejemplo, -- take 10 triangulares3 == [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55] -- --------------------------------------------------------------------- triangulares3 :: [Integer] triangulares3 = scanl (+) 1 [2..] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- prop_equivalentes_triangulares :: Int -> Bool -- tal que (prop_equivalentes_triangulares n) se verifica si las tres -- definiciones de triangulares coinciden para todos los números entre 1 -- y n. -- -- Comprobar si coinciden para los números entre 1 y 1000. -- --------------------------------------------------------------------- prop_equivalentes_triangulares :: Int -> Bool prop_equivalentes_triangulares n = take n triangulares2 == xs && take n triangulares3 == xs where xs = take n triangulares1 -- La comprobación es -- ghci> prop_equivalentes_triangulares 1000 -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- § Suma de números triangulares -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir, usando triangulares1, la función -- sumaTriangulares1 :: Integer -> Integer -- tal que (sumaTriangulares1 n) es la suma de los n primeros números -- triangulares. Por ejemplo, -- sumaTriangulares1 5 == 35 -- --------------------------------------------------------------------- sumaTriangulares1 :: Integer -> Integer sumaTriangulares1 n = sum (genericTake n triangulares1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir, usando triangulares1, la función -- sumaTriangulares2 :: Integer -> Integer -- tal que (sumaTriangulares2 n) es la suma de los n primeros números -- triangulares. Por ejemplo, -- sumaTriangulares2 5 == 35 -- --------------------------------------------------------------------- sumaTriangulares2 :: Integer -> Integer sumaTriangulares2 n = sum (genericTake n triangulares2) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir, usando triangulares3, la función -- sumaTriangulares3 :: Integer -> Integer -- tal que (sumaTriangulares3 n) es la suma de los n primeros números -- triangulares. Por ejemplo, -- sumaTriangulares3 5 == 35 -- --------------------------------------------------------------------- sumaTriangulares3 :: Integer -> Integer sumaTriangulares3 n = sum (genericTake n triangulares3) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Comparar el tiempo y espacio utilizado en los -- siguientes cálculos -- sumaTriangulares1 1000000 -- sumaTriangulares2 1000000 -- sumaTriangulares3 1000000 -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> sumaTriangulares1 1000000 -- 166667166667000000 -- (3.57 secs, 480278768 bytes) -- ghci> sumaTriangulares2 1000000 -- 166667166667000000 -- (1.84 secs, 322014636 bytes) -- ghci> sumaTriangulares3 1000000 -- 166667166667000000 -- (1.81 secs, 321983444 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Calcular las sumas de los n primeros números -- triangulares para n entre 1 y 5. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [sumaTriangulares3 n | n <- [1..5]] -- [1,4,10,20,35] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. A partir del cálculo anterior, conjeturar una fórmula -- para calcular la suma de los primeros n números triangulares. -- --------------------------------------------------------------------- -- Usando Wolfram Alpha (como se muestra en http://wolfr.am/MoPMXY ) se -- obtiene que la suma de los primeros n números triangulares es -- n*(n+1)*(n+2)/6 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Comprobar con QuickCheck la conjetura obtenida en el -- ejercicio anterior. -- --------------------------------------------------------------------- -- La conjetura es prop_sumaTriangulares :: Integer -> Property prop_sumaTriangulares n = n > 0 ==> sumaTriangulares3 n == (n*(n+1)*(n+2)) `div` 6 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sumaTriangulares -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Teorema de Gauss -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Definir la función -- sumas :: [Integer] -> Integer -> Integer -> [[Integer]] -- tal que (sumas xs m n) es la lista de las de listas crecientes de, -- como máximo, m elementos de la lista ordenada creciente xs cuya suma -- es n. Por ejemplo, -- ghci> sumas [1..9] 2 7 -- [[1,6],[2,5],[3,4],[7]] -- ghci> sumas [1..9] 3 7 -- [[1,1,5],[1,2,4],[1,3,3],[1,6],[2,2,3],[2,5],[3,4],[7]] -- --------------------------------------------------------------------- sumas :: [Integer] -> Integer -> Integer -> [[Integer]] sumas _ _ 0 = [[]] sumas [] _ _ = [] sumas _ 0 _ = [] sumas (x:xs) m n | x > n = [] | otherwise = [x:ys | ys <- sumas (x:xs) (m-1) (n-x)] ++ sumas xs m n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir la función -- descomposicionesTriangulares :: Integer -> Integer -> [[Integer]] -- tal que (descomposicionesTriangulares m n) es la lista crecientes de, -- como máximo m números triangulares, cuya suma es n. Por ejemplo, -- descomposicionesTriangulares 3 5 == [[1,1,3]] -- descomposicionesTriangulares 3 6 == [[3,3],[6]] -- descomposicionesTriangulares 3 20 == [[10,10]] -- descomposicionesTriangulares 3 12 == [[1,1,10],[3,3,6],[6,6]] -- --------------------------------------------------------------------- descomposicionesTriangulares :: Integer -> Integer -> [[Integer]] descomposicionesTriangulares m n = sumas (takeWhile (<=n) triangulares3) m n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Definir -- gradoTriangular :: Integer -> Integer -- tal que (gradoTriangular n) es el menor cantidad de números -- triangulares cuya suma es n. Por ejemplo, -- gradoTriangular 5 == 3 -- gradoTriangular 6 == 1 -- gradoTriangular 4 == 2 -- --------------------------------------------------------------------- gradoTriangular :: Integer -> Integer gradoTriangular n = minimum [m | m <- [1..n], not (null (descomposicionesTriangulares m n))] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Calcular el número mínimo de sumandos para expresar -- cualquiera de los 20 primeros números naturales. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> [gradoTriangular n | n <- [1..20]] -- [1,2,1,2,3,1,2,3,2,1,2,2,2,3,1,2,3,2,3,2] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. A la vista del cálculo del ejercicio anterior, -- conjeturar la menor cota superior del número mínimo de sumandos para -- expresar cualquiera número natural y comprobar la conjetura con -- QuickCheck. -- --------------------------------------------------------------------- -- La conjetura es que todos los números naturales se pueden expresar -- como suma de tres, o menos, números triangulares (no necesariamente -- distintos). -- La expresión de la conjetura prop_gradoTriangular :: Integer -> Property prop_gradoTriangular n = n >= 0 ==> not (null (descomposicionesTriangulares 3 n)) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_gradoTriangular -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota 1. En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich -- Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la -- suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió -- en su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso -- descubrimiento: "¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ". -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- § Números triangulares de Mersenne -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 25. Definir la función -- esTriangular :: Integer -> Bool -- tal que (esTriangular n) se verifica si n es un número -- triangular. Por ejemplo, -- esTriangular 10 == True -- esTriangular 12 == False -- --------------------------------------------------------------------- esTriangular :: Integer -> Bool esTriangular n = n == head (dropWhile (<n) triangulares3) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 26. Los números números triangulares de Mersenne son los -- números triangulares de la forma 2^b-1. -- -- Definir la función -- triangularesMersenne :: [Integer] -- tal que triangularesMersenne es la lista de los números triangulares -- de Mersenne. Por ejemplo, -- take 3 triangularesMersenne == [1,3,15] -- --------------------------------------------------------------------- triangularesMersenne :: [Integer] triangularesMersenne = [2^b-1 | b <- [0..], esTriangular (2^b-1)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 27. Calcular la lista de los números triangulares de -- Mersenne. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> triangularesMersenne -- [1,3,15,4095 C-c C-c Interrupted. -- He abortado el cálculo, porque pasaba tiempo sin encontrar ningún -- nuevo número. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 28. A la vista del cálculo anterior, conjeturar cuál es el -- mayor número triangular de Mersenne y comprobarla con QuickCheck. -- --------------------------------------------------------------------- -- La conjetura es que el mayor número triangular de Mersenne es -- 4095. Puesto que 4095 = 2^12-1, la expresión de la conjetura es para -- los exponentes entre 13 y n es prop_triangularMersenne :: Integer -> Bool prop_triangularMersenne n = and [not (esTriangular (2^b-1)) | b <- [13..n]] -- La comprobación para n = 40 es -- ghci> prop_triangularMersenne 40 -- True |
Fuente
- Wikipedia. Número triangular.
- Wikipedia. Números triangulares de Mersenne.
Destino
La anterior relación de ejercicios la ha elaborado para
- la asignatura de Informática de 1º del Grado en Matemáticas y
- la ampliación del libro Piensa en Haskell.