Números libres de cuadrados

PorJosé A. Alonso 3-noviembre-201525-abril-2021

Un número es libre de cuadrados si no es divisible el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2².

Definir la función

   libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

1	libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

tal que (libreDeCuadrados x) se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,

   libreDeCuadrados 70                 ==  True
   libreDeCuadrados 40                 ==  False
   libreDeCuadrados 510510             ==  True
   libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10)  ==  False

libreDeCuadrados 70 == True

libreDeCuadrados 40 == False

libreDeCuadrados 510510 == True

libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10) == False

Soluciones

-- 1ª definición:
libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados x = x == product (divisoresPrimos x)

-- (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. Por
-- ejemplo,  
--    divisoresPrimos 40  ==  [2,5]
--    divisoresPrimos 70  ==  [2,5,7]
divisoresPrimos :: Integer -> [Integer]
divisoresPrimos x = [n | n <- divisores x, primo n]

-- (divisores n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,
--    divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]  
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

-- (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,
--    primo 30  == False
--    primo 31  == True  
primo :: Integer -> Bool
primo n = divisores n == [1, n]

-- 2ª definición
libreDeCuadrados2 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados2 n = 
    null [x | x <- [2..n], rem n (x^2) == 0]

-- 3ª definición
libreDeCuadrados3 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados3 n = 
    null [x | x <- [2..floor (sqrt (fromIntegral n))], 
              rem n (x^2) == 0]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> libreDeCuadrados 510510
--    True
--    (0.76 secs, 89,522,360 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados2 510510
--    True
--    (1.78 secs, 371,826,320 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados3 510510
--    True
--    (0.01 secs, 0 bytes)

-- 1ª definición:

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados x = x == product (divisoresPrimos x)

-- (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. Por

-- ejemplo,

-- divisoresPrimos 40 == [2,5]

-- divisoresPrimos 70 == [2,5,7]

divisoresPrimos :: Integer -> [Integer]

divisoresPrimos x = [n | n <- divisores x, primo n]

-- (divisores n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,

-- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

-- (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,

-- primo 30 == False

-- primo 31 == True

primo :: Integer -> Bool

primo n = divisores n == [1, n]

-- 2ª definición

libreDeCuadrados2 :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados2 n =

null [x | x <- [2..n], rem n (x^2) == 0]

-- 3ª definición

libreDeCuadrados3 :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados3 n =

null [x | x <- [2..floor (sqrt (fromIntegral n))],

rem n (x^2) == 0]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> libreDeCuadrados 510510

-- True

-- (0.76 secs, 89,522,360 bytes)

-- λ> libreDeCuadrados2 510510

-- True

-- (1.78 secs, 371,826,320 bytes)

-- λ> libreDeCuadrados3 510510

-- True

-- (0.01 secs, 0 bytes)

11 Comentarios

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados = not . dup . primeFactors
    where dup (a:b:c) = a == b || dup (b:c)
          dup _       = False

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados = not . dup . primeFactors

where dup (a:b:c) = a == b || dup (b:c)

dup _ = False

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manvazbar1 dice:

3-noviembre-2015 a las 10:54

Haskell

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool libreDeCuadrados n = notElem 0 (zipWith mod (repeat n) (cuadrados n)) where cuadrados n = [x^2 | x <- [2..n]]

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libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados n = notElem 0 (zipWith mod (repeat n) (cuadrados n))
where cuadrados n = [x^2 | x <- [2..n]]

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Chema Cortés dice:

3-noviembre-2015 a las 11:44

Haskell

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool libreDeCuadrados n = and [ n `mod` k /= 0 | k <- takeWhile (<n) cuadrados ] where cuadrados = [ i*i | i <- [2..]]

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libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados n = and [ n `mod` k /= 0 | k <- takeWhile (<n) cuadrados ]
where cuadrados = [ i*i | i <- [2..]]

Responder
isrbelnun dice:

3-noviembre-2015 a las 20:59

Haskell

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool libreDeCuadrados x = and [mod x (n^2) /= 0 | n <- [2..x]]

1
2

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados x = and [mod x (n^2) /= 0 | n <- [2..x]]

Responder
fracruzam dice:

3-noviembre-2015 a las 21:07

Haskell

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool libreDeCuadrados n = null (filter (\ x -> mod n x == 0) (tail (map (^2) (filter (\x -> mod n x == 0) [1..n]))))

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3

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados n = null (filter (\ x -> mod n x == 0)
(tail (map (^2) (filter (\x -> mod n x == 0) [1..n]))))

Responder
1. fracruzam dice:
  
  4-noviembre-2015 a las 20:22
  
  Haskell
  
  --Puede simplificarse a: libreDeCuadrados :: Integer -> Bool libreDeCuadrados n = null (t (map (^2) (t [2..n]))) where t = filter (\x -> mod n x == 0)
  
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  4
  
  --Puede simplificarse a:
  libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
  libreDeCuadrados n = null (t (map (^2) (t [2..n])))
  where t = filter (\x -> mod n x == 0)
  
  Responder
manvermor dice:

3-noviembre-2015 a las 22:09

Haskell

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool libreDeCuadrados n = null [ x | x <- [2..n], mod n (x^2) == 0]

1
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libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados n = null [ x | x <- [2..n], mod n (x^2) == 0]

Responder

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados x = and [notElem (y^2) (divisores' x) | y <- divisores' x ]
    where divisores' x = [a | a <- [2..x] , rem x a == 0 ]

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados x = and [notElem (y^2) (divisores' x) | y <- divisores' x ]

where divisores' x = [a | a <- [2..x] , rem x a == 0 ]

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silgongal dice:

3-noviembre-2015 a las 23:28

Haskell

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool libreDeCuadrados x = [] == [b^2 | b <- [2..x], mod x b == 0, mod x (b^2) == 0]

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2
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libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados x =
[] == [b^2 | b <- [2..x], mod x b == 0, mod x (b^2) == 0]

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carruirui3 dice:

4-noviembre-2015 a las 12:08

Haskell

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool libreDeCuadrados x = null (filter (\n -> x `mod` n^2 == 0) [2..floor (sqrt (fromIntegral x))])

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libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados x =
null (filter (\n -> x `mod` n^2 == 0) [2..floor (sqrt (fromIntegral x))])

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carruirui3 dice:

4-noviembre-2015 a las 18:26

Haskell

libredeCuadrados :: Integer -> Bool libredeCuadrados x = all (\n -> x `mod` n^2 /= 0) [2..floor (sqrt (fromIntegral x))]

1
2

libredeCuadrados :: Integer -> Bool
libredeCuadrados x = all (\n -> x `mod` n^2 /= 0) [2..floor (sqrt (fromIntegral x))]

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