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Etiqueta: null

Números como sumas de primos consecutivos

José A. Alonso, ,

En el artículo Integers as a sum of consecutive primes in 2,3,4,.. ways se presentan números que se pueden escribir como sumas de primos consecutivos de varias formas. Por ejemplo, el 41 se puede escribir de dos formas distintas

   41 =  2 +  3 +  5 + 7 + 11 + 13
   41 = 11 + 13 + 17

el 240 se puede escribir de tres formas

   240 =  17 +  19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43
   240 =  53 +  59 + 61 + 67
   240 = 113 + 127

y el 311 se puede escribir de 4 formas

   311 =  11 +  13 +  17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47
   311 =  31 +  37 +  41 + 43 + 47 + 53 + 59
   311 =  53 +  59 +  61 + 67 + 71
   311 = 101 + 103 + 107

Definir la función

   sumas :: Integer -> [[Integer]]

tal que (sumas x) es la lista de las formas de escribir x como suma de dos o más números primos consecutivos. Por ejemplo,

   ghci> sumas 41
   [[2,3,5,7,11,13],[11,13,17]]
   ghci> sumas 240
   [[17,19,23,29,31,37,41,43],[53,59,61,67],[113,127]]
   ghci> sumas 311
   [[11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47],[31,37,41,43,47,53,59],
    [53,59,61,67,71],[101,103,107]]
   ghci> maximum [length (sumas n) | n <- [1..600]]
   4

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primes)
 
sumas :: Integer -> [[Integer]]
sumas x = [ys | n <- takeWhile (< x) primes, 
                let ys = sumaDesde x n,
                not (null ys)]
 
-- (sumaDesde x n) es la lista de al menos dos números primos
-- consecutivos a partir del número primo n cuya suma es x, si existen y
-- la lista vacía en caso contrario. Por ejemplo,
--    sumaDesde 15 3  ==  [3,5,7]
--    sumaDesde  7 3  ==  []
sumaDesde :: Integer -> Integer -> [Integer]
sumaDesde x n | x == y    = take (1 + length us) ys
              | otherwise = []
    where ys       = dropWhile (<n) primes
          (us,y:_) = span (<x) (scanl1 (+) ys)

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Pensamiento

“El desarrollo de las matemáticas hacia una mayor precisión ha llevado, como es bien sabido, a la formalización de grandes partes de las mismas, de modo que se puede probar cualquier teorema usando nada más que unas pocas reglas mecánicas.”

Kurt Gödel.

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Reducción de SAT a Clique

José A. Alonso, ,

Nota: En este ejercicio se usa la misma notación que en los anteriores importando los módulos

+ Evaluacion_de_FNC
+ Modelos_de_FNC
+ Problema_SAT_para_FNC
+ Cliques
+ KCliques
+ Grafo_FNC

Definir las funciones

   cliquesFNC :: FNC -> [[(Int,Literal)]]
   cliquesCompletos :: FNC -> [[(Int,Literal)]]
   esSatisfaciblePorClique :: FNC -> Bool

tales que

  • (cliquesFNCf) es la lista de los cliques del grafo de f. Por ejemplo, 
     λ> cliquesFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]]
     [[], [(0,1)], [(1,2)], [(0,1),(1,2)], [(2,-2)],
      [(0,1),(2,-2)], [(2,3)], [(0,1),(2,3)], [(1,2),(2,3)],
      [(0,1),(1,2),(2,3)], [(0,-2)], [(2,-2),(0,-2)], [(2,3),(0,-2)],
      [(1,-1)], [(2,-2),(1,-1)], [(2,3),(1,-1)], [(0,-2),(1,-1)],
      [(2,-2),(0,-2),(1,-1)], [(2,3),(0,-2),(1,-1)], [(0,3)],
      [(1,2),(0,3)], [(2,-2),(0,3)], [(2,3),(0,3)],
      [(1,2),(2,3),(0,3)], [(1,-1),(0,3)],
      [(2,-2),(1,-1),(0,3)], [(2,3),(1,-1),(0,3)]]
  • (cliquesCompletos f) es la lista de los cliques del grafo de f que tiene tantos elementos como cláusulas tiene f. Por ejemplo,
     λ> cliquesCompletos [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]]
     [[(0,1),(1,2),(2,3)],   [(2,-2),(0,-2),(1,-1)],
      [(2,3),(0,-2),(1,-1)], [(1,2),(2,3),(0,3)],
      [(2,-2),(1,-1),(0,3)], [(2,3),(1,-1),(0,3)]]
     λ> cliquesCompletos [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]]
     []
  • (esSatisfaciblePorClique f) se verifica si f no contiene la cláusula vacía, tiene más de una cláusula y posee algún clique completo. Por ejemplo, 
     λ> esSatisfaciblePorClique [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]]
     True
     λ> esSatisfaciblePorClique [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]]
     False

Comprobar con QuickCheck que toda fórmula en FNC es satisfacible si, y solo si, es satisfacible por Clique.

Soluciones

module Reduccion_de_SAT_a_Clique where
 
import Evaluacion_de_FNC
import Modelos_de_FNC
import Problema_SAT_para_FNC
import Cliques
import KCliques
import Grafo_FNC
import Data.List (nub, sort)
import Test.QuickCheck
 
cliquesFNC :: FNC -> [[(Int,Literal)]]
cliquesFNC f = cliques (grafoFNC f)
 
cliquesCompletos :: FNC -> [[(Int,Literal)]]
cliquesCompletos cs = kCliques (grafoFNC cs) (length cs)
 
esSatisfaciblePorClique :: FNC -> Bool
esSatisfaciblePorClique f =
     [] `notElem` f'
  && (length f' <= 1 || not (null (cliquesCompletos f')))
  where f' = nub (map (nub . sort) f) 
 
-- La propiedad es
prop_esSatisfaciblePorClique :: FNC -> Bool
prop_esSatisfaciblePorClique f =
  esSatisfacible f == esSatisfaciblePorClique f
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_esSatisfaciblePorClique
--    +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=”haskell”> y otra con </pre>

Pensamiento

“La resolución de problemas es una habilidad práctica como, digamos, la natación. Adquirimos cualquier habilidad práctica por imitación y práctica. Tratando de nadar, imitas lo que otras personas hacen con sus manos y pies para mantener sus cabezas sobre el agua, y, finalmente, aprendes a nadar practicando la natación. Al intentar resolver problemas, hay que observar e imitar lo que hacen otras personas al resolver problemas y, finalmente, se aprende a resolver problemas haciéndolos.”

George Pólya.

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Problema SAT para FNC (fórmulas en forma normal conjuntiva)

José A. Alonso, ,

Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en los anteriores importando los módulos import Modelos_de_FNC y Evaluacion_de_FNC

Una FNC (fórmula en forma normal conjuntiva) es satisfacible, si tiene algún modelo. Por ejemplo,

Definir la función

   esSatisfacible :: FNC -> Bool

tal que (esSatisfacible f) se verifica si la FNC f es satistacible. Por ejemplo,

   esSatisfacible [[-1,2],[-2,1]]    ==  True
   esSatisfacible [[-1,2],[-2],[1]]  ==  False
   esSatisfacible [[1,2],[]]         ==  False
   esSatisfacible []                 ==  True

Nota: Escribir la solución en el módulo Problema_de_SAT_para_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

Soluciones

module Problema_SAT_para_FNC where
 
import Modelos_de_FNC  
import Evaluacion_de_FNC
 
esSatisfacible :: FNC -> Bool
esSatisfacible = not . null . modelos

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=”haskell”> y otra con </pre>

Pensamiento

“Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en cualquier problema.”

George Pólya.

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Conjetura de Lemoine

José A. Alonso, ,

La conjetura de Lemoine afirma que

Todos los números impares mayores que 5 se pueden escribir de la forma p + 2q donde p y q son números primos. Por ejemplo, 47 = 13 + 2 x 17

Definir las funciones

   descomposicionesLemoine :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   graficaLemoine :: Integer -> IO ()

tales que

  • (descomposicionesLemoine n) es la lista de pares de primos (p,q) tales que n = p + 2q. Por ejemplo,
     descomposicionesLemoine 5   ==  []
     descomposicionesLemoine 7   ==  [(3,2)]
     descomposicionesLemoine 9   ==  [(5,2),(3,3)]
     descomposicionesLemoine 21  ==  [(17,2),(11,5),(7,7)]
     descomposicionesLemoine 47  ==  [(43,2),(41,3),(37,5),(13,17)]
     descomposicionesLemoine 33  ==  [(29,2),(23,5),(19,7),(11,11),(7,13)]
     length (descomposicionesLemoine 2625)  ==  133
  • (graficaLemoine n) dibuja la gráfica de los números de descomposiciones de Lemoine para los números impares menores o iguales que n. Por ejemplo, (graficaLemoine n 400) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Lemoine.

Nota: Basado en Lemoine’s conjecture

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (isPrime, primes)
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Test.QuickCheck
 
descomposicionesLemoine :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesLemoine n =
  [(p,q) | q <- takeWhile (<=(n-2) `div` 2) primes
         , let p = n - 2 * q
         , isPrime p]
 
graficaLemoine :: Integer -> IO ()
graficaLemoine n = do
  plotList [ Key Nothing
           , Title "Conjetura de Lemoine"
           , PNG "Conjetura_de_Lemoine.png"
           ]
           [(k,length (descomposicionesLemoine k)) | k <- [1,3..n]]
 
-- La conjetura es
prop_conjeturaLemoine :: Integer -> Bool
prop_conjeturaLemoine n =
  not (null (descomposicionesLemoine n'))
  where n' = 7 + 2 * abs n
 
-- Su comprobación es
--    λ> quickCheck prop_conjeturaLemoine
--    +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=”haskell”> y otra con </pre>

Pensamiento

“Todo el mundo sabe lo que es una curva, hasta que ha estudiado suficientes matemáticas para confundirse a través del incontable número de posibles excepciones.”

Felix Klein.

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Conjetura de Collatz generalizada

José A. Alonso, ,

Sea p un número primo. Toma un número natural positivo, si es divisible entre un número primo menor que p divídelo entre el menor de dicho divisores, y en otro caso multiplícalo por p y súmale uno; si el resultado no es igual a uno, repite el proceso. Por ejemplo, para p = 7 y empezando en 42 el proceso es

   42
   -> 21   [= 42/2]
   -> 7    [= 21/3]
   -> 50   [= 7*7+1]
   -> 25   [= 50/5]
   -> 5    [= 25/5]
   -> 1    [= 5/5]

La conjetura de Collatz generalizada afirma que este proceso siempre acaba en un número finito de pasos.

Definir la función

   collatzGeneral :: Integer -> Integer -> [Integer]

tal que (collatzGeneral p x) es la sucesión de los elementos obtenidos en el proceso anterior para el primo p enpezando en x. Por ejemplo,

   take 15 (collatzGeneral 7 42) == [42,21,7,50,25,5,1,8,4,2,1,8,4,2,1]
   take 15 (collatzGeneral 3  6) == [6,3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1]
   take 15 (collatzGeneral 5  6) == [6,3,1,6,3,1,6,3,1,6,3,1,6,3,1]
   take 15 (collatzGeneral 7  6) == [6,3,1,8,4,2,1,8,4,2,1,8,4,2,1]
   take 15 (collatzGeneral 9  6) == [6,3,1,10,5,1,10,5,1,10,5,1,10,5,1]

Comprobar con QuickCheck que se verifica la conjetura de Collatz generalizada; es decir, para todos enteros positivos n, x si p es el primo n-ésimo entonces 1 pertenece a (collatzGeneral p x).

Nota: El ejercicio etá basado en el artículo Los primos de la conjetura de Collatz publicado la semana pasada por Francisco R. Villatoro en su blog La Ciencia de la Mula Francis.

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primeFactors, primes)
import Test.QuickCheck
 
collatzGeneral :: Integer -> Integer -> [Integer]
collatzGeneral p x =
  iterate (siguiente p) x
 
siguiente :: Integer -> Integer -> Integer
siguiente p x 
  | null xs   = p * x + 1
  | otherwise = x `div` head xs
  where xs = takeWhile (<p) (primeFactors x)
 
prop_collatzGeneral :: Int -> Integer -> Property
prop_collatzGeneral n x =
  n > 0 && x > 0 ==>
  1 `elem` collatzGeneral p x
  where p = primes !! n 
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_collatzGeneral
--    +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=”haskell”> y otra con </pre>

Pensamiento

“Las matemáticas son la ciencia que utiliza palabras fáciles para ideas difíciles.”

Edward Kasner y James R. Newman

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