30 septiembre 2020 – Vestigium

ForMatUS: Pruebas en Lean de ¬P → Q, ¬Q ⊢ P

PorJosé A. Alonso 30 septiembre 202020 diciembre 2020

He añadido a la lista Lógica con Lean el vídeo en el que se comentan pruebas en Lean de

¬P → Q, ¬Q ⊢ P

1	¬P → Q, ¬Q ⊢ P

usando los estilos declarativos, aplicativos, funcional y automático.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

-- ----------------------------------------------------
-- Ej. 1. (p. 7) Demostrar
--    ¬P → Q, ¬Q ⊢ P
-- ----------------------------------------------------

import tactic

variables (P Q : Prop)

open_locale classical

-- 1ª demostración
example
  (h1 : ¬P → Q)
  (h2 : ¬Q)
  : P :=
have h3 : ¬¬P, from mt h1 h2,
show P,        from not_not.mp h3

-- 2ª demostración
example
  (h1 : ¬P → Q)
  (h2 : ¬Q)
  : P :=
not_not.mp (mt h1 h2)

-- 3ª demostración
example
  (h1 : ¬P → Q)
  (h2 : ¬Q)
  : P :=
begin
  by_contra h3,
  apply h2,
  exact h1 h3,
end

-- 4ª demostración
example
  (h1 : ¬P → Q)
  (h2 : ¬Q)
  : P :=
begin
  by_contra h3,
  exact h2 (h1 h3),
end

-- 5ª demostración
example
  (h1 : ¬P → Q)
  (h2 : ¬Q)
  : P :=
by_contra (λ h3, h2 (h1 h3))

-- 6ª demostración
example
  (h1 : ¬P → Q)
  (h2 : ¬Q)
  : P :=
by_contra (λ h3, (h2 ∘ h1) h3)

-- 7ª demostración
example
  (h1 : ¬P → Q)
  (h2 : ¬Q)
  : P :=
by_contra (h2 ∘ h1)

-- 8ª demostración
example
  (h1 : ¬P → Q)
  (h2 : ¬Q)
  : P :=
-- by library_search
not_not.mp (mt h1 h2)

-- 9ª demostración
example
  (h1 : ¬P → Q)
  (h2 : ¬Q)
  : P :=
-- by hint
by tauto

-- 10ª demostración
lemma aux
  (h1 : ¬P → Q)
  (h2 : ¬Q)
  : P :=
-- by hint
by finish

-- #print axioms aux

-- ----------------------------------------------------

-- Ej. 1. (p. 7) Demostrar

-- ¬P → Q, ¬Q ⊢ P

-- ----------------------------------------------------

import tactic

variables (P Q : Prop)

open_locale classical

-- 1ª demostración

example

(h1 : ¬P → Q)

(h2 : ¬Q)

: P :=

have h3 : ¬¬P, from mt h1 h2,

show P, from not_not.mp h3

-- 2ª demostración

example

(h1 : ¬P → Q)

(h2 : ¬Q)

: P :=

not_not.mp (mt h1 h2)

-- 3ª demostración

example

(h1 : ¬P → Q)

(h2 : ¬Q)

: P :=

begin

by_contra h3,

apply h2,

exact h1 h3,

end

-- 4ª demostración

example

(h1 : ¬P → Q)

(h2 : ¬Q)

: P :=

begin

by_contra h3,

exact h2 (h1 h3),

end

-- 5ª demostración

example

(h1 : ¬P → Q)

(h2 : ¬Q)

: P :=

by_contra (λ h3, h2 (h1 h3))

-- 6ª demostración

example

(h1 : ¬P → Q)

(h2 : ¬Q)

: P :=

by_contra (λ h3, (h2 ∘ h1) h3)

-- 7ª demostración

example

(h1 : ¬P → Q)

(h2 : ¬Q)

: P :=

by_contra (h2 ∘ h1)

-- 8ª demostración

example

(h1 : ¬P → Q)

(h2 : ¬Q)

: P :=

-- by library_search

not_not.mp (mt h1 h2)

-- 9ª demostración

example

(h1 : ¬P → Q)

(h2 : ¬Q)

: P :=

-- by hint

by tauto

-- 10ª demostración

lemma aux

(h1 : ¬P → Q)

(h2 : ¬Q)

: P :=

-- by hint

by finish

-- #print axioms aux

ForMatUS: Pruebas en Lean de P, ¬¬(Q ∧ R) ⊢ ¬¬P ∧ R

PorJosé A. Alonso 30 septiembre 202020 diciembre 2020

He añadido a la lista Lógica con Lean el vídeo en el que se comentan 8 pruebas en Lean de la propiedad en Lean de

P, ¬¬(Q ∧ R) ⊢ ¬¬P ∧ R

1	P, ¬¬(Q ∧ R) ⊢ ¬¬P ∧ R

usando los estilos declarativos, aplicativos, funcional y automático.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

-- ----------------------------------------------------
-- Ej. 1. (p. 5) Demostrar
--    P, ¬¬(Q ∧ R) ⊢ ¬¬P ∧ R
-- ----------------------------------------------------

import tactic

variables (P Q R : Prop)

open_locale classical

-- 1ª demostración
example
  (h1 : P)
  (h2 : ¬¬(Q ∧ R))
  : ¬¬P ∧ R :=
have h3 : ¬¬P,   from not_not_intro h1,
have h4 : Q ∧ R, from not_not.mp h2,
have h5 : R,     from and.elim_right h4,
show ¬¬P ∧ R,    from and.intro h3 h5

-- 2ª demostración
example
  (h1 : P)
  (h2 : ¬¬(Q ∧ R))
  : ¬¬P ∧ R :=
have h3 : ¬¬P,   from not_not_intro h1,
have h4 : Q ∧ R, from not_not.mp h2,
have h5 : R,     from and.elim_right h4,
and.intro h3 h5

-- 3ª demostración
example
  (h1 : P)
  (h2 : ¬¬(Q ∧ R))
  : ¬¬P ∧ R :=
have h3 : ¬¬P,   from not_not_intro h1,
have h4 : Q ∧ R, from not_not.mp h2,
have h5 : R,     from h4.2,
and.intro h3 h5

-- 5ª demostración
example
  (h1 : P)
  (h2 : ¬¬(Q ∧ R))
  : ¬¬P ∧ R :=
and.intro (not_not_intro h1) (not_not.mp h2).2

-- 6ª demostración
example
  (h1 : P)
  (h2 : ¬¬(Q ∧ R))
  : ¬¬P ∧ R :=
begin
  split,
  { exact not_not_intro h1, },
  { push_neg at h2,
    exact h2.2, },
end

-- 7ª demostración
example
  (h1 : P)
  (h2 : ¬¬(Q ∧ R))
  : ¬¬P ∧ R :=
-- by hint
by tauto

-- 8ª demostración
lemma aux
  (h1 : P)
  (h2 : ¬¬(Q ∧ R))
  : ¬¬P ∧ R :=
by finish

-- #print axioms aux

-- ----------------------------------------------------

-- Ej. 1. (p. 5) Demostrar

-- P, ¬¬(Q ∧ R) ⊢ ¬¬P ∧ R

-- ----------------------------------------------------

import tactic

variables (P Q R : Prop)

open_locale classical

-- 1ª demostración

example

(h1 : P)

(h2 : ¬¬(Q ∧ R))

: ¬¬P ∧ R :=

have h3 : ¬¬P, from not_not_intro h1,

have h4 : Q ∧ R, from not_not.mp h2,

have h5 : R, from and.elim_right h4,

show ¬¬P ∧ R, from and.intro h3 h5

-- 2ª demostración

example

(h1 : P)

(h2 : ¬¬(Q ∧ R))

: ¬¬P ∧ R :=

have h3 : ¬¬P, from not_not_intro h1,

have h4 : Q ∧ R, from not_not.mp h2,

have h5 : R, from and.elim_right h4,

and.intro h3 h5

-- 3ª demostración

example

(h1 : P)

(h2 : ¬¬(Q ∧ R))

: ¬¬P ∧ R :=

have h3 : ¬¬P, from not_not_intro h1,

have h4 : Q ∧ R, from not_not.mp h2,

have h5 : R, from h4.2,

and.intro h3 h5

-- 5ª demostración

example

(h1 : P)

(h2 : ¬¬(Q ∧ R))

: ¬¬P ∧ R :=

and.intro (not_not_intro h1) (not_not.mp h2).2

-- 6ª demostración

example

(h1 : P)

(h2 : ¬¬(Q ∧ R))

: ¬¬P ∧ R :=

begin

split,

{ exact not_not_intro h1, },

{ push_neg at h2,

exact h2.2, },

end

-- 7ª demostración

example

(h1 : P)

(h2 : ¬¬(Q ∧ R))

: ¬¬P ∧ R :=

-- by hint

by tauto

-- 8ª demostración

lemma aux

(h1 : P)

(h2 : ¬¬(Q ∧ R))

: ¬¬P ∧ R :=

by finish

-- #print axioms aux

ForMatUS: Pruebas en Lean de P → Q ⊢ ¬P ∨ Q

PorJosé A. Alonso 30 septiembre 202020 diciembre 2020

He añadido a la lista Lógica con Lean el vídeo en el que se comentan 13 pruebas en Lean de la propiedad

P → Q ⊢ ¬P ∨ Q

1	P → Q ⊢ ¬P ∨ Q

usando los estilos declarativos, aplicativos, funcional y automático.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

-- ----------------------------------------------------
-- Ej. 1. (p. 24) Demostrar
--    P → Q ⊢ ¬P ∨ Q
-- ----------------------------------------------------

import tactic

variables (P Q : Prop)

open_locale classical

-- 1ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
have h2 : P ∨ ¬P,
  from em P,
or.elim h2
  ( assume h3 : P,
    have h4 : Q,
      from h1 h3,
    show ¬P ∨ Q,
      from or.inr h4)
  ( assume h5 : ¬P,
    show ¬P ∨ Q,
      from or.inl h5)

-- 2ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
have h2 : P ∨ ¬P,
  from em P,
or.elim h2
  ( assume h3 : P,
    have h4 : Q,
      from h1 h3,
    show ¬P ∨ Q,
      from or.inr h4)
  ( assume h5 : ¬P,
    or.inl h5)

-- 3ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
have h2 : P ∨ ¬P,
  from em P,
or.elim h2
  ( assume h3 : P,
    have h4 : Q,
      from h1 h3,
    show ¬P ∨ Q,
      from or.inr h4)
  ( λ h5, or.inl h5)

-- 4ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
have h2 : P ∨ ¬P,
  from em P,
or.elim h2
  ( assume h3 : P,
    have h4 : Q,
      from h1 h3,
    or.inr h4)
  ( λ h5, or.inl h5)

-- 5ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
have h2 : P ∨ ¬P,
  from em P,
or.elim h2
  ( assume h3 : P,
    or.inr (h1 h3))
  ( λ h5, or.inl h5)

-- 6ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
have h2 : P ∨ ¬P,
  from em P,
or.elim h2
  ( λ h3, or.inr (h1 h3))
  ( λ h5, or.inl h5)

-- 7ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
or.elim (em P)
  ( λ h3, or.inr (h1 h3))
  ( λ h5, or.inl h5)

example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
(em P).elim
  ( λ h3, or.inr (h1 h3))
  ( λ h5, or.inl h5)

-- 8ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
-- by library_search
not_or_of_imp h1

-- 9ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
if h3 : P then or.inr (h1 h3) else or.inl h3

-- 10ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
begin
  by_cases h2 : P,
  { apply or.inr,
    exact h1 h2, },
  { exact or.inl h2, },
end

-- 11ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
begin
  by_cases h2 : P,
  { exact or.inr (h1 h2), },
  { exact or.inl h2, },
end

-- 12ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
begin
  by_cases h2 : P,
  { right,
    exact h1 h2, },
  { left,
    exact h2, },
end

-- 13ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
-- by hint
by tauto

-- 14ª demostración
example
  (h1 : P → Q)
  : ¬P ∨ Q :=
-- by hint
by finish

100

101

102

103

104

105

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150

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154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

-- ----------------------------------------------------

-- Ej. 1. (p. 24) Demostrar

-- P → Q ⊢ ¬P ∨ Q

-- ----------------------------------------------------

import tactic

variables (P Q : Prop)

open_locale classical

-- 1ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

have h2 : P ∨ ¬P,

from em P,

or.elim h2

( assume h3 : P,

have h4 : Q,

from h1 h3,

show ¬P ∨ Q,

from or.inr h4)

( assume h5 : ¬P,

show ¬P ∨ Q,

from or.inl h5)

-- 2ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

have h2 : P ∨ ¬P,

from em P,

or.elim h2

( assume h3 : P,

have h4 : Q,

from h1 h3,

show ¬P ∨ Q,

from or.inr h4)

( assume h5 : ¬P,

or.inl h5)

-- 3ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

have h2 : P ∨ ¬P,

from em P,

or.elim h2

( assume h3 : P,

have h4 : Q,

from h1 h3,

show ¬P ∨ Q,

from or.inr h4)

( λ h5, or.inl h5)

-- 4ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

have h2 : P ∨ ¬P,

from em P,

or.elim h2

( assume h3 : P,

have h4 : Q,

from h1 h3,

or.inr h4)

( λ h5, or.inl h5)

-- 5ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

have h2 : P ∨ ¬P,

from em P,

or.elim h2

( assume h3 : P,

or.inr (h1 h3))

( λ h5, or.inl h5)

-- 6ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

have h2 : P ∨ ¬P,

from em P,

or.elim h2

( λ h3, or.inr (h1 h3))

( λ h5, or.inl h5)

-- 7ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

or.elim (em P)

( λ h3, or.inr (h1 h3))

( λ h5, or.inl h5)

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

(em P).elim

( λ h3, or.inr (h1 h3))

( λ h5, or.inl h5)

-- 8ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

-- by library_search

not_or_of_imp h1

-- 9ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

if h3 : P then or.inr (h1 h3) else or.inl h3

-- 10ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

begin

by_cases h2 : P,

{ apply or.inr,

exact h1 h2, },

{ exact or.inl h2, },

end

-- 11ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

begin

by_cases h2 : P,

{ exact or.inr (h1 h2), },

{ exact or.inl h2, },

end

-- 12ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

begin

by_cases h2 : P,

{ right,

exact h1 h2, },

{ left,

exact h2, },

end

-- 13ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

-- by hint

by tauto

-- 14ª demostración

example

(h1 : P → Q)

: ¬P ∨ Q :=

-- by hint

by finish