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Etiqueta: drop

Ordenada cíclicamente

José A. Alonso,

Se dice que una sucesión x(1), …, x(n) está ordenada cíclicamente si existe un índice i tal que la sucesión

   x(i), x(i+1), ..., x(n), x(1), ..., x(i-1)

está ordenada crecientemente de forma estricta.

Definir la función

   ordenadaCiclicamente :: Ord a => [a] -> Maybe Int

tal que (ordenadaCiclicamente xs) es el índice a partir del cual está ordenada, si la lista está ordenado cíclicamente y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,

   ordenadaCiclicamente [1,2,3,4]      ==  Just 0
   ordenadaCiclicamente [5,8,1,3]      ==  Just 2
   ordenadaCiclicamente [4,6,7,5,1,3]  ==  Nothing
   ordenadaCiclicamente [1,0,3,2]      ==  Nothing
   ordenadaCiclicamente [1,2,0]        ==  Just 2
   ordenadaCiclicamente "cdeab"        ==  Just 3

Nota: Se supone que el argumento es una lista no vacía sin elementos repetidos.

Biparticiones de una lista

José A. Alonso,

Definir la función

   biparticiones :: [a] -> [([a],[a])]

tal que (biparticiones xs) es la lista de pares formados por un prefijo de xs y el resto de xs. Por ejemplo,

   λ> biparticiones [3,2,5]
   [([],[3,2,5]),([3],[2,5]),([3,2],[5]),([3,2,5],[])]
   λ> biparticiones "Roma"
   [("","Roma"),("R","oma"),("Ro","ma"),("Rom","a"),("Roma","")]

Soluciones

import Data.List (inits, tails)
import Control.Applicative (liftA2)
import Test.QuickCheck (quickCheck)
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
biparticiones1 :: [a] -> [([a],[a])]
biparticiones1 [] = [([],[])]
biparticiones1 (x:xs) =
  ([],(x:xs)) : [(x:ys,zs) | (ys,zs) <- biparticiones1 xs]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
biparticiones2 :: [a] -> [([a],[a])]
biparticiones2 xs =
  [(take i xs, drop i xs) | i <- [0..length xs]]
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
biparticiones3 :: [a] -> [([a],[a])]
biparticiones3 xs =
  [splitAt i xs | i <- [0..length xs]]
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
biparticiones4 :: [a] -> [([a],[a])]
biparticiones4 xs =
  zip (inits xs) (tails xs)
 
-- 5ª solución
-- ===========
 
biparticiones5 :: [a] -> [([a],[a])]
biparticiones5 = liftA2 zip inits tails
 
-- 6ª solución
-- ===========
 
biparticiones6 :: [a] -> [([a],[a])]
biparticiones6 = zip <$> inits <*> tails
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_biparticiones :: [Int] -> Bool
prop_biparticiones xs =
  all (== biparticiones1 xs)
      [biparticiones2 xs,
       biparticiones3 xs,
       biparticiones4 xs,
       biparticiones5 xs,
       biparticiones6 xs]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_biparticiones
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> length (biparticiones1 [1..6*10^3])
--    6001
--    (2.21 secs, 3,556,073,552 bytes)
--    λ> length (biparticiones2 [1..6*10^3])
--    6001
--    (0.01 secs, 2,508,448 bytes)
--
--    λ> length (biparticiones2 [1..6*10^6])
--    6000001
--    (2.26 secs, 2,016,494,864 bytes)
--    λ> length (biparticiones3 [1..6*10^6])
--    6000001
--    (2.12 secs, 1,584,494,792 bytes)
--    λ> length (biparticiones4 [1..6*10^6])
--    6000001
--    (0.78 secs, 1,968,494,704 bytes)
--    λ> length (biparticiones5 [1..6*10^6])
--    6000001
--    (0.79 secs, 1,968,494,688 bytes)
--    λ> length (biparticiones6 [1..6*10^6])
--    6000001
--    (0.77 secs, 1,968,494,720 bytes)
--
--    λ> length (biparticiones4 [1..10^7])
--    10000001
--    (1.30 secs, 3,280,495,432 bytes)
--    λ> length (biparticiones5 [1..10^7])
--    10000001
--    (1.42 secs, 3,280,495,416 bytes)
--    λ> length (biparticiones6 [1..10^7])
--    10000001
--    (1.30 secs, 3,280,495,448 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

  • En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Enumeración de conjuntos finitos de naturales

José A. Alonso,

Los conjuntos finitos de números naturales se pueden enumerar como sigue

    0: []
    1: [0]
    2: [1]
    3: [1,0]
    4: [2]
    5: [2,0]
    6: [2,1]
    7: [2,1,0]
    8: [3]
    9: [3,0]
   10: [3,1]
   11: [3,1,0]
   12: [3,2]
   13: [3,2,0]
   14: [3,2,1]
   15: [3,2,1,0]
   16: [4]
   17: [4,0]
   18: [4,1]
   19: [4,1,0]

en la que los elementos están ordenados de manera decreciente.

Definir la constante

   enumeracionCFN :: [[Integer]]

tal que sus elementos son los conjuntos de los números naturales con la ordenación descrita anteriormente. Por ejemplo,

   λ> take 20 enumeracionCFN
   [[],
    [0],
    [1],[1,0],
    [2],[2,0],[2,1],[2,1,0],
    [3],[3,0],[3,1],[3,1,0],[3,2],[3,2,0],[3,2,1],[3,2,1,0],
    [4],[4,0],[4,1],[4,1,0]]

Comprobar con QuickCheck que

  • si (xs,ys) es un par de elementos consecutivos de enumeracionCFN, entonces xs < ys;
  • todo conjunto finito de números naturales, representado por una lista decreciente, está en enumeracionCFN.

Soluciones

import Data.List (genericLength, nub, sort)
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
enumeracionCFN :: [[Integer]]
enumeracionCFN = concatMap enumeracionCFNHasta [0..]
 
-- (enumeracionCFNHasta n) es la lista de conjuntos con la enumeración
-- anterior cuyo primer elemento es n. Por ejemplo,
--    λ> enumeracionCFNHasta 1
--    [[1],[1,0]]
--    λ> enumeracionCFNHasta 2
--    [[2],[2,0],[2,1],[2,1,0]]
--    λ> enumeracionCFNHasta 3
--    [[3],[3,0],[3,1],[3,1,0],[3,2],[3,2,0],[3,2,1],[3,2,1,0]]
enumeracionCFNHasta :: Integer -> [[Integer]]
enumeracionCFNHasta 0 = [[],[0]]
enumeracionCFNHasta n =
  [n:xs | k <- [0..n-1], xs <- enumeracionCFNHasta k]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
enumeracionCFN2 :: [[Integer]]
enumeracionCFN2 = [] : aux 0 [[]]
  where aux n xs = yss ++ aux (n+1) (xs ++ yss)
          where yss = map (n:) xs
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
enumeracionCFN3 :: [[Integer]]
enumeracionCFN3 = map conjunto [0..]
 
-- (conjunto n) es el conjunto en la posición n. Por ejemplo,
--   conjunto 6  ==  [2,1]
conjunto :: Integer -> [Integer]
conjunto n = reverse [x | (x,y) <- zip [0..] (binario n), y == 1]
 
-- (binario n) es la representación binarioa del número n (en orden
-- inverso). Por ejemplo,
--   binario 6  ==  [0,1,1]
binario :: Integer -> [Integer]
binario 0 = [0]
binario 1 = [1]
binario n = n `mod` 2 : binario (n `div` 2)
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> enumeracionCFN !! (4*10^5)
--    [18,17,12,11,9,7]
--    (1.18 secs, 576,924,344 bytes)
--    λ> enumeracionCFN2 !! (4*10^5)
--    [18,17,12,11,9,7]
--    (0.10 secs, 72,399,784 bytes)
--    λ> enumeracionCFN3 !! (4*10^5)
--    [18,17,12,11,9,7]
--    (0.07 secs, 64,123,952 bytes)
--
--    λ> enumeracionCFN2 !! (6*10^6)
--    [22,20,19,17,16,15,11,10,8,7]
--    (1.25 secs, 1,082,690,216 bytes)
--    λ> enumeracionCFN3 !! (6*10^6)
--    [22,20,19,17,16,15,11,10,8,7]
--    (0.38 secs, 960,134,256 bytes)
 
-- Propiedades
-- ===========
 
-- La primera propiedad es
prop_enumeracionCFN :: Int -> Property
prop_enumeracionCFN n =
  n >= 0 ==> xs < ys
  where (xs:ys:_) = drop n enumeracionCFN
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_enumeracionCFN
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- La segunda propiedad es
prop_completa :: [Integer] -> Bool
prop_completa xs =
  xs' `elem` enumeracionCFN
  where xs' = reverse (sort (nub (map abs xs)))
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=15}) prop_completa
--    +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

Junto al agua fría,
en la senda clara,
sombra dará algún día,
ese arbolillo en que nadie repara.

Antonio Machado

Posiciones del 2019 en el número pi

José A. Alonso,

El fichero Digitos_de_pi.txt contiene el número pi con un millón de decimales; es decir,

   3.1415926535897932384626433832 ... 83996346460422090106105779458151

Definir la función

   posiciones :: String -> Int -> IO [Int]

tal que (posicion cs k) es es la lista de las posiciones iniciales de cs en la sucesión formada por los k primeros dígitos decimales del número pi. Por ejemplo,

   λ> posiciones "141" 1000
   [0,294]
   λ> posiciones "4159" 10000
   [1,5797,6955,9599]

Calcular la primera posición de 2019 en los decimales de pi y el número de veces que aparece 2019 en en el primer millón de decimales de pi.

Soluciones

import Data.List ( isPrefixOf
                 , findIndices
                 , tails  
                 )
 
-- 1ª definición
-- =============
 
posiciones :: String -> Int -> IO [Int]
posiciones cs k = do
  ds <- readFile "Digitos_de_pi.txt"
  return (posicionesEnLista cs (take (k-1) (drop 2 ds)))
 
--    posicionesEnLista "23" "234235523"  ==  [0,3,7]
posicionesEnLista :: Eq a => [a] -> [a] -> [Int]
posicionesEnLista xs ys = reverse (aux ys 0 [])
  where aux []      _ ns = ns
        aux (y:ys') n ns | xs `isPrefixOf` (y:ys') = aux ys' (n+1) (n:ns)
                         | otherwise               = aux ys' (n+1) ns
 
-- 2ª definición
-- =============
 
posiciones2 :: String -> Int -> IO [Int]
posiciones2 cs k = do
  ds <- readFile "Digitos_de_pi.txt"
  return (findIndices (cs `isPrefixOf`) (tails (take (k-1) (drop 2 ds))))
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> length <$> posiciones "2019" (10^6)
--    112
--    (1.73 secs, 352,481,272 bytes)
--    λ> length <$> posiciones2 "2019" (10^6)
--    112
--    (0.16 secs, 144,476,384 bytes)
 
-- El cálculo es
--    λ> ps <- posiciones "2019" (10^6)
--    λ> head ps
--    243
--    λ> length ps
--    112
-- Por tanto, la posición de la primera ocurrencia es 243 y hay 112
-- ocurrencias. Otra forma de hacer los cálculos anteriores es
--    λ> head <$> posiciones "2019" (10^6)
--    243
--    λ> length <$> posiciones "2019" (10^6)
--    112

Pensamiento

Aprendió tantas cosas, que no tuvo tiempo para pensar en ninguna de ellas.

Antonio Machado

Búsqueda en los dígitos de pi

José A. Alonso,

El fichero Digitos_de_pi.txt contiene el número pi con un millón de decimales; es decir,

   3.1415926535897932384626433832 ... 83996346460422090106105779458151

Definir la función

   posicion :: String -> IO (Maybe Int)

tal que (posicion n) es (Just k) si k es la posición de n en la sucesión formada por un millón dígitos decimales del número pi y Nothing si n no ocurre en dicha sucesión. Por ejemplo,

   λ> posicion "15"
   Just 3
   λ> posicion "2017"
   Just 8897
   λ> posicion "022017"
   Just 382052
   λ> posicion "14022017"
   Nothing
   λ> posicion "999999"
   Just 762
   λ> posicion "458151"
   Just 999995

Nota. Se puede comprobar la función mediante The pi-search page o Pi search engine.

Soluciones

import Data.List (isPrefixOf)
 
posicion :: String -> IO (Maybe Int)
posicion ns = do
  ds <- readFile "Digitos_de_pi.txt"
  return (posicionEnLista (drop 2 ds) ns)
 
posicionEnLista :: Eq a => [a] -> [a] -> Maybe Int
posicionEnLista xs ys = aux xs 1
  where aux [] _ = Nothing
        aux (x:xs) n | ys `isPrefixOf` (x:xs) = Just n
                     | otherwise              = aux xs (n+1)

Períodos de Fibonacci

José A. Alonso,

Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son

   0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610

Al calcular sus restos módulo 3 se obtiene

   0,1,1,2,0,2,2,1, 0,1,1,2,0,2,2,1

Se observa que es periódica y su período es

   0,1,1,2,0,2,2,1

Definir las funciones

   fibsMod                   :: Integer -> [Integer]
   periodoFibMod             :: Integer -> [Integer]
   longPeriodosFibMod        :: [Int]
   graficaLongPeriodosFibMod :: Int -> IO ()

tales que

  • (fibsMod n) es la lista de los términos de la sucesión de Fibonacci módulo n. Por ejemplo,
     λ> take 24 (fibsMod 3)
     [0,1,1,2,0,2,2,1, 0,1,1,2,0,2,2,1, 0,1,1,2,0,2,2,1]
     λ> take 24 (fibsMod 4)
     [0,1,1,2,3,1, 0,1,1,2,3,1, 0,1,1,2,3,1, 0,1,1,2,3,1]
  • (periodoFibMod n) es la parte perioica de la sucesión de Fibonacci módulo n. Por ejemplo,
     periodoFibMod 3  ==  [0,1,1,2,0,2,2,1]
     periodoFibMod 4  ==  [0,1,1,2,3,1]
     periodoFibMod 7  ==  [0,1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1]
  • longPeriodosFibMod es la sucesión de las longitudes de los períodos de las sucesiones de Fibonacci módulo n, para n > 0. Por ejemplo,
     λ> take 20 longPeriodosFibMod
     [1,3,8,6,20,24,16,12,24,60,10,24,28,48,40,24,36,24,18,60]
  • (graficaLongPeriodosFibMod n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de la sucesión longPeriodosFibMod. Por ejemplo, (graficaLongPeriodosFibMod n) dibuja
    Periodos_de_Fibonacci 300

Soluciones

import Graphics.Gnuplot.Simple
 
fibsMod :: Integer -> [Integer]
fibsMod n = map (`mod` n) fibs
 
-- fibs es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,
--    λ> take 20 fibs
--    [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]
fibs :: [Integer]
fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)
 
periodoFibMod :: Integer -> [Integer]
periodoFibMod 1 = [0]
periodoFibMod n = 0 : 1 : aux (drop 2 (fibsMod n))
  where aux (0:1:xs) = []
        aux (a:b:xs) = a : aux (b:xs)
 
longPeriodosFibMod :: [Int]
longPeriodosFibMod =
  [length (periodoFibMod n) | n <- [1..]]
 
-- 2ª definición de longPeriodosFibMod
-- ===================================
 
longPeriodosFibMod2 :: [Int]
longPeriodosFibMod2 = map longPeriodoFibMod [1..]
 
longPeriodoFibMod :: Integer -> Int
longPeriodoFibMod 1 = 1
longPeriodoFibMod n = aux 1 (tail (fibsMod n)) 0
  where aux 0 (1 : xs) k = k
        aux _ (x : xs) k = aux x xs (k + 1)
 
graficaLongPeriodosFibMod :: Int -> IO ()
graficaLongPeriodosFibMod n =
  plotList [ Key Nothing
           , Title ("graficaLongPeriodosFibMod " ++ show n)
           , PNG ("Periodos_de_Fibonacci " ++ show n ++ ".png")]
           (take n longPeriodosFibMod)

Búsqueda en los dígitos de pi

José A. Alonso,

El fichero Digitos_de_pi.txt contiene el número pi con un millón de decimales; es decir,

   3.1415926535897932384626433832 ... 83996346460422090106105779458151

Definir la función

   posicion :: String -> IO (Maybe Int)

tal que (posicion n) es (Just k) si k es la posición de n en la sucesión formada por un millón dígitos decimales del número pi y Nothing si n no ocurre en dicha sucesión. Por ejemplo,

   λ> posicion "15"
   Just 3
   λ> posicion "2017"
   Just 8897
   λ> posicion "022017"
   Just 382052
   λ> posicion "14022017"
   Nothing
   λ> posicion "999999"
   Just 762
   λ> posicion "458151"
   Just 999995

Nota. Se puede comprobar la función mediante The pi-search page o Pi search engine.

Soluciones

import Data.List (isPrefixOf)
 
posicion :: String -> IO (Maybe Int)
posicion ns = do
  ds <- readFile "Digitos_de_pi.txt"
  return (posicionEnLista (drop 2 ds) ns)
 
posicionEnLista :: Eq a => [a] -> [a] -> Maybe Int
posicionEnLista xs ys = aux xs 1
  where aux [] _ = Nothing
        aux (x:xs) n | ys `isPrefixOf` (x:xs) = Just n
                     | otherwise              = aux xs (n+1)

Particiones de una lista

José A. Alonso,

Definir la función

   particiones :: [a] -> [[[a]]]

tal que (particiones xs) es la lista de las particiones de xs en segmentos de elementos consecutivos. Por ejemplo,

   λ> particiones [1..3]
   [[[1],[2],[3]],[[1],[2,3]],[[1,2],[3]],[[1,2,3]]]
   λ> mapM_ print (particiones "abcd")
   ["a","b","c","d"]
   ["a","b","cd"]
   ["a","bc","d"]
   ["a","bcd"]
   ["ab","c","d"]
   ["ab","cd"]
   ["abc","d"]
   ["abcd"]
   λ> length (particiones [1..22])
   2097152

Comprobar con QuickCheck que la concatenación de cada uno de los elementos de (particiones xs) es igual a xs.

Nota: En la comprobación usar ejemplos pequeños como se indica a continuación

   quickCheckWith (stdArgs {maxSize=10}) prop_particiones

Soluciones

import Test.QuickCheck
 
particiones :: [a] -> [[[a]]]
particiones [] = [[]]
particiones xs =
  [(take k xs) : yss | k <- [1..n], yss <- particiones (drop k xs)]
  where n = length xs
 
-- La propiedad es
prop_particiones :: [Int] -> Bool
prop_particiones xs =
  all (\yss -> concat yss == xs) (particiones xs)
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=10}) prop_particiones
--    +++ OK, passed 100 tests.

Posiciones de equilibrio

José A. Alonso,

Se dice que k es una posición de equilibrio de una lista xs si la suma de los elementos de xs en las posiciones menores que k es igual a la suma de los elementos de xs en las posiciones mayores que k. Por ejemplo, en la lista [-7,1,5,2,-4,3,0] el 3 es una posición de equilibrio ya que -7+1+5 = -4+3+0; también lo es el 6 ya que -7+1+5+2+(-4)+3 = 0.

Definir la función,

   equilibrios :: (Num a, Eq a) => [a] -> [Int]

tal que (equilibrios xs) es la lista de las posiciones de equilibrio de xs. Por ejemplo,

   equilibrios [-7,1,5,2,-4,3,0]  ==  [3,6]
   equilibrios [1..10^6]          ==  []

Soluciones

-- 1ª definición
-- =============
 
equilibrios1 :: (Num a, Eq a) => [a] -> [Int]
equilibrios1 xs =
  [n | n <- [0..length xs - 1]
     , sum (take n xs) == sum (drop (n+1) xs)]
 
-- 2ª definición
-- =============
 
equilibrios2 :: (Num a, Eq a) => [a] -> [Int]
equilibrios2 xs =
  [n | (n,x,y) <- zip3 [0..] (sumasI xs) (sumasD xs)
     , x == y]
 
sumasI :: (Num a, Eq a) => [a] -> [a]
sumasI xs = [sum (take n xs) | n <- [0..length xs - 1]] 
 
sumasD :: (Num a, Eq a) => [a] -> [a]
sumasD xs = [sum (drop (n+1) xs) | n <- [0..length xs - 1]] 
 
-- 3ª definición
-- =============
 
equilibrios3 :: (Num a, Eq a) => [a] -> [Int]
equilibrios3 xs =
  [n | (n,x,y) <- zip3 [0..] (sumasI' xs) (sumasD' xs)
     , x == y]
 
sumasI' :: (Num a, Eq a) => [a] -> [a]
sumasI'  = init . scanl (+) 0 
 
sumasD' :: (Num a, Eq a) => [a] -> [a]
sumasD' = tail . scanr (+) 0
 
-- 4ª definición
-- =============
 
equilibrios4 :: (Num a, Eq a) => [a] -> [Int]
equilibrios4 xs =
  [n | (n,x,y) <- zip3 [0..] (scanl1 (+) xs) (scanr1 (+) xs)
     , x == y]
 
-- Comparación de eficiencia
--    λ> let xs = [1..10^4] in equilibrios1 (xs ++ [5] ++ reverse xs)
--    [10000]
--    (20.92 secs, 46,240,541,256 bytes)
--    λ> let xs = [1..10^4] in equilibrios2 (xs ++ [5] ++ reverse xs)
--    [10000]
--    (21.12 secs, 46,249,562,520 bytes)
--    λ> let xs = [1..10^4] in equilibrios3 (xs ++ [5] ++ reverse xs)
--    [10000]
--    (0.02 secs, 11,858,768 bytes)
--    λ> let xs = [1..10^4] in equilibrios4 (xs ++ [5] ++ reverse xs)
--    [10000]
--    (0.02 secs, 13,963,952 bytes)

Mayores que la mitad

José A. Alonso,

Definir la función

   mayoresMitad :: Ord a => [a] -> [a]

tal que (mayoresMitad xs) es la lista de los elementos de xs que son mayores que la mitad de los elementos de xs, suponiendo que los elementos de xs son distintos. Por ejemplo,

   sort (mayoresMitad [1,6,3,4])    ==  [4,6]
   sort (mayoresMitad [1,6,3,4,7])  ==  [4,6,7]
   sort (mayoresMitad [1,6,3,4,2])  ==  [3,4,6]
   length (mayoresMitad3 [1..10^6]) ==  500000

Nota: Se considera que si la lista tiene 2n+1 elementos, su mitad tiene n elementos.

Soluciones

import Data.List (sort)
 
-- 1ª solución:
mayoresMitad1 :: Ord a => [a] -> [a]
mayoresMitad1 xs =
  [x | x <- xs
     , length (filter (<=x) xs) > k]
  where k = length xs `div` 2 
 
-- 2ª solución
mayoresMitad2 :: Ord a => [a] -> [a]
mayoresMitad2 xs = aux xs
  where aux [] = []
        aux (y:ys) | length [x | x <- xs, x <= y] > k = y : aux ys
                   | otherwise                        = aux ys
        k = length xs `div` 2 
 
-- 3ª solución
mayoresMitad3 :: Ord a => [a] -> [a]
mayoresMitad3 xs = drop k (sort xs)
  where k = length xs `div` 2 
 
-- Comprobación de eficiencia
--    λ> length (mayoresMitad1 [1..4*10^3])
--    2000
--    (3.79 secs, 442,631,712 bytes)
--    λ> length (mayoresMitad2 [1..4*10^3])
--    2000
--    (11.82 secs, 1,463,762,192 bytes)
--    λ> length (mayoresMitad3 [1..4*10^3])
--    2000
--    (0.02 secs, 0 bytes)