tail

Números primos de Hilbert

PorJosé A. Alonso 4-febrero-20161-mayo-2016

Un número de Hilbert es un entero positivo de la forma 4n+1. Los primeros números de Hilbert son 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, …

Un primo de Hilbert es un número de Hilbert n que no es divisible por ningún número de Hilbert menor que n (salvo el 1). Los primeros primos de Hilbert son 5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61, 69, 73, 77, 89, 93, 97, 101, 109, 113, 121, 129, 133, 137, …

Definir la sucesión

   primosH :: [Integer]

1	primosH :: [Integer]

tal que sus elementos son los primos de Hilbert. Por ejemplo,

   take 15 primosH  == [5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,53,57,61,69,73]
   primosH !! 20000 == 203221

1 2	take 15 primosH == [5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,53,57,61,69,73] primosH !! 20000 == 203221

Soluciones

-- 1ª definición
-- =============

-- numerosH es la sucesión de los números de Hilbert. Por ejemplo,
--    take 15 numerosH  ==  [1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,53,57]
numerosH :: [Integer]
numerosH = [1,5..]

-- (divisoresH n) es la lista de los números de Hilbert que dividen a
-- n. Por ejemplo,
--   divisoresH 117  ==  [1,9,13,117]
--   divisoresH  21  ==  [1,21]
divisoresH :: Integer -> [Integer]
divisoresH n = [x | x <- takeWhile (<=n) numerosH,
                    n `mod` x == 0]

primosH1 :: [Integer]
primosH1 = [n | n <- tail numerosH,
                divisoresH n == [1,n]]

-- 2ª definición
-- =============

primosH2 :: [Integer]
primosH2 = filter esPrimoH (tail numerosH) 
    where esPrimoH n = all noDivideAn [5,9..m]
              where noDivideAn x = n `mod` x /= 0
                    m            = ceiling (sqrt (fromIntegral n))

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> primosH1 !! 2000
--    16957
--    (6.93 secs, 750,291,352 bytes)
--    λ> primosH2 !! 2000
--    16957
--    (0.13 secs, 18,066,288 bytes)

-- 1ª definición

-- =============

-- numerosH es la sucesión de los números de Hilbert. Por ejemplo,

-- take 15 numerosH == [1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,53,57]

numerosH :: [Integer]

numerosH = [1,5..]

-- (divisoresH n) es la lista de los números de Hilbert que dividen a

-- n. Por ejemplo,

-- divisoresH 117 == [1,9,13,117]

-- divisoresH 21 == [1,21]

divisoresH :: Integer -> [Integer]

divisoresH n = [x | x <- takeWhile (<=n) numerosH,

n `mod` x == 0]

primosH1 :: [Integer]

primosH1 = [n | n <- tail numerosH,

divisoresH n == [1,n]]

-- 2ª definición

-- =============

primosH2 :: [Integer]

primosH2 = filter esPrimoH (tail numerosH)

where esPrimoH n = all noDivideAn [5,9..m]

where noDivideAn x = n `mod` x /= 0

m = ceiling (sqrt (fromIntegral n))

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> primosH1 !! 2000

-- 16957

-- (6.93 secs, 750,291,352 bytes)

-- λ> primosH2 !! 2000

-- 16957

-- (0.13 secs, 18,066,288 bytes)

Cambios de signo

PorJosé A. Alonso 12-enero-201620-enero-2016

En una lista xs se produce un cambio de signo por cada elemento x de la lista junto el primero de los elementos de xs con signo opuesto al de x. Por ejemplo,en la lista [6,5,-4,0,-2,-7,0,-8,-1,4] hay 2 cambios de signo (entre (5,-4) y (-1,4)) y en la lista [6,5,-4,0, 2,-7,0,-8,-1,4] hay 4 cambios de signo (entre (5,-4), (-4,2), (2,-7) y(-1,4)).

Definir la función

   nCambios :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int

1	nCambios :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int

tal que (nCambios xs) es el número de cambios de signos de la lista xs. Por ejemplo,

   nCambios []                          ==  0
   nCambios [6,5,-4,0,-2,-7,0,-8,-1,4]  ==  2
   nCambios [6,5,-4,0, 2,-7,0,-8,-1,4]  ==  4

nCambios [] == 0

nCambios [6,5,-4,0,-2,-7,0,-8,-1,4] == 2

nCambios [6,5,-4,0, 2,-7,0,-8,-1,4] == 4

Soluciones

import Data.List (group)

-- 1ª definición
nCambios1 :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int
nCambios1 = length . cambios

-- (cambios xs) es la lista de los pares de elementos de xs entre los
-- que se producen cambios de signo. Por ejemplo,
--    cambios [6,5,-4,0,-2,-7,0,-8,-1,4]  ==  [(5,-4),(-1,4)]
--    cambios [6,5,-4,0, 2,-7,0,-8,-1,4]  ==  [(5,-4),(-4,2),(2,-7),(-1,4)]
cambios :: (Num a, Ord a) => [a] -> [(a,a)]
cambios xs =
    [(x,y) | (x,y) <- zip ys (tail ys), x*y < 0]
    where ys = filter (/=0) xs

-- 2ª definición
nCambios2 :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int
nCambios2 [] = 0
nCambios2 xs = length (group (filter (/=0) (map signum xs))) - 1

-- 3ª definición
nCambios3 :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int
nCambios3 = pred . length . group . filter (/=0) . map signum

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> nCambios1 (take (2*10^6) (cycle [3,0,-3]))
--    1333332
--    (3.84 secs, 679,805,392 bytes)
--    λ> nCambios2 (take (2*10^6) (cycle [3,0,-3]))
--    1333332
--    (0.98 secs, 694,247,368 bytes)
--    λ> nCambios3 (take (2*10^6) (cycle [3,0,-3]))
--    1333332
--    (0.95 secs, 708,118,976 bytes)

import Data.List (group)

-- 1ª definición

nCambios1 :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int

nCambios1 = length . cambios

-- (cambios xs) es la lista de los pares de elementos de xs entre los

-- que se producen cambios de signo. Por ejemplo,

-- cambios [6,5,-4,0,-2,-7,0,-8,-1,4] == [(5,-4),(-1,4)]

-- cambios [6,5,-4,0, 2,-7,0,-8,-1,4] == [(5,-4),(-4,2),(2,-7),(-1,4)]

cambios :: (Num a, Ord a) => [a] -> [(a,a)]

cambios xs =

[(x,y) | (x,y) <- zip ys (tail ys), x*y < 0]

where ys = filter (/=0) xs

-- 2ª definición

nCambios2 :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int

nCambios2 [] = 0

nCambios2 xs = length (group (filter (/=0) (map signum xs))) - 1

-- 3ª definición

nCambios3 :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int

nCambios3 = pred . length . group . filter (/=0) . map signum

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> nCambios1 (take (2*10^6) (cycle [3,0,-3]))

-- 1333332

-- (3.84 secs, 679,805,392 bytes)

-- λ> nCambios2 (take (2*10^6) (cycle [3,0,-3]))

-- 1333332

-- (0.98 secs, 694,247,368 bytes)

-- λ> nCambios3 (take (2*10^6) (cycle [3,0,-3]))

-- 1333332

-- (0.95 secs, 708,118,976 bytes)

Puntos en una región

PorJosé A. Alonso 5-enero-20161-mayo-2016

Definir la función

   puntos :: Integer -> [(Integer,Integer)]

1	puntos :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (puntos n) es la lista de los puntos (x,y) con coordenadas enteras de
la cuadrícula [1..n]x[1..n] (es decir, 1 ≤ x,y ≤ n) tales que |x²-xy-y²| = 1. Por ejemplo,

   length (puntos 10)          ==  5
   length (puntos 100)         ==  10
   length (puntos 1000)        ==  15
   length (puntos (10^50000))  ==  239249

length (puntos 10) == 5

length (puntos 100) == 10

length (puntos 1000) == 15

length (puntos (10^50000)) == 239249

Soluciones

-- 1ª definición
-- =============

puntos1 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
puntos1 n =
    [(x,y) | x <- [1..n],
             y <- [1..n],
             abs (x^2-x*y-y^2) == 1] 

-- 2ª definición
-- =============

-- Calculando algunos elementos
--    λ> puntos1 10
--    [(1,1),(2,1),(3,2),(5,3),(8,5)]
--    λ> puntos1 20
--    [(1,1),(2,1),(3,2),(5,3),(8,5),(13,8)]
--    λ> puntos1 100
--    [(1,1),(2,1),(3,2),(5,3),(8,5),(13,8),(21,13),(34,21),(55,34),(89,55)]
--    λ> puntos1 89
--    [(1,1),(2,1),(3,2),(5,3),(8,5),(13,8),(21,13),(34,21),(55,34),(89,55)]
-- se observa una ley de construcción de cada elemento a partir del anterior.

puntos2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
puntos2 n = takeWhile menor (iterate siguiente (1,1))
    where siguiente (x,y) = (x+y,x)
          menor (x,y)     = x <= n

-- 3ª definición
-- =============

-- Se observa que la lista de las segundas componentes
--    1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...
-- y la lista de las primeras componentes es el resto de la segunda. 

puntos3 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
puntos3 n = zip (tail xs) xs
    where xs = takeWhile (<=n) fibonacci

-- fibonacci es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,
--    take 11 fibonacci  ==  [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89]
fibonacci :: [Integer]
fibonacci = 1 : 1 : zipWith (+) fibonacci (tail fibonacci)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- λ> length (puntos1 (10^3))
-- 15
-- (7.96 secs, 1,092,368,200 bytes)
-- λ> length (puntos2 (10^3))
-- 15
-- (0.02 secs, 0 bytes)
-- 
-- λ> length (puntos2 (10^30000))
-- 143549
-- (1.14 secs, 974,239,544 bytes)
-- λ> length (puntos3 (10^30000))
-- 143549
-- (3.28 secs, 967,206,560 bytes)

-- 1ª definición

-- =============

puntos1 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

puntos1 n =

[(x,y) | x <- [1..n],

y <- [1..n],

abs (x^2-x*y-y^2) == 1]

-- 2ª definición

-- =============

-- Calculando algunos elementos

-- λ> puntos1 10

-- [(1,1),(2,1),(3,2),(5,3),(8,5)]

-- λ> puntos1 20

-- [(1,1),(2,1),(3,2),(5,3),(8,5),(13,8)]

-- λ> puntos1 100

-- [(1,1),(2,1),(3,2),(5,3),(8,5),(13,8),(21,13),(34,21),(55,34),(89,55)]

-- λ> puntos1 89

-- [(1,1),(2,1),(3,2),(5,3),(8,5),(13,8),(21,13),(34,21),(55,34),(89,55)]

-- se observa una ley de construcción de cada elemento a partir del anterior.

puntos2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

puntos2 n = takeWhile menor (iterate siguiente (1,1))

where siguiente (x,y) = (x+y,x)

menor (x,y) = x <= n

-- 3ª definición

-- =============

-- Se observa que la lista de las segundas componentes

-- 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...

-- y la lista de las primeras componentes es el resto de la segunda.

puntos3 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

puntos3 n = zip (tail xs) xs

where xs = takeWhile (<=n) fibonacci

-- fibonacci es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,

-- take 11 fibonacci == [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89]

fibonacci :: [Integer]

fibonacci = 1 : 1 : zipWith (+) fibonacci (tail fibonacci)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> length (puntos1 (10^3))

-- 15

-- (7.96 secs, 1,092,368,200 bytes)

-- λ> length (puntos2 (10^3))

-- 15

-- (0.02 secs, 0 bytes)

-- λ> length (puntos2 (10^30000))

-- 143549

-- (1.14 secs, 974,239,544 bytes)

-- λ> length (puntos3 (10^30000))

-- 143549

-- (3.28 secs, 967,206,560 bytes)

Suma con redondeos

PorJosé A. Alonso 1-enero-20167-enero-2016

Definir las funciones

   sumaRedondeos       :: Integer -> [Integer]
   limiteSumaRedondeos :: Integer -> Integer

1 2	sumaRedondeos :: Integer -> [Integer] limiteSumaRedondeos :: Integer -> Integer

tales que

(sumaRedondeos n) es la sucesión cuyo k-ésimo término es

     redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + ... + redondeo (n/2^k)

1	redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + ... + redondeo (n/2^k)

Por ejemplo,

     take 5 (sumaRedondeos 1000)  ==  [500,750,875,937,968]

1	take 5 (sumaRedondeos 1000) == [500,750,875,937,968]

(limiteSumaRedondeos n) es la suma de la serie

     redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + redondeo (n/8) + ...

1	redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + redondeo (n/8) + ...

Por ejemplo,

     limiteSumaRedondeos 2000                    ==  1999
     limiteSumaRedondeos 2016                    ==  2016
     limiteSumaRedondeos (10^308) `mod` (10^10)  ==  123839487

limiteSumaRedondeos 2000 == 1999

limiteSumaRedondeos 2016 == 2016

limiteSumaRedondeos (10^308) `mod` (10^10) == 123839487

Soluciones

-- 1ª definición
-- =============

sumaRedondeos1 :: Integer -> [Integer]
sumaRedondeos1 n =
    [sum [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]] | m <- [1..]]
    where n' = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos1 :: Integer -> Integer
limiteSumaRedondeos1 = limite . sumaRedondeos1

limite :: [Integer] -> Integer
limite xs = head [x | (x,y) <- zip xs (tail xs), x == y]

-- 2ª definición
sumaRedondeos2 :: Integer -> [Integer]
sumaRedondeos2 n =
    scanl1 (+) [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..]]
    where n' = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos2 :: Integer -> Integer
limiteSumaRedondeos2 = limite . sumaRedondeos2

-- 3ª definición
sumaRedondeos3 :: Integer -> [Integer]
sumaRedondeos3 n = map fst (iterate f (round (n'/2),4))
    where f (s,d) = (s + round (n'/(fromIntegral d)), 2*d)
          n'      = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos3 :: Integer -> Integer
limiteSumaRedondeos3 = limite . sumaRedondeos3

-- 4ª definición
sumaRedondeos4 :: Integer -> [Integer]
sumaRedondeos4 n = xs ++ repeat x
    where n' = fromIntegral n
          m  = round (logBase 2 n')
          xs = scanl1 (+) [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]]
          x  = last xs

limiteSumaRedondeos4 :: Integer -> Integer
limiteSumaRedondeos4 = limite . sumaRedondeos4

-- Comparación de eficiencia
--    λ> (sumaRedondeos1 4) !! 20000
--    3
--    (0.92 secs, 197,782,232 bytes)
--    λ> (sumaRedondeos1 4) !! 30000
--    3
--    (2.20 secs, 351,084,816 bytes)
--    λ> (sumaRedondeos3 4) !! 20000
--    3
--    (0.30 secs, 53,472,392 bytes)
--    λ> (sumaRedondeos4 4) !! 20000
--    3
--    (0.01 secs, 0 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos la 3ª definición
sumaRedondeos :: Integer -> [Integer]
sumaRedondeos = sumaRedondeos3

-- 5ª definición
-- =============

limiteSumaRedondeos5 :: Integer -> Integer
limiteSumaRedondeos5 n = 
    sum [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]]
    where n' = fromIntegral n
          m  = round (logBase 2 n')

-- 1ª definición

-- =============

sumaRedondeos1 :: Integer -> [Integer]

sumaRedondeos1 n =

[sum [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]] | m <- [1..]]

where n' = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos1 :: Integer -> Integer

limiteSumaRedondeos1 = limite . sumaRedondeos1

limite :: [Integer] -> Integer

limite xs = head [x | (x,y) <- zip xs (tail xs), x == y]

-- 2ª definición

sumaRedondeos2 :: Integer -> [Integer]

sumaRedondeos2 n =

scanl1 (+) [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..]]

where n' = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos2 :: Integer -> Integer

limiteSumaRedondeos2 = limite . sumaRedondeos2

-- 3ª definición

sumaRedondeos3 :: Integer -> [Integer]

sumaRedondeos3 n = map fst (iterate f (round (n'/2),4))

where f (s,d) = (s + round (n'/(fromIntegral d)), 2*d)

n' = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos3 :: Integer -> Integer

limiteSumaRedondeos3 = limite . sumaRedondeos3

-- 4ª definición

sumaRedondeos4 :: Integer -> [Integer]

sumaRedondeos4 n = xs ++ repeat x

where n' = fromIntegral n

m = round (logBase 2 n')

xs = scanl1 (+) [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]]

x = last xs

limiteSumaRedondeos4 :: Integer -> Integer

limiteSumaRedondeos4 = limite . sumaRedondeos4

-- Comparación de eficiencia

-- λ> (sumaRedondeos1 4) !! 20000

-- 3

-- (0.92 secs, 197,782,232 bytes)

-- λ> (sumaRedondeos1 4) !! 30000

-- 3

-- (2.20 secs, 351,084,816 bytes)

-- λ> (sumaRedondeos3 4) !! 20000

-- 3

-- (0.30 secs, 53,472,392 bytes)

-- λ> (sumaRedondeos4 4) !! 20000

-- 3

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos la 3ª definición

sumaRedondeos :: Integer -> [Integer]

sumaRedondeos = sumaRedondeos3

-- 5ª definición

-- =============

limiteSumaRedondeos5 :: Integer -> Integer

limiteSumaRedondeos5 n =

sum [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]]

where n' = fromIntegral n

m = round (logBase 2 n')

Listas de igual longitud

PorJosé A. Alonso 23-noviembre-201530-noviembre-2015

Definir la función

   mismaLongitud :: [[a]] -> Bool

1	mismaLongitud :: [[a]] -> Bool

tal que (mismaLongitud xss) se verifica si todas las listas de la lista de listas xss tienen la misma longitud. Por ejemplo,

   mismaLongitud [[1,2],[6,4],[0,0],[7,4]] == True
   mismaLongitud [[1,2],[6,4,5],[0,0]]     == False

1 2	mismaLongitud [[1,2],[6,4],[0,0],[7,4]] == True mismaLongitud [[1,2],[6,4,5],[0,0]] == False

Soluciones

import Data.List (nub)    

-- 1ª solución:
mismaLongitud1 :: [[a]] -> Bool
mismaLongitud1 []       = True
mismaLongitud1 (xs:xss) = and [length ys == n | ys <- xss]
    where n = length xs

-- 2ª solución:
mismaLongitud2 :: [[a]] -> Bool
mismaLongitud2 xss = 
    and [length xs == length ys | (xs,ys) <- zip xss (tail xss)]

-- 3ª solución:
mismaLongitud3 :: [[a]] -> Bool
mismaLongitud3 (xs:ys:xss) = 
    length xs == length ys && mismaLongitud3 (ys:xss)
mismaLongitud3 _ = True           

-- 4ª solución
mismaLongitud4 :: [[a]] -> Bool
mismaLongitud4 [] = True
mismaLongitud4 (xs:xss) =
    all (\ys -> length ys == n) xss
    where n = length xs 

-- 5ª solución
mismaLongitud5 :: [[a]] -> Bool
mismaLongitud5 xss = length (nub [length xs | xs <- xss]) == 1

-- 6ª solución
mismaLongitud6 :: [[a]] -> Bool
mismaLongitud6 = null . drop 1 . nub . map length

-- Comparación de eficiencia
--    λ> mismaLongitud1 (replicate 20000 (replicate 20000 5))
--    True
--    (5.05 secs, 0 bytes)
--    λ> mismaLongitud2 (replicate 20000 (replicate 20000 5))
--    True
--    (9.98 secs, 0 bytes)
--    λ> mismaLongitud3 (replicate 20000 (replicate 20000 5))
--    True
--    (10.17 secs, 0 bytes)
--    λ> mismaLongitud4 (replicate 20000 (replicate 20000 5))
--    True
--    (5.18 secs, 0 bytes)
--    λ> mismaLongitud5 (replicate 20000 (replicate 20000 5))
--    True
--    (4.30 secs, 0 bytes)
--    λ> mismaLongitud6 (replicate 20000 (replicate 20000 5))
--    True
--    (4.19 secs, 0 bytes)

import Data.List (nub)

-- 1ª solución:

mismaLongitud1 :: [[a]] -> Bool

mismaLongitud1 [] = True

mismaLongitud1 (xs:xss) = and [length ys == n | ys <- xss]

where n = length xs

-- 2ª solución:

mismaLongitud2 :: [[a]] -> Bool

mismaLongitud2 xss =

and [length xs == length ys | (xs,ys) <- zip xss (tail xss)]

-- 3ª solución:

mismaLongitud3 :: [[a]] -> Bool

mismaLongitud3 (xs:ys:xss) =

length xs == length ys && mismaLongitud3 (ys:xss)

mismaLongitud3 _ = True

-- 4ª solución

mismaLongitud4 :: [[a]] -> Bool

mismaLongitud4 [] = True

mismaLongitud4 (xs:xss) =

all (\ys -> length ys == n) xss

where n = length xs

-- 5ª solución

mismaLongitud5 :: [[a]] -> Bool

mismaLongitud5 xss = length (nub [length xs | xs <- xss]) == 1

-- 6ª solución

mismaLongitud6 :: [[a]] -> Bool

mismaLongitud6 = null . drop 1 . nub . map length

-- Comparación de eficiencia

-- λ> mismaLongitud1 (replicate 20000 (replicate 20000 5))

-- True

-- (5.05 secs, 0 bytes)

-- λ> mismaLongitud2 (replicate 20000 (replicate 20000 5))

-- True

-- (9.98 secs, 0 bytes)

-- λ> mismaLongitud3 (replicate 20000 (replicate 20000 5))

-- True

-- (10.17 secs, 0 bytes)

-- λ> mismaLongitud4 (replicate 20000 (replicate 20000 5))

-- True

-- (5.18 secs, 0 bytes)

-- λ> mismaLongitud5 (replicate 20000 (replicate 20000 5))

-- True

-- (4.30 secs, 0 bytes)

-- λ> mismaLongitud6 (replicate 20000 (replicate 20000 5))

-- True

-- (4.19 secs, 0 bytes)

Números primos de Hilbert

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