Sucesión de sumas de dos números abundantes

Un número n es abundante si la suma de los divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,

Soluciones

El código se encuentra en GitHub.

Número de divisores

Definir la función

tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,

Soluciones

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Conjunto de divisores

Definir la función

tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de x. Por ejemplo,

Soluciones

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Conjunto de primos relativos

Dos números enteros positivos son primos relativos si no tienen ningún factor primo en común; es decit, si 1 es su único divisor común. Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3.

Definir la función

tal que (primosRelativos xs) se verifica si los elementos de xs son primos relativos dos a dos. Por ejemplo,

Soluciones

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

  • En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Números de Perrin

Los números de Perrin se definen por la elación de recurrencia

con los valores iniciales

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números de Perrin. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck si se verifica la siguiente propiedad: para todo entero n > 1, el n-ésimo término de la sucesión de Perrin es divisible por n si y sólo si n es primo.

Soluciones

Cadenas de divisores

Una cadena de divisores de un número n es una lista donde cada elemento es un divisor de su siguiente elemento en la lista. Por ejemplo, las cadenas de divisores de 12 son [2,4,12], [2,6,12], [2,12], [3,6,12], [3,12], [4,12], [6,12] y [12].

Definir la función

tal que (cadenasDivisores n) es la lista de las cadenas de divisores de n. Por ejemplo,

Soluciones

La sucesión de Sylvester

La sucesión de Sylvester es la sucesión que comienza en 2 y sus restantes términos se obtienen multiplicando los anteriores y sumándole 1.

Definir las funciones

tales que

  • (sylvester n) es el n-ésimo término de la sucesión de Sylvester. Por ejemplo,

  • (graficaSylvester d n) dibuja la gráfica de los d últimos dígitos de los n primeros términos de la sucesión de Sylvester. Por ejemplo,
    • (graficaSylvester 3 30) dibuja
      La_sucesion_de_Sylvester_(3,30)
    • (graficaSylvester 4 30) dibuja
      La_sucesion_de_Sylvester_(4,30)
    • (graficaSylvester 5 30) dibuja
      La_sucesion_de_Sylvester_(5,30)

Nota: Se puede usar programación dinámica para aumentar la eficiencia.

Soluciones

Período de una lista

El período de una lista xs es la lista más corta ys tal que xs se puede obtener concatenando varias veces la lista ys. Por ejemplo, el período «abababab» es «ab» ya que «abababab» se obtiene repitiendo tres veces la lista «ab».

Definir la función

tal que (periodo xs) es el período de xs. Por ejemplo,

Soluciones

Mayor capicúa producto de dos números de n cifras

Un capicúa es un número que es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Definir la función

tal que (mayorCapicuaP n) es el mayor capicúa que es el producto de dos números de n cifras. Por ejemplo,

Soluciones

Combinaciones divisibles

Definir la función

tal que (tieneCombinacionDivisible xs m) se verifica si existe alguna forma de combinar todos los elementos de la lista (con las operaciones suma o resta) de forma que el resultado sea divisible por m. Por ejemplo,

En el primer ejemplo, 1 – 2 + 3 + 4 + 6 = 12 es una combinación divisible por 4. En el segundo ejemplo, las combinaciones de [1,3,9] son

y ninguna de las 4 es divisible por 2.

Soluciones

Otras soluciones

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Orden de divisibilidad

El orden de divisibilidad de un número x es el mayor n tal que para todo i menor o igual que n, los i primeros dígitos de n es divisible por i. Por ejemplo, el orden de divisibilidad de 74156 es 3 porque

Definir la función

tal que (ordenDeDivisibilidad x) es el orden de divisibilidad de x. Por ejemplo,

Soluciones

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Cálculo de pi mediante la variante de Euler de la serie armónica

En el artículo El desarrollo más bello de Pi como suma infinita, Miguel Ángel Morales comenta el desarrollo de pi publicado por Leonhard Euler en su libro «Introductio in Analysis Infinitorum» (1748).

El desarrollo es el siguiente
Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_1
y se obtiene a partir de la serie armónica
Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_2
modificando sólo el signo de algunos términos según el siguiente criterio:

  • Dejamos un + cuando el denominador de la fracción sea un 2 o un primo de la forma 4m-1.
  • Cambiamos a – si el denominador de la fracción es un primo de la forma 4m+1.
  • Si el número es compuesto ponemos el signo que quede al multiplicar los signos correspondientes a cada factor.

Por ejemplo,

  • la de denominador 3 = 4×1-1 lleva un +,
  • la de denominador 5 = 4×1+1 lleva un -,
  • la de denominador 13 = 4×3+1 lleva un -,
  • la de denominador 6 = 2×3 lleva un + (porque los dos llevan un +),
  • la de denominador 10 = 2×5 lleva un – (porque el 2 lleva un + y el 5 lleva un -) y
  • la de denominador 50 = 5x5x2 lleva un + (un – por el primer 5, otro – por el segundo 5 y un + por el 2).

Definir las funciones

tales que

  • (aproximacionPi n) es la aproximación de pi obtenida sumando los n primeros términos de la serie de Euler. Por ejemplo.

  • (grafica n) dibuja la gráfica de las aproximaciones de pi usando k sumando donde k toma los valores de la lista [100,110..n]. Por ejemplo, al evaluar (grafica 4000) se obtiene
    Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_3.png

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El sesgo de Chebyshev

Un número primo distinto de 2 tiene la forma 4k + 1 o 4k + 3. Chebyshev notó en 1853 que la mayoría de las veces hay más números primos de la forma 4k + 3 que números primos de la forma 4k + 1 menores que un número dado. Esto se llama el sesgo de Chebyshev.

Definir las funciones

tales que

  • distribucionPrimosModulo4 es la lista de las ternas (p,a,b) tales que p es un números primo, a es la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 módulo 4 y b es la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 3 módulo 4. Por ejemplo,

  • empatesRestosModulo4 es la lista de los primos p tales que la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 módulo 4 es igual a la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 3 módulo 4. Por ejemplo,

  • mayoria1RestosModulo4 es la lista de los primos p tales que la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 módulo 4 es mayor que la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 3 módulo 4. Por ejemplo,

  • (graficaChebyshev n) dibuja la gráfica de los puntos (p,b-a) donde p es uno de los n primeros primos impares, a es la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 módulo 4 y b es la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 3 módulo 4. Por ejemplo, (graficaChebyshev 5000) dibuja la figura

Soluciones

[schedule expon=’2020-03-30′ expat=»06:00″]

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Pensamiento

«El valor de un problema no es tanto el de encontrar la respuesta como el de las ideas e intentos que obliga su resolución.»

Israel Nathan Herstein.

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[schedule on=’2020-03-30′ at=»06:00″]

Otras soluciones

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[/schedule]

La menos conocida de las conjeturas de Goldbach

Goldbach, el de la famosa conjetura, hizo por lo menos otra conjetura que finalmente resultó ser falsa.

Esta última decía que todo número compuesto impar puede expresarse como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado. Así por ejemplo,

Definir las sucesiones

tales que

  • imparesCompuestos es la lista de los números impares compuestos. Por ejemplo,

  • (descomposiciones n) es la lista de las descomposiciones de n de n como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado. Por ejemplo,

Las 3 descomposiciones de 21 son

  • contraejemplosGoldbach es la lista de los contraejemplos de la anterior conjetura de Goldbach; es decir, los números impares compuestos que no pueden expresarse como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que la conjetura de Golbach se verifica a partir de 5993; es decir, todo número compuesto impar mayor que 5993 puede expresarse como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado.

Nota: Basado en el artículo La menos conocida de las conjeturas de Goldbach de Claudio Meller en el blog Números y algo más.

Soluciones

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Pensamiento

«Obvio es la palabra más peligrosa de las matemáticas.»

Eric Temple Bell

Longitud de la parte periódica

La propiedad de la longitud de la parte periódica afirma que

Si p es un número primo distinto de 2 y de 5, entonces la longitud del período de 1/p es el menor entero positivo n tal que p divide a 10^n - 1.

El objetivo de este ejercicio es la verificación de dicha propiedad.

Las fracciones se representan por un par de enteros. Por ejemplo, el número 2/3 se representa por (2,3). Su tipo es

Los números decimales se representan por ternas, donde el primer elemento es la parte entera, el segundo es el anteperíodo y el tercero es el período. Por ejemplo,

Su tipo es

Definir, usando las funciones cocientesRestos y primerRepetido de los ejercicios anteriores, las funciones

tales que

  • (decimal f) es la representación decimal de la fracción f. Por ejemplo,

  • (longitudPeriodo f) es la longitud de la parte periódica de la representación decimal de la fracción f. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck la propiedad de la longitud de la parte periódica; es decir, k es un número natural distinto de 0 y 2 y p es el primo k-ésimo, entonces la longitud del período de 1/p es el menor entero positivo n tal que p divide a 10^n - 1..

Soluciones

Otras soluciones

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Pensamiento

«En el desarrollo de la comprensión de los fenómenos complejos, la herramienta más poderosa de que dispone el intelecto humano es la abstracción. La abstracción surge del reconocimiento de las similitudes entre ciertos objetos, situaciones o procesos en el mundo real y de la decisión de concentrarse en estas similitudes e ignorar, por el momento, sus diferencias.»

Tony Hoare

Elementos múltiplos de la longitud de la lista

Definir las funciones

tales que

  • (multiplosDeLaLongitud xs) es la lista de los elementos de xs que son múltiplos de la longitud de xs. Por ejemplo,

  • (multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos n m) es la lista de elementos de [n..n+m-1] que son múltiplos de n. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck si se verifican las siguientes propiedades

  • En cualquier conjunto de m elementos consecutivos, m divide exactamente a uno de dichos elementos. En otras palabras, si n y m son enteros positivos, entonces (multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos n m) tiene exactamente un elemento.
  • Si n es un entero positivo y m >= n, entonces (multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos n m) es igual a [m]
  • Si n y n son enteros positivos y m < n, entonces (multiplosDeLaLongitudDeConsecutivos n m) es igual a [m * ceiling (n’ / m’)] donde n’ y m’ son las formas decimales de n y m respectivamente.

Soluciones

Referencia

Pensamiento

Pensando que no veía
porque Dios no le miraba,
dijo Abel cuando moría:
Se acabó lo que se daba.

Antonio Machado

Teorema de existencia de divisores

El teorema de existencia de divisores afirma que

En cualquier subconjunto de {1, 2, …, 2m} con al menos m+1 elementos existen números distintos a, b tales que a divide a b.

Un conjunto de números naturales xs es mayoritario si existe un m tal que la lista de xs es un subconjunto de {1,2,…,2m} con al menos m+1 elementos. Por ejemplo, {2,3,5,6} porque es un subconjunto de {1,2,…,6} con más de 3 elementos.

Definir las funciones

tales que

  • (divisores xs) es la lista de pares de elementos distintos de (a,b) tales que a divide a b. Por ejemplo,

  • (esMayoritario xs) se verifica xs es mayoritario. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck el teorema de existencia de divisores; es decir, en cualquier conjunto mayoritario existen números distintos a, b tales que a divide a b. Para la comprobación se puede usar el siguiente generador de conjuntos mayoritarios

con lo que la propiedad que hay que comprobar con QuickCheck es

Soluciones

Pensamiento

Guiomar, Guiomar,
mírame en ti castigado:
reo de haberte creado,
ya no te puedo olvidar.

Antonio Machado

La mayor potencia de dos no es divisor

Para cada número entero positivo n, se define el conjunto

de los números desde el 1 hasta n.

Definir la función

tal que (mayorPotenciaDeDosEnS n) es la mayor potencia de 2 en S(n). Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que la mayor potencia de 2 en S(n) no divide a ningún otro elemento de S(n).

Soluciones

Referencia

Pensamiento

¡Sólo tu figura,
como una centella blanca,
en mi noche oscura.

Antonio Machado

Factorizaciones de 4n+1

Sea S el conjunto

de los enteros positivos congruentes con 1 módulo 4; es decir,

Un elemento n de S es irreducible si sólo es divisible por dos elementos de S: 1 y n. Por ejemplo, 9 es irreducible; pero 45 no lo es (ya que es el proctos de 5 y 9 que son elementos de S).

Definir las funciones

tales que

  • (esIrreducible n) se verifica si n es irreducible. Por ejemplo,

  • (factorizaciones n) es la lista de conjuntos de elementos irreducibles de S cuyo producto es n. Por ejemplo,

  • conFactorizacionNoUnica es la lista de elementos de S cuya factorización no es única. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

¡Qué bien los nombres ponía
quien puso Sierra Morena
a esta serranía!

Antonio Machado

Teorema de Liouville sobre listas CuCu

Una lista CuCu es una lista de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Por ejemplo, [1, 2, 3, 2, 4, 6] es una lista CuCu ya que

La lista de Liouville correspondiente al número entero positivo n es la lista formada por el número de divisores de cada divisor de n. Por ejemplo, para el número 20 se tiene que sus divisores son