iterate

La sucesión «Mira y di»

PorJosé A. Alonso 24-enero-201731-enero-2017

La sucesión «Mira y di» (en inglés, Look-and-Say) es una sucesión de números naturales en donde cada término se obtiene agrupando las cifras iguales del anterior y recitándolas. Por ejemplo, si x(0) = 1 se lee como «un uno» y por tanto x(1) = 11. Análogamente,

   x(1) = 11     ("dos unos                          --> "21")
   x(2) = 21     ("un dos un uno                     --> "1211")
   x(3) = 1211   ("un uno un dos dos unos            --> "111221")
   x(4) = 111221 ("tres unos dos doses un uno        --> "312211")
   x(5) = 312211 ("un tres un uno dos doses dos unos --> "13112221")

x(1) = 11 ("dos unos --> "21")

x(2) = 21 ("un dos un uno --> "1211")

x(3) = 1211 ("un uno un dos dos unos --> "111221")

x(4) = 111221 ("tres unos dos doses un uno --> "312211")

x(5) = 312211 ("un tres un uno dos doses dos unos --> "13112221")

Definir la función

  sucMiraYDi :: Integer -> [Integer]

1	sucMiraYDi :: Integer -> [Integer]

tal que (sucMiraYDi n) es la sucesión «Mira y di» cuyo primer término es n. Por ejemplo,

   λ> take 9 (sucMiraYdi 1)
   [1,11,21,1211,111221,312211,13112221,1113213211,31131211131221]
   λ> take 5 (sucMiraYdi 2017)
   [2017,12101117,111211103117,31123110132117,1321121321101113122117]
   λ> take 7 (sucMiraYDi 22)
   [22,22,22,22,22,22,22]
   λ> (sucMiraYDi 1) !! 11
   3113112221232112111312211312113211
   λ> (sucMiraYDi 1) !! 12
   1321132132111213122112311311222113111221131221

λ> take 9 (sucMiraYdi 1)

[1,11,21,1211,111221,312211,13112221,1113213211,31131211131221]

λ> take 5 (sucMiraYdi 2017)

[2017,12101117,111211103117,31123110132117,1321121321101113122117]

λ> take 7 (sucMiraYDi 22)

[22,22,22,22,22,22,22]

λ> (sucMiraYDi 1) !! 11

3113112221232112111312211312113211

λ> (sucMiraYDi 1) !! 12

1321132132111213122112311311222113111221131221

Independientemente del término inicial x(0) elegido (con la única salvedad del 22), la sucesión diverge y la razón entre el número de cifras de x(n) y el de x(n-1) tiende a un valor fijo que es la constante de Conway λ ≈ 1.303577269. Por ejemplo, para x(0) = 1, las razones son

   2, 1, 2, 1.5, 1, 1.3333333333333333, 1.25, 1.4, 1.4285714285714286, 1.3

1	2, 1, 2, 1.5, 1, 1.3333333333333333, 1.25, 1.4, 1.4285714285714286, 1.3

Definir la función

   aproximacionConway :: Integer -> Double -> Int

1	aproximacionConway :: Integer -> Double -> Int

tal que (aproximacionConway n e) es el menor k tal que la diferencia entre la constante de Conway y la razón entre el número de cifras de x(k) x(k-1) es, en valor absoluto, menor que e. Por ejemplo,

   aproximacionConway 1 0.3     ==  3
   aproximacionConway 1 0.1     ==  5
   aproximacionConway 1 0.01    ==  9
   aproximacionConway 1 0.001   ==  24
   aproximacionConway 1 0.0001  ==  43
   aproximacionConway 2 0.0001  ==  47

aproximacionConway 1 0.3 == 3

aproximacionConway 1 0.1 == 5

aproximacionConway 1 0.01 == 9

aproximacionConway 1 0.001 == 24

aproximacionConway 1 0.0001 == 43

aproximacionConway 2 0.0001 == 47

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Elías Guisado.

Soluciones

import Data.List (genericLength, group)

-- 1ª solución
-- ===========

sucMiraYdi :: Integer -> [Integer]
sucMiraYdi = iterate di

-- (di x) es el número correspondiente a la lectura de x. Por ejemplo.
--    di 1       ==  11
--    di 11      ==  21
--    di 21      ==  1211
--    di 1211    ==  111221
--    di 111221  ==  312211
--    di 312211  ==  13112221
di :: Integer -> Integer
di = read . concatMap aux . group . show
  where aux s = show (length s) ++ [head s]

-- 2ª solución
-- ===========

sucMiraYdi2 :: Integer -> [Integer]
sucMiraYdi2 = iterate (read . concatMap aux . group . show)
  where aux s = show (length s) ++ [head s]

-- Constante de Conway
-- ===================

aproximacionConway :: Integer -> Double -> Int
aproximacionConway n e =
  length (takeWhile aux (razonesMiraYdi n))
  where aux x = abs (x - constanteConway) > e 

constanteConway :: Double
constanteConway = 1.303577269

-- (razonesMiraYdi n) es la sucesión de las razones entre de cada
-- elemento de la sucesión "Mira y di" con elemento inicial n y su
-- anterior. Por ejemplo,
--    λ> take 10 (razonesMiraYdi 1)
--    [2.0,1.0,2.0,1.5,1.0,1.3333333333333333,1.25,1.4,1.4285714285714286,1.3]
--    λ> take 7 (razonesMiraYdi 10)
--    [2.0,1.0,1.5,1.6666666666666667,1.2,1.1666666666666667,1.5714285714285714]
razonesMiraYdi :: Integer -> [Double]
razonesMiraYdi n =
  zipWith (/) (tail xs) xs
  where xs = map (genericLength . show) (sucMiraYdi n)

import Data.List (genericLength, group)

-- 1ª solución

-- ===========

sucMiraYdi :: Integer -> [Integer]

sucMiraYdi = iterate di

-- (di x) es el número correspondiente a la lectura de x. Por ejemplo.

-- di 1 == 11

-- di 11 == 21

-- di 21 == 1211

-- di 1211 == 111221

-- di 111221 == 312211

-- di 312211 == 13112221

di :: Integer -> Integer

di = read . concatMap aux . group . show

where aux s = show (length s) ++ [head s]

-- 2ª solución

-- ===========

sucMiraYdi2 :: Integer -> [Integer]

sucMiraYdi2 = iterate (read . concatMap aux . group . show)

where aux s = show (length s) ++ [head s]

-- Constante de Conway

-- ===================

aproximacionConway :: Integer -> Double -> Int

aproximacionConway n e =

length (takeWhile aux (razonesMiraYdi n))

where aux x = abs (x - constanteConway) > e

constanteConway :: Double

constanteConway = 1.303577269

-- (razonesMiraYdi n) es la sucesión de las razones entre de cada

-- elemento de la sucesión "Mira y di" con elemento inicial n y su

-- anterior. Por ejemplo,

-- λ> take 10 (razonesMiraYdi 1)

-- [2.0,1.0,2.0,1.5,1.0,1.3333333333333333,1.25,1.4,1.4285714285714286,1.3]

-- λ> take 7 (razonesMiraYdi 10)

-- [2.0,1.0,1.5,1.6666666666666667,1.2,1.1666666666666667,1.5714285714285714]

razonesMiraYdi :: Integer -> [Double]

razonesMiraYdi n =

zipWith (/) (tail xs) xs

where xs = map (genericLength . show) (sucMiraYdi n)

Sucesión de cuadrados reducidos

PorJosé A. Alonso 5-enero-201712-enero-2017

La sucesión de cuadrados de orden n definida a partir de un número x se forma iniciándola en x y, para cada término z el siguiente es el número formado por los n primeros dígitos del cuadrado de z. Por ejemplo, para n = 4 y x = 1111, el primer término de la sucesión es 1111, el segundo es 1234 (ya que 1111^2 = 1234321) y el tercero es 1522 (ya que 1234^2 = 1522756).

Definir la función

   sucCuadrados :: Int -> Integer -> [Integer]

1	sucCuadrados :: Int -> Integer -> [Integer]

tal que (sucCuadrados n x) es la sucesión de cuadrados de orden n definida a partir de x. Por ejemplo,

   λ> take 10 (sucCuadrados 4 1111)
   [1111,1234,1522,2316,5363,2876,8271,6840,4678,2188]
   λ> take 10 (sucCuadrados 3 457)
   [457,208,432,186,345,119,141,198,392,153]
   λ> take 20 (sucCuadrados 2 55)
   [55,30,90,81,65,42,17,28,78,60,36,12,14,19,36,12,14,19,36,12]

λ> take 10 (sucCuadrados 4 1111)

[1111,1234,1522,2316,5363,2876,8271,6840,4678,2188]

λ> take 10 (sucCuadrados 3 457)

[457,208,432,186,345,119,141,198,392,153]

λ> take 20 (sucCuadrados 2 55)

[55,30,90,81,65,42,17,28,78,60,36,12,14,19,36,12,14,19,36,12]

Soluciones

sucCuadrados :: Int -> Integer -> [Integer]
sucCuadrados n x = iterate (siguiente n) x

siguiente :: Int -> Integer -> Integer
siguiente n x = read (take n (show (x^2)))

sucCuadrados :: Int -> Integer -> [Integer]

sucCuadrados n x = iterate (siguiente n) x

siguiente :: Int -> Integer -> Integer

siguiente n x = read (take n (show (x^2)))

Números de Perrin

PorJosé A. Alonso 29-diciembre-201625-abril-2021

Los números de Perrin se definen por la relación de recurrencia

   P(n) = P(n - 2) + P(n - 3) si n > 2,

1	P(n) = P(n - 2) + P(n - 3) si n > 2,

con los valores iniciales

   P(0) = 3, P(1) = 0 y P(2) = 2.

1	P(0) = 3, P(1) = 0 y P(2) = 2.

Definir la sucesión

   sucPerrin :: [Integer]

1	sucPerrin :: [Integer]

cuyos elementos son los números de Perrin. Por ejemplo,

   λ> take 15 sucPerrin
   [3,0,2,3,2,5,5,7,10,12,17,22,29,39,51]
   λ> length (show (sucPerrin !! (2*10^5)))
   24425

λ> take 15 sucPerrin

[3,0,2,3,2,5,5,7,10,12,17,22,29,39,51]

λ> length (show (sucPerrin !! (2*10^5)))

24425

Comprobar con QuickCheck si se verifica la siguiente propiedad: para todo entero n > 1, el n-ésimo término de la sucesión de Perrin es divisible por n si y sólo si n es primo.

Soluciones

import Data.List (genericIndex, unfoldr)
import Data.Numbers.Primes (isPrime)
import Test.QuickCheck

-- 1ª definición
sucPerrin1 :: [Integer]
sucPerrin1 = 3 : 0 : 2 : zipWith (+) sucPerrin1 (tail sucPerrin1)

-- 2ª definición
sucPerrin2 :: [Integer]
sucPerrin2 = [x | (x,_,_) <- iterate op (3,0,2)]
  where op (a,b,c) = (b,c,a+b)
 
-- 3ª definición
sucPerrin3 :: [Integer]
sucPerrin3 =
  unfoldr (\(a, (b,c)) -> Just (a, (b,(c,a+b)))) (3,(0,2))

-- Comparación de eficiencia
--    λ> length (show (sucPerrin1 !! (10^5)))
--    12213
--    (1.44 secs, 295,373,680 bytes)
--    λ> length (show (sucPerrin2 !! (10^5)))
--    12213
--    (1.22 secs, 301,493,408 bytes)
--    λ> length (show (sucPerrin3 !! (10^5)))
--    12213
--    (0.86 secs, 296,911,304 bytes)

-- Usaremos la 3ª
sucPerrin :: [Integer]
sucPerrin = sucPerrin3

-- La propiedad es  
conjeturaPerrin :: Integer -> Property
conjeturaPerrin n =
  n > 1 ==>
  (perrin n `mod` n == 0) == isPrime n

-- (perrin n) es el n-ésimo término de la sucesión de Perrin. Por
-- ejemplo,
--    perrin 4  ==  2
--    perrin 5  ==  5
--    perrin 6  ==  5
perrin :: Integer -> Integer
perrin n = sucPerrin `genericIndex` n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck conjeturaPerrin
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List (genericIndex, unfoldr)

import Data.Numbers.Primes (isPrime)

import Test.QuickCheck

-- 1ª definición

sucPerrin1 :: [Integer]

sucPerrin1 = 3 : 0 : 2 : zipWith (+) sucPerrin1 (tail sucPerrin1)

-- 2ª definición

sucPerrin2 :: [Integer]

sucPerrin2 = [x | (x,_,_) <- iterate op (3,0,2)]

where op (a,b,c) = (b,c,a+b)

-- 3ª definición

sucPerrin3 :: [Integer]

sucPerrin3 =

unfoldr (\(a, (b,c)) -> Just (a, (b,(c,a+b)))) (3,(0,2))

-- Comparación de eficiencia

-- λ> length (show (sucPerrin1 !! (10^5)))

-- 12213

-- (1.44 secs, 295,373,680 bytes)

-- λ> length (show (sucPerrin2 !! (10^5)))

-- 12213

-- (1.22 secs, 301,493,408 bytes)

-- λ> length (show (sucPerrin3 !! (10^5)))

-- 12213

-- (0.86 secs, 296,911,304 bytes)

-- Usaremos la 3ª

sucPerrin :: [Integer]

sucPerrin = sucPerrin3

-- La propiedad es

conjeturaPerrin :: Integer -> Property

conjeturaPerrin n =

n > 1 ==>

(perrin n `mod` n == 0) == isPrime n

-- (perrin n) es el n-ésimo término de la sucesión de Perrin. Por

-- ejemplo,

-- perrin 4 == 2

-- perrin 5 == 5

-- perrin 6 == 5

perrin :: Integer -> Integer

perrin n = sucPerrin `genericIndex` n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck conjeturaPerrin

-- +++ OK, passed 100 tests.

Nota: Aunque QuickCheck no haya encontrado contraejemplos, la propiedad no es cierta. Sólo lo es una de las implicaciones: si n es primo, entonces el n-ésimo término de la sucesión de Perrin es divisible por n. La otra es falsa y los primeros contraejemplos son

   271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291

1	271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291

Distancia a Erdős

PorJosé A. Alonso 14-diciembre-201621-diciembre-2016

Una de las razones por la que el matemático húngaro Paul Erdős es conocido es por la multitud de colaboraciones que realizó durante toda su carrera, un total de 511. Tal es así que se establece la distancia a Erdős como la distancia que has estado de coautoría con Erdős. Por ejemplo, si eres Paul Erdős tu distancia a Erdős es 0, si has escrito un artículo con Erdős tu distancia es 1, si has escrito un artículo con alguien que ha escrito un artículo con Erdős tu distancia es 2, etc. El objetivo de este problema es definir una función que a partir de una lista de pares de coautores y un número natural n calcular la lista de los matemáticos a una distancia n de Erdős.

Para el problema se considerará la siguiente lista de coautores

   coautores :: [(String,String)]
   coautores =
     [("Paul Erdos","Ernst Straus"),("Paul Erdos","Pascual Jordan"),
      ("Paul Erdos","D. Kleitman"),("Albert Einstein","Ernst Straus"),
      ("John von Newmann","David Hilbert"),("S. Glashow","D. Kleitman"),
      ("John von Newmann","Pascual Jordan"), ("David Pines","D. Bohm"),
      ("Albert Einstein","Otto Stern"),("S. Glashow", "M. Gell-Mann"),
      ("Richar Feynman","M. Gell-Mann"),("M. Gell-Mann","David Pines"),
      ("David Pines","A. Bohr"),("Wolfgang Pauli","Albert Einstein"),
      ("D. Bohm","L. De Broglie"), ("Paul Erdos","J. Conway"),
      ("J. Conway", "P. Doyle"),("Paul Erdos","A. J. Granville"),
      ("A. J. Granville","B. Mazur"),("B. Mazur","Andrew Wiles")]

coautores :: [(String,String)]

coautores =

[("Paul Erdos","Ernst Straus"),("Paul Erdos","Pascual Jordan"),

("Paul Erdos","D. Kleitman"),("Albert Einstein","Ernst Straus"),

("John von Newmann","David Hilbert"),("S. Glashow","D. Kleitman"),

("John von Newmann","Pascual Jordan"), ("David Pines","D. Bohm"),

("Albert Einstein","Otto Stern"),("S. Glashow", "M. Gell-Mann"),

("Richar Feynman","M. Gell-Mann"),("M. Gell-Mann","David Pines"),

("David Pines","A. Bohr"),("Wolfgang Pauli","Albert Einstein"),

("D. Bohm","L. De Broglie"), ("Paul Erdos","J. Conway"),

("J. Conway", "P. Doyle"),("Paul Erdos","A. J. Granville"),

("A. J. Granville","B. Mazur"),("B. Mazur","Andrew Wiles")]

La lista anterior es real y se ha obtenido del artículo Famous trails to Paul Erdős.

Definir la función

   numeroDeErdos :: [(String, String)] -> Int -> [String]

1	numeroDeErdos :: [(String, String)] -> Int -> [String]

tal que (numeroDeErdos xs n) es la lista de lista de los matemáticos de la
lista de coautores xs que se encuentran a una distancia n de Erdős. Por ejemplo,

   λ> numeroDeErdos coautores 0
   ["Paul Erdos"]
   λ> numeroDeErdos coautores 1
   ["Ernst Straus","Pascual Jordan","D. Kleitman","J. Conway","A. J. Granville"]
   λ> numeroDeErdos coautores 2
   ["Albert Einstein","John von Newmann","S. Glashow","P. Doyle","B. Mazur"]

λ> numeroDeErdos coautores 0

["Paul Erdos"]

λ> numeroDeErdos coautores 1

["Ernst Straus","Pascual Jordan","D. Kleitman","J. Conway","A. J. Granville"]

λ> numeroDeErdos coautores 2

["Albert Einstein","John von Newmann","S. Glashow","P. Doyle","B. Mazur"]

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Enrique Naranjo.

Soluciones

data Arbol a = N a [Arbol a]
             deriving Show 

coautores :: [(String,String)]
coautores =
  [("Paul Erdos","Ernst Straus"),("Paul Erdos","Pascual Jordan"),
   ("Paul Erdos","D. Kleitman"),("Albert Einstein","Ernst Straus"),
   ("John von Newmann","David Hilbert"),("S. Glashow","D. Kleitman"),
   ("John von Newmann","Pascual Jordan"), ("David Pines","D. Bohm"),
   ("Albert Einstein","Otto Stern"),("S. Glashow", "M. Gell-Mann"),
   ("Richar Feynman","M. Gell-Mann"),("M. Gell-Mann","David Pines"),
   ("David Pines","A. Bohr"),("Wolfgang Pauli","Albert Einstein"),
   ("D. Bohm","L. De Broglie"), ("Paul Erdos","J. Conway"),
   ("J. Conway", "P. Doyle"),("Paul Erdos","A. J. Granville"),
   ("A. J. Granville","B. Mazur"),("B. Mazur","Andrew Wiles")]

-- 1ª solución
-- ===========

numeroDeErdos :: [(String, String)] -> Int -> [String]
numeroDeErdos xs n = nivel n (arbolDeErdos xs "Paul Erdos")

-- (arbolDeErdos xs a) es el árbol de coautores de a según la lista de
-- coautores xs. Por ejemplo,
--    λ> arbolDeErdos coautores "Paul Erdos"
--    N "Paul Erdos"
--      [N "Ernst Straus"
--         [N "Albert Einstein"
--           [N "Wolfgang Pauli" [],
--            N "Otto Stern" []]],
--          N "Pascual Jordan"
--            [N "John von Newmann"
--               [N "David Hilbert" []]],
--          N "D. Kleitman"
--            [N "S. Glashow"
--               [N "M. Gell-Mann"
--                  [N "Richar Feynman" [],
--                   N "David Pines"
--                     [N "A. Bohr" [],
--                      N "D. Bohm"
--                        [N "L. De Broglie" []]]]]],
--          N "J. Conway"
--            [N "P. Doyle" []],
--             N "A. J. Granville"
--               [N "B. Mazur"
--                  [N "Andrew Wiles" []]]]
arbolDeErdos :: [(String, String)] -> String -> Arbol String
arbolDeErdos xs a =
  N a [arbolDeErdos noColaboradores n | n <- colaboradores]
  where
    colaboradores   = [filtra a (x,y) | (x,y) <- xs, x == a || y == a]
    filtra a (x,y) | a == x    = y
                   | otherwise = x
    noColaboradores = [(x,y) | (x,y) <- xs, x /= a, y /= a]

-- (nivel n a) es la lista de los elementos del árbol a en el nivel
-- n. Por ejemplo,      
--    nivel 0 (N 3 [N 5 [N 6 []], N 7 [N 9 []]])   ==  [3]
--    nivel 1 (N 3 [N 5 [N 6 []], N 7 [N 9 []]])   ==  [5,7]
--    nivel 2 (N 3 [N 5 [N 6 []], N 7 [N 9 []]])   ==  [6,9]
nivel :: Int -> Arbol a -> [a]
nivel 0 (N a xs) = [a]
nivel n (N a xs) = concatMap (nivel (n-1)) xs

-- 2ª solución
-- ===========

numeroDeErdos2 :: [(String, String)] -> Int -> [String]
numeroDeErdos2 = auxC ["Paul Erdos"] 
  where
    auxC v xs 0 = v
    auxC v xs x = auxC  (n v) (m v xs) (x-1)
      where n v =     [a | (a,b) <- xs, elem b v] ++
                      [b | (a,b) <- xs, elem a v]
            m ys xs = [(a,b) | (a,b) <- xs
                             , notElem a ys && notElem b ys]

-- 3ª solución
-- ===========

numeroDeErdos3 :: [(String, String)] -> Int -> [String]
numeroDeErdos3 ps n = (sucCoautores "Paul Erdos" ps) !! n

-- (sucCoautores a ps) es la sucesión de coautores de a en ps ordenados
-- por diatancia. Por ejemplo, 
--    λ> take 3 (sucCoautores "Paul Erdos" coautores)
--    [["Paul Erdos"],
--     ["Ernst Straus","Pascual Jordan","D. Kleitman","J. Conway",
--      "A. J. Granville"],
--     ["Albert Einstein","John von Newmann","S. Glashow","P. Doyle",
--      "B. Mazur"]]
--    λ> sucCoautores "Albert Einstein" coautores
--    [["Albert Einstein"],
--     ["Ernst Straus","Otto Stern","Wolfgang Pauli"],
--     ["Paul Erdos"],
--     ["Pascual Jordan","D. Kleitman","J. Conway", "A. J. Granville"],
--     ["John von Newmann","S. Glashow","P. Doyle","B. Mazur"],
--     ["David Hilbert","M. Gell-Mann","Andrew Wiles"],
--     ["David Pines","Richar Feynman"],
--     ["D. Bohm","A. Bohr"],
--     ["L. De Broglie"]]
sucCoautores :: String -> [(String, String)] -> [[String]]
sucCoautores a ps =
  takeWhile (not . null) (map fst (iterate sig ([a], as \\ [a])))
  where as = elementos ps
        sig (xs,ys) = (zs,ys \\ zs)
          where zs = [y | y <- ys
                        , or [elem (x,y) ps || elem (y,x) ps | x <- xs]]

-- (elementos ps) es la lista de los elementos de los pares ps. Por
-- ejemplo,
--    elementos [(1,3),(3,2),(1,5)]  ==  [1,3,2,5]
elementos :: Eq a => [(a, a)] -> [a]
elementos = nub . (concatMap (\(x,y) -> [x,y]))

100

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114

data Arbol a = N a [Arbol a]

deriving Show

coautores :: [(String,String)]

coautores =

[("Paul Erdos","Ernst Straus"),("Paul Erdos","Pascual Jordan"),

("Paul Erdos","D. Kleitman"),("Albert Einstein","Ernst Straus"),

("John von Newmann","David Hilbert"),("S. Glashow","D. Kleitman"),

("John von Newmann","Pascual Jordan"), ("David Pines","D. Bohm"),

("Albert Einstein","Otto Stern"),("S. Glashow", "M. Gell-Mann"),

("Richar Feynman","M. Gell-Mann"),("M. Gell-Mann","David Pines"),

("David Pines","A. Bohr"),("Wolfgang Pauli","Albert Einstein"),

("D. Bohm","L. De Broglie"), ("Paul Erdos","J. Conway"),

("J. Conway", "P. Doyle"),("Paul Erdos","A. J. Granville"),

("A. J. Granville","B. Mazur"),("B. Mazur","Andrew Wiles")]

-- 1ª solución

-- ===========

numeroDeErdos :: [(String, String)] -> Int -> [String]

numeroDeErdos xs n = nivel n (arbolDeErdos xs "Paul Erdos")

-- (arbolDeErdos xs a) es el árbol de coautores de a según la lista de

-- coautores xs. Por ejemplo,

-- λ> arbolDeErdos coautores "Paul Erdos"

-- N "Paul Erdos"

-- [N "Ernst Straus"

-- [N "Albert Einstein"

-- [N "Wolfgang Pauli" [],

-- N "Otto Stern" []]],

-- N "Pascual Jordan"

-- [N "John von Newmann"

-- [N "David Hilbert" []]],

-- N "D. Kleitman"

-- [N "S. Glashow"

-- [N "M. Gell-Mann"

-- [N "Richar Feynman" [],

-- N "David Pines"

-- [N "A. Bohr" [],

-- N "D. Bohm"

-- [N "L. De Broglie" []]]]]],

-- N "J. Conway"

-- [N "P. Doyle" []],

-- N "A. J. Granville"

-- [N "B. Mazur"

-- [N "Andrew Wiles" []]]]

arbolDeErdos :: [(String, String)] -> String -> Arbol String

arbolDeErdos xs a =

N a [arbolDeErdos noColaboradores n | n <- colaboradores]

where

colaboradores = [filtra a (x,y) | (x,y) <- xs, x == a || y == a]

filtra a (x,y) | a == x = y

| otherwise = x

noColaboradores = [(x,y) | (x,y) <- xs, x /= a, y /= a]

-- (nivel n a) es la lista de los elementos del árbol a en el nivel

-- n. Por ejemplo,

-- nivel 0 (N 3 [N 5 [N 6 []], N 7 [N 9 []]]) == [3]

-- nivel 1 (N 3 [N 5 [N 6 []], N 7 [N 9 []]]) == [5,7]

-- nivel 2 (N 3 [N 5 [N 6 []], N 7 [N 9 []]]) == [6,9]

nivel :: Int -> Arbol a -> [a]

nivel 0 (N a xs) = [a]

nivel n (N a xs) = concatMap (nivel (n-1)) xs

-- 2ª solución

-- ===========

numeroDeErdos2 :: [(String, String)] -> Int -> [String]

numeroDeErdos2 = auxC ["Paul Erdos"]

where

auxC v xs 0 = v

auxC v xs x = auxC (n v) (m v xs) (x-1)

where n v = [a | (a,b) <- xs, elem b v] ++

[b | (a,b) <- xs, elem a v]

m ys xs = [(a,b) | (a,b) <- xs

, notElem a ys && notElem b ys]

-- 3ª solución

-- ===========

numeroDeErdos3 :: [(String, String)] -> Int -> [String]

numeroDeErdos3 ps n = (sucCoautores "Paul Erdos" ps) !! n

-- (sucCoautores a ps) es la sucesión de coautores de a en ps ordenados

-- por diatancia. Por ejemplo,

-- λ> take 3 (sucCoautores "Paul Erdos" coautores)

-- [["Paul Erdos"],

-- ["Ernst Straus","Pascual Jordan","D. Kleitman","J. Conway",

-- "A. J. Granville"],

-- ["Albert Einstein","John von Newmann","S. Glashow","P. Doyle",

-- "B. Mazur"]]

-- λ> sucCoautores "Albert Einstein" coautores

-- [["Albert Einstein"],

-- ["Ernst Straus","Otto Stern","Wolfgang Pauli"],

-- ["Paul Erdos"],

-- ["Pascual Jordan","D. Kleitman","J. Conway", "A. J. Granville"],

-- ["John von Newmann","S. Glashow","P. Doyle","B. Mazur"],

-- ["David Hilbert","M. Gell-Mann","Andrew Wiles"],

-- ["David Pines","Richar Feynman"],

-- ["D. Bohm","A. Bohr"],

-- ["L. De Broglie"]]

sucCoautores :: String -> [(String, String)] -> [[String]]

sucCoautores a ps =

takeWhile (not . null) (map fst (iterate sig ([a], as \\ [a])))

where as = elementos ps

sig (xs,ys) = (zs,ys \\ zs)

where zs = [y | y <- ys

, or [elem (x,y) ps || elem (y,x) ps | x <- xs]]

-- (elementos ps) es la lista de los elementos de los pares ps. Por

-- ejemplo,

-- elementos [(1,3),(3,2),(1,5)] == [1,3,2,5]

elementos :: Eq a => [(a, a)] -> [a]

elementos = nub . (concatMap (\(x,y) -> [x,y]))

Suma de los máximos de los subconjuntos

PorJosé A. Alonso 8-diciembre-201615-diciembre-2016

Los subconjuntos distinto del vacío del conjunto {3, 2, 5}, junto con sus máximos elementos, son

   {3}       su máximo es 3
   {2}       su máximo es 2
   {5}       su máximo es 5
   {3, 2}    su máximo es 3
   {3, 5}    su máximo es 5
   {2, 5}    su máximo es 5
   {3, 2, 5} su máximo es 5

{3} su máximo es 3

{2} su máximo es 2

{5} su máximo es 5

{3, 2} su máximo es 3

{3, 5} su máximo es 5

{2, 5} su máximo es 5

{3, 2, 5} su máximo es 5

Por tanto, la suma de los máximos elementos de los subconjuntos de {3, 2, 5} es 3 + 2 + 5 + 3 + 5 + 5 + 5 = 28.

Definir la función

   sumaMaximos :: [Integer] -> Integer

1	sumaMaximos :: [Integer] -> Integer

tal que (sumaMaximos xs) es la suma de los máximos elementos de los subconjuntos de xs. Por ejemplo,

   sumaMaximos [3,2,5]    ==  28
   sumaMaximos [4,1,6,3]  ==  71
   sumaMaximos [1..100]   ==  125497409422594710748173617332225
   length (show (sumaMaximos [1..10^5]))  ==  30108
   sumaMaximos [1..10^5] `mod` (10^7)     ==  4490625

sumaMaximos [3,2,5] == 28

sumaMaximos [4,1,6,3] == 71

sumaMaximos [1..100] == 125497409422594710748173617332225

length (show (sumaMaximos [1..10^5])) == 30108

sumaMaximos [1..10^5] `mod` (10^7) == 4490625

Soluciones

import Data.List (sort, subsequences)

-- 1ª definición
sumaMaximos :: [Integer] -> Integer
sumaMaximos xs =
  sum [maximum ys | ys <- tail (subsequences xs)]

-- 2ª definición
sumaMaximos2 :: [Integer] -> Integer
sumaMaximos2 =
  sum . map maximum . tail . subsequences

-- 3ª definición
sumaMaximos3 :: [Integer] -> Integer
sumaMaximos3 xs =
  sum (zipWith (*) (sort xs) potenciasDeDos)

potenciasDeDos :: [Integer]
potenciasDeDos = iterate (*2) 1

-- Comparación de eficiencia
--    λ> sumaMaximos [1..20]
--    19922945
--    (2.74 secs, 703,957,848 bytes)
--    λ> sumaMaximos2 [1..20]
--    19922945
--    (2.06 secs, 680,728,696 bytes)
--    λ> sumaMaximos3 [1..20]
--    19922945
--    (0.01 secs, 0 bytes)

import Data.List (sort, subsequences)

-- 1ª definición

sumaMaximos :: [Integer] -> Integer

sumaMaximos xs =

sum [maximum ys | ys <- tail (subsequences xs)]

-- 2ª definición

sumaMaximos2 :: [Integer] -> Integer

sumaMaximos2 =

sum . map maximum . tail . subsequences

-- 3ª definición

sumaMaximos3 :: [Integer] -> Integer

sumaMaximos3 xs =

sum (zipWith (*) (sort xs) potenciasDeDos)

potenciasDeDos :: [Integer]

potenciasDeDos = iterate (*2) 1

-- Comparación de eficiencia

-- λ> sumaMaximos [1..20]

-- 19922945

-- (2.74 secs, 703,957,848 bytes)

-- λ> sumaMaximos2 [1..20]

-- 19922945

-- (2.06 secs, 680,728,696 bytes)

-- λ> sumaMaximos3 [1..20]

-- 19922945

-- (0.01 secs, 0 bytes)

Basado en el artículo
Sum of maximum elements of all subsets
de Utkarsh Trivedi en GeeksforGeeks.

Sucesión de cuadrados reducidos

Soluciones

Números de Perrin

Soluciones

Distancia a Erdős

Soluciones

Suma de los máximos de los subconjuntos

Soluciones

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