Próximos a múltiplos de 6

Se dice que un par de números (x,y) está próximo a un múltiplo de 6 si es de la forma (6*n-1,6*n+1). Por ejemplo, (17,19) está cerca de un múltiplo de 6 porque (17,19) = (6*3-1,6*3+1).

Definir la función

tal que (proximosAmultiplosDe6 (x,y)) se verifica si el par (x,y) está próximo a un múltiplo de 6. Por ejemplo,

Soluciones

Entero positivo con ciertas propiedades

El 6 de octubre, se propuso en el blog Gaussianos el siguiente problema

Demostrar que para todo entero positivo n, existe otro entero positivo que tiene las siguientes propiedades:

  1. Tiene exactamente n dígitos.
  2. Ninguno de sus dígitos es 0.
  3. Es divisible por la suma de sus dígitos.

Definir la función

tal que (especiales n) es la lista de los números enteros que cumplen las 3 propiedades anteriores para n. Por ejemplo,

En el primer ejemplo, 12 es un número especial para 2 ya que tiene exactamente 2 dígitos, ninguno de sus dígitos es 0 y 12 es divisible por la suma de sus dígitos.

Soluciones

Múltiplos especiales

Dado dos números n y m, decimos que m es un múltiplo especial de n si m es un múltiplo de n y m no tiene ningún factor primo que sea congruente con 1 módulo 3.

Definir la función

tal que (multiplosEspecialesCota n k) es la lista ordenada de todos los múltiplos especiales de n que son menores o iguales que k. Por ejemplo,

Soluciones

Fracciones cancelativas

Una fracción x/y es cancelativa si se cumplen las siguientes condiciones:

  • x/y es propia (es decir, x < y),
  • ninguno de los números x e y son múltiplos de 10 y
  • existe un dígito d tal que al borrar una ocurrencia de d en x y otra en y se obtiene una fracción cuyo valor coincide con x/y.

Por ejemplo, 16/64 es cancelativa ya que borrando el 6 en el numerador y el denominador se obtiene 1/4 que es igual a la original: 16/64 = 1/4.

Definir la función

tal que (cancelativas m n) es la lista de las fracciones cancelativas con su denominador entre m y n. Por ejemplo,

Soluciones

Sucesión de números parientes

Se dice que dos números naturales son parientes sitienen exactamente un factor primo en común, independientemente de su multiplicidad. Por ejemplo,

  • Los números 12 (2²·3) y 40 (2³·5) son parientes, pues tienen al 2 como único factor primo en común.
  • Los números 49 (7²) y 63 (3²·7) son parientes, pues tienen al 7 como único factor primo en común.
  • Los números 12 (2²·3) y 30 (2·3·5) no son parientes, pues tienen dos factores primos en común.
  • Los números 49 (7²) y 25 (5²) no son parientes, pues no tienen factores primos en común.

Se dice que una lista de números naturales es una secuencia de parientes si cada par de números consecutivos son parientes. Por ejemplo,

  • La lista [12,40,35,28] es una secuencia de parientes.
  • La lista [12,30,21,49] no es una secuencia de parientes.

Definir la función

tal que (secuenciaParientes xs) se verifica si xs es una secuencia de parientes. Por ejemplo,

Soluciones

Orden de divisibilidad

El orden de divisibilidad de un número x es el mayor n tal que para todo i menor o igual que n, los i primeros dígitos de n es divisible por i. Por ejemplo, el orden de divisibilidad de 74156 es 3 porque

Definir la función

tal que (ordenDeDivisibilidad x) es el orden de divisibilidad de x. Por ejemplo,

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Menor número triangular con más de n divisores

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

Así, el 7º número triangular es

Los primeros 10 números triangulares son

Los divisores de los primeros 7 números triangulares son:

Como se puede observar, 28 es el menor número triangular con más de 5 divisores.

Definir la función

tal que (menorTriangularConAlMenosNDivisores n) es el menor número triangular que tiene al menos n divisores. Por ejemplo,

Soluciones

Mayor capicúa producto de dos números de n cifras

Un capicúa es un número que es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Definir la función

tal que (mayorCapicuaP n) es el mayor capicúa que es el producto de dos números de n cifras. Por ejemplo,

Soluciones

Período de una lista

El período de una lista xs es la lista más corta ys tal que xs se puede obtener concatenando varias veces la lista ys. Por ejemplo, el período «abababab» es «ab» ya que «abababab» se obtiene repitiendo tres veces la lista «ab».

Definir la función

tal que (periodo xs) es el período de xs. Por ejemplo,

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2015, suma de dígitos y número de divisores

Una propiedad del 2015 es que la suma de sus dígitos coincide con el número de sus divisores; en efecto, la suma de sus dígitos es 2+0+1+5=8 y tiene 8 divisores (1, 5, 13, 31, 65, 155, 403 y 2015).

Definir la sucesión

formada por los números n tales que la suma de los dígitos de n coincide con el número de divisores de n. Por ejemplo,

Usar la sucesión para responder las siguientes cuestiones

  • ¿Cuántos años hasta el 2015 inclusive han cumplido la propiedad?
  • ¿Cuál fue el anterior al 2015 que cumplió la propiedad?
  • ¿Cuál será el siguiente al 2015 que cumplirá la propiedad?

Nota: La sucesión especiales es la misma que la A057531 de la OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

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Rompecabeza matemático

Enunciado

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Divide si todos son múltiplos

Ejercicio. Definir la función

tal que (divideSiTodosMultiplos x ys) es justo la lista de los cocientes de los elementos de ys entre x si todos son múltiplos de x y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,

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