Primo suma de dos cuadrados

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números primos que se pueden escribir como sumas de dos cuadrados. Por ejemplo,

En el ejemplo anterior,

  • 13 está en la sucesión porque es primo y 13 = 2²+3².
  • 11 no está en la sucesión porque no se puede escribir como suma de dos cuadrados (en efecto, 11-1=10, 11-2²=7 y 11-3²=2 no son cuadrados).
  • 20 no está en la sucesión porque, aunque es suma de dos cuadrados (20=4²+2²), no es primo.

Soluciones

Referencias

9 Comentarios

    1. Es claro que todo primo distinto de 2 es de la forma 4n+1 o 4n+3 (pues 4n sería múltiplo de 4 y 4n+2 sería múltiplo de 2, por lo que no sería primo). Además, sabemos que un cuadrado perfecto siempre es congruente con 0 o con 1 módulo 4 (si el número es par, (2n)^2 = 4n^2, y si el número es impar (2n+1)^2 = 4n^2+4n+1). Luego la suma de dos cuadrados perfectos será congruente con 0, 1 o 2, módulo 4, pero nunca congruente con 3. Por tanto, deducimos que todo primo expresable como suma de cuadrados ha de ser forzosamente de la forma 4n+1. Sin embargo, esto no basta, puesto que en esta definición también se utiliza que todo primo de la forma 4n+1 es suma de dos cuadrados perfectos. Este hecho efectivamente se da, y su prueba se la debemos a Fermat (Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados).

  1. Traducción del Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados en Maxima

  2. primosSumaDe2Cuadrados :: [Integer]
    primosSumaDe2Cuadrados = [n | n <- primes, not (null (aux n))]
    where aux n = [(x,y) | x <- [0..n], y <- [x..n], x^2+y^2 == n]

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