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Etiqueta: Recursión

Definición por recursión

Avistamientos de la pelota

Un niño está jugando con una pelota en el noveno piso de un edificio alto. La altura de este piso, h, es conocida. Deja caer la pelota por la ventana. La pelota rebota una r-ésima parte de su altura (por ejemplo, dos tercios de su altura). Su madre mira por una ventana a w metros del suelo (por ejemplo, a 1.5 metros). ¿Cuántas veces verá la madre a la pelota pasar frente a su ventana incluyendo cuando está cayendo y rebotando?

Se deben cumplir tres condiciones para que el experimento sea válido:

  • La altura “h” debe ser mayor que 0
  • El rebote “r” debe ser mayor que 0 y menor que 1
  • La altura de la ventana debe ser mayor que 0 y menor que h.

Definir la función

   numeroAvistamientos :: Double -> Double -> Double -> Integer

tal que (numeroAvistamientos h r v) es el número de avistamientos de la pelota si se cumplen las tres condiciones anteriores y es -1 en caso contrario. Por ejemplo,

   numeroAvistamientos 3    0.66 1.5  ==  3
   numeroAvistamientos 30   0.66 1.5  ==  15
   numeroAvistamientos (-3) 0.66 1.5  ==  -1
   numeroAvistamientos 3    (-1) 1.5  ==  -1
   numeroAvistamientos 3    2    1.5  ==  -1
   numeroAvistamientos 3    0.5  (-1) ==  -1
   numeroAvistamientos 3    0.5  4    ==  -1

Soluciones

import Data.List (genericLength)
 
-- 1ª solución
-- ============
 
numeroAvistamientos :: Double -> Double -> Double -> Integer
numeroAvistamientos h r v
  | adecuados h r v = 2 * n - 1 
  | otherwise      = -1
  where n = genericLength (takeWhile (>=v) (iterate (*r) h))
 
-- (adecuados h r v) se verifica si los datos cumplen las condiciones
-- para que el experimento sea válido.
adecuados :: Double -> Double -> Double -> Bool
adecuados h r v =
  h > 0 && 0 < r && r < 1 && 0 < v && v < h
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
numeroAvistamientos2 :: Double -> Double -> Double -> Integer
numeroAvistamientos2 h r v 
  | adecuados h r v = 2 + numeroAvistamientos2 (h * r) r v
  | otherwise       = -1
 
-- 3ª solución
numeroAvistamientos3 :: Double -> Double -> Double -> Integer
numeroAvistamientos3 h r v
  | adecuados h r v = 1 + 2 * floor (logBase r (v / h))
  | otherwise       = -1

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Pensamiento

“Los patrones del matemático, como los del pintor o el poeta deben ser hermosos; las ideas, como los colores o las palabras deben encajar de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en este mundo para las matemáticas feas.”

G. H. Hardy.

Cliques de orden k

Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en el anterior importando el módulo Cliques.

Definir la función

   kCliques :: Eq a => Grafo a -> Int -> [[a]]

tal que (kCliques g k) es la lista de los cliques del grafo g de tamaño k. Por ejemplo,

   λ> kCliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 3
   [[2,3,5],[2,4,5]]
   λ> kCliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 2
   [[1,2],[2,3],[2,4],[2,5],[3,5],[4,5]]
   λ> kCliques [(n,n+1) | n <- [1..100]] 3
   []

Nota: Escribir la solución en el módulo KCliques para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

Soluciones

module KCliques where
 
import Grafo
import Cliques
 
-- 1ª definición
kCliques1 :: Eq a => Grafo a -> Int -> [[a]]
kCliques1 g k =
  [xs | xs <- cliques g
      , length xs == k]
 
-- 2ª definición
kCliques :: Eq a => Grafo a -> Int -> [[a]]
kCliques g k =
  [xs | xs <- kSubconjuntos (nodos g) k
      , esClique g xs]
 
-- (kSubconjuntos xs k) es la lista de los subconjuntos de xs con k
-- elementos. Por ejemplo, 
--    ghci> kSubconjuntos "bcde" 2
--    ["bc","bd","be","cd","ce","de"]
--    ghci> kSubconjuntos "bcde" 3
--    ["bcd","bce","bde","cde"]
--    ghci> kSubconjuntos "abcde" 3
--    ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"]
kSubconjuntos :: [a] -> Int -> [[a]]
kSubconjuntos _ 0      = [[]]
kSubconjuntos [] _     = []
kSubconjuntos (x:xs) k = 
  [x:ys | ys <- kSubconjuntos xs (k-1)] ++ kSubconjuntos xs k  
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> kCliques1 [(n,n+1) | n <- [1..20]] 3
--    []
--    (4.28 secs, 3,204,548,608 bytes)
--    λ> kCliques [(n,n+1) | n <- [1..20]] 3
--    []
--    (0.01 secs, 3,075,768 bytes)

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=”haskell”> y otra con </pre>

Pensamiento

“Es mejor resolver un problema de cinco maneras diferentes, que resolver cinco problemas de una sola manera.”

George Pólya.

Subconjuntos de orden k

Definir la función

   kSubconjuntos :: [a] -> Int -> [[a]]

tal que (kSubconjuntos xs k) es la lista de los subconjuntos de xs con k elementos. Por ejemplo,

   ghci> kSubconjuntos "bcde" 2
   ["bc","bd","be","cd","ce","de"]
   ghci> kSubconjuntos "bcde" 3
   ["bcd","bce","bde","cde"]
   ghci> kSubconjuntos "abcde" 3
   ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"]

Soluciones

import Data.List (subsequences)
 
-- 1ª definición
kSubconjuntos1 :: [a] -> Int -> [[a]]
kSubconjuntos1 xs k =
  [ys | ys <- subsequences xs
      , length ys == k]
 
-- 2ª definición
kSubconjuntos :: [a] -> Int -> [[a]]
kSubconjuntos _ 0      = [[]]
kSubconjuntos [] _     = []
kSubconjuntos (x:xs) k = 
  [x:ys | ys <- kSubconjuntos xs (k-1)] ++ kSubconjuntos xs k  
 
-- Comparación de eficiencia
--    λ> length (kSubconjuntos1 [1..24] 3)
--    2024
--    (4.70 secs, 3,489,911,856 bytes)
--    λ> length (kSubconjuntos [1..24] 3)
--    2024
--    (0.03 secs, 2,039,488 bytes)

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=”haskell”> y otra con </pre>

Pensamiento

“La belleza en las matemáticas es ver la verdad sin esfuerzo.”

George Pólya.

Conjetura de Collatz generalizada

Sea p un número primo. Toma un número natural positivo, si es divisible entre un número primo menor que p divídelo entre el menor de dicho divisores, y en otro caso multiplícalo por p y súmale uno; si el resultado no es igual a uno, repite el proceso. Por ejemplo, para p = 7 y empezando en 42 el proceso es

   42
   -> 21   [= 42/2]
   -> 7    [= 21/3]
   -> 50   [= 7*7+1]
   -> 25   [= 50/5]
   -> 5    [= 25/5]
   -> 1    [= 5/5]

La conjetura de Collatz generalizada afirma que este proceso siempre acaba en un número finito de pasos.

Definir la función

   collatzGeneral :: Integer -> Integer -> [Integer]

tal que (collatzGeneral p x) es la sucesión de los elementos obtenidos en el proceso anterior para el primo p enpezando en x. Por ejemplo,

   take 15 (collatzGeneral 7 42) == [42,21,7,50,25,5,1,8,4,2,1,8,4,2,1]
   take 15 (collatzGeneral 3  6) == [6,3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1]
   take 15 (collatzGeneral 5  6) == [6,3,1,6,3,1,6,3,1,6,3,1,6,3,1]
   take 15 (collatzGeneral 7  6) == [6,3,1,8,4,2,1,8,4,2,1,8,4,2,1]
   take 15 (collatzGeneral 9  6) == [6,3,1,10,5,1,10,5,1,10,5,1,10,5,1]

Comprobar con QuickCheck que se verifica la conjetura de Collatz generalizada; es decir, para todos enteros positivos n, x si p es el primo n-ésimo entonces 1 pertenece a (collatzGeneral p x).

Nota: El ejercicio etá basado en el artículo Los primos de la conjetura de Collatz publicado la semana pasada por Francisco R. Villatoro en su blog La Ciencia de la Mula Francis.

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primeFactors, primes)
import Test.QuickCheck
 
collatzGeneral :: Integer -> Integer -> [Integer]
collatzGeneral p x =
  iterate (siguiente p) x
 
siguiente :: Integer -> Integer -> Integer
siguiente p x 
  | null xs   = p * x + 1
  | otherwise = x `div` head xs
  where xs = takeWhile (<p) (primeFactors x)
 
prop_collatzGeneral :: Int -> Integer -> Property
prop_collatzGeneral n x =
  n > 0 && x > 0 ==>
  1 `elem` collatzGeneral p x
  where p = primes !! n 
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_collatzGeneral
--    +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

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Pensamiento

“Las matemáticas son la ciencia que utiliza palabras fáciles para ideas difíciles.”

Edward Kasner y James R. Newman

Triángulo de Bell

El triágulo de Bell es el triángulo numérico, cuya primera fila es [1] y en cada fila, el primer elemento es el último de la fila anterior y el elemento en la posición j se obtiene sumando el elemento anterior de su misma fila y de la fila anterior. Sus primeras filas son

   1 
   1   2
   2   3   5
   5   7  10  15
   15 20  27  37  52
   52 67  87 114 151 203

Definir la función

   trianguloDeBell :: [[Integer]]

tal que trianguloDeBell es la lista con las filas de dicho triángulo. Por ejemplo

   λ> take 5 trianguloDeBell
   [[1],[1,2],[2,3,5],[5,7,10,15],[15,20,27,37,52]]

Comprobar con QuickCheck que los números que aparecen en la primera columna del triángulo coinciden con los números de Bell; es decir, el primer elemento de la n-ésima fila es el n-ésimo número de Bell.

Soluciones

import Data.List (genericIndex, genericLength)
import Test.QuickCheck
 
trianguloDeBell :: [[Integer]]
trianguloDeBell = iterate siguiente [1]
 
-- (siguiente xs) es la fila siguiente de xs en el triángulo de
-- Bell. Por ejemplo,
--    siguiente [1]     ==  [1,2]
--    siguiente [1,2]   ==  [2,3,5]
--    siguiente [2,3,5] ==  [5,7,10,15]
siguiente :: [Integer] -> [Integer]
siguiente xs = last xs : zipWith (+) xs (siguiente xs)
 
-- Propiedad
-- =========
 
-- La propiedad es
prop_TrianguloDeBell :: Integer -> Property
prop_TrianguloDeBell n =
  n > 0 ==> head (trianguloDeBell `genericIndex` n) == bell n
 
-- (bell n) es el n-ésimo número de Bell definido en el ejercicio
-- anterior.  
bell :: Integer -> Integer
bell n = genericLength (particiones [1..n])
 
particiones :: [a] -> [[[a]]]
particiones [] = [[]]
particiones (x:xs) =
  concat [([x] : yss) : inserta x yss | yss <- ysss]
  where ysss = particiones xs
 
inserta :: a -> [[a]] -> [[[a]]]
inserta _ []       = []
inserta x (ys:yss) = ((x:ys):yss) : [ys : zs | zs <- inserta x yss] 
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=10}) prop_TrianguloDeBell
--    +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=”haskell”> y otra con </pre>

Pensamiento

“La ciencia es lo que entendemos lo suficientemente bien como para explicarle a una computadora. El arte es todo lo demás.”

Donald Knuth.