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Números libres de cuadrados

Un número es libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2²

Definir la función

   libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

tal que libreDeCuadrados x se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,

   libreDeCuadrados 70  ==  True
   libreDeCuadrados 40  ==  False
   libreDeCuadrados (product (take 30000 primes))  ==  True

Divisores primos

Definir la función

   divisoresPrimos :: Integer -> [Integer]

tal que divisoresPrimos x es la lista de los divisores primos de x. Por ejemplo,

   divisoresPrimos 40 == [2,5]
   divisoresPrimos 70 == [2,5,7]
   length (divisoresPrimos (product [1..20000])) == 2262

Divisores de un número

Definir la función

   divisores :: Integer -> [Integer]

tal que divisores n es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,

  divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
  length (divisores (product [1..10]))  ==  270
  length (divisores (product [1..25]))  ==  340032

Diferencia conjuntista de listas

Definir la función

   diferencia :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]

tal que diferencia xs ys es la diferencia de las listas sin elementos repetidos xs e ys. Por ejemplo,

   diferencia [3,2,5,6] [5,7,3,4]  ==  [2,6]
   diferencia [3,2,5] [5,7,3,2]    ==  []

Intersección conjuntista de listas

Definir la función

   interseccion :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]

tal que interseccion xs ys es la intersección de las listas sin elementos repetidos xs e ys. Por ejemplo,

   interseccion [3,2,5] [5,7,3,4]  ==  [3,5]
   interseccion [3,2,5] [9,7,6,4]  ==  []

Unión conjuntista de listas

Definir la función

   union :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

tal que union xs ys es la unión de las listas, sin elementos repetidos, xs e ys. Por ejemplo,

   union [3,2,5] [5,7,3,4]  ==  [3,2,5,7,4]

Comprobar con QuickCheck que la unión es conmutativa.

Igualdad de conjuntos

Definir la función

   iguales :: Ord a => [a] -> [a] -> Bool

tal que iguales xs ys se verifica si xs e ys son iguales como conjuntos. Por ejemplo,

   iguales [3,2,3] [2,3]    ==  True
   iguales [3,2,3] [2,3,2]  ==  True
   iguales [3,2,3] [2,3,4]  ==  False
   iguales [2,3] [4,5]      ==  False

Reconocimiento de subconjunto

Definir la función

   subconjunto :: Ord a => [a] -> [a] -> Bool

tal que subconjunto xs ys se verifica si xs es un subconjunto de ys. por ejemplo,

   subconjunto [3,2,3] [2,5,3,5]  ==  True
   subconjunto [3,2,3] [2,5,6,5]  ==  False

Números racionales

Los números racionales pueden representarse mediante pares de números enteros. Por ejemplo, el número 2/5 puede representarse mediante el par (2,5).

Definir las funciones

   formaReducida    :: (Int,Int) -> (Int,Int)
   sumaRacional     :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> (Int,Int)
   productoRacional :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> (Int,Int)
   igualdadRacional :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> Bool

tales que

  • formaReducida x es la forma reducida del número racional x. Por ejemplo,
     formaReducida (4,10)  ==  (2,5)
     formaReducida (0,5)   ==  (0,1)
  • sumaRacional x y es la suma de los números racionales x e y, expresada en forma reducida. Por ejemplo,
     sumaRacional (2,3) (5,6)  ==  (3,2)
     sumaRacional (3,5) (-3,5) ==  (0,1)
  • productoRacional x y es el producto de los números racionales x e y, expresada en forma reducida. Por ejemplo,
     productoRacional (2,3) (5,6)  ==  (5,9)
  • igualdadRacional x y se verifica si los números racionales x e y son iguales. Por ejemplo,
     igualdadRacional (6,9) (10,15)  ==  True
     igualdadRacional (6,9) (11,15)  ==  False
     igualdadRacional (0,2) (0,-5)   ==  True

Comprobar con QuickCheck la propiedad distributiva del producto racional respecto de la suma.