Ejercicio – Página 6

Números suma de dos cuadrados

PorJosé A. Alonso 19-mayo-202126-mayo-2021

El enunciado del problema 3.3 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2004 es

Hallad todas las posibles formas de escribir 2003 como suma de dos cuadrados de números enteros positivos.

Definir la sucesión

   sonSumaDosCuadrados :: [Integer]

1	sonSumaDosCuadrados :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden expresar como suma de los cuadrados de dos números naturales. Por ejemplo,

   take 6 sonSumaDosCuadrados      ==  [0,1,2,4,5,8]
   sonSumaDosCuadrados !! (10^4)   ==  39593

1 2	take 6 sonSumaDosCuadrados == [0,1,2,4,5,8] sonSumaDosCuadrados !! (10^4) == 39593

Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades:

La sucesión sonSumaDosCuadrados es infinita.
Los elementos de sonSumaDosCuadrados no son congruentes con 3 módulo 4 (es decir, sus restos al dividirlo por 4 son distintos de 3).

Usando sonSumaDosCuadrados, resolver el problema propuesto; es decir, calcular todas las posibles formas de escribir 2003 como suma de dos cuadrados de números enteros positivos.

Soluciones

pre lang=»haskell»>
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

— 1ª solución
— ===========

sonSumaDosCuadrados :: [Integer]
sonSumaDosCuadrados =
filter esSumaDeDosCuadrados [0..]

— (esSumaDeDosCuadrados) se verifica si n se puede escribir como la
— suma de los cuadrados de dos números naturales. Por ejemplo,
— esSumaDeDosCuadrados 5 == True
— esSumaDeDosCuadrados 3 == False
esSumaDeDosCuadrados :: Integer -> Bool
esSumaDeDosCuadrados = not . null . descomposicionesSumaDosCuadrados

— (descomposicionesSumaDosCuadrados n) es la lista de pares de
— cuadrados de números naturales (con la primera componente menor o
— igual que la segunda) cuya suma es n. Por ejmplo,
— descomposicionesSumaDosCuadrados 3 == []
— descomposicionesSumaDosCuadrados 4 == [(0,4)]
— descomposicionesSumaDosCuadrados 5 == [(1,4)]
— descomposicionesSumaDosCuadrados 25 == [(0,25),(9,16)]
— descomposicionesSumaDosCuadrados 325 == [(1,324),(36,289),(100,225)]
— descomposicionesSumaDosCuadrados 1105 == [(16,1089),(81,1024),(144,961),(529,576)]
descomposicionesSumaDosCuadrados :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesSumaDosCuadrados n =
[(a,b) | a <- xs,
let b = n – a,
b elem xs,
a <= b]
where xs = takeWhile (<= n) cuadrados

— cuadrados es la lista de los cuadrados. Por ejemplo,
— take 10 cuadrados == [0,1,4,9,16,25,36,49,64,81]
cuadrados :: [Integer]
cuadrados = map (^2) [0..]

— 2ª solución
— ===========

sonSumaDosCuadrados2 :: [Integer]
sonSumaDosCuadrados2 =
filter esSumaDeDosCuadrados2 [0..]

esSumaDeDosCuadrados2 :: Integer -> Bool
esSumaDeDosCuadrados2 = not . null . descomposicionesSumaDosCuadrados2

descomposicionesSumaDosCuadrados2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesSumaDosCuadrados2 n =
[(a,b) | a <- ys,
let b = n – a,
b elem m : zs]
where m = n div 2
xs = takeWhile (<= n) cuadrados
(ys,zs) = span (<= m) xs

— 3ª solución
— ==========

sonSumaDosCuadrados3 :: [Integer]
sonSumaDosCuadrados3 =
mezclaTodas [[n^2+k^2 | k <- [n..]] | n <- [0..]]

— (mezclaTodas xss) es la mezcla ordenada de xss, donde tanto xss como
— sus elementos son listas infinitas ordenadas. Por ejemplo,
— λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2n..] | n <- [2..]]) -- [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11] -- λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2n..] | n <- [2,9..]])
— [2,4,6,8,9,10,12,14,16,18]

mezclaTodas :: Ord a => [[a]] -> [a]
mezclaTodas = foldr1 xmezcla
where xmezcla (x:xs) ys = x : mezcla xs ys

— (mezcla xs ys) es la mezcla de las listas infinitas ordenadas xs es
— ys. Por ejemplo,
— take 10 (mezcla [1,3..] [4,8..]) == [1,3,4,5,7,8,9,11,12,13]
mezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
mezcla (x:xs) (y:ys) | x < y = x : mezcla xs (y:ys)
| x == y = x : mezcla xs ys
| x > y = y : mezcla (x:xs) ys

— Comprobación de equivalencia
— ============================

— La comprobación es
— λ> take 1000 sonSumaDosCuadrados == take 1000 sonSumaDosCuadrados2
— True
— λ> take 1000 sonSumaDosCuadrados2 == take 1000 sonSumaDosCuadrados3
— True

— Comparación de eficiencia
— =========================

— La comparación es
— λ> sonSumaDosCuadrados !! (510^3)
— 18973
— (2.29 secs, 266,485,976 bytes)
— λ> sonSumaDosCuadrados2 !! (510^3)
— 18973
— (1.01 secs, 473,019,976 bytes)
— λ> sonSumaDosCuadrados3 !! (5*10^3)
— 18973

— (0.17 secs, 103,957,288 bytes)

— λ> sonSumaDosCuadrados2 !! (510^4)
— 216090
— (78.14 secs, 17,856,157,080 bytes)
— λ> sonSumaDosCuadrados3 !! (510^4)
— 216090
— (4.23 secs, 3,325,056,480 bytes)

— Propiedades
— ===========

— La primera propiedad es
prop_infinitud :: Integer -> Bool
prop_infinitud n =
(not . null) (dropWhile (<= n) sonSumaDosCuadrados3)

— Su comprobación es
— λ> quickCheck prop_infinitud
— +++ OK, passed 100 tests.

— La segunda propiedad es
prop_modulo4 :: Int -> Property
prop_modulo4 k =
k >= 0 ==>
(sonSumaDosCuadrados3 !! k) mod 4 /= 3

— Su comprobación es
— λ> quickCheck prop_modulo4
— +++ OK, passed 100 tests.

— 4ª solución
— ===========

— Basada en la 2ª propiedad.

sonSumaDosCuadrados4 :: [Integer]
sonSumaDosCuadrados4 =
filter esSumaDeDosCuadrados4 [0..]

esSumaDeDosCuadrados4 :: Integer -> Bool
esSumaDeDosCuadrados4 = not . null . descomposicionesSumaDosCuadrados4

descomposicionesSumaDosCuadrados4 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesSumaDosCuadrados4 n
| n mod 4 == 3 = []
| otherwise = [(a,b) | a <- ys,
let b = n – a,
b elem m : zs]
where m = n div 2
xs = takeWhile (<= n) cuadrados
(ys,zs) = span (<= m) xs

— Comprobación de equivalencia
— ============================

— La comprobación es
— λ> take 1000 sonSumaDosCuadrados3 == take 1000 sonSumaDosCuadrados4
— True

— Comparación de eficiencia
— =========================

— La comparación es
— λ> sonSumaDosCuadrados2 !! (10^4)
— 39593
— (3.60 secs, 1,413,851,720 bytes)
— λ> sonSumaDosCuadrados3 !! (10^4)
— 39593
— (0.42 secs, 284,603,104 bytes)
— λ> sonSumaDosCuadrados4 !! (10^4)
— 39593
— (2.58 secs, 1,043,995,480 bytes)

— Cálculo para resolver el problema
— =================================

— El cálculo es
— λ> 2003 == head (dropWhile (<2003) sonSumaDosCuadrados3)
— False
— Por tanto, no es posible escribir 2003 como suma de dos cuadrados de
— números enteros positivos.

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Ternas aditivas

PorJosé A. Alonso 18-mayo-202125-mayo-2021

El enunciado del problema C6 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es

Decimos que tres números naturales distintos forman una terna aditiva si la suma de los dos primeros de ellos es igual al tercero. Hallar, razonadamente, el máximo número de ternas aditivas que puede haber en un conjunto dado de 20 números naturales.

Definir las funciones

   ternasAditivas  :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
   nTernasAditivas :: Integer -> Integer

1 2	ternasAditivas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)] nTernasAditivas :: Integer -> Integer

tales que

(ternasAditivas n) es la lista de las ternas aditivas crecientes que se pueden formar con los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo,

     λ> ternasAditivas 7
     [(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6),(1,6,7),(2,3,5),(2,4,6),(2,5,7),(3,4,7)]
     λ> length (ternasAditivas (10^4))
     24995000

λ> ternasAditivas 7

[(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6),(1,6,7),(2,3,5),(2,4,6),(2,5,7),(3,4,7)]

λ> length (ternasAditivas (10^4))

24995000

(nTernasAditivas n) es el número de ternas aditivas crecientes que se pueden formar con los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo,

     nTernasAditivas 7                            ==  9
     length (show (nTernasAditivas (10^(10^5))))  ==  200000
     length (show (nTernasAditivas (10^(10^6))))  ==  2000000
     length (show (nTernasAditivas (10^(10^7))))  ==  20000000

nTernasAditivas 7 == 9

length (show (nTernasAditivas (10^(10^5)))) == 200000

length (show (nTernasAditivas (10^(10^6)))) == 2000000

length (show (nTernasAditivas (10^(10^7)))) == 20000000

Soluciones

import Data.List (genericLength)

-- 1ª definición de ternasAditivas
-- ===============================

ternasAditivas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
ternasAditivas n =
  [(a,b,c) | a <- [1..n],
             b <- [a+1..n],
             let c = a+b,
             c <= n]

-- 2ª definición de ternasAditivas
-- ===============================

ternasAditivas2 :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
ternasAditivas2 n =
  [(a,b,a+b) | a <- [1..n],
               b <- [a+1..n-a]]

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La comprobación es
--    λ> and [ternasAditivas n == ternasAditivas2 n | n <- [1..300]]
--    True

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (ternasAditivas (5*10^3))
--    6247500
--    (4.02 secs, 2,950,741,752 bytes)
--    λ> length (ternasAditivas2 (5*10^3))
--    6247500
--    (1.15 secs, 1,401,184,264 bytes)

-- 1ª definición de nTernasAditivas
-- ================================

nTernasAditivas :: Integer -> Integer
nTernasAditivas = genericLength . ternasAditivas

-- 2ª definición de nTernasAditivas
-- ================================

-- Observando los siguientes cálculos
--    λ> [nTernasAditivas n | n <- [1..20]]
--    [0,0,1,2,4,6,9,12,16,20,25,30,36,42,49,56,64,72,81,90]
--    λ> [(n-1)^2 `div` 4 | n <- [1..20]]
--    [0,0,1,2,4,6,9,12,16,20,25,30,36,42,49,56,64,72,81,90]

nTernasAditivas2 :: Integer -> Integer
nTernasAditivas2 n = (n-1)^2 `div` 4

-- 3ª definición de nTernasAditivas
-- ================================

nTernasAditivas3 :: Integer -> Integer
nTernasAditivas3 = (`div` 4) . (^ 2) . pred

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La comprobación es
--    λ> and [nTernasAditivas n == nTernasAditivas2 n | n <- [1..200]]
--    True
--    λ> and [nTernasAditivas2 n == nTernasAditivas3 n | n <- [1..200]]
--    True

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> nTernasAditivas (5*10^3)
--    6247500
--    (5.66 secs, 3,663,331,112 bytes)
--    λ> nTernasAditivas2 (5*10^3)
--    6247500
--    (0.02 secs, 106,752 bytes)
--    λ> nTernasAditivas3 (5*10^3)
--    6247500
--    (0.02 secs, 106,568 bytes)

import Data.List (genericLength)

-- 1ª definición de ternasAditivas

-- ===============================

ternasAditivas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]

ternasAditivas n =

[(a,b,c) | a <- [1..n],

b <- [a+1..n],

let c = a+b,

c <= n]

-- 2ª definición de ternasAditivas

-- ===============================

ternasAditivas2 :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]

ternasAditivas2 n =

[(a,b,a+b) | a <- [1..n],

b <- [a+1..n-a]]

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La comprobación es

-- λ> and [ternasAditivas n == ternasAditivas2 n | n <- [1..300]]

-- True

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (ternasAditivas (5*10^3))

-- 6247500

-- (4.02 secs, 2,950,741,752 bytes)

-- λ> length (ternasAditivas2 (5*10^3))

-- 6247500

-- (1.15 secs, 1,401,184,264 bytes)

-- 1ª definición de nTernasAditivas

-- ================================

nTernasAditivas :: Integer -> Integer

nTernasAditivas = genericLength . ternasAditivas

-- 2ª definición de nTernasAditivas

-- ================================

-- Observando los siguientes cálculos

-- λ> [nTernasAditivas n | n <- [1..20]]

-- [0,0,1,2,4,6,9,12,16,20,25,30,36,42,49,56,64,72,81,90]

-- λ> [(n-1)^2 `div` 4 | n <- [1..20]]

-- [0,0,1,2,4,6,9,12,16,20,25,30,36,42,49,56,64,72,81,90]

nTernasAditivas2 :: Integer -> Integer

nTernasAditivas2 n = (n-1)^2 `div` 4

-- 3ª definición de nTernasAditivas

-- ================================

nTernasAditivas3 :: Integer -> Integer

nTernasAditivas3 = (`div` 4) . (^ 2) . pred

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La comprobación es

-- λ> and [nTernasAditivas n == nTernasAditivas2 n | n <- [1..200]]

-- True

-- λ> and [nTernasAditivas2 n == nTernasAditivas3 n | n <- [1..200]]

-- True

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> nTernasAditivas (5*10^3)

-- 6247500

-- (5.66 secs, 3,663,331,112 bytes)

-- λ> nTernasAditivas2 (5*10^3)

-- 6247500

-- (0.02 secs, 106,752 bytes)

-- λ> nTernasAditivas3 (5*10^3)

-- 6247500

-- (0.02 secs, 106,568 bytes)

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Cuadrado más primo

PorJosé A. Alonso 17-mayo-202124-mayo-2021

El enunciado del problema C2 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es

¿Existe un conjunto infinito de números naturales que NO se pueden representar en la forma n²+p, siendo n natural y p primo? Razónese la contestación.

Definir la lista

   noSonCuadradoMasPrimo :: [Integer]

1	noSonCuadradoMasPrimo :: [Integer]

cuyos elementos son los números que no se pueden escribir como un cuadrado más un primo. Por ejemplo,

   λ> take 15 noSonCuadradoMasPrimo
   [1,10,25,34,58,64,85,91,121,130,169,196,214,226,289]
   λ> noSonCuadradoMasPrimo2 !! 200
   78961

λ> take 15 noSonCuadradoMasPrimo

[1,10,25,34,58,64,85,91,121,130,169,196,214,226,289]

λ> noSonCuadradoMasPrimo2 !! 200

78961

En la lista no está el 2 (porque 2 = 0²+2), el 3 (porque 3 = 1²+2), el 4 (porque 4 = 0²+4) ni el 11 (porque 11 = 3²+2).

Comprobar con QuickCheck que noSonCuadradoMasPrimo es infinita.

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primes, isPrime)
import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

noSonCuadradoMasPrimo :: [Integer]
noSonCuadradoMasPrimo =
  filter (not . esCuadradoMasPrimo) [1..]

-- (esCuadradoMasPrimo n) se verifica si n se puede escribir como un
-- cuadrado más un primo. Por ejemplo,
--    esCuadradoMasPrimo 11  ==  True
--    esCuadradoMasPrimo 10  ==  False
esCuadradoMasPrimo :: Integer -> Bool
esCuadradoMasPrimo n =
  or [esCuadrado (n - p) | p <- takeWhile (<= n) primes]

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto. Por
-- ejemplo,
--    esCuadrado 16  ==  True
--    esCuadrado 27  ==  False
esCuadrado :: Integer -> Bool
esCuadrado x =
  (raizEntera x)^2 == x

-- (raizEntera x) es el mayor entero cuyo cuadrado es menor o igual que
-- x. Por ejemplo,
--    raizEntera 16  ==  4
--    raizEntera 27  ==  5
raizEntera :: Integer -> Integer
raizEntera x = aux (1,x)
    where aux (a,b) | d == x    = c
                    | c == a    = c
                    | d < x     = aux (c,b)
                    | otherwise = aux (a,c)
              where c = (a+b) `div` 2
                    d = c^2

-- 2ª solución
-- ===========

noSonCuadradoMasPrimo2 :: [Integer]
noSonCuadradoMasPrimo2 =
  filter (not . esCuadradoMasPrimo2) [1..]

-- (esCuadradoMasPrimo2 n) se verifica si n se puede escribir como un
-- cuadrado más un primo. Por ejemplo,
--    esCuadradoMasPrimo2 11  ==  True
--    esCuadradoMasPrimo2 10  ==  False
esCuadradoMasPrimo2 :: Integer -> Bool
esCuadradoMasPrimo2 n =
  or [isPrime (n - m) | m <- takeWhile (<= n) cuadrados]

-- cuadrados es la lista de los cuadrados de los números naturales. Por
-- ejemplo,
--    take 10 cuadrados  ==  [0,1,4,9,16,25,36,49,64,81]
cuadrados :: [Integer]
cuadrados = map (^2) [0..]

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La comprobación es
--    λ> take 50 noSonCuadradoMasPrimo == take 50 noSonCuadradoMasPrimo2
--    True

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> noSonCuadradoMasPrimo !! 70
--    8649
--    (12.42 secs, 13,289,896,304 bytes)
--    λ> noSonCuadradoMasPrimo2 !! 70
--    8649
--    (0.23 secs, 650,843,816 bytes)

-- Propiedad
-- =========

-- La propiedad es
prop_infinitud :: Integer -> Bool
prop_infinitud n =
  not (null (dropWhile (<= n) noSonCuadradoMasPrimo2))

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_infinitud
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.Numbers.Primes (primes, isPrime)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

noSonCuadradoMasPrimo :: [Integer]

noSonCuadradoMasPrimo =

filter (not . esCuadradoMasPrimo) [1..]

-- (esCuadradoMasPrimo n) se verifica si n se puede escribir como un

-- cuadrado más un primo. Por ejemplo,

-- esCuadradoMasPrimo 11 == True

-- esCuadradoMasPrimo 10 == False

esCuadradoMasPrimo :: Integer -> Bool

esCuadradoMasPrimo n =

or [esCuadrado (n - p) | p <- takeWhile (<= n) primes]

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto. Por

-- ejemplo,

-- esCuadrado 16 == True

-- esCuadrado 27 == False

esCuadrado :: Integer -> Bool

esCuadrado x =

(raizEntera x)^2 == x

-- (raizEntera x) es el mayor entero cuyo cuadrado es menor o igual que

-- x. Por ejemplo,

-- raizEntera 16 == 4

-- raizEntera 27 == 5

raizEntera :: Integer -> Integer

raizEntera x = aux (1,x)

where aux (a,b) | d == x = c

| c == a = c

| d < x = aux (c,b)

| otherwise = aux (a,c)

where c = (a+b) `div` 2

d = c^2

-- 2ª solución

-- ===========

noSonCuadradoMasPrimo2 :: [Integer]

noSonCuadradoMasPrimo2 =

filter (not . esCuadradoMasPrimo2) [1..]

-- (esCuadradoMasPrimo2 n) se verifica si n se puede escribir como un

-- cuadrado más un primo. Por ejemplo,

-- esCuadradoMasPrimo2 11 == True

-- esCuadradoMasPrimo2 10 == False

esCuadradoMasPrimo2 :: Integer -> Bool

esCuadradoMasPrimo2 n =

or [isPrime (n - m) | m <- takeWhile (<= n) cuadrados]

-- cuadrados es la lista de los cuadrados de los números naturales. Por

-- ejemplo,

-- take 10 cuadrados == [0,1,4,9,16,25,36,49,64,81]

cuadrados :: [Integer]

cuadrados = map (^2) [0..]

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La comprobación es

-- λ> take 50 noSonCuadradoMasPrimo == take 50 noSonCuadradoMasPrimo2

-- True

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> noSonCuadradoMasPrimo !! 70

-- 8649

-- (12.42 secs, 13,289,896,304 bytes)

-- λ> noSonCuadradoMasPrimo2 !! 70

-- 8649

-- (0.23 secs, 650,843,816 bytes)

-- Propiedad

-- =========

-- La propiedad es

prop_infinitud :: Integer -> Bool

prop_infinitud n =

not (null (dropWhile (<= n) noSonCuadradoMasPrimo2))

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_infinitud

-- +++ OK, passed 100 tests.

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Números consecutivos con factorización con exponentes impares

PorJosé A. Alonso 14-mayo-202121-mayo-2021

El enunciado del problema B.5 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2006 es

Los números naturales 22, 23, y 24 tienen la siguiente propiedad: los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos impares (22 = 2¹·11¹, 23 = 23¹, 24 = 2³·3¹)

¿Cuál es el mayor número de naturales consecutivos que pueden tener esa propiedad?. Razónese la contestación.

Definir la lista

   consecutivosExponentesImpares :: [[Integer]]

1	consecutivosExponentesImpares :: [[Integer]]

cuyos elementos sean las sucesiones maximales de números enteros positivos tales que los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos impares. Por ejemplo,

   λ> take 7 consecutivosExponentesImpares
   [[1,2,3],[5,6,7,8],[10,11],[13,14,15],[17],[19],[21,22,23,24]]
   λ> consecutivosExponentesImpares !! (10^4)
   [43030,43031,43032,43033,43034,43035]

λ> take 7 consecutivosExponentesImpares

[[1,2,3],[5,6,7,8],[10,11],[13,14,15],[17],[19],[21,22,23,24]]

λ> consecutivosExponentesImpares !! (10^4)

[43030,43031,43032,43033,43034,43035]

Usando la función consecutivosExponentesImpares conjeturar la respuesta a la pregunta del problema y comprobarla con QuickCheck.

Soluciones

import Data.List (group)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

consecutivosExponentesImpares :: [[Integer]]
consecutivosExponentesImpares =
  consecutivosExponentesImparesDesde 1 :
  [consecutivosExponentesImparesDesde n | n <- [1..],
                                          not (exponentesImpares (n-1)),
                                          exponentesImpares n]

-- (consecutivosExponentesImparesDesde n) es la sucesión maximal de
-- números enteros positivos a partir de n tales que los exponentes de
-- los factores primos de su descomposición son todos impares. Por
-- ejemplo,
--    consecutivosExponentesImparesDesde 1  ==  [1,2,3]
--    consecutivosExponentesImparesDesde 4  ==  []
--    consecutivosExponentesImparesDesde 5  ==  [5,6,7,8]
consecutivosExponentesImparesDesde :: Integer -> [Integer]
consecutivosExponentesImparesDesde n
  | exponentesImpares n = n : consecutivosExponentesImparesDesde (n+1)
  | otherwise           = []

-- (exponentesImpares n) se verifica si los exponentes de los factores
-- primos de su descomposición son todos impares. Por ejemplo,
--    exponentesImpares 4  ==  False
--    exponentesImpares 6  ==  True
exponentesImpares :: Integer -> Bool
exponentesImpares n = all odd (exponentes n)

-- (exponentes n) es la lista de los exponentes de la factorización
-- prima de n. Por ejemplo,
--    exponentes 4  ==  [2]
--    exponentes 6  ==  [1,1]
--    exponentes 1200  ==  [4,1,2]
exponentes :: Integer -> [Int]
exponentes n = map length (group (primeFactors n))

-- 2ª solución
-- ===========

consecutivosExponentesImpares2 :: [[Integer]]
consecutivosExponentesImpares2 = aux 1
  where aux n | exponentesImpares n = xs : aux (1 + last xs)
              | otherwise           = aux (n+1)
          where xs = consecutivosExponentesImparesDesde n

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_consecutivosExponentesImpares :: Int -> Property
prop_consecutivosExponentesImpares n =
  n > 0 ==>
  consecutivosExponentesImpares !! n == consecutivosExponentesImpares2 !! n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_consecutivosExponentesImpares
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> consecutivosExponentesImpares !! (5*10^4)
--    [214917,214918,214919,214920,214921,214922,214923]
--    (4.95 secs, 14,329,413,944 bytes)
--    λ> consecutivosExponentesImpares2 !! (5*10^4)
--    [214917,214918,214919,214920,214921,214922,214923]
--    (5.29 secs, 15,103,460,488 bytes)

-- Respuesta a la pregunta del problema
-- ====================================

-- A partir del siguiente cálculo
--    λ> maximum [length xs | xs <- take (10^4) consecutivosExponentesImpares]
--    7
-- se puede conjeturar que el mayor número de naturales consecutivos que pueden
-- tener la propiedad es 7. Por el cálculo, se sabe que es mayor o igual
-- que 7. Falta por comprobar que es menor o igual que 7; es decir,
prop_maximoConsecutivosExponentesImpares :: Int -> Property
prop_maximoConsecutivosExponentesImpares n =
  n >= 0 ==>
  length (consecutivosExponentesImpares !! n) <= 7

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_maximoConsecutivosExponentesImpares
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List (group)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

consecutivosExponentesImpares :: [[Integer]]

consecutivosExponentesImpares =

consecutivosExponentesImparesDesde 1 :

[consecutivosExponentesImparesDesde n | n <- [1..],

not (exponentesImpares (n-1)),

exponentesImpares n]

-- (consecutivosExponentesImparesDesde n) es la sucesión maximal de

-- números enteros positivos a partir de n tales que los exponentes de

-- los factores primos de su descomposición son todos impares. Por

-- ejemplo,

-- consecutivosExponentesImparesDesde 1 == [1,2,3]

-- consecutivosExponentesImparesDesde 4 == []

-- consecutivosExponentesImparesDesde 5 == [5,6,7,8]

consecutivosExponentesImparesDesde :: Integer -> [Integer]

consecutivosExponentesImparesDesde n

| exponentesImpares n = n : consecutivosExponentesImparesDesde (n+1)

| otherwise = []

-- (exponentesImpares n) se verifica si los exponentes de los factores

-- primos de su descomposición son todos impares. Por ejemplo,

-- exponentesImpares 4 == False

-- exponentesImpares 6 == True

exponentesImpares :: Integer -> Bool

exponentesImpares n = all odd (exponentes n)

-- (exponentes n) es la lista de los exponentes de la factorización

-- prima de n. Por ejemplo,

-- exponentes 4 == [2]

-- exponentes 6 == [1,1]

-- exponentes 1200 == [4,1,2]

exponentes :: Integer -> [Int]

exponentes n = map length (group (primeFactors n))

-- 2ª solución

-- ===========

consecutivosExponentesImpares2 :: [[Integer]]

consecutivosExponentesImpares2 = aux 1

where aux n | exponentesImpares n = xs : aux (1 + last xs)

| otherwise = aux (n+1)

where xs = consecutivosExponentesImparesDesde n

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_consecutivosExponentesImpares :: Int -> Property

prop_consecutivosExponentesImpares n =

n > 0 ==>

consecutivosExponentesImpares !! n == consecutivosExponentesImpares2 !! n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_consecutivosExponentesImpares

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> consecutivosExponentesImpares !! (5*10^4)

-- [214917,214918,214919,214920,214921,214922,214923]

-- (4.95 secs, 14,329,413,944 bytes)

-- λ> consecutivosExponentesImpares2 !! (5*10^4)

-- [214917,214918,214919,214920,214921,214922,214923]

-- (5.29 secs, 15,103,460,488 bytes)

-- Respuesta a la pregunta del problema

-- ====================================

-- A partir del siguiente cálculo

-- λ> maximum [length xs | xs <- take (10^4) consecutivosExponentesImpares]

-- 7

-- se puede conjeturar que el mayor número de naturales consecutivos que pueden

-- tener la propiedad es 7. Por el cálculo, se sabe que es mayor o igual

-- que 7. Falta por comprobar que es menor o igual que 7; es decir,

prop_maximoConsecutivosExponentesImpares :: Int -> Property

prop_maximoConsecutivosExponentesImpares n =

n >= 0 ==>

length (consecutivosExponentesImpares !! n) <= 7

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_maximoConsecutivosExponentesImpares

-- +++ OK, passed 100 tests.

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Sucesión de mcd de consecutivos

PorJosé A. Alonso 13-mayo-202120-mayo-2021

El enunciado del problema B3 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2007 es

Sea a(n) = 1 + n³ la sucesión {2,9,28,65,…} y b(n) = mcd(a(n),a(n+1)). Hallar el máximo valor que puede tomar b(n).

Definir las listas

   sucesionA :: [Integer]
   sucesionB :: [Integer]

1 2	sucesionA :: [Integer] sucesionB :: [Integer]

tales que

los elementos de sucesionA son los términos de la sucesión a(n). Por ejemplo,

     take 12 sucesionA  ==  [2,9,28,65,126,217,344,513,730,1001,1332,1729]

1	take 12 sucesionA == [2,9,28,65,126,217,344,513,730,1001,1332,1729]

los elementos de sucesionAB son los términos de la sucesión b(n). Por ejemplo,

   sucesionB !! 0       ==  1
   sucesionB !! 4       ==  7
   sucesionB !! (10^9)  ==  1

sucesionB !! 0 == 1

sucesionB !! 4 == 7

sucesionB !! (10^9) == 1

Usando sucesionB, conjeturar la respuesta del problema y comprobarla con QuickCheck.

Soluciones

import Data.List (cycle)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

sucesionA :: [Integer]
sucesionA = [1+n^3 | n <- [1..]]

-- 1ª definición de sucesionB
-- ==========================

sucesionB :: [Integer]
sucesionB =
  zipWith gcd sucesionA (tail sucesionA)

-- 2ª definición de sucesionB
-- ==========================

-- Observando  los siguientes cálculos
--    λ> take 30 sucesionB
--    [1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1]
--    λ> take 10 [n | (n,x) <- zip [1..] sucesionB, x == 7]
--    [5,12,19,26,33,40,47,54,61,68]

sucesionB2 :: [Integer]
sucesionB2 = cycle [1,1,1,1,7,1,1]

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_sucesionB :: Int -> Property
prop_sucesionB n =
  n >= 0 ==>
  sucesionB !! n == sucesionB2 !! n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_sucesionB
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> sucesionB !! (10^7)
--    1
--    (5.23 secs, 2,880,105,504 bytes)
--    λ> sucesionB2 !! (10^7)
--    1
--    (0.06 secs, 98,600 bytes)

-- Cálculo de la respuesta
-- =======================

-- Observando los cálculos
--    λ> take 30 sucesionB
--    [1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1]
--    λ> take 30 ([1,1,1,1] ++ cycle (7 : replicate 6 1))
--    [1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1]
--    λ> take 100 sucesionB == take 100 ([1,1,1,1] ++ cycle (7 : replicate 6 1))
--    True
-- La conjetura es que el máximo es 7. Su expresión es

prop_maximo :: Int -> Property
prop_maximo n =
  n > 4 ==>
  maximum (take n sucesionB) == 7

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_maximo
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List (cycle)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

sucesionA :: [Integer]

sucesionA = [1+n^3 | n <- [1..]]

-- 1ª definición de sucesionB

-- ==========================

sucesionB :: [Integer]

sucesionB =

zipWith gcd sucesionA (tail sucesionA)

-- 2ª definición de sucesionB

-- ==========================

-- Observando los siguientes cálculos

-- λ> take 30 sucesionB

-- [1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1]

-- λ> take 10 [n | (n,x) <- zip [1..] sucesionB, x == 7]

-- [5,12,19,26,33,40,47,54,61,68]

sucesionB2 :: [Integer]

sucesionB2 = cycle [1,1,1,1,7,1,1]

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_sucesionB :: Int -> Property

prop_sucesionB n =

n >= 0 ==>

sucesionB !! n == sucesionB2 !! n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_sucesionB

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> sucesionB !! (10^7)

-- 1

-- (5.23 secs, 2,880,105,504 bytes)

-- λ> sucesionB2 !! (10^7)

-- 1

-- (0.06 secs, 98,600 bytes)

-- Cálculo de la respuesta

-- =======================

-- Observando los cálculos

-- λ> take 30 sucesionB

-- [1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1]

-- λ> take 30 ([1,1,1,1] ++ cycle (7 : replicate 6 1))

-- [1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1]

-- λ> take 100 sucesionB == take 100 ([1,1,1,1] ++ cycle (7 : replicate 6 1))

-- True

-- La conjetura es que el máximo es 7. Su expresión es

prop_maximo :: Int -> Property

prop_maximo n =

n > 4 ==>

maximum (take n sucesionB) == 7

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_maximo

-- +++ OK, passed 100 tests.

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Biparticiones con la misma suma

PorJosé A. Alonso 12-mayo-202119-mayo-2021

El enunciado del problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2010 es

Sea I(n) el conjunto de los n primeros números naturales impares. Por ejemplo: I(3) = {1,3,5}, I(6) = {1,3,5,7,9,11}, etc.

¿Para qué números n el conjunto I(n) se puede descomponer en dos partes (disjuntas) de forma que coincidan las sumas de los números en cada una de ellas?

Definir las funciones

   biparticiones :: Integer -> [([Integer],[Integer])]
   tieneBiparticiones :: Integer -> Bool
   biparticionD :: Integer -> Maybe ([Integer],[Integer])

biparticiones :: Integer -> [([Integer],[Integer])]

tieneBiparticiones :: Integer -> Bool

biparticionD :: Integer -> Maybe ([Integer],[Integer])

tales que

(biparticiones n) es la lista de las biparticiones de I(n) con igual suma; es decir, la lista de los pares (xs,ys) tales que xs e ys son subconjuntos disjuntos de I(n) cuya unión es I(n) y la suma de los elementos de xs es igual que la de los de ys. Por ejemplo,

     λ> biparticiones 4
     [([1,7],[3,5])]
     λ> biparticiones 5
     []
     λ> biparticiones 8
     [([1,3,13,15],[5,7,9,11]),([1,5,11,15],[3,7,9,13]),([1,7,9,15],[3,5,11,13]),([1,7,11,13],[3,5,9,15])]

λ> biparticiones 4

[([1,7],[3,5])]

λ> biparticiones 5

[]

λ> biparticiones 8

[([1,3,13,15],[5,7,9,11]),([1,5,11,15],[3,7,9,13]),([1,7,9,15],[3,5,11,13]),([1,7,11,13],[3,5,9,15])]

(tieneBiparticiones n) se verifica si I(n) tiene alguna bipartición con igual suma. Por ejemplo,

     tieneBiparticiones 4  ==  True
     tieneBiparticiones 5  ==  False
     tieneBiparticiones (10^(10^7))  ==  True

tieneBiparticiones 4 == True

tieneBiparticiones 5 == False

tieneBiparticiones (10^(10^7)) == True

(biparticionD n) es una de las biparticiones de I(n) con igual suma, si tiene alguna y Nothing, en caso contrario. Por ejemplo,

     λ> biparticionD 6
     Just ([7,11],[1,3,5,9])
     λ> biparticionD 7
     Nothing
     λ> biparticionD 8
     Just ([1,7,9,15],[3,5,11,13])
     λ> biparticionD 10
     Just ([7,11,13,19],[1,3,5,9,15,17])
     λ> biparticionD 12
     Just ([1,7,9,15,17,23],[3,5,11,13,19,21])
     λ> biparticionD 30
     Just ([7,11,13,19,21,27,29,35,37,43,45,51,53,59],[1,3,5,9,15,17,23,25,31,33,39,41,47,49,55,57])
     λ> length (show (biparticionD (2*10^4)))
     114455

λ> biparticionD 6

Just ([7,11],[1,3,5,9])

λ> biparticionD 7

Nothing

λ> biparticionD 8

Just ([1,7,9,15],[3,5,11,13])

λ> biparticionD 10

Just ([7,11,13,19],[1,3,5,9,15,17])

λ> biparticionD 12

Just ([1,7,9,15,17,23],[3,5,11,13,19,21])

λ> biparticionD 30

Just ([7,11,13,19,21,27,29,35,37,43,45,51,53,59],[1,3,5,9,15,17,23,25,31,33,39,41,47,49,55,57])

λ> length (show (biparticionD (2*10^4)))

114455

Usando tieneBiparticiones calcular los 10 primeros valores buscados (es decir, los 10 valores de n para los que I(n) se puede descomponer en dos partes (disjuntas) de forma que coincidan las sumas de los números en cada una de ellas) y generalizar.

Soluciones

import Data.List ((\\), delete, genericTake, sort, subsequences)
import Data.Maybe (listToMaybe)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª definición de biparticiones
-- =================================

biparticiones :: Integer -> [([Integer],[Integer])]
biparticiones n =
  ordena [(bs \\ as,as) | as <- genericTake (2^(n-1)) (subsequences bs),
                          2 * sum as == m]
  where bs = genericTake n impares
        m  = sum bs

-- impares es la lista de los números impares. Por ejemplo,
--    take 9 impares  ==  [1,3,5,7,9,11,13,15,17]
impares :: [Integer]
impares = [1,3..]

-- (ordena ps) es lista obtenida poniendo en primer lugar la menor de
-- las componentes de los pares de ps y ordenando el resultado. Por
-- ejemplo,
--    ordena [(5,3),(1,7),(4,2)]  ==  [(1,7),(2,4),(3,5)]
ordena :: Ord a => [(a,a)] -> [(a,a)]
ordena ps = sort (map aux ps)
  where aux (xs,ys) | xs < ys   = (xs,ys)
                    | otherwise = (ys,xs)

-- 2ª definición de biparticiones
-- =================================

biparticiones2 :: Integer -> [([Integer],[Integer])]
biparticiones2 n = sort (aux ([([a], delete a bs) | a <- bs]))
  where bs = genericTake n impares
        m  = sum bs
        aux [] = []
        aux ((_,[]):ps) = aux ps
        aux ((xs,ys):ps)
          | sum xs == sum ys = if xs < ys then (xs,ys) : aux ps
                               else aux ps
          | sum xs <  sum ys = aux ([(a:xs, delete a ys) | a <- ys, a < head xs] ++ ps)
          | otherwise        = aux ps

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_biparticiones :: Integer -> Bool
prop_biparticiones n =
  and [biparticiones k == biparticiones2 k | k <- [1..n]]

-- La comprobación es
--    λ> prop_biparticiones 20
--    True

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (biparticiones 20)
--    3965
--    (0.36 secs, 568,151,296 bytes)
--    λ> length (biparticiones2 20)
--    3965
--    (2.51 secs, 2,490,876,672 bytes)
--    λ> head (biparticiones 20)
--    ([1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,31],[27,29,33,35,37,39])
--    (0.37 secs, 562,477,968 bytes)
--    λ> head (biparticiones2 20)
--    ([1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,31],[27,29,33,35,37,39])
--    (2.33 secs, 2,488,098,776 bytes)

-- 1ª definición de tieneBiparticiones
-- ======================================

tieneBiparticiones :: Integer -> Bool
tieneBiparticiones = not . null . biparticiones

-- 2ª definición de tieneBiparticiones
-- ======================================

-- Observando el siguiente cálculo
--    λ> [n | n <- [1..20], tieneBiparticiones n]
--    [4,6,8,10,12,14,16,18,20]

tieneBiparticiones2 :: Integer -> Bool
tieneBiparticiones2 n = n > 3 && even n

-- 1ª definición de biparticionD
-- ================================

biparticionD :: Integer -> Maybe ([Integer],[Integer])
biparticionD = listToMaybe . biparticiones

-- 2ª definición de biparticionD
-- ================================

biparticionD2 :: Integer -> Maybe ([Integer],[Integer])
biparticionD2 x
  | x < 4 || odd x = Nothing
  | otherwise      = Just (aux x)
  where
    aux 4 = ([1,7],[3,5])
    aux 6 = ([7,11],[1,3,5,9])
    aux n = (xs ++ [m+1,m+7], ys ++ [m+3,m+5])
      where (xs,ys) = aux (n-4)
            m       = 2*(n-4)

-- Cálculo de la respuesta
-- =======================

-- El cálculo es
--    λ> take 10 [n | n <- [1..], tieneBiparticiones n]
--    [4,6,8,10,12,14,16,18,20,22]
-- cuyos valores son los números pares mayores que 3.

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

import Data.List ((\\), delete, genericTake, sort, subsequences)

import Data.Maybe (listToMaybe)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª definición de biparticiones

-- =================================

biparticiones :: Integer -> [([Integer],[Integer])]

biparticiones n =

ordena [(bs \\ as,as) | as <- genericTake (2^(n-1)) (subsequences bs),

2 * sum as == m]

where bs = genericTake n impares

m = sum bs

-- impares es la lista de los números impares. Por ejemplo,

-- take 9 impares == [1,3,5,7,9,11,13,15,17]

impares :: [Integer]

impares = [1,3..]

-- (ordena ps) es lista obtenida poniendo en primer lugar la menor de

-- las componentes de los pares de ps y ordenando el resultado. Por

-- ejemplo,

-- ordena [(5,3),(1,7),(4,2)] == [(1,7),(2,4),(3,5)]

ordena :: Ord a => [(a,a)] -> [(a,a)]

ordena ps = sort (map aux ps)

where aux (xs,ys) | xs < ys = (xs,ys)

| otherwise = (ys,xs)

-- 2ª definición de biparticiones

-- =================================

biparticiones2 :: Integer -> [([Integer],[Integer])]

biparticiones2 n = sort (aux ([([a], delete a bs) | a <- bs]))

where bs = genericTake n impares

m = sum bs

aux [] = []

aux ((_,[]):ps) = aux ps

aux ((xs,ys):ps)

| sum xs == sum ys = if xs < ys then (xs,ys) : aux ps

else aux ps

| sum xs < sum ys = aux ([(a:xs, delete a ys) | a <- ys, a < head xs] ++ ps)

| otherwise = aux ps

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_biparticiones :: Integer -> Bool

prop_biparticiones n =

and [biparticiones k == biparticiones2 k | k <- [1..n]]

-- La comprobación es

-- λ> prop_biparticiones 20

-- True

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (biparticiones 20)

-- 3965

-- (0.36 secs, 568,151,296 bytes)

-- λ> length (biparticiones2 20)

-- 3965

-- (2.51 secs, 2,490,876,672 bytes)

-- λ> head (biparticiones 20)

-- ([1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,31],[27,29,33,35,37,39])

-- (0.37 secs, 562,477,968 bytes)

-- λ> head (biparticiones2 20)

-- ([1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,31],[27,29,33,35,37,39])

-- (2.33 secs, 2,488,098,776 bytes)

-- 1ª definición de tieneBiparticiones

-- ======================================

tieneBiparticiones :: Integer -> Bool

tieneBiparticiones = not . null . biparticiones

-- 2ª definición de tieneBiparticiones

-- ======================================

-- Observando el siguiente cálculo

-- λ> [n | n <- [1..20], tieneBiparticiones n]

-- [4,6,8,10,12,14,16,18,20]

tieneBiparticiones2 :: Integer -> Bool

tieneBiparticiones2 n = n > 3 && even n

-- 1ª definición de biparticionD

-- ================================

biparticionD :: Integer -> Maybe ([Integer],[Integer])

biparticionD = listToMaybe . biparticiones

-- 2ª definición de biparticionD

-- ================================

biparticionD2 :: Integer -> Maybe ([Integer],[Integer])

biparticionD2 x

| x < 4 || odd x = Nothing

| otherwise = Just (aux x)

where

aux 4 = ([1,7],[3,5])

aux 6 = ([7,11],[1,3,5,9])

aux n = (xs ++ [m+1,m+7], ys ++ [m+3,m+5])

where (xs,ys) = aux (n-4)

m = 2*(n-4)

-- Cálculo de la respuesta

-- =======================

-- El cálculo es

-- λ> take 10 [n | n <- [1..], tieneBiparticiones n]

-- [4,6,8,10,12,14,16,18,20,22]

-- cuyos valores son los números pares mayores que 3.

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Diferencias de potencias congruentes con 5 módulo 7

PorJosé A. Alonso 11-mayo-202118-mayo-2021

El enunciado de un problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2012 es

Consideremos el número entero positivo $n = 2^r - 16^s$ , donde r y s son también enteros positivos. Hallar las condiciones que deben cumplir r y s para que el resto de la división de n por 7 sea 5. Hallar el menor número que cumple esta condición.

Definir la lista

   exponentes :: [(Integer,Integer)]

1	exponentes :: [(Integer,Integer)]

tal que sus elementos son los pares de enteros positivos (r,s) tales que $2^r - 16^s$ es un número entero positivo cuyo resto al dividirlo por 7 es 5. Por ejemplo,

   head exponentes       ==  (10,2)
   exponentes !! 23      ==  (43,8)
   exponentes !! (10^7)  ==  (26836,1826)

head exponentes == (10,2)

exponentes !! 23 == (43,8)

exponentes !! (10^7) == (26836,1826)

Usando la función exponentes, calcular la respuesta a la pregunta del problema; es decir, hallar el menor número que cumple la condición.

Soluciones

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

exponentes :: [(Integer,Integer)]
exponentes =
  [(r,s) | (r,s) <- pares,
           let n = 2^r - 16^s,
           n > 0,
           n `mod` 7 == 5]

-- pares el lista de pares de enteros positivos con el primero mayor que
-- el segundo. Por ejemplo,
--    λ> take 10 pares
--    [(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)]
pares :: [(Integer,Integer)]
pares = [(a,b) | a <- [1..]
               , b <- [1..a-1]]

-- 2ª solución
-- ===========

-- Observando los siguientes cálculos
--    λ> take 28 exponentes
--    [(10,2),(13,2),(16,2),(19,2),(22,2),(22,5),(25,2),(25,5),(28,2),
--     (28,5),(31,2),(31,5),(34,2),(34,5),(34,8),(37,2),(37,5),(37,8),
--     (40,2),(40,5),(40,8),(43,2),(43,5),(43,8),(46,2),(46,5),(46,8),
--     (46,11)]
--    λ> [((x-1) `div` 3, (y-2) `div` 3) | (x,y) <- it]
--    [(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(7,0),(7,1),(8,0),(8,1),(9,0),(9,1),
--     (10,0),(10,1),(11,0),(11,1),(11,2),(12,0),(12,1),(12,2),(13,0),
--     (13,1),(13,2),(14,0),(14,1),(14,2),(15,0),(15,1),(15,2),(15,3)]

exponentes2 :: [(Integer,Integer)]
exponentes2 =
  concat [[(r,s) | s <- takeWhile (<= (r `div` 4)) ys] | r <- xs]
  where xs = [10,13..]
        ys = [2,5..]

-- 3ª solución
-- ===========

exponentes3 :: [(Integer,Integer)]
exponentes3 = [(r,s) | r <- [1,4..], s <- [2,5..r `div` 4]]

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_exponentes :: Int -> Property
prop_exponentes n =
  n >= 0 ==>
  all (== (exponentes !! n))
      [exponentes2 !! n,
       exponentes3 !! n]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_exponentes
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> exponentes !! (3*10^4)
--    (1471,332)
--    (5.21 secs, 7,844,582,216 bytes)
--    λ> exponentes2 !! (3*10^4)
--    (1471,332)
--    (0.04 secs, 6,551,432 bytes)
--    λ> exponentes3 !! (3*10^4)
--    (1471,332)
--    (0.01 secs, 5,512,056 bytes)
--
--    λ> exponentes2 !! (10^7)
--    (26836,1826)
--    (3.25 secs, 2,083,815,616 bytes)
--    λ> exponentes3 !! (10^7)
--    (26836,1826)
--    (2.57 secs, 1,757,467,216 bytes)

-- Cálculo de la respuesta
-- =======================

-- El cálculo es
--    λ> (r,s) = head exponentes
--    λ> 2^r - 16^s
--    768
-- Por tanto, el número pedido es el 768.

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

exponentes :: [(Integer,Integer)]

exponentes =

[(r,s) | (r,s) <- pares,

let n = 2^r - 16^s,

n > 0,

n `mod` 7 == 5]

-- pares el lista de pares de enteros positivos con el primero mayor que

-- el segundo. Por ejemplo,

-- λ> take 10 pares

-- [(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)]

pares :: [(Integer,Integer)]

pares = [(a,b) | a <- [1..]

, b <- [1..a-1]]

-- 2ª solución

-- ===========

-- Observando los siguientes cálculos

-- λ> take 28 exponentes

-- [(10,2),(13,2),(16,2),(19,2),(22,2),(22,5),(25,2),(25,5),(28,2),

-- (28,5),(31,2),(31,5),(34,2),(34,5),(34,8),(37,2),(37,5),(37,8),

-- (40,2),(40,5),(40,8),(43,2),(43,5),(43,8),(46,2),(46,5),(46,8),

-- (46,11)]

-- λ> [((x-1) `div` 3, (y-2) `div` 3) | (x,y) <- it]

-- [(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(7,0),(7,1),(8,0),(8,1),(9,0),(9,1),

-- (10,0),(10,1),(11,0),(11,1),(11,2),(12,0),(12,1),(12,2),(13,0),

-- (13,1),(13,2),(14,0),(14,1),(14,2),(15,0),(15,1),(15,2),(15,3)]

exponentes2 :: [(Integer,Integer)]

exponentes2 =

concat [[(r,s) | s <- takeWhile (<= (r `div` 4)) ys] | r <- xs]

where xs = [10,13..]

ys = [2,5..]

-- 3ª solución

-- ===========

exponentes3 :: [(Integer,Integer)]

exponentes3 = [(r,s) | r <- [1,4..], s <- [2,5..r `div` 4]]

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_exponentes :: Int -> Property

prop_exponentes n =

n >= 0 ==>

all (== (exponentes !! n))

[exponentes2 !! n,

exponentes3 !! n]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_exponentes

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> exponentes !! (3*10^4)

-- (1471,332)

-- (5.21 secs, 7,844,582,216 bytes)

-- λ> exponentes2 !! (3*10^4)

-- (1471,332)

-- (0.04 secs, 6,551,432 bytes)

-- λ> exponentes3 !! (3*10^4)

-- (1471,332)

-- (0.01 secs, 5,512,056 bytes)

-- λ> exponentes2 !! (10^7)

-- (26836,1826)

-- (3.25 secs, 2,083,815,616 bytes)

-- λ> exponentes3 !! (10^7)

-- (26836,1826)

-- (2.57 secs, 1,757,467,216 bytes)

-- Cálculo de la respuesta

-- =======================

-- El cálculo es

-- λ> (r,s) = head exponentes

-- λ> 2^r - 16^s

-- 768

-- Por tanto, el número pedido es el 768.

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Suma de no múltiplos

PorJosé A. Alonso 10-mayo-202117-mayo-2021

El enunciado del problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2011 es

Dado un entero positivo n, hallar la suma de todos los enteros positivos inferiores a 10n que no son múltiplos de 2 ni de 5.

Definir la función

   suma :: Integer -> Integer

1	suma :: Integer -> Integer

tal que (suma n) es la suma de todos los enteros positivos inferiores a 10n que no son múltiplos de 2 ni de 5. Por ejemplo,

   suma 7  ==  980
   length (show (suma (10^(10^5))))  ==  200002
   length (show (suma (10^(10^6))))  ==  2000002
   length (show (suma (10^(10^7))))  ==  20000002

suma 7 == 980

length (show (suma (10^(10^5)))) == 200002

length (show (suma (10^(10^6)))) == 2000002

length (show (suma (10^(10^7)))) == 20000002

Soluciones

import Data.List ((\\))
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

suma :: Integer -> Integer
suma n =
  sum [x | x <- [1..10*n],
           x `mod` 2 /= 0,
           x `mod` 5 /= 0]

-- 2ª solución
-- ===========

suma2 :: Integer -> Integer
suma2 n =
  sum ([1..10*n] \\ ([2,4..10*n] ++ [5,10..10*n]))

-- 3ª solución
-- ===========

-- Observando los siguientes cálculos
--    λ> map suma [1..10]
--    [20,80,180,320,500,720,980,1280,1620,2000]
--    λ> map (`div` 20) it
--    [1,4,9,16,25,36,49,64,81,100]

suma3 :: Integer -> Integer
suma3 n = 20*n^2

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_suma :: Integer -> Property
prop_suma n =
  n > 0 ==>
  all (== (suma n))
      [suma2 n,
       suma3 n]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_suma
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> suma (2*10^3)
--    80000000
--    (0.05 secs, 6,671,720 bytes)
--    λ> suma2 (2*10^3)
--    80000000
--    (2.63 secs, 7,886,190,192 bytes)
--    λ> suma3 (2*10^3)
--    80000000
--    (0.02 secs, 106,736 bytes)
--
--    λ> suma (4*10^5)
--    3200000000000
--    (2.31 secs, 1,314,056,144 bytes)
--    λ> suma3 (4*10^5)
--    3200000000000
--    (0.02 secs, 106,808 bytes)

import Data.List ((\\))

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

suma :: Integer -> Integer

suma n =

sum [x | x <- [1..10*n],

x `mod` 2 /= 0,

x `mod` 5 /= 0]

-- 2ª solución

-- ===========

suma2 :: Integer -> Integer

suma2 n =

sum ([1..10*n] \\ ([2,4..10*n] ++ [5,10..10*n]))

-- 3ª solución

-- ===========

-- Observando los siguientes cálculos

-- λ> map suma [1..10]

-- [20,80,180,320,500,720,980,1280,1620,2000]

-- λ> map (`div` 20) it

-- [1,4,9,16,25,36,49,64,81,100]

suma3 :: Integer -> Integer

suma3 n = 20*n^2

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_suma :: Integer -> Property

prop_suma n =

n > 0 ==>

all (== (suma n))

[suma2 n,

suma3 n]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_suma

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> suma (2*10^3)

-- 80000000

-- (0.05 secs, 6,671,720 bytes)

-- λ> suma2 (2*10^3)

-- 80000000

-- (2.63 secs, 7,886,190,192 bytes)

-- λ> suma3 (2*10^3)

-- 80000000

-- (0.02 secs, 106,736 bytes)

-- λ> suma (4*10^5)

-- 3200000000000

-- (2.31 secs, 1,314,056,144 bytes)

-- λ> suma3 (4*10^5)

-- 3200000000000

-- (0.02 secs, 106,808 bytes)

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Suma de serie racional

PorJosé A. Alonso 7-mayo-202114-mayo-2021

El enunciado del problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2020 es

Sea n un entero positivo. Calcular la siguiente suma

         3           4           5                    n+2
     --------- + --------- + --------- + ··· + ---------------------
      1·2·4·5     2·3·5·6     3·4·6·7           n·(n+1)·(n+3)·(n+4)

3 4 5 n+2

--------- + --------- + --------- + ··· + ---------------------

1·2·4·5 2·3·5·6 3·4·6·7 n·(n+1)·(n+3)·(n+4)

Definir la función

   sumaSerie :: Integer -> Rational

1	sumaSerie :: Integer -> Rational

tal que para cada entero positivo n, (sumaSerie n) es el valor de la siguiente sumaSerie

      3           4           5                    n+2
  --------- + --------- + --------- + ··· + ---------------------
   1·2·4·5     2·3·5·6     3·4·6·7           n·(n+1)·(n+3)·(n+4)

3 4 5 n+2

--------- + --------- + --------- + ··· + ---------------------

1·2·4·5 2·3·5·6 3·4·6·7 n·(n+1)·(n+3)·(n+4)

Por ejemplo,

   sumaSerie 1        ==  3 % 40
   sumaSerie 2        ==  7 % 72
   sumaSerie 3        ==  3 % 28
   sumaSerie (10^10)  ==  3125000001562500000 % 25000000012500000001

   length (show (sumaSerie (10^10)))      ==  42
   length (show (sumaSerie (10^(10^2))))  ==  402
   length (show (sumaSerie (10^(10^3))))  ==  4002
   length (show (sumaSerie (10^(10^4))))  ==  40002
   length (show (sumaSerie (10^(10^5))))  ==  400002
   length (show (sumaSerie (10^(10^6))))  ==  4000002

sumaSerie 1 == 3 % 40

sumaSerie 2 == 7 % 72

sumaSerie 3 == 3 % 28

sumaSerie (10^10) == 3125000001562500000 % 25000000012500000001

length (show (sumaSerie (10^10))) == 42

length (show (sumaSerie (10^(10^2)))) == 402

length (show (sumaSerie (10^(10^3)))) == 4002

length (show (sumaSerie (10^(10^4)))) == 40002

length (show (sumaSerie (10^(10^5)))) == 400002

length (show (sumaSerie (10^(10^6)))) == 4000002

Soluciones

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

sumaSerie :: Integer -> Rational
sumaSerie n =
  sum [k/((k-1)*(k-2)*(k+1)*(k+2))
      | a <- [3..n+2],
        let k = fromIntegral a]

-- 2ª solución
-- ===========

-- Calculando los primeros términos
--    λ> [sumaSerie n | n <- [1..11]]
--    [3 % 40,7 % 72,3 % 28,9 % 80,25 % 216,33 % 280,21 % 176,13 % 108,63 % 520,75 % 616,11 % 90]
-- y usando Wolfram Alpha https://bit.ly/2PvoCEK

sumaSerie2 :: Integer -> Rational
sumaSerie2 n = m*(m+5)/(8*(m+1)*(m+4))
  where m = fromIntegral n

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_sumaSerie :: Integer -> Property
prop_sumaSerie n =
  n > 0 ==>
  sumaSerie n == sumaSerie2 n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_sumaSerie
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> sumaSerie (10^6)
--    31250156250 % 250001250001
--    (4.99 secs, 6,029,246,016 bytes)
--    λ> sumaSerie2 (10^6)
--    31250156250 % 250001250001
--    (0.02 secs, 123,280 bytes)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

sumaSerie :: Integer -> Rational

sumaSerie n =

sum [k/((k-1)*(k-2)*(k+1)*(k+2))

| a <- [3..n+2],

let k = fromIntegral a]

-- 2ª solución

-- ===========

-- Calculando los primeros términos

-- λ> [sumaSerie n | n <- [1..11]]

-- [3 % 40,7 % 72,3 % 28,9 % 80,25 % 216,33 % 280,21 % 176,13 % 108,63 % 520,75 % 616,11 % 90]

-- y usando Wolfram Alpha https://bit.ly/2PvoCEK

sumaSerie2 :: Integer -> Rational

sumaSerie2 n = m*(m+5)/(8*(m+1)*(m+4))

where m = fromIntegral n

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_sumaSerie :: Integer -> Property

prop_sumaSerie n =

n > 0 ==>

sumaSerie n == sumaSerie2 n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_sumaSerie

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> sumaSerie (10^6)

-- 31250156250 % 250001250001

-- (4.99 secs, 6,029,246,016 bytes)

-- λ> sumaSerie2 (10^6)

-- 31250156250 % 250001250001

-- (0.02 secs, 123,280 bytes)

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Múltiplos persistentes de siete

PorJosé A. Alonso 6-mayo-202113-mayo-2021

El enunciado del problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española del 2021 es

Determinar todos los números de cuatro cifras tales que al insertar un dígito 0 en cualquier posición se obtiene un múltiplo de 7.

Un número n se dice que es un múltiplo persistente de 7 si al insertar el dígito 0 en cualquier posición de n se obtiene un múltiplo de 7.

Definir las funciones

   esMultiploPersistente :: Integer -> Bool
   multiplosPersistentes :: Int -> [Integer]

1 2	esMultiploPersistente :: Integer -> Bool multiplosPersistentes :: Int -> [Integer]

tales que

(esMultiploPersistente n) se verifica si n es un múltiplo persistente de n. Por ejemplo,

     esMultiploPersistente 7007  ==  True
     esMultiploPersistente 7107  ==  False

1 2	esMultiploPersistente 7007 == True esMultiploPersistente 7107 == False

(multiplosPersistentes k) es la lista de los números con k dígitos que son múltiplos persistentes de 7. Por ejemplo,

     take 2 (multiplosPersistentes 4)   ==  [7000,7007]
     length (multiplosPersistentes 20)  ==  524288

1 2	take 2 (multiplosPersistentes 4) == [7000,7007] length (multiplosPersistentes 20) == 524288

Usando la función multiplosPersistentes, calcular la respuesta al problema de la Olimpiada.

Soluciones

import Data.List (sort)

-- 1ª definición de esMultiploPersistente
-- ======================================

esMultiploPersistente :: Integer -> Bool
esMultiploPersistente n =
  and [x `mod` 7 == 0 | x <- insertados n]

-- (insertados n) es la lista de los números obtenidos insertando un 0
-- en cualquier posición de n. Por ejemplo,
--    insertados 3264  ==  [3264,30264,32064,32604,32640]
insertados :: Integer -> [Integer]
insertados n =
  [read (xs ++ "0" ++ ys) | k <- [0..length ns],
                            let (xs,ys) = splitAt k ns]
  where ns = show n

-- 1ª definición de multiplosPersistentes
-- ======================================

multiplosPersistentes :: Int -> [Integer]
multiplosPersistentes n =
  filter esMultiploPersistente [10^(n-1)..10^n-1]

-- 2ª definición de multiplosPersistentes
-- ======================================

multiplosPersistentes2 :: Int -> [Integer]
multiplosPersistentes2 n =
  filter esMultiploPersistente [7*10^(n-1),7*10^(n-1)+7..7*((10^n-1) `div` 9)]

-- 3ª definición de esMultiploPersistente
-- ======================================

-- Observando los cálculos
--    multiplosPersistentes2 1  ==  [7]
--    multiplosPersistentes2 2  ==  [70,77]
--    multiplosPersistentes2 3  ==  [700,707,770,777]
--    multiplosPersistentes2 4  ==  [7000,7007,7070,7077,7700,7707,7770,7777]

esMultiploPersistente2 :: Integer -> Bool
esMultiploPersistente2 n =
  all (`elem` "07") (show n)

-- 3ª definición de multiplosPersistentes
-- ======================================

multiplosPersistentes3 :: Int -> [Integer]
multiplosPersistentes3 n =
  filter esMultiploPersistente2 [7*10^(n-1),7*10^(n-1)+7..7*((10^n-1) `div` 9)]

-- 4ª definición de multiplosPersistentes
-- ======================================

multiplosPersistentes4 :: Int -> [Integer]
multiplosPersistentes4 k =
  sort [read (reverse cs) | cs <- aux k]
  where aux 1 = ["7"]
        aux n = map ('0':) xs ++ map ('7':) xs
          where xs = aux (n-1)

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_multiplosPresistentes :: Int -> Bool
prop_multiplosPresistentes n =
  all (== (multiplosPersistentes n))
      [multiplosPersistentes2 n,
       multiplosPersistentes3 n,
       multiplosPersistentes4 n]

-- La comprobación es
--    λ> all prop_multiplosPresistentes [1..6]
--    True

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (multiplosPersistentes 6)
--    32
--    (3.35 secs, 7,378,373,000 bytes)
--    λ> length (multiplosPersistentes2 6)
--    32
--    (0.12 secs, 171,735,992 bytes)
--    λ> length (multiplosPersistentes3 6)
--    32
--    (0.03 secs, 9,290,744 bytes)
--    λ> length (multiplosPersistentes4 6)
--    32
--    (0.01 secs, 294,584 bytes)
--
--    λ> length (multiplosPersistentes2 8)
--    128
--    (7.76 secs, 18,659,185,520 bytes)
--    λ> length (multiplosPersistentes3 8)
--    128
--    (0.73 secs, 1,007,383,168 bytes)
--    λ> length (multiplosPersistentes4 8)
--    128
--    (0.01 secs, 960,808 bytes)
--
--    λ> length (multiplosPersistentes3 9)
--    256
--    (6.82 secs, 10,517,232,576 bytes)
--    λ> length (multiplosPersistentes4 9)
--    256
--    (0.01 secs, 1,912,136 bytes)

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

import Data.List (sort)

-- 1ª definición de esMultiploPersistente

-- ======================================

esMultiploPersistente :: Integer -> Bool

esMultiploPersistente n =

and [x `mod` 7 == 0 | x <- insertados n]

-- (insertados n) es la lista de los números obtenidos insertando un 0

-- en cualquier posición de n. Por ejemplo,

-- insertados 3264 == [3264,30264,32064,32604,32640]

insertados :: Integer -> [Integer]

insertados n =

[read (xs ++ "0" ++ ys) | k <- [0..length ns],

let (xs,ys) = splitAt k ns]

where ns = show n

-- 1ª definición de multiplosPersistentes

-- ======================================

multiplosPersistentes :: Int -> [Integer]

multiplosPersistentes n =

filter esMultiploPersistente [10^(n-1)..10^n-1]

-- 2ª definición de multiplosPersistentes

-- ======================================

multiplosPersistentes2 :: Int -> [Integer]

multiplosPersistentes2 n =

filter esMultiploPersistente [7*10^(n-1),7*10^(n-1)+7..7*((10^n-1) `div` 9)]

-- 3ª definición de esMultiploPersistente

-- ======================================

-- Observando los cálculos

-- multiplosPersistentes2 1 == [7]

-- multiplosPersistentes2 2 == [70,77]

-- multiplosPersistentes2 3 == [700,707,770,777]

-- multiplosPersistentes2 4 == [7000,7007,7070,7077,7700,7707,7770,7777]

esMultiploPersistente2 :: Integer -> Bool

esMultiploPersistente2 n =

all (`elem` "07") (show n)

-- 3ª definición de multiplosPersistentes

-- ======================================

multiplosPersistentes3 :: Int -> [Integer]

multiplosPersistentes3 n =

filter esMultiploPersistente2 [7*10^(n-1),7*10^(n-1)+7..7*((10^n-1) `div` 9)]

-- 4ª definición de multiplosPersistentes

-- ======================================

multiplosPersistentes4 :: Int -> [Integer]

multiplosPersistentes4 k =

sort [read (reverse cs) | cs <- aux k]

where aux 1 = ["7"]

aux n = map ('0':) xs ++ map ('7':) xs

where xs = aux (n-1)

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_multiplosPresistentes :: Int -> Bool

prop_multiplosPresistentes n =

all (== (multiplosPersistentes n))

[multiplosPersistentes2 n,

multiplosPersistentes3 n,

multiplosPersistentes4 n]

-- La comprobación es

-- λ> all prop_multiplosPresistentes [1..6]

-- True

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (multiplosPersistentes 6)

-- 32

-- (3.35 secs, 7,378,373,000 bytes)

-- λ> length (multiplosPersistentes2 6)

-- 32

-- (0.12 secs, 171,735,992 bytes)

-- λ> length (multiplosPersistentes3 6)

-- 32

-- (0.03 secs, 9,290,744 bytes)

-- λ> length (multiplosPersistentes4 6)

-- 32

-- (0.01 secs, 294,584 bytes)

-- λ> length (multiplosPersistentes2 8)

-- 128

-- (7.76 secs, 18,659,185,520 bytes)

-- λ> length (multiplosPersistentes3 8)

-- 128

-- (0.73 secs, 1,007,383,168 bytes)

-- λ> length (multiplosPersistentes4 8)

-- 128

-- (0.01 secs, 960,808 bytes)

-- λ> length (multiplosPersistentes3 9)

-- 256

-- (6.82 secs, 10,517,232,576 bytes)

-- λ> length (multiplosPersistentes4 9)

-- 256

-- (0.01 secs, 1,912,136 bytes)

Nuevas soluciones

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Múltiplos repitunos (OME1993 P4)

PorJosé A. Alonso 5-mayo-202112-mayo-2021

El enunciado del problema 4 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1993 es

Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de p de la forma 1111……1 (escrito sólo con unos).

Definir la función

   multiplosRepitunos :: Integer -> [Integer]

1	multiplosRepitunos :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosRepitunos p n) es la lista de los múltiplos repitunos de p (es decir, de la forma 1111…1 escrito sólo con unos), donde p es un número primo distinto de 2 y 5. Por ejemplo,

   take 2 (multiplosRepitunos 7) == [111111,111111111111]
   head (multiplosRepitunos 19)  == 111111111111111111
   length (show (head (multiplosRepitunos (primes !! (10^5))))) == 43324

take 2 (multiplosRepitunos 7) == [111111,111111111111]

head (multiplosRepitunos 19) == 111111111111111111

length (show (head (multiplosRepitunos (primes !! (10^5))))) == 43324

Comprobar con QuickCheck que para todo primo p mayor que 5 y todo número entero positivo n, existe un mútiplo repituno de p mayor que n.

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primes)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

multiplosRepitunos :: Integer -> [Integer]
multiplosRepitunos p =
  [x | x <- repitunos
     , mod x p == 0]

-- repitunos es la lista de los números de la forma 111...1 (escrito sólo con
-- unos). Por ejemplo,
--    take 5 repitunos  ==  [1,11,111,1111,11111]
repitunos :: [Integer]
repitunos = 1 : [10*x+1 | x <- repitunos]

-- 2ª solución
-- ===========

multiplosRepitunos2 :: Integer -> [Integer]
multiplosRepitunos2 p =
  [x | x <- repitunos2
     , mod x p == 0]

repitunos2 :: [Integer]
repitunos2 = [div (10^n-1) 9 | n <- [1..]]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (show (head (multiplosRepitunos (primes !! (10^5)))))
--    43324
--    (0.58 secs, 1,272,561,448 bytes)
--    λ> length (show (head (multiplosRepitunos2 (primes !! (10^5)))))
--    43324
--    (5.50 secs, 2,563,458,656 bytes)

-- Comprobación
-- ============

-- La propiedad es
prop_multiplosRepitunos :: Int -> Property
prop_multiplosRepitunos k =
  k > 2  ==>
  not (null (multiplosRepitunos (primes !! k)))

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_multiplosRepitunos
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.Numbers.Primes (primes)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

multiplosRepitunos :: Integer -> [Integer]

multiplosRepitunos p =

[x | x <- repitunos

, mod x p == 0]

-- repitunos es la lista de los números de la forma 111...1 (escrito sólo con

-- unos). Por ejemplo,

-- take 5 repitunos == [1,11,111,1111,11111]

repitunos :: [Integer]

repitunos = 1 : [10*x+1 | x <- repitunos]

-- 2ª solución

-- ===========

multiplosRepitunos2 :: Integer -> [Integer]

multiplosRepitunos2 p =

[x | x <- repitunos2

, mod x p == 0]

repitunos2 :: [Integer]

repitunos2 = [div (10^n-1) 9 | n <- [1..]]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (show (head (multiplosRepitunos (primes !! (10^5)))))

-- 43324

-- (0.58 secs, 1,272,561,448 bytes)

-- λ> length (show (head (multiplosRepitunos2 (primes !! (10^5)))))

-- 43324

-- (5.50 secs, 2,563,458,656 bytes)

-- Comprobación

-- ============

-- La propiedad es

prop_multiplosRepitunos :: Int -> Property

prop_multiplosRepitunos k =

k > 2 ==>

not (null (multiplosRepitunos (primes !! k)))

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_multiplosRepitunos

-- +++ OK, passed 100 tests.

Nuevas soluciones

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Ecuación diofántica con primos (OME1995 P4)

PorJosé A. Alonso 4-mayo-202111-mayo-2021

El enunciado del problema 4 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1995 es

Siendo p un número primo, halla las soluciones enteras de la ecuación:

p.(x + y) = x.y

Definir la función

   soluciones :: Integer -> [(Integer, Integer)]

1	soluciones :: Integer -> [(Integer, Integer)]

tal que (soluciones p) es la lista de los pares de enteros (x,y) tales que p.(x + y) = x.y. Por ejemplo,

   λ> take 3 (soluciones 7)
   [(0,0),(14,14),(-42,6)]
   λ> sum [x+y | (x,y) <- take 6 (soluciones (primes !! (10^6)))]
   185830404

λ> take 3 (soluciones 7)

[(0,0),(14,14),(-42,6)]

λ> sum [x+y | (x,y) <- take 6 (soluciones (primes !! (10^6)))]

185830404

Soluciones

import Data.List (sort)
import Data.Numbers.Primes (primes)

-- 1ª solución
-- ===========

soluciones :: Integer -> [(Integer, Integer)]
soluciones p =
  [(x,y) | (x,y) <- pares,
           p * (x + y) == x * y]

-- pares es la lista de los pares de números enteros ordenados por la
-- suma de los valores absolutos de sus componentes. Por ejemplo,
--    λ> take 38 pares
--    [(0,0),(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),
--     (0,2),(1,-1),(1,1),(2,0),(-3,0),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),
--     (0,-3),(0,3),(1,-2),(1,2),(2,-1),(2,1),(3,0),(-4,0),(-3,-1),
--     (-3,1),(-2,-2),(-2,2),(-1,-3),(-1,3),(0,-4),(0,4),(1,-3),(1,3),
--     (2,-2),(2,2)]
pares :: [(Integer,Integer)]
pares = concatMap paresEnterosSuma [0..]

-- (paresEnterosSuma n) es la lista de pares de enteros (x,y) tales que la suma
-- de los valores absolutos de x e y es igual a n. Por ejemplo,
--    λ> paresEnterosSuma 3
--    [(-3,0),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),(0,-3),(0,3),(1,-2),(1,2),
--     (2,-1),(2,1),(3,0)]
paresEnterosSuma :: Integer -> [(Integer,Integer)]
paresEnterosSuma n = concatMap aux [-n..n]
  where aux k | m == 0    = [(k,0)]
              | otherwise = [(k,-m),(k,m)]
          where m = n - abs k

-- 2ª solución
-- ===========

-- Observando los siguientes cálculos:
--    take 6 (soluciones 2)  == [(0,0),(-2,1),(1,-2),(4,4),(3,6),(6,3)]
--    take 6 (soluciones 3)  == [(0,0),(-6,2),(2,-6),(6,6),(4,12),(12,4)]
--    take 6 (soluciones 5)  == [(0,0),(10,10),(-20,4),(4,-20),(6,30),(30,6)]
--    take 6 (soluciones 7)  == [(0,0),(14,14),(-42,6),(6,-42),(8,56),(56,8)]
--    take 6 (soluciones 11) == [(0,0),(22,22),(-110,10),(10,-110),(12,132),(132,12)]

soluciones2 :: Integer -> [(Integer, Integer)]
soluciones2 2 = [(0,0),(-2,1),(1,-2),(4,4),(3,6),(6,3)]
soluciones2 3 = [(0,0),(-6,2),(2,-6),(6,6),(4,12),(12,4)]
soluciones2 p =
  [(0,0), (2*p,2*p), (p*(1-p),p-1), (p-1,p*(1-p)), (p+1,p*(p+1)), (p*(p+1),p+1)]

-- Comparación de equivalencia
-- ===========================

-- La propiedad es
prop_equivalencia :: Bool
prop_equivalencia =
  and [ take 6 (soluciones p) == soluciones2 p
      | p <- takeWhile (<= 37) primes]

-- La comprobación es
--    λ> prop_equivalencia
--    True

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> take 6 (soluciones 37)
--    [(0,0),(74,74),(-1332,36),(36,-1332),(38,1406),(1406,38)]
--    (3.88 secs, 2,521,196,352 bytes)
--    λ> take 6 (soluciones2 37)
--    [(0,0),(74,74),(-1332,36),(36,-1332),(38,1406),(1406,38)]
--    (0.01 secs, 144,192 bytes)

import Data.List (sort)

import Data.Numbers.Primes (primes)

-- 1ª solución

-- ===========

soluciones :: Integer -> [(Integer, Integer)]

soluciones p =

[(x,y) | (x,y) <- pares,

p * (x + y) == x * y]

-- pares es la lista de los pares de números enteros ordenados por la

-- suma de los valores absolutos de sus componentes. Por ejemplo,

-- λ> take 38 pares

-- [(0,0),(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),

-- (0,2),(1,-1),(1,1),(2,0),(-3,0),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),

-- (0,-3),(0,3),(1,-2),(1,2),(2,-1),(2,1),(3,0),(-4,0),(-3,-1),

-- (-3,1),(-2,-2),(-2,2),(-1,-3),(-1,3),(0,-4),(0,4),(1,-3),(1,3),

-- (2,-2),(2,2)]

pares :: [(Integer,Integer)]

pares = concatMap paresEnterosSuma [0..]

-- (paresEnterosSuma n) es la lista de pares de enteros (x,y) tales que la suma

-- de los valores absolutos de x e y es igual a n. Por ejemplo,

-- λ> paresEnterosSuma 3

-- [(-3,0),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),(0,-3),(0,3),(1,-2),(1,2),

-- (2,-1),(2,1),(3,0)]

paresEnterosSuma :: Integer -> [(Integer,Integer)]

paresEnterosSuma n = concatMap aux [-n..n]

where aux k | m == 0 = [(k,0)]

| otherwise = [(k,-m),(k,m)]

where m = n - abs k

-- 2ª solución

-- ===========

-- Observando los siguientes cálculos:

-- take 6 (soluciones 2) == [(0,0),(-2,1),(1,-2),(4,4),(3,6),(6,3)]

-- take 6 (soluciones 3) == [(0,0),(-6,2),(2,-6),(6,6),(4,12),(12,4)]

-- take 6 (soluciones 5) == [(0,0),(10,10),(-20,4),(4,-20),(6,30),(30,6)]

-- take 6 (soluciones 7) == [(0,0),(14,14),(-42,6),(6,-42),(8,56),(56,8)]

-- take 6 (soluciones 11) == [(0,0),(22,22),(-110,10),(10,-110),(12,132),(132,12)]

soluciones2 :: Integer -> [(Integer, Integer)]

soluciones2 2 = [(0,0),(-2,1),(1,-2),(4,4),(3,6),(6,3)]

soluciones2 3 = [(0,0),(-6,2),(2,-6),(6,6),(4,12),(12,4)]

soluciones2 p =

[(0,0), (2*p,2*p), (p*(1-p),p-1), (p-1,p*(1-p)), (p+1,p*(p+1)), (p*(p+1),p+1)]

-- Comparación de equivalencia

-- ===========================

-- La propiedad es

prop_equivalencia :: Bool

prop_equivalencia =

and [ take 6 (soluciones p) == soluciones2 p

| p <- takeWhile (<= 37) primes]

-- La comprobación es

-- λ> prop_equivalencia

-- True

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> take 6 (soluciones 37)

-- [(0,0),(74,74),(-1332,36),(36,-1332),(38,1406),(1406,38)]

-- (3.88 secs, 2,521,196,352 bytes)

-- λ> take 6 (soluciones2 37)

-- [(0,0),(74,74),(-1332,36),(36,-1332),(38,1406),(1406,38)]

-- (0.01 secs, 144,192 bytes)

Nuevas soluciones

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El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Ordenación de los pares de enteros

PorJosé A. Alonso 3-mayo-202110-mayo-2021

Los pares de números enteros se pueden ordenar por la suma de los valores absolutos de sus componentes. Los primeros pares en dicha ordenación son

   (0,0),
   (-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),
   (-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),(0,2),(1,-1),(1,1),(2,0), ...

(0,0),

(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),

(-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),(0,2),(1,-1),(1,1),(2,0), ...

Definir la lista

   pares :: [(Integer, Integer)]

1	pares :: [(Integer, Integer)]

cuyos elementos son los pares de números enteros con la ordenación anterior. Por ejemplo,

   λ> take 38 pares
   [(0,0),(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),
    (0,2),(1,-1),(1,1),(2,0),(-3,0),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),
    (0,-3),(0,3),(1,-2),(1,2),(2,-1),(2,1),(3,0),(-4,0),(-3,-1),
    (-3,1),(-2,-2),(-2,2),(-1,-3),(-1,3),(0,-4),(0,4),(1,-3),(1,3),
    (2,-2),(2,2)]

λ> take 38 pares

[(0,0),(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),

(0,2),(1,-1),(1,1),(2,0),(-3,0),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),

(0,-3),(0,3),(1,-2),(1,2),(2,-1),(2,1),(3,0),(-4,0),(-3,-1),

(-3,1),(-2,-2),(-2,2),(-1,-3),(-1,3),(0,-4),(0,4),(1,-3),(1,3),

(2,-2),(2,2)]

Soluciones

import Data.List (sort)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

pares :: [(Integer, Integer)]
pares =
  concat [sort (concat [aux (x,n-x) | x <- [0..n]])
         | n <- [0..]]
  where
    aux (0,0) = [(0,0)]
    aux (0,y) = [(0,y), (0,-y)]
    aux (x,0) = [(x,0), (-x,0)]
    aux (x,y) = [(x,y), (-x,y), (x,-y), (-x,-y)]

-- 2ª solución
-- ===========

pares2 :: [(Integer,Integer)]
pares2 = concatMap paresEnterosSuma [0..]

-- (paresEnterosSuma n) es la lista de pares de enteros (x,y) tales que la suma
-- de los valores absolutos de x e y es igual a n. Por ejemplo,
--    λ> paresEnterosSuma 3
--    [(-3,0),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),(0,-3),(0,3),(1,-2),(1,2),
--     (2,-1),(2,1),(3,0)]
paresEnterosSuma :: Integer -> [(Integer,Integer)]
paresEnterosSuma n = concatMap aux [-n..n]
  where aux k | m == 0    = [(k,0)]
              | otherwise = [(k,-m),(k,m)]
          where m = n - abs k

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_pares :: Int -> Property
prop_pares n =
  n >= 0 ==>
  pares !! n == pares2 !! n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_pares
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> pares !! (10^7)
--    (304,-1932)
--    (9.15 secs, 11,031,475,520 bytes)
--    λ> pares2 !! (10^7)
--    (304,-1932)
--    (2.84 secs, 3,401,450,320 bytes)

import Data.List (sort)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

pares :: [(Integer, Integer)]

pares =

concat [sort (concat [aux (x,n-x) | x <- [0..n]])

| n <- [0..]]

where

aux (0,0) = [(0,0)]

aux (0,y) = [(0,y), (0,-y)]

aux (x,0) = [(x,0), (-x,0)]

aux (x,y) = [(x,y), (-x,y), (x,-y), (-x,-y)]

-- 2ª solución

-- ===========

pares2 :: [(Integer,Integer)]

pares2 = concatMap paresEnterosSuma [0..]

-- (paresEnterosSuma n) es la lista de pares de enteros (x,y) tales que la suma

-- de los valores absolutos de x e y es igual a n. Por ejemplo,

-- λ> paresEnterosSuma 3

-- [(-3,0),(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),(0,-3),(0,3),(1,-2),(1,2),

-- (2,-1),(2,1),(3,0)]

paresEnterosSuma :: Integer -> [(Integer,Integer)]

paresEnterosSuma n = concatMap aux [-n..n]

where aux k | m == 0 = [(k,0)]

| otherwise = [(k,-m),(k,m)]

where m = n - abs k

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_pares :: Int -> Property

prop_pares n =

n >= 0 ==>

pares !! n == pares2 !! n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_pares

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> pares !! (10^7)

-- (304,-1932)

-- (9.15 secs, 11,031,475,520 bytes)

-- λ> pares2 !! (10^7)

-- (304,-1932)

-- (2.84 secs, 3,401,450,320 bytes)

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Números potencias perfectas de la suma de sus dígitos

PorJosé A. Alonso 30-abril-20217-mayo-2021

El número 2401 es una potencia de la suma de sus dígitos, ya que dicha suma es 7 y 7^4 = 2401.

Definir la lista

   potenciaSumaDigitos :: [Integer]

1	potenciaSumaDigitos :: [Integer]

cuyos elementos son los números que son potencias de las sumas de sus dígitos. Por ejemplo,

   λ> take 17 potenciaSumaDigitos
   [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,81,512,2401,4913,5832,17576,19683]

1 2	λ> take 17 potenciaSumaDigitos [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,81,512,2401,4913,5832,17576,19683]

Soluciones

-- 1ª solución
-- ===========

potenciaSumaDigitos :: [Integer]
potenciaSumaDigitos = 0 : filter esPotenciaSumaDigitos [0..]

-- (esPotenciaSumaDigitos n) se verifica si n es una potencia de la suma
-- de sus dígitos. Por ejemplo,
--    esPotenciaSumaDigitos 2401  ==  True
--    esPotenciaSumaDigitos 2402  ==  False
esPotenciaSumaDigitos :: Integer -> Bool
esPotenciaSumaDigitos n =
  or [n == x^k | k <- [1..n]]
  where x = sumaDigitos n

-- (sumaDigitos n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo,
--    sumaDigitos 2021  ==  5
sumaDigitos :: Integer -> Integer
sumaDigitos = sum . digitos

-- (digitos n) es la lista de los dígitos de n. Por ejemplo,
--    digitos 2021  ==  [2,0,2,1]
digitos :: Integer -> [Integer]
digitos x = [read [c] | c <- show x]

-- 2ª solución
-- ===========

potenciaSumaDigitos2 :: [Integer]
potenciaSumaDigitos2 = 0 : 1 : filter esPotenciaSumaDigitos2 [2..]

-- (esPotenciaSumaDigitos2 n) se verifica si n es una potencia de la suma
-- de sus dígitos. Por ejemplo,
--    esPotenciaSumaDigitos2 2401  ==  True
--    esPotenciaSumaDigitos2 2402  ==  False
esPotenciaSumaDigitos2 :: Integer -> Bool
esPotenciaSumaDigitos2 n =
  n == x^k
  where x = sumaDigitos n
        k = round (logBase (fromIntegral x) (fromIntegral n))

-- 1ª solución

-- ===========

potenciaSumaDigitos :: [Integer]

potenciaSumaDigitos = 0 : filter esPotenciaSumaDigitos [0..]

-- (esPotenciaSumaDigitos n) se verifica si n es una potencia de la suma

-- de sus dígitos. Por ejemplo,

-- esPotenciaSumaDigitos 2401 == True

-- esPotenciaSumaDigitos 2402 == False

esPotenciaSumaDigitos :: Integer -> Bool

esPotenciaSumaDigitos n =

or [n == x^k | k <- [1..n]]

where x = sumaDigitos n

-- (sumaDigitos n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo,

-- sumaDigitos 2021 == 5

sumaDigitos :: Integer -> Integer

sumaDigitos = sum . digitos

-- (digitos n) es la lista de los dígitos de n. Por ejemplo,

-- digitos 2021 == [2,0,2,1]

digitos :: Integer -> [Integer]

digitos x = [read [c] | c <- show x]

-- 2ª solución

-- ===========

potenciaSumaDigitos2 :: [Integer]

potenciaSumaDigitos2 = 0 : 1 : filter esPotenciaSumaDigitos2 [2..]

-- (esPotenciaSumaDigitos2 n) se verifica si n es una potencia de la suma

-- de sus dígitos. Por ejemplo,

-- esPotenciaSumaDigitos2 2401 == True

-- esPotenciaSumaDigitos2 2402 == False

esPotenciaSumaDigitos2 :: Integer -> Bool

esPotenciaSumaDigitos2 n =

n == x^k

where x = sumaDigitos n

k = round (logBase (fromIntegral x) (fromIntegral n))

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Órbita con raíz entera (OME1997 P4)

PorJosé A. Alonso 29-abril-20216-mayo-2021

El enunciado del problema 4 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1997 es

Sea p un número primo. Determinar todos los enteros k tales que sqrt(k² – k*p) es natural.

Definir las funciones

   orbita        :: Integer -> [Integer]
   orbitaDePrimo :: Integer -> [Integer]

1 2	orbita :: Integer -> [Integer] orbitaDePrimo :: Integer -> [Integer]

tales que

(orbita n) es la lista de todos los enteros k tales que sqrt(k² – k*n) es natural. Por ejemplo,

     take 4  (orbita 6)   == [0,-2,6,8]
     take 5  (orbita 36)  == [0,-12,36,48,-64]
     take 6  (orbita 9)   == [0,-3,9,12,-16,25]
     take 8  (orbita 27)  == [0,-9,27,36,-48,75,-169,196]
     take 10 (orbita 111) == [0,-37,111,148,-289,400,-972,1083,-3025,3136]

take 4 (orbita 6) == [0,-2,6,8]

take 5 (orbita 36) == [0,-12,36,48,-64]

take 6 (orbita 9) == [0,-3,9,12,-16,25]

take 8 (orbita 27) == [0,-9,27,36,-48,75,-169,196]

take 10 (orbita 111) == [0,-37,111,148,-289,400,-972,1083,-3025,3136]

(orbitaDePrimo p) es la lista de todos los enteros k tales que sqrt(k² – k*p) es natural, suponiendo que p es un número primo. Por ejemplo,

     orbitaDePrimo 5                  == [0,-4,5,9]
     orbitaDePrimo (primes !! (10^6)) == [0,15485867,-59953011442489,59953026928356]

1 2	orbitaDePrimo 5 == [0,-4,5,9] orbitaDePrimo (primes !! (10^6)) == [0,15485867,-59953011442489,59953026928356]

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primes)

orbita :: Integer -> [Integer]
orbita n =
  [k | k <- enteros,
       k^2 - k*n >= 0,
       esCuadrado (k^2 - k*n)]

-- entero es la lista de los números enteros. Por ejemplo,
--    λ> take 20 enteros
--    [0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,-5,5,-6,6,-7,7,-8,8,-9,9,-10]
enteros :: [Integer]
enteros = 0 : concat [[-n,n] | n <- [1..]]

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto. Por
-- ejemplo,
--    esCuadrado 16  ==  True
--    esCuadrado 27  ==  False
esCuadrado :: Integer -> Bool
esCuadrado x =
  (raizEntera x)^2 == x

-- (raizEntera x) es el mayor entero cuyo cuadrado es menor o igual que
-- x. Por ejemplo,
--    raizEntera 16  ==  4
--    raizEntera 27  ==  5
raizEntera :: Integer -> Integer
raizEntera x = aux (1,x)
    where aux (a,b) | d == x    = c
                    | c == a    = c
                    | d < x     = aux (c,b)
                    | otherwise = aux (a,c)
              where c = (a+b) `div` 2
                    d = c^2

-- 1ª definición de orbitaDePrimo
-- ==============================

orbitaDePrimo1 :: Integer -> [Integer]
orbitaDePrimo1 2 = take 2 (orbita 2)
orbitaDePrimo1 p = take 4 (orbita p)

-- 2ª definición de orbitaDePrimo
-- ==============================

-- Basada en los siguientes cálculos
--    orbitaDePrimo1 2  == [0,2]
--    orbitaDePrimo1 3  == [0,-1,3,4]
--    orbitaDePrimo1 5  == [0,-4,5,9]
--    orbitaDePrimo1 7  == [0, 7,  -9, 16]
--    orbitaDePrimo1 11 == [0,11, -25, 36]
--    orbitaDePrimo1 13 == [0,13, -36, 49]
--    orbitaDePrimo1 17 == [0,17, -64, 81]
--    orbitaDePrimo1 19 == [0,19, -81,100]
--    orbitaDePrimo1 23 == [0,23,-121,144]

orbitaDePrimo2 :: Integer -> [Integer]
orbitaDePrimo2 p
  | p == 2    = [0,2]
  | p <= 5    = [0, -((p-1) `div` 2)^2, p, ((p+1) `div` 2)^2]
  | otherwise = [0, p, -((p-1) `div` 2)^2, ((p+1) `div` 2)^2]

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La comprobación es
--    λ> and [orbitaDePrimo1 n == orbitaDePrimo2 n | n <- take 30 primes]
--    True

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> orbitaDePrimo1 (primes !! 100)
--    [0,547,-74529,75076]
--    (4.94 secs, 4,471,368,256 bytes)
--    λ> orbitaDePrimo2 (primes !! 100)
--    [0,547,-74529,75076]
--    (0.01 secs, 302,096 bytes)

import Data.Numbers.Primes (primes)

orbita :: Integer -> [Integer]

orbita n =

[k | k <- enteros,

k^2 - k*n >= 0,

esCuadrado (k^2 - k*n)]

-- entero es la lista de los números enteros. Por ejemplo,

-- λ> take 20 enteros

-- [0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,-5,5,-6,6,-7,7,-8,8,-9,9,-10]

enteros :: [Integer]

enteros = 0 : concat [[-n,n] | n <- [1..]]

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto. Por

-- ejemplo,

-- esCuadrado 16 == True

-- esCuadrado 27 == False

esCuadrado :: Integer -> Bool

esCuadrado x =

(raizEntera x)^2 == x

-- (raizEntera x) es el mayor entero cuyo cuadrado es menor o igual que

-- x. Por ejemplo,

-- raizEntera 16 == 4

-- raizEntera 27 == 5

raizEntera :: Integer -> Integer

raizEntera x = aux (1,x)

where aux (a,b) | d == x = c

| c == a = c

| d < x = aux (c,b)

| otherwise = aux (a,c)

where c = (a+b) `div` 2

d = c^2

-- 1ª definición de orbitaDePrimo

-- ==============================

orbitaDePrimo1 :: Integer -> [Integer]

orbitaDePrimo1 2 = take 2 (orbita 2)

orbitaDePrimo1 p = take 4 (orbita p)

-- 2ª definición de orbitaDePrimo

-- ==============================

-- Basada en los siguientes cálculos

-- orbitaDePrimo1 2 == [0,2]

-- orbitaDePrimo1 3 == [0,-1,3,4]

-- orbitaDePrimo1 5 == [0,-4,5,9]

-- orbitaDePrimo1 7 == [0, 7, -9, 16]

-- orbitaDePrimo1 11 == [0,11, -25, 36]

-- orbitaDePrimo1 13 == [0,13, -36, 49]

-- orbitaDePrimo1 17 == [0,17, -64, 81]

-- orbitaDePrimo1 19 == [0,19, -81,100]

-- orbitaDePrimo1 23 == [0,23,-121,144]

orbitaDePrimo2 :: Integer -> [Integer]

orbitaDePrimo2 p

| p == 2 = [0,2]

| p <= 5 = [0, -((p-1) `div` 2)^2, p, ((p+1) `div` 2)^2]

| otherwise = [0, p, -((p-1) `div` 2)^2, ((p+1) `div` 2)^2]

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La comprobación es

-- λ> and [orbitaDePrimo1 n == orbitaDePrimo2 n | n <- take 30 primes]

-- True

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> orbitaDePrimo1 (primes !! 100)

-- [0,547,-74529,75076]

-- (4.94 secs, 4,471,368,256 bytes)

-- λ> orbitaDePrimo2 (primes !! 100)

-- [0,547,-74529,75076]

-- (0.01 secs, 302,096 bytes)

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Números iguales a potencias de las sumas de sus cifras (OME1999 P2)

PorJosé A. Alonso 28-abril-20215-mayo-2021

El enunciado del problema 2 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1998 es

Hallar todos los números naturales de 4 cifras, escritos en base 10, que sean iguales al cubo de la suma de sus cifras.

Definir la función

   especiales :: Integer -> Integer -> [Integer]

1	especiales :: Integer -> Integer -> [Integer]

tal que (especiales a b) es la lista de los números de a cifras que son iguales la suma de sus cifras elevada a b. Por ejemplo,

   especiales 5 3  ==  [17576,19683]
   especiales 6 4  ==  [234256,390625,614656]

1 2	especiales 5 3 == [17576,19683] especiales 6 4 == [234256,390625,614656]

Usando la función anterior, calcular las soluciones del problema de la Olimpiada.

Soluciones

import Data.Char (digitToInt)

-- 1ª solución
-- ===========

especiales :: Integer -> Integer -> [Integer]
especiales a b =
  [n | n <- [10^(a-1)..10^a-1],
       n == (sumaDigitos n)^b]

-- (sumaDigitos n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo,
--    sumaDigitos 2021  ==  5
sumaDigitos :: Integer -> Integer
sumaDigitos = sum . digitos

-- (digitos n) es la lista de los dígitos de n. Por ejemplo,
--    digitos 2021  ==  [2,0,2,1]
digitos :: Integer -> [Integer]
digitos x = [read [c] | c <- show x]

-- Cálculo de la solución del problema de la Olimpiada:
--    λ> especiales 4 3
--    [4913,5832]

-- 2ª solución
-- ===========

especiales2 :: Integer -> Integer -> [Integer]
especiales2 c e = [z | z <- map (^e) [a..min (9*c) b], z == (f z)^e]
  where [c', e'] = map fromIntegral [c,e]
        [a , b ] = [ceiling (10**((c'+p)/e')) | p <- [-1,0]]
        f = sum . map (toInteger . digitToInt) . show

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> especiales 6 4
--    [234256,390625,614656]
--    (7.41 secs, 21,808,919,208 bytes)
--    λ> especiales2 6 4
--    [234256,390625,614656]
--    (0.01 secs, 168,072 bytes)

import Data.Char (digitToInt)

-- 1ª solución

-- ===========

especiales :: Integer -> Integer -> [Integer]

especiales a b =

[n | n <- [10^(a-1)..10^a-1],

n == (sumaDigitos n)^b]

-- (sumaDigitos n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo,

-- sumaDigitos 2021 == 5

sumaDigitos :: Integer -> Integer

sumaDigitos = sum . digitos

-- (digitos n) es la lista de los dígitos de n. Por ejemplo,

-- digitos 2021 == [2,0,2,1]

digitos :: Integer -> [Integer]

digitos x = [read [c] | c <- show x]

-- Cálculo de la solución del problema de la Olimpiada:

-- λ> especiales 4 3

-- [4913,5832]

-- 2ª solución

-- ===========

especiales2 :: Integer -> Integer -> [Integer]

especiales2 c e = [z | z <- map (^e) [a..min (9*c) b], z == (f z)^e]

where [c', e'] = map fromIntegral [c,e]

[a , b ] = [ceiling (10**((c'+p)/e')) | p <- [-1,0]]

f = sum . map (toInteger . digitToInt) . show

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> especiales 6 4

-- [234256,390625,614656]

-- (7.41 secs, 21,808,919,208 bytes)

-- λ> especiales2 6 4

-- [234256,390625,614656]

-- (0.01 secs, 168,072 bytes)

Nuevas soluciones

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El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Máximos de una función recursiva (OME2002 P3)

PorJosé A. Alonso 27-abril-20214-mayo-2021

El enunciado del problema 5 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 2002 es

La función g se define sobre los números naturales y satisface las condiciones:

g(1) = 1

g(2n) = g(n)

g(2n + 1) = g(2n) + 1

Sea n un número natural tal que 1 ≤ n ≤ 2002. Calcula el valor máximo M de g(n). Calcula también cuántos valores de n satisfacen g(n) = M.

Los valores de la función g para n de 1 a 30 son

   1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4

1	1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4

Definir la función

   maximoG :: Integer -> Integer

1	maximoG :: Integer -> Integer

tal que (maximoG m) es el máximo de los valores de g(n) para n en {1, 2,…, m}. Por ejemplo,

   maximoG 30           ==  4
   maximoG (10^(10^5))  ==  332192

1 2	maximoG 30 == 4 maximoG (10^(10^5)) == 332192

Usando la función maximoG, calcular los valores pedidos en el problema.

Soluciones

import Data.List (genericLength, genericTake, group)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

maximoG :: Integer -> Integer
maximoG m = maximum (genericTake m sucesionG)

-- sucesionG es la lista de los valores de g. Por ejemplo,
--    λ> take 30 sucesionG
--    [1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4]
sucesionG :: [Integer]
sucesionG = map g [1..]

-- (g n) es el valor de g(n).
g :: Integer -> Integer
g 1 = 1
g n | even n    = g (n `div` 2)
    | otherwise = g (n `div` 2) + 1

-- 2ª solución
-- ===========

-- Observando los siguientes cálculos
--   λ> map maximoG [1..40]
--   [1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5]
--   λ> take 10 (map length (group (map maximoG [1..])))
--   [2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024]

maximoG2 :: Integer -> Integer
maximoG2 m = head [x | x <- [1..], m + 1 < 2^x] - 1

-- 3ª solución
-- ===========

maximoG3 :: Integer -> Integer
maximoG3 m = genericLength (takeWhile (<m+2) potenciasDeDos) - 1

-- potenciasDeDos es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo,
--    take 10 potenciasDeDos  ==  [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512]
potenciasDeDos :: [Integer]
potenciasDeDos = iterate (*2) 1

-- 4ª solución
-- ===========

maximoG4 :: Integer -> Integer
maximoG4 m = floor (logBase 2 (fromIntegral (m+1)))

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_maximoG :: Integer -> Property
prop_maximoG m =
  m > 0 ==>
  all (== (maximoG m))
      [ maximoG2 m,
        maximoG3 m,
        maximoG4 m]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_maximoG
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Nota: Aunque QuickCheck no ha encontrado ningún contraejemplo, la
-- definición maximoG4 que usa números decimales falla para números muy
-- grandes. Por ejemplo,
--    λ> maximoG4 (10^308)
--    1023
--    λ> maximoG4 (10^309)
--    1797693134862315907729305190789024733617976978942306572734300...
--    λ> maximoG3 (10^308)
--    1023
--    λ> maximoG3 (10^309)
--    1026

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> maximoG (10^6)
--    19
--    (8.80 secs, 6,015,772,760 bytes)
--    λ> maximoG2 (10^6)
--    19
--    (0.02 secs, 106,752 bytes)
--    λ> maximoG3 (10^6)
--    19
--    (0.02 secs, 102,592 bytes)
--    λ> maximoG4 (10^6)
--    19
--    (0.01 secs, 98,464 bytes)
--
--    λ> maximoG2 (10^308)
--    1023
--    (0.03 secs, 3,266,096 bytes)
--    λ> maximoG3 (10^308)
--    1023
--    (0.02 secs, 266,856 bytes)
--    λ> maximoG4 (10^308)
--    1023
--    (0.02 secs, 103,176 bytes)
--
--    λ> maximoG2 (10^16789)
--    55771
--    (1.70 secs, 1,201,022,600 bytes)
--    λ> maximoG3 (10^16789)
--    55771
--    (0.24 secs, 214,872,864 bytes)

-- Cálculos del problema
-- =====================

-- El máximo se calcula como sigue:
--    λ> maximum (take 2002 sucesionG)
--    10
-- Por tanto, el máximo es 10.

-- Los valores de n tales que g(n) es el máximo se calcula como sigue:
--    λ> [n | n <- [1..2002], g n == 10]
--    [1023,1535,1791,1919,1983]

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

import Data.List (genericLength, genericTake, group)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

maximoG :: Integer -> Integer

maximoG m = maximum (genericTake m sucesionG)

-- sucesionG es la lista de los valores de g. Por ejemplo,

-- λ> take 30 sucesionG

-- [1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4]

sucesionG :: [Integer]

sucesionG = map g [1..]

-- (g n) es el valor de g(n).

g :: Integer -> Integer

g 1 = 1

g n | even n = g (n `div` 2)

| otherwise = g (n `div` 2) + 1

-- 2ª solución

-- ===========

-- Observando los siguientes cálculos

-- λ> map maximoG [1..40]

-- [1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5]

-- λ> take 10 (map length (group (map maximoG [1..])))

-- [2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024]

maximoG2 :: Integer -> Integer

maximoG2 m = head [x | x <- [1..], m + 1 < 2^x] - 1

-- 3ª solución

-- ===========

maximoG3 :: Integer -> Integer

maximoG3 m = genericLength (takeWhile (<m+2) potenciasDeDos) - 1

-- potenciasDeDos es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo,

-- take 10 potenciasDeDos == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512]

potenciasDeDos :: [Integer]

potenciasDeDos = iterate (*2) 1

-- 4ª solución

-- ===========

maximoG4 :: Integer -> Integer

maximoG4 m = floor (logBase 2 (fromIntegral (m+1)))

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_maximoG :: Integer -> Property

prop_maximoG m =

m > 0 ==>

all (== (maximoG m))

[ maximoG2 m,

maximoG3 m,

maximoG4 m]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_maximoG

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Nota: Aunque QuickCheck no ha encontrado ningún contraejemplo, la

-- definición maximoG4 que usa números decimales falla para números muy

-- grandes. Por ejemplo,

-- λ> maximoG4 (10^308)

-- 1023

-- λ> maximoG4 (10^309)

-- 1797693134862315907729305190789024733617976978942306572734300...

-- λ> maximoG3 (10^308)

-- 1023

-- λ> maximoG3 (10^309)

-- 1026

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> maximoG (10^6)

-- 19

-- (8.80 secs, 6,015,772,760 bytes)

-- λ> maximoG2 (10^6)

-- 19

-- (0.02 secs, 106,752 bytes)

-- λ> maximoG3 (10^6)

-- 19

-- (0.02 secs, 102,592 bytes)

-- λ> maximoG4 (10^6)

-- 19

-- (0.01 secs, 98,464 bytes)

-- λ> maximoG2 (10^308)

-- 1023

-- (0.03 secs, 3,266,096 bytes)

-- λ> maximoG3 (10^308)

-- 1023

-- (0.02 secs, 266,856 bytes)

-- λ> maximoG4 (10^308)

-- 1023

-- (0.02 secs, 103,176 bytes)

-- λ> maximoG2 (10^16789)

-- 55771

-- (1.70 secs, 1,201,022,600 bytes)

-- λ> maximoG3 (10^16789)

-- 55771

-- (0.24 secs, 214,872,864 bytes)

-- Cálculos del problema

-- =====================

-- El máximo se calcula como sigue:

-- λ> maximum (take 2002 sucesionG)

-- 10

-- Por tanto, el máximo es 10.

-- Los valores de n tales que g(n) es el máximo se calcula como sigue:

-- λ> [n | n <- [1..2002], g n == 10]

-- [1023,1535,1791,1919,1983]

Nuevas soluciones

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Productos de cuatro consecutivos (OME2006 P5)

PorJosé A. Alonso 26-abril-20213-mayo-2021

El enunciado del problema 5 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 2006 es

Probar que el producto de cuatro naturales consecutivos no puede ser ni cuadrado ni cubo perfecto.

Definir la lista

   productos :: [Integer]

1	productos :: [Integer]

cuyos elementos son los productos de cuatro enteros positivos consecutivos. Por ejemplo,

   λ> take 12 productos
   [24,120,360,840,1680,3024,5040,7920,11880,17160,24024,32760]

1 2	λ> take 12 productos [24,120,360,840,1680,3024,5040,7920,11880,17160,24024,32760]

Comprobar con QuickCheck que los elementos de la lista productos no son ni cuadrados ni cubos perfectos.

Soluciones

import Test.QuickCheck

productos :: [Integer]
productos =
  [product [n..n+3] | n <- [1..]]

-- La propiedad es
prop_productos :: Int -> Property
prop_productos n =
  n >= 0 ==>
  not (esCuadrado x) && not (esCubo x)
  where x = productos !! n

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto. Por
-- ejemplo,
--    esCuadrado 16  ==  True
--    esCuadrado 27  ==  False
esCuadrado :: Integer -> Bool
esCuadrado x = (raizEntera 2 x)^2 == x

-- (esCubo x) se verifica si x es un cubo perfecto. Por ejemplo,
--    esCubo 8  ==  True
--    esCubo 9  ==  False
esCubo :: Integer -> Bool
esCubo x = (raizEntera 3 x)^3 == x

-- (raizEntera n x) es el mayor entero cuya potencia n-ésima es menor o
-- igual que x. Por ejemplo,
--    raizEntera 2 15  ==  3
--    raizEntera 2 16  ==  4
--    raizEntera 2 17  ==  4
raizEntera :: Int -> Integer -> Integer
raizEntera n x = aux (1,x)
    where aux (a,b) | d == x    = c
                    | c == a    = c
                    | d < x     = aux (c,b)
                    | otherwise = aux (a,c)
              where c = (a+b) `div` 2
                    d = c^n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_productos
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

productos :: [Integer]

productos =

[product [n..n+3] | n <- [1..]]

-- La propiedad es

prop_productos :: Int -> Property

prop_productos n =

n >= 0 ==>

not (esCuadrado x) && not (esCubo x)

where x = productos !! n

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto. Por

-- ejemplo,

-- esCuadrado 16 == True

-- esCuadrado 27 == False

esCuadrado :: Integer -> Bool

esCuadrado x = (raizEntera 2 x)^2 == x

-- (esCubo x) se verifica si x es un cubo perfecto. Por ejemplo,

-- esCubo 8 == True

-- esCubo 9 == False

esCubo :: Integer -> Bool

esCubo x = (raizEntera 3 x)^3 == x

-- (raizEntera n x) es el mayor entero cuya potencia n-ésima es menor o

-- igual que x. Por ejemplo,

-- raizEntera 2 15 == 3

-- raizEntera 2 16 == 4

-- raizEntera 2 17 == 4

raizEntera :: Int -> Integer -> Integer

raizEntera n x = aux (1,x)

where aux (a,b) | d == x = c

| c == a = c

| d < x = aux (c,b)

| otherwise = aux (a,c)

where c = (a+b) `div` 2

d = c^n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_productos

-- +++ OK, passed 100 tests.

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Mayores potencias de 5 que dividen a la sucesión (OME2014 P4)

PorJosé A. Alonso 23-abril-202130-abril-2021

El enunciado del problema 4 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 2014 es

Sea {x(n)} la sucesión de enteros positivos definida por x(1) = 2 y x(n+1) = 2*x(n)^3+x(n) para todo n >= 1. Determinar la mayor potencia de 5 que divide al número x(2014)^2+1.

Definir la función

   mayorExponente :: Integer -> Integer

1	mayorExponente :: Integer -> Integer

tal que (mayorExponente n) es el mayor m tal que 5^m divide al número x(n)^2+1.

Soluciones

-- 1ª solución
-- ===========

mayorExponente :: Integer -> Integer
mayorExponente n =
  mayorExponenteDe5QueDivide ((termino n)^2 + 1)

-- (termino n) es el término n-ésimo de la sucesión. Por ejemplo,
--    termino 2  ==  18
--    termino 3  ==  11682
--    termino 4  ==  3188464624818
termino :: Integer -> Integer
termino 1 = 2
termino n = 2*x^3+x
  where x = termino (n-1)

-- (mayorExponenteDe5QueDivide n) es el mayor exponente de 5 que divide a n. Por
-- ejemplo,
--    mayorExponenteDe5QueDivide 50  ==  2
mayorExponenteDe5QueDivide :: Integer -> Integer
mayorExponenteDe5QueDivide n
  | n `mod` 5 /= 0 = 0
  | otherwise      = 1 + mayorExponenteDe5QueDivide (n `div` 5)

-- 2ª solución
-- ===========

-- Con el siguente cálculo
--    λ> [mayorExponente n | n <- [1..5]]
--    [1,2,3,4,5]
-- se observa que el mayor exponente de 5 que divide a x(n)^2+1 es n.

mayorExponente2 :: Integer -> Integer
mayorExponente2 = id

-- 1ª solución

-- ===========

mayorExponente :: Integer -> Integer

mayorExponente n =

mayorExponenteDe5QueDivide ((termino n)^2 + 1)

-- (termino n) es el término n-ésimo de la sucesión. Por ejemplo,

-- termino 2 == 18

-- termino 3 == 11682

-- termino 4 == 3188464624818

termino :: Integer -> Integer

termino 1 = 2

termino n = 2*x^3+x

where x = termino (n-1)

-- (mayorExponenteDe5QueDivide n) es el mayor exponente de 5 que divide a n. Por

-- ejemplo,

-- mayorExponenteDe5QueDivide 50 == 2

mayorExponenteDe5QueDivide :: Integer -> Integer

mayorExponenteDe5QueDivide n

| n `mod` 5 /= 0 = 0

| otherwise = 1 + mayorExponenteDe5QueDivide (n `div` 5)

-- 2ª solución

-- ===========

-- Con el siguente cálculo

-- λ> [mayorExponente n | n <- [1..5]]

-- [1,2,3,4,5]

-- se observa que el mayor exponente de 5 que divide a x(n)^2+1 es n.

mayorExponente2 :: Integer -> Integer

mayorExponente2 = id

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Permutaciones divisibles (OME2016 P5)

PorJosé A. Alonso 22-abril-202129-abril-2021

El enunciado del problema 5 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 2016 es

De entre todas las permutaciones (a(1), a(2),…, a(n)) del conjunto {1, 2,…, n},(n ≥ 1 entero), se consideran las que cumplen que 2(a(1) + a(2) +···+ a(m)) es divisible por m, para cada m = 1, 2,…, n. Calcular el número total de estas permutaciones.

Llamaremos permutaciones divisibles a las que cumplen la propiedad anterior. Por ejemplo, [2,3,4,1] es una permutación divisible de {1,2,3,4} ya que es una permutación del conjunto y se cumplen las condiciones:

2*2 = 4 es divisible por 1,
2*(2+3) = 10 es divisible por 2
2*(2+3+4) = 18 es divisible por 3.
2*(2+3+4+1) = 20 es divisible por 4.

Definir las siguientes funciones:

   permutacionesDivisibles  :: Integer -> [[Integer]]
   nPermutacionesDivisibles :: Integer -> Integer

1 2	permutacionesDivisibles :: Integer -> [[Integer]] nPermutacionesDivisibles :: Integer -> Integer

tales que

(permutacionesDivisibles n) es la lista de las permutaciones divisibles de {1,2,…,n}. Por ejemplo,

     λ> permutacionesDivisibles 2
     [[1,2],[2,1]]
     λ> permutacionesDivisibles 3
     [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
     λ> permutacionesDivisibles 4
     [[1,2,3,4],[1,3,2,4],[2,1,3,4],[2,3,1,4],[2,3,4,1],[2,4,3,1],
      [3,1,2,4],[3,2,1,4],[3,2,4,1],[3,4,2,1],[4,2,3,1],[4,3,2,1]]
     λ> length (permutacionesDivisibles 20)
     786432

λ> permutacionesDivisibles 2

[[1,2],[2,1]]

λ> permutacionesDivisibles 3

[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

λ> permutacionesDivisibles 4

[[1,2,3,4],[1,3,2,4],[2,1,3,4],[2,3,1,4],[2,3,4,1],[2,4,3,1],

[3,1,2,4],[3,2,1,4],[3,2,4,1],[3,4,2,1],[4,2,3,1],[4,3,2,1]]

λ> length (permutacionesDivisibles 20)

786432

(nPermutacionesDivisibles n) es el número de permutaciones divisibles de {1,2,…,n}. Por ejemplo,

     nPermutacionesDivisibles 4  ==  12
     nPermutacionesDivisibles (10^8) `mod` (10^9)  ==  340332032

1 2	nPermutacionesDivisibles 4 == 12 nPermutacionesDivisibles (10^8) `mod` (10^9) == 340332032

Soluciones

import Data.List (genericLength, permutations, sort)

-- 1ª definición de permutacionesDivisibles
-- ========================================

permutacionesDivisibles :: Integer -> [[Integer]]
permutacionesDivisibles n =
  sort (filter aux (permutations [1..n]))
  where
    aux xs = and [(2*x) `mod` n == 0 | (x,n) <- zip (sumasParciales xs) [1..]]

-- (sumasParciales xs) es la lista de las suas parciales de xs. Por ejemplo,
--    sumasParciales [1..9]  ==  [1,3,6,10,15,21,28,36,45]
sumasParciales :: [Integer] -> [Integer]
sumasParciales = scanl1 (+)

-- 2ª definición de permutacionesDivisibles
-- ========================================

permutacionesDivisibles2 :: Integer -> [[Integer]]
permutacionesDivisibles2 = sort . aux
  where aux n
          | n < 4     = permutations [1..n]
          | otherwise = [xs ++ [n] | xs <- xss] ++
                        [map (+1) xs ++ [1] | xs <- xss]
          where xss = aux (n-1)

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La comprobación para los n primeros valores es
--    λ> and [permutacionesDivisibles2 n == permutacionesDivisibles n | n <- [1..9]]
--    True

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (permutacionesDivisibles 10)
--    768
--    (8.42 secs, 10,420,281,776 bytes)
--    λ> length (permutacionesDivisibles2 10)
--    768
--    (0.02 secs, 2,250,152 bytes)
--
--    λ> length (permutacionesDivisibles2 20)
--    786432
--    (14.33 secs, 4,458,839,736 bytes)

-- 1ª definición de nPermutacionesDivisibles
-- =========================================

--    nPermutacionesDivisibles 5  ==  24
nPermutacionesDivisibles :: Integer -> Integer
nPermutacionesDivisibles =
  genericLength . permutacionesDivisibles

-- 2ª definición de nPermutacionesDivisibles
-- =========================================

nPermutacionesDivisibles2 :: Integer -> Integer
nPermutacionesDivisibles2 =
  genericLength . permutacionesDivisibles2

-- 3ª definición de nPermutacionesDivisibles
-- =========================================

-- Observando los siguientes cálculos:
--    λ> [nPermutacionesDivisibles2 n | n <- [1..12]]
--    [1,2,6,12,24,48,96,192,384,768,1536,3072]
--    λ> 1 : 2 : [3*2^(n-2) | n <- [3..12]]
--    [1,2,6,12,24,48,96,192,384,768,1536,3072]

nPermutacionesDivisibles3 :: Integer -> Integer
nPermutacionesDivisibles3 n
  | n < 3     = n
  | otherwise = 3*2^(n-2)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> nPermutacionesDivisibles 10
--    768
--    (7.95 secs, 10,704,422,592 bytes)
--    λ> nPermutacionesDivisibles2 10
--    768
--    (0.01 secs, 2,269,872 bytes)
--    λ> nPermutacionesDivisibles3 10
--    768
--    (0.01 secs, 102,560 bytes)
--
--    λ> nPermutacionesDivisibles2 20
--    786432
--    (13.00 secs, 4,477,717,968 bytes)
--    λ> nPermutacionesDivisibles3 20
--    786432
--    (0.01 secs, 106,848 bytes)

import Data.List (genericLength, permutations, sort)

-- 1ª definición de permutacionesDivisibles

-- ========================================

permutacionesDivisibles :: Integer -> [[Integer]]

permutacionesDivisibles n =

sort (filter aux (permutations [1..n]))

where

aux xs = and [(2*x) `mod` n == 0 | (x,n) <- zip (sumasParciales xs) [1..]]

-- (sumasParciales xs) es la lista de las suas parciales de xs. Por ejemplo,

-- sumasParciales [1..9] == [1,3,6,10,15,21,28,36,45]

sumasParciales :: [Integer] -> [Integer]

sumasParciales = scanl1 (+)

-- 2ª definición de permutacionesDivisibles

-- ========================================

permutacionesDivisibles2 :: Integer -> [[Integer]]

permutacionesDivisibles2 = sort . aux

where aux n

| n < 4 = permutations [1..n]

| otherwise = [xs ++ [n] | xs <- xss] ++

[map (+1) xs ++ [1] | xs <- xss]

where xss = aux (n-1)

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La comprobación para los n primeros valores es

-- λ> and [permutacionesDivisibles2 n == permutacionesDivisibles n | n <- [1..9]]

-- True

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (permutacionesDivisibles 10)

-- 768

-- (8.42 secs, 10,420,281,776 bytes)

-- λ> length (permutacionesDivisibles2 10)

-- 768

-- (0.02 secs, 2,250,152 bytes)

-- λ> length (permutacionesDivisibles2 20)

-- 786432

-- (14.33 secs, 4,458,839,736 bytes)

-- 1ª definición de nPermutacionesDivisibles

-- =========================================

-- nPermutacionesDivisibles 5 == 24

nPermutacionesDivisibles :: Integer -> Integer

nPermutacionesDivisibles =

genericLength . permutacionesDivisibles

-- 2ª definición de nPermutacionesDivisibles

-- =========================================

nPermutacionesDivisibles2 :: Integer -> Integer

nPermutacionesDivisibles2 =

genericLength . permutacionesDivisibles2

-- 3ª definición de nPermutacionesDivisibles

-- =========================================

-- Observando los siguientes cálculos:

-- λ> [nPermutacionesDivisibles2 n | n <- [1..12]]

-- [1,2,6,12,24,48,96,192,384,768,1536,3072]

-- λ> 1 : 2 : [3*2^(n-2) | n <- [3..12]]

-- [1,2,6,12,24,48,96,192,384,768,1536,3072]

nPermutacionesDivisibles3 :: Integer -> Integer

nPermutacionesDivisibles3 n

| n < 3 = n

| otherwise = 3*2^(n-2)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> nPermutacionesDivisibles 10

-- 768

-- (7.95 secs, 10,704,422,592 bytes)

-- λ> nPermutacionesDivisibles2 10

-- 768

-- (0.01 secs, 2,269,872 bytes)

-- λ> nPermutacionesDivisibles3 10

-- 768

-- (0.01 secs, 102,560 bytes)

-- λ> nPermutacionesDivisibles2 20

-- 786432

-- (13.00 secs, 4,477,717,968 bytes)

-- λ> nPermutacionesDivisibles3 20

-- 786432

-- (0.01 secs, 106,848 bytes)

Nuevas soluciones

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Números fibonaccianos

PorJosé A. Alonso 21-abril-202128-abril-2021

El enunciado del segundo problema de este mes de la RSME es el siguiente:

Un número de al menos tres cifras se denomina fibonacciano si sus cifras, a partir de la tercera, son iguales a la suma de las dos cifras anteriores. Por ejemplo, 5279 es un número fibonacciano, pues su tercera cifra, 7, es suma de las dos anteriores (5+2) y su cuarta cifra, 9, también (2+7).

Te daremos el problema por válido si respondes bien a estas dos cuestiones:
a) ¿cuántas cifras como máximo puede tener un número fibonacciano?
b) ¿cuántos números fibonaccianos hay?

En la definición de fibonacciano la suma de las cifras tiene que menor que 10, pero podemos generalizarlo sustituyendo 10 por número n. Dichos números de llaman fibonaccianos generalizados acotados por n. Por ejemplo, 571219315081 es un fibonacciano generalizado acotado por 100 ya que la sucesión de sus dígitos es 5, 7, 12 (= 5+7), 19 (= 7+12), 31 (= 12+19) 50 (=19+31) y 81 (=31+50).

Definir las funciones

   esFibonacciano :: Integer -> Bool
   fibonaccianos  :: [Integer]
   fibonaccianosG :: Integer -> [Integer]

esFibonacciano :: Integer -> Bool

fibonaccianos :: [Integer]

fibonaccianosG :: Integer -> [Integer]

tales que

(esFibonacciano n) se verifica si n es un número fibonacciano. Por ejemplo,

     esFibonacciano 5279    ==  True
     esFibonacciano 527916  ==  False

1 2	esFibonacciano 5279 == True esFibonacciano 527916 == False

fibonaccianos es la lista de los números fibonaccianos. Por ejemplo,

     λ> take 60 fibonaccianos
     [101,112,123,134,145,156,167,178,189,202,213,224,235,246,257,268,
      279,303,314,325,336,347,358,369,404,415,426,437,448,459,505,516,
      527,538,549,606,617,628,639,707,718,729,808,819,909,1011,1123,
      1235,1347,1459,2022,2134,2246,2358,3033,3145,3257,3369,4044,4156]

λ> take 60 fibonaccianos

[101,112,123,134,145,156,167,178,189,202,213,224,235,246,257,268,

279,303,314,325,336,347,358,369,404,415,426,437,448,459,505,516,

527,538,549,606,617,628,639,707,718,729,808,819,909,1011,1123,

1235,1347,1459,2022,2134,2246,2358,3033,3145,3257,3369,4044,4156]

(fibonaccianosG n) es la lista de los números fibonaccianos generalizados acotados por n. Por ejemplo,

     λ> take 60 (fibonaccianosG 100)
     [101,112,123,134,145,156,167,178,189,202,213,224,235,246,257,268,
      279,303,314,325,336,347,358,369,404,415,426,437,448,459,505,516,
      527,538,549,606,617,628,639,707,718,729,808,819,909,1011,1123,
      1235,1347,1459,1910,2022,2134,2246,2358,2810,2911,3033,3145,3257]
     λ> take 12 (drop 60 (fibonaccianosG 10))
     [4268,5055,5167,5279,6066,6178,7077,7189,8088,9099,10112,11235]
     λ> take 12 (drop 60 (fibonaccianosG 100))
     [3369,3710,3811,3912,4044,4156,4268,4610,4711,4812,4913,5055]
     λ> length (fibonaccianosG (10^40))
     16888
     λ> length (show (last (fibonaccianosG (10^40))))
     3943

λ> take 60 (fibonaccianosG 100)

[101,112,123,134,145,156,167,178,189,202,213,224,235,246,257,268,

279,303,314,325,336,347,358,369,404,415,426,437,448,459,505,516,

527,538,549,606,617,628,639,707,718,729,808,819,909,1011,1123,

1235,1347,1459,1910,2022,2134,2246,2358,2810,2911,3033,3145,3257]

λ> take 12 (drop 60 (fibonaccianosG 10))

[4268,5055,5167,5279,6066,6178,7077,7189,8088,9099,10112,11235]

λ> take 12 (drop 60 (fibonaccianosG 100))

[3369,3710,3811,3912,4044,4156,4268,4610,4711,4812,4913,5055]

λ> length (fibonaccianosG (10^40))

16888

λ> length (show (last (fibonaccianosG (10^40))))

3943

Usando las funciones anteriores, calcular cuántas cifras como máximo puede tener un número fibonacciano y cuántos números fibonaccianos hay.

Soluciones

import Data.List (inits, isPrefixOf, sort)

-- Definición de esFibonacciano
-- ============================

esFibonacciano :: Integer -> Bool
esFibonacciano n =
  n > 99 && ds `isPrefixOf` drop 2 fs
  where (a:b:ds) = digitos n
        fs = a : b : zipWith (+) fs (tail fs)

-- (digitos n) es la lista de los dígitos de n. Por ejemplo,
--    digitos 325  ==  [3,2,5]
digitos :: Integer -> [Int]
digitos n =
  [read [c] | c <- show n]

-- 1ª definición de fibonaccianos
-- ==============================

fibonaccianos :: [Integer]
fibonaccianos =
  filter esFibonacciano [100..10112358]

-- 2ª definición de fibonaccianos
-- ==============================

fibonaccianos2 :: [Integer]
fibonaccianos2 =
  sort (concat [aux a b | a <- [1..9], b <- [0..9]])
  where
    aux a b = [digitosAnumero zs | zs <- drop 3 (inits (takeWhile (<10) (fibs a b)))]

-- (fibs a b) es la sucesión de números de Fibonacci cuyos dos primeros
-- términos son a y b. Por ejemplo,
--    take 9 (fibs 2 4)  ==  [2,4,6,10,16,26,42,68,110]
--    take 9 (fibs 3 6)  ==  [3,6,9,15,24,39,63,102,165]
fibs :: Integer -> Integer -> [Integer]
fibs a b = fs
  where fs = a : b : zipWith (+) fs (tail fs)

-- (digitosAnumero xs) es el número cuya lista de dígitos es xs. Por
-- ejemplo,
--    digitosAnumero [8,1,6,4,9]  ==  81649
digitosAnumero :: [Integer] -> Integer
digitosAnumero xs =
  read (concatMap show xs)

-- fibonaccianosG
-- ==============

fibonaccianosG :: Integer -> [Integer]
fibonaccianosG n =
  sort (concat [fibonaccianosGAux n a b | a <- [1..9], b <- [0..9]])

fibonaccianosGAux :: Integer -> Integer -> Integer -> [Integer]
fibonaccianosGAux n a b =
  [digitosAnumero zs | zs <- drop 3 (inits (takeWhile (<n) (fibs a b)))]

-- Comprobación de la generalización
--    λ> fibonaccianos2 == fibonaccianosG 10
--    True

--    λ> length (fibonaccianosG (10^40))
--    16888
--    (2.41 secs, 10,546,873,616 bytes)
--    λ> length (show (last (fibonaccianosG (10^40))))
--    3943
--    (2.41 secs, 10,547,101,856 bytes)

-- Cálculos
-- ========

-- El cálculo del máximo número de cifras de los números fibonaccianos
-- es
--      λ> maximum [length (show n) | n <- fibonaccianos2]
--      8
--      λ> length (show (last fibonaccianos2))
--      8

-- El cálculo de la cantidad de números fibonaccianos es
--      λ> length fibonaccianos2
--      84

import Data.List (inits, isPrefixOf, sort)

-- Definición de esFibonacciano

-- ============================

esFibonacciano :: Integer -> Bool

esFibonacciano n =

n > 99 && ds `isPrefixOf` drop 2 fs

where (a:b:ds) = digitos n

fs = a : b : zipWith (+) fs (tail fs)

-- (digitos n) es la lista de los dígitos de n. Por ejemplo,

-- digitos 325 == [3,2,5]

digitos :: Integer -> [Int]

digitos n =

[read [c] | c <- show n]

-- 1ª definición de fibonaccianos

-- ==============================

fibonaccianos :: [Integer]

fibonaccianos =

filter esFibonacciano [100..10112358]

-- 2ª definición de fibonaccianos

-- ==============================

fibonaccianos2 :: [Integer]

fibonaccianos2 =

sort (concat [aux a b | a <- [1..9], b <- [0..9]])

where

aux a b = [digitosAnumero zs | zs <- drop 3 (inits (takeWhile (<10) (fibs a b)))]

-- (fibs a b) es la sucesión de números de Fibonacci cuyos dos primeros

-- términos son a y b. Por ejemplo,

-- take 9 (fibs 2 4) == [2,4,6,10,16,26,42,68,110]

-- take 9 (fibs 3 6) == [3,6,9,15,24,39,63,102,165]

fibs :: Integer -> Integer -> [Integer]

fibs a b = fs

where fs = a : b : zipWith (+) fs (tail fs)

-- (digitosAnumero xs) es el número cuya lista de dígitos es xs. Por

-- ejemplo,

-- digitosAnumero [8,1,6,4,9] == 81649

digitosAnumero :: [Integer] -> Integer

digitosAnumero xs =

read (concatMap show xs)

-- fibonaccianosG

-- ==============

fibonaccianosG :: Integer -> [Integer]

fibonaccianosG n =

sort (concat [fibonaccianosGAux n a b | a <- [1..9], b <- [0..9]])

fibonaccianosGAux :: Integer -> Integer -> Integer -> [Integer]

fibonaccianosGAux n a b =

[digitosAnumero zs | zs <- drop 3 (inits (takeWhile (<n) (fibs a b)))]

-- Comprobación de la generalización

-- λ> fibonaccianos2 == fibonaccianosG 10

-- True

-- λ> length (fibonaccianosG (10^40))

-- 16888

-- (2.41 secs, 10,546,873,616 bytes)

-- λ> length (show (last (fibonaccianosG (10^40))))

-- 3943

-- (2.41 secs, 10,547,101,856 bytes)

-- Cálculos

-- ========

-- El cálculo del máximo número de cifras de los números fibonaccianos

-- es

-- λ> maximum [length (show n) | n <- fibonaccianos2]

-- 8

-- λ> length (show (last fibonaccianos2))

-- 8

-- El cálculo de la cantidad de números fibonaccianos es

-- λ> length fibonaccianos2

-- 84

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Cuadriseguidos y números encadenados

PorJosé A. Alonso 20-abril-202127-abril-2021

El enunciado del primer problema de este mes de la RSME es el siguiente:

Un entero positivo de dos o más cifras se denomina cuadriseguido si cada par de dígitos consecutivos que tenga es un cuadrado perfecto. Por ejemplo,

364 es cuadriseguido, pues 36 = 6^2 y 64 = 8^2

3642 no lo es porque 42 no es un cuadrado perfecto.

Obtén todos los números cuadriseguidos posibles.

El concepto de cuadriseguido se puede generalizar como sigue: Un entero positivo n de dos o más cifras se denomina encadenado respecto de una lista de números de dos dígitos xs si cada par de dígitos consecutivos que tenga es un elemento distinto de xs. Por ejemplo,

364 es encadenado respecto de xs = [36,64,15], porque 36 y 64 pertenecen a xs
3642 no es encadenado respecto de xs = [36,64,15], porque 42 no pertenece a xs

Definir la función

   encadenados :: [Integer] -> [Integer]

1	encadenados :: [Integer] -> [Integer]

tal que (encadenados xs) es la lista de los números encadenados respecto de xs. Por ejemplo,

   λ> encadenados [12,23,31]
   [12,23,31,123,231,312,1231,2312,3123]
   λ> encadenados [12,22,31]
   [12,22,31,122,312,3122]
   λ> take 14 (encadenados [n^2 | n <- [4..9]])
   [16,25,36,49,64,81,164,364,649,816,1649,3649,8164,81649]
   λ> length (encadenados [10..42])
   911208

λ> encadenados [12,23,31]

[12,23,31,123,231,312,1231,2312,3123]

λ> encadenados [12,22,31]

[12,22,31,122,312,3122]

λ> take 14 (encadenados [n^2 | n <- [4..9]])

[16,25,36,49,64,81,164,364,649,816,1649,3649,8164,81649]

λ> length (encadenados [10..42])

911208

Calcular todos los números cuadriseguidos posibles usando la función encadenados.

Soluciones

import Data.List (delete, sort)
import Data.Tree (Tree (Node), drawTree)
import Test.QuickCheck (Gen, choose, sublistOf, quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

encadenados :: [Integer] -> [Integer]
encadenados xs =
  filter (esEncadenado xs) [10..10^(2 * length xs) - 1]

-- (esEncadenado xs n) se verifica si n es un número encadenado respecto
-- de xs. Por ejemplo,
--    esEncadenado [36,64,15] 364   ==  True
--    esEncadenado [36,64,15] 3642  ==  False
--    esEncadenado [36,63] 3636     ==  False
esEncadenado :: [Integer] -> Integer -> Bool
esEncadenado xs n =
  dosConsecutivos n `contenido` xs

-- (dosConsecutivos n) es la lista de los números formados por dos
-- dígitos consecutivos de xs. Por ejemplo,
--    dosConsecutivos 81649  ==  [81,16,64,49]
dosConsecutivos :: Integer -> [Integer]
dosConsecutivos n =
  map read [[x,y] | (x,y) <- zip xs (tail xs)]
  where xs = show n

-- Otra definición alternativa
dosConsecutivos2 :: Integer -> [Integer]
dosConsecutivos2 = reverse . aux
  where aux n
          | n < 10    = []
          | otherwise = n `mod` 100 : aux (n `div` 10)

-- (contenido xs ys) se verifica si xs está contenido en ys. Por
-- ejemplo,
--    contenido [2,5] [3,5,2]  ==  True
--    contenido [2,5,5] [3,5,2]  ==  False
contenido :: [Integer] -> [Integer] -> Bool
contenido [] _      = True
contenido (x:xs) ys = x `elem` ys && xs `contenido` (delete x ys)

-- 2ª solución
-- ===========

encadenados2 :: [Integer] -> [Integer]
encadenados2 xs =
  sort (map (digitosAnumero . cadenaReducida) (tail (nodos (arbolCadenas ps))))
  where ps = map (`divMod` 10) xs

-- (arbolCadenas ps) es el árbol de las cadenas formadas con los
-- elementos de ps. Por ejemplo,
--    λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolCadenas [(1,2),(2,3),(3,1)])))
--    []
--    |
--    +- [(1,2)]
--    |  |
--    |  `- [(3,1),(1,2)]
--    |     |
--    |     `- [(2,3),(3,1),(1,2)]
--    |
--    +- [(2,3)]
--    |  |
--    |  `- [(1,2),(2,3)]
--    |     |
--    |     `- [(3,1),(1,2),(2,3)]
--    |
--    `- [(3,1)]
--       |
--       `- [(2,3),(3,1)]
--          |
--          `- [(1,2),(2,3),(3,1)]
arbolCadenas :: Eq a => [(a,a)] -> Tree [(a,a)]
arbolCadenas ps = aux []
  where
    aux xs = Node xs (map aux (extensiones xs))
    extensiones [] =
      [[p] | p <- ps]
    extensiones ((x,y):rs) =
      [(a,b):(x,y):rs | (a,b) <- ps,
                        b == x,
                        (a,b) `notElem` ((x,y):rs)]

-- (nodos a) es la lista de los nodos del árbol a. Por ejemplo,
--    λ> nodos (arbolCadenas [(1,6),(6,4),(8,1)])
--    [[],[(1,6)],[(8,1),(1,6)],[(6,4)],[(1,6),(6,4)],[(8,1),(1,6),(6,4)],[(8,1)]]
nodos :: Tree [(a,a)] -> [[(a,a)]]
nodos (Node x ys) =
  x : concatMap nodos ys

-- (cadenaReducida ps) es la lista de los elementos la cadena ps donde
-- los enlaces solo se escriben una vez. Por ejemplo,
--    cadenaReducida [(8,1),(1,6),(6,4),(4,9)]  ==  [8,1,6,4,9]
cadenaReducida :: [(a,a)] -> [a]
cadenaReducida [] = []
cadenaReducida ((x,y):ps) = x : y : map snd ps

-- (digitosAnumero xs) es el número cuya lista de dígitos es xs. Por
-- ejemplo,
--    digitosAnumero [8,1,6,4,9]  ==  81649
digitosAnumero :: [Integer] -> Integer
digitosAnumero xs =
  read (concatMap show xs)

-- 3ª solución
-- ===========

encadenados3 :: [Integer] -> [Integer]
encadenados3 xs =
  sort (map read (aux [(p,delete p ps) | p <- ps]))
  where
    ps = map show xs
    aux [] = []
    aux ((as,qs):yss)
      | null zss  = as : aux yss
      | otherwise = as : aux (zss ++ yss)
      where zss = extensiones (as,qs)
    extensiones (x:xs,cs) =
      [(a:x:xs,delete [a,b] cs) | [a,b] <- cs, b == x]

-- Cálculo de cuadriseguidos
-- =========================

-- El cálculo es
--    λ> encadenados2 [n^2 | n <- [4..9]]
--    [16,25,36,49,64,81,164,364,649,816,1649,3649,8164,81649]

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_encadenados :: Gen Bool
prop_encadenados = do
  n <- choose (2,9)
  xs <- sublistOf [10..99]
  let ys = take n xs
      as = encadenados3 ys
      m  = length as
  return (take m (encadenados ys) == as &&
          encadenados2 ys == as)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_encadenados
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> encadenados [12,24,41]
--    [12,24,41,124,241,412,1241,2412,4124]
--    (2.23 secs, 5,189,736,248 bytes)
--    λ> encadenados2 [12,24,41]
--    [12,24,41,124,241,412,1241,2412,4124]
--    (0.00 secs, 188,496 bytes)
--    λ> encadenados3 [12,24,41]
--    [12,24,41,124,241,412,1241,2412,4124]
--    (0.01 secs, 176,376 bytes)
--
--    λ> length (encadenados2 [10..42])
--    911208
--    (13.59 secs, 14,104,867,760 bytes)
--    λ> length (encadenados3 [10..42])
--    911208
--    (10.62 secs, 10,164,004,808 bytes)

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

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import Data.List (delete, sort)

import Data.Tree (Tree (Node), drawTree)

import Test.QuickCheck (Gen, choose, sublistOf, quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

encadenados :: [Integer] -> [Integer]

encadenados xs =

filter (esEncadenado xs) [10..10^(2 * length xs) - 1]

-- (esEncadenado xs n) se verifica si n es un número encadenado respecto

-- de xs. Por ejemplo,

-- esEncadenado [36,64,15] 364 == True

-- esEncadenado [36,64,15] 3642 == False

-- esEncadenado [36,63] 3636 == False

esEncadenado :: [Integer] -> Integer -> Bool

esEncadenado xs n =

dosConsecutivos n `contenido` xs

-- (dosConsecutivos n) es la lista de los números formados por dos

-- dígitos consecutivos de xs. Por ejemplo,

-- dosConsecutivos 81649 == [81,16,64,49]

dosConsecutivos :: Integer -> [Integer]

dosConsecutivos n =

map read [[x,y] | (x,y) <- zip xs (tail xs)]

where xs = show n

-- Otra definición alternativa

dosConsecutivos2 :: Integer -> [Integer]

dosConsecutivos2 = reverse . aux

where aux n

| n < 10 = []

| otherwise = n `mod` 100 : aux (n `div` 10)

-- (contenido xs ys) se verifica si xs está contenido en ys. Por

-- ejemplo,

-- contenido [2,5] [3,5,2] == True

-- contenido [2,5,5] [3,5,2] == False

contenido :: [Integer] -> [Integer] -> Bool

contenido [] _ = True

contenido (x:xs) ys = x `elem` ys && xs `contenido` (delete x ys)

-- 2ª solución

-- ===========

encadenados2 :: [Integer] -> [Integer]

encadenados2 xs =

sort (map (digitosAnumero . cadenaReducida) (tail (nodos (arbolCadenas ps))))

where ps = map (`divMod` 10) xs

-- (arbolCadenas ps) es el árbol de las cadenas formadas con los

-- elementos de ps. Por ejemplo,

-- λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolCadenas [(1,2),(2,3),(3,1)])))

-- []

-- |

-- +- [(1,2)]

-- | |

-- | `- [(3,1),(1,2)]

-- | |

-- | `- [(2,3),(3,1),(1,2)]

-- |

-- +- [(2,3)]

-- | |

-- | `- [(1,2),(2,3)]

-- | |

-- | `- [(3,1),(1,2),(2,3)]

-- |

-- `- [(3,1)]

-- |

-- `- [(2,3),(3,1)]

-- |

-- `- [(1,2),(2,3),(3,1)]

arbolCadenas :: Eq a => [(a,a)] -> Tree [(a,a)]

arbolCadenas ps = aux []

where

aux xs = Node xs (map aux (extensiones xs))

extensiones [] =

[[p] | p <- ps]

extensiones ((x,y):rs) =

[(a,b):(x,y):rs | (a,b) <- ps,

b == x,

(a,b) `notElem` ((x,y):rs)]

-- (nodos a) es la lista de los nodos del árbol a. Por ejemplo,

-- λ> nodos (arbolCadenas [(1,6),(6,4),(8,1)])

-- [[],[(1,6)],[(8,1),(1,6)],[(6,4)],[(1,6),(6,4)],[(8,1),(1,6),(6,4)],[(8,1)]]

nodos :: Tree [(a,a)] -> [[(a,a)]]

nodos (Node x ys) =

x : concatMap nodos ys

-- (cadenaReducida ps) es la lista de los elementos la cadena ps donde

-- los enlaces solo se escriben una vez. Por ejemplo,

-- cadenaReducida [(8,1),(1,6),(6,4),(4,9)] == [8,1,6,4,9]

cadenaReducida :: [(a,a)] -> [a]

cadenaReducida [] = []

cadenaReducida ((x,y):ps) = x : y : map snd ps

-- (digitosAnumero xs) es el número cuya lista de dígitos es xs. Por

-- ejemplo,

-- digitosAnumero [8,1,6,4,9] == 81649

digitosAnumero :: [Integer] -> Integer

digitosAnumero xs =

read (concatMap show xs)

-- 3ª solución

-- ===========

encadenados3 :: [Integer] -> [Integer]

encadenados3 xs =

sort (map read (aux [(p,delete p ps) | p <- ps]))

where

ps = map show xs

aux [] = []

aux ((as,qs):yss)

| null zss = as : aux yss

| otherwise = as : aux (zss ++ yss)

where zss = extensiones (as,qs)

extensiones (x:xs,cs) =

[(a:x:xs,delete [a,b] cs) | [a,b] <- cs, b == x]

-- Cálculo de cuadriseguidos

-- =========================

-- El cálculo es

-- λ> encadenados2 [n^2 | n <- [4..9]]

-- [16,25,36,49,64,81,164,364,649,816,1649,3649,8164,81649]

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_encadenados :: Gen Bool

prop_encadenados = do

n <- choose (2,9)

xs <- sublistOf [10..99]

let ys = take n xs

as = encadenados3 ys

m = length as

return (take m (encadenados ys) == as &&

encadenados2 ys == as)

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_encadenados

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> encadenados [12,24,41]

-- [12,24,41,124,241,412,1241,2412,4124]

-- (2.23 secs, 5,189,736,248 bytes)

-- λ> encadenados2 [12,24,41]

-- [12,24,41,124,241,412,1241,2412,4124]

-- (0.00 secs, 188,496 bytes)

-- λ> encadenados3 [12,24,41]

-- [12,24,41,124,241,412,1241,2412,4124]

-- (0.01 secs, 176,376 bytes)

-- λ> length (encadenados2 [10..42])

-- 911208

-- (13.59 secs, 14,104,867,760 bytes)

-- λ> length (encadenados3 [10..42])

-- 911208

-- (10.62 secs, 10,164,004,808 bytes)

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
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Árbol de cadenas

PorJosé A. Alonso 19-abril-202126-abril-2021

En la librería Data.Tree se definen los árboles y los bosques como sigue

   data Tree a   = Node a (Forest a)
   type Forest a = [Tree a]

1 2	data Tree a = Node a (Forest a) type Forest a = [Tree a]

Se pueden definir árboles. Por ejemplo,

   ej = Node 3 [Node 5 [Node 9 []], Node 7 []]

1	ej = Node 3 [Node 5 [Node 9 []], Node 7 []]

Y se pueden dibujar con la función drawTree. Por ejemplo,

   λ> putStrLn (drawTree (fmap show ej))
   3
   |
   +- 5
   |  |
   |  `- 9
   |
   `- 7

λ> putStrLn (drawTree (fmap show ej))

+- 5

| |

| `- 9

`- 7

Una cadena con un conjunto de pares ps es una lista xs de elementos distintos de ps tales que la segunda componente de cada elemento de xs es igual a la primera componente de su siguiente elemento. Por ejemplo, si ps = [(1,6),(2,5),(3,6),(4,9),(6,4),(8,1)] entonces [(6,4)], [(8,1),(1,6)] y [(8,1),(1,6),(6,4),(4,9)] son cadenas con ps.

Definir la función

   arbolCadenas :: Eq a => [(a,a)] -> Tree [(a,a)]

1	arbolCadenas :: Eq a => [(a,a)] -> Tree [(a,a)]

tal que (arbolCadenas ps) es el árbol de las cadenas formadas con los elementos de ps. Por ejemplo,

   λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolCadenas [(1,2),(2,3),(3,1)])))
   []
   |
   +- [(1,2)]
   |  |
   |  `- [(3,1),(1,2)]
   |     |
   |     `- [(2,3),(3,1),(1,2)]
   |
   +- [(2,3)]
   |  |
   |  `- [(1,2),(2,3)]
   |     |
   |     `- [(3,1),(1,2),(2,3)]
   |
   `- [(3,1)]
      |
      `- [(2,3),(3,1)]
         |
         `- [(1,2),(2,3),(3,1)]

   λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolCadenas [(1,6),(2,5),(3,6),(4,9),(6,4),(8,1)])))
   []
   |
   +- [(1,6)]
   |  |
   |  `- [(8,1),(1,6)]
   |
   +- [(2,5)]
   |
   +- [(3,6)]
   |
   +- [(4,9)]
   |  |
   |  `- [(6,4),(4,9)]
   |     |
   |     +- [(1,6),(6,4),(4,9)]
   |     |  |
   |     |  `- [(8,1),(1,6),(6,4),(4,9)]
   |     |
   |     `- [(3,6),(6,4),(4,9)]
   |
   +- [(6,4)]
   |  |
   |  +- [(1,6),(6,4)]
   |  |  |
   |  |  `- [(8,1),(1,6),(6,4)]
   |  |
   |  `- [(3,6),(6,4)]
   |
   `- [(8,1)]

λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolCadenas [(1,2),(2,3),(3,1)])))

[]

+- [(1,2)]

| |

| `- [(3,1),(1,2)]

| |

| `- [(2,3),(3,1),(1,2)]

+- [(2,3)]

| |

| `- [(1,2),(2,3)]

| |

| `- [(3,1),(1,2),(2,3)]

`- [(3,1)]

`- [(2,3),(3,1)]

`- [(1,2),(2,3),(3,1)]

λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolCadenas [(1,6),(2,5),(3,6),(4,9),(6,4),(8,1)])))

[]

+- [(1,6)]

| |

| `- [(8,1),(1,6)]

+- [(2,5)]

+- [(3,6)]

+- [(4,9)]

| |

| `- [(6,4),(4,9)]

| |

| +- [(1,6),(6,4),(4,9)]

| | |

| | `- [(8,1),(1,6),(6,4),(4,9)]

| |

| `- [(3,6),(6,4),(4,9)]

+- [(6,4)]

| |

| +- [(1,6),(6,4)]

| | |

| | `- [(8,1),(1,6),(6,4)]

| |

| `- [(3,6),(6,4)]

`- [(8,1)]

Soluciones

import Data.Tree (Tree (Node), drawTree)

arbolCadenas :: Eq a => [(a,a)] -> Tree [(a,a)]
arbolCadenas ps = aux []
  where
    aux xs = Node xs (map aux (extensiones xs))
    extensiones [] =
      [[p] | p <- ps]
    extensiones ((x,y):rs) =
      [(a,b):(x,y):rs | (a,b) <- ps,
                        b == x,
                        (a,b) `notElem` ((x,y):rs)]

import Data.Tree (Tree (Node), drawTree)

arbolCadenas :: Eq a => [(a,a)] -> Tree [(a,a)]

arbolCadenas ps = aux []

where

aux xs = Node xs (map aux (extensiones xs))

extensiones [] =

[[p] | p <- ps]

extensiones ((x,y):rs) =

[(a,b):(x,y):rs | (a,b) <- ps,

b == x,

(a,b) `notElem` ((x,y):rs)]

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Sucesión de cubos perfectos

PorJosé A. Alonso 16-abril-202123-abril-2021

Definir la lista

   sucesion :: [Integer]

1	sucesion :: [Integer]

cuyos elementos son los términos de la sucesión

   107811/3, 110778111/3, 111077781111/3, 111107777811111/3, ...

1	107811/3, 110778111/3, 111077781111/3, 111107777811111/3, ...

Por ejemplo,

   λ> take 5 sucesion
   [35937,36926037,37025927037,37035925937037,37036925926037037]
   λ> length (show (sucesion2 !! (3*10^6)))
   9000005

λ> take 5 sucesion

[35937,36926037,37025927037,37035925937037,37036925926037037]

λ> length (show (sucesion2 !! (3*10^6)))

9000005

Comprobar con QuickCheck que todos los términos de la sucesión son cubos perfectos.

Soluciones

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

sucesion :: [Integer]
sucesion = map termino [1..]

-- (termino n) es el término n-ésimo de la sucesión por ejemplo,
--    termino 1  ==  35937
--    termino 2  ==  36926037
--    termino 3  ==  37025927037
termino :: Int -> Integer
termino n = numerador n `div` 3


-- (numerador n) es el numerador del término n-ésimo de la sucesión por
-- ejemplo,
--    λ> mapM_ print (map numerador [1..5])
--    107811
--    110778111
--    111077781111
--    111107777811111
--    111110777778111111
numerador :: Int -> Integer
numerador n =
  read (replicate n '1' ++ "0" ++ replicate n '7' ++ "81" ++ replicate n '1')

-- Propiedad
-- =========

-- La propiedad es
prop_sucesion :: Int -> Property
prop_sucesion n =
  n >= 0 ==>
  esCubo (sucesion !! n)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_sucesion
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- (esCubo x) se verifica si x es un cubo perfecto. Por ejemplo,
--    esCubo 27  ==  True
--    esCubo 28  ==  False
esCubo :: Integer -> Bool
esCubo x =
  (raizCubicaEntera x)^3 == x

-- (raizCubicaEntera x) es el mayor entero cuyo cubo es menor o igual
-- que x. Por ejemplo,
--    raizCubicaEntera 26  ==  2
--    raizCubicaEntera 27  ==  3
--    raizCubicaEntera 28  ==  3
raizCubicaEntera :: Integer -> Integer
raizCubicaEntera x = aux (1,x)
    where aux (a,b) | d == x    = c
                    | c == a    = c
                    | d < x     = aux (c,b)
                    | otherwise = aux (a,c)
              where c = (a+b) `div` 2
                    d = c^3

-- Otra forma es observando los cubos de los términos de la sucesión
--    λ> map raizCubicaEntera (take 7 sucesion)
--    [33,333,3333,33333,333333,3333333,33333333]

-- La propiedad es
prop_sucesion2 :: Int -> Property
prop_sucesion2 n =
  n >= 0 ==>
  sucesion !! n == ((10^(n+2)-1) `div` 3)^3

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_sucesion2
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- 2ª solución
-- ===========

-- Basada en la propiedad anterior.

sucesion2 :: [Integer]
sucesion2 =
  [((10^n-1) `div` 3)^3 | n <- [2..]]

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_equiv :: Int -> Property
prop_equiv n =
  n >= 0 ==>
  sucesion !! n == sucesion2 !! n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_equiv
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (show (sucesion !! (3*10^6)))
--    9000005
--    (6.34 secs, 5,161,177,808 bytes)
--    λ> length (show (sucesion2 !! (3*10^6)))
--    9000005
--    (2.72 secs, 1,124,065,328 bytes)

100

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import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

sucesion :: [Integer]

sucesion = map termino [1..]

-- (termino n) es el término n-ésimo de la sucesión por ejemplo,

-- termino 1 == 35937

-- termino 2 == 36926037

-- termino 3 == 37025927037

termino :: Int -> Integer

termino n = numerador n `div` 3

-- (numerador n) es el numerador del término n-ésimo de la sucesión por

-- ejemplo,

-- λ> mapM_ print (map numerador [1..5])

-- 107811

-- 110778111

-- 111077781111

-- 111107777811111

-- 111110777778111111

numerador :: Int -> Integer

numerador n =

read (replicate n '1' ++ "0" ++ replicate n '7' ++ "81" ++ replicate n '1')

-- Propiedad

-- =========

-- La propiedad es

prop_sucesion :: Int -> Property

prop_sucesion n =

n >= 0 ==>

esCubo (sucesion !! n)

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_sucesion

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- (esCubo x) se verifica si x es un cubo perfecto. Por ejemplo,

-- esCubo 27 == True

-- esCubo 28 == False

esCubo :: Integer -> Bool

esCubo x =

(raizCubicaEntera x)^3 == x

-- (raizCubicaEntera x) es el mayor entero cuyo cubo es menor o igual

-- que x. Por ejemplo,

-- raizCubicaEntera 26 == 2

-- raizCubicaEntera 27 == 3

-- raizCubicaEntera 28 == 3

raizCubicaEntera :: Integer -> Integer

raizCubicaEntera x = aux (1,x)

where aux (a,b) | d == x = c

| c == a = c

| d < x = aux (c,b)

| otherwise = aux (a,c)

where c = (a+b) `div` 2

d = c^3

-- Otra forma es observando los cubos de los términos de la sucesión

-- λ> map raizCubicaEntera (take 7 sucesion)

-- [33,333,3333,33333,333333,3333333,33333333]

-- La propiedad es

prop_sucesion2 :: Int -> Property

prop_sucesion2 n =

n >= 0 ==>

sucesion !! n == ((10^(n+2)-1) `div` 3)^3

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_sucesion2

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- 2ª solución

-- ===========

-- Basada en la propiedad anterior.

sucesion2 :: [Integer]

sucesion2 =

[((10^n-1) `div` 3)^3 | n <- [2..]]

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_equiv :: Int -> Property

prop_equiv n =

n >= 0 ==>

sucesion !! n == sucesion2 !! n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_equiv

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (show (sucesion !! (3*10^6)))

-- 9000005

-- (6.34 secs, 5,161,177,808 bytes)

-- λ> length (show (sucesion2 !! (3*10^6)))

-- 9000005

-- (2.72 secs, 1,124,065,328 bytes)

Nuevas soluciones

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Enlaces primos

PorJosé A. Alonso 15-abril-202122-abril-2021

Un enlace primo de longitud n es una permutación de 1, 2, …, n comienza con 1 y termina con n, tal que la suma de cada par de términos adyacentes es primo. Por ejemplo, para n = 6 la lista [1,4,3,2,5,6] es un enlace primo ua que las sumas de los pares de términos adyacentes son los números primos 5, 7, 5, 7, 11.

Definir la función

   enlacesPrimos :: Int -> [[Int]]

1	enlacesPrimos :: Int -> [[Int]]

tal que (enlacesPrimos n) es la lista de los enlaces primos de longitud n. Por ejemplo,

   λ> enlacesPrimos 6
   [[1,4,3,2,5,6]]
   λ> enlacesPrimos 7
   [[1,4,3,2,5,6,7],[1,6,5,2,3,4,7]]
   λ> enlacesPrimos 8
   [[1,2,5,6,7,4,3,8],[1,4,7,6,5,2,3,8],[1,2,3,4,7,6,5,8],[1,6,7,4,3,2,5,8]]
   λ> length (enlacesPrimos 10)
   24
   λ> length (head (enlacesPrimos (5*10^4)))
   50000

λ> enlacesPrimos 6

[[1,4,3,2,5,6]]

λ> enlacesPrimos 7

[[1,4,3,2,5,6,7],[1,6,5,2,3,4,7]]

λ> enlacesPrimos 8

[[1,2,5,6,7,4,3,8],[1,4,7,6,5,2,3,8],[1,2,3,4,7,6,5,8],[1,6,7,4,3,2,5,8]]

λ> length (enlacesPrimos 10)

λ> length (head (enlacesPrimos (5*10^4)))

50000

Soluciones

import Data.List (permutations, delete)
import Data.Numbers.Primes (isPrime)

-- 1ª solución
-- ===========

enlacesPrimos :: Int -> [[Int]]
enlacesPrimos 1 = [[1]]
enlacesPrimos n =
  [ys | xs <- permutations [2..n-1],
       let ys = (1:xs)++[n],
       conEnlacesPrimos ys]

-- (conEnlacesPrimos xs) se verifica si las sumas de los elementos
-- adyacentes de xs son primos. Por ejemplo,
--    conEnlacesPrimos [1,4,3,2,5,6]  ==  True
--    conEnlacesPrimos [1,3,4,2,5,6]  ==  False
conEnlacesPrimos :: [Int] -> Bool
conEnlacesPrimos xs =
  all isPrime (enlaces xs)

-- (enlaces xs) es la lista de las sumas de los elementos adyacentes de
-- xs. Por ejemplo,
--    enlaces [1,4,3,2,5,6]  ==  [5,7,5,7,11]
--    enlaces [1,3,4,2,5,6]  ==  [4,7,6,7,11]
enlaces :: [Int] -> [Int]
enlaces xs =
  zipWith (+) xs (tail xs)

-- 2ª solución
-- ===========

enlacesPrimos2 :: Int -> [[Int]]
enlacesPrimos2 1 = [[1]]
enlacesPrimos2 n = aux [(n-1,[n],[n-1,n-2..2])]
  where
    aux [] = []
    aux ((1,x:xs,_):ts) =
      [1:x:xs | isPrime (1+x)] ++ aux ts
    aux ((k,x:xs,ys):ts) =
      aux ([(k-1,y:x:xs,delete y ys) | y <-ys, isPrime (y+x)] ++ ts)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (enlacesPrimos 12)
--    216
--    (6.04 secs, 22,266,444,408 bytes)
--    λ> length (enlacesPrimos2 12)
--    216
--    (0.03 secs, 18,102,192 bytes)
--
--    λ> length (enlacesPrimos2 17)
--    59448
--    (2.69 secs, 8,514,104,800 bytes)

import Data.List (permutations, delete)

import Data.Numbers.Primes (isPrime)

-- 1ª solución

-- ===========

enlacesPrimos :: Int -> [[Int]]

enlacesPrimos 1 = [[1]]

enlacesPrimos n =

[ys | xs <- permutations [2..n-1],

let ys = (1:xs)++[n],

conEnlacesPrimos ys]

-- (conEnlacesPrimos xs) se verifica si las sumas de los elementos

-- adyacentes de xs son primos. Por ejemplo,

-- conEnlacesPrimos [1,4,3,2,5,6] == True

-- conEnlacesPrimos [1,3,4,2,5,6] == False

conEnlacesPrimos :: [Int] -> Bool

conEnlacesPrimos xs =

all isPrime (enlaces xs)

-- (enlaces xs) es la lista de las sumas de los elementos adyacentes de

-- xs. Por ejemplo,

-- enlaces [1,4,3,2,5,6] == [5,7,5,7,11]

-- enlaces [1,3,4,2,5,6] == [4,7,6,7,11]

enlaces :: [Int] -> [Int]

enlaces xs =

zipWith (+) xs (tail xs)

-- 2ª solución

-- ===========

enlacesPrimos2 :: Int -> [[Int]]

enlacesPrimos2 1 = [[1]]

enlacesPrimos2 n = aux [(n-1,[n],[n-1,n-2..2])]

where

aux [] = []

aux ((1,x:xs,_):ts) =

[1:x:xs | isPrime (1+x)] ++ aux ts

aux ((k,x:xs,ys):ts) =

aux ([(k-1,y:x:xs,delete y ys) | y <-ys, isPrime (y+x)] ++ ts)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (enlacesPrimos 12)

-- 216

-- (6.04 secs, 22,266,444,408 bytes)

-- λ> length (enlacesPrimos2 12)

-- 216

-- (0.03 secs, 18,102,192 bytes)

-- λ> length (enlacesPrimos2 17)

-- 59448

-- (2.69 secs, 8,514,104,800 bytes)

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Raíces digitales de sucesiones de raíces digitales

PorJosé A. Alonso 14-abril-202121-abril-2021

La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito que resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente los resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 2345 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.

La sucesión de las raices digitales definida por un número a es la sucesión a(n) tal que a(0) = a y a(n+1) es la suma de a(n) y la raíz dígital de a(n). Por ejemplo, los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 1 son

   1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89,...

1	1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89,...

Definir la función

   raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales :: Integer -> [Integer]

1	raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales :: Integer -> [Integer]

tal que (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales a) es la lista de las raíces digitales de los elementos de la sucesión de raíces digitales definidas por a. Por ejemplo,

   λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 1)
   [1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2]
   λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 2021)
   [5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1]
   λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales (9^100) !! (10^9)
   9

λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 1)

[1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2]

λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 2021)

[5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1]

λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales (9^100) !! (10^9)

Soluciones

import Data.List (cycle)

-- 1ª solución
-- ===========

raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales :: Integer -> [Integer]
raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales a =
  map raizDigital (sucesionRaicesDigitales a)

-- (sucesionRaicesDigitales a) es la sucesión de las raíces digitales
-- definida por un número a. Por ejemplo,
--    λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 1)
--    [1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89]
--    λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 3)
--    [3,6,12,15,21,24,30,33,39,42,48,51,57,60,66,69,75,78,84,87,93,96]
--    λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 5)
--    [5,10,11,13,17,25,32,37,38,40,44,52,59,64,65,67,71,79,86,91,92,94]
--    λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 7)
--    [7,14,19,20,22,26,34,41,46,47,49,53,61,68,73,74,76,80,88,95,100,101]
--    λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 9)
--    [9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99,108,117,126,135,144,153,162,171,180,189,198]
sucesionRaicesDigitales :: Integer -> [Integer]
sucesionRaicesDigitales a =
  iterate siguienteRaizDigital a

-- (siguienteRaizDigital a) es el siguiente de a en la sucesión de raices
-- digitales. Por ejemplo,
--    siguienteRaizDigital 23 == 28
siguienteRaizDigital :: Integer -> Integer
siguienteRaizDigital a =
  a + raizDigital a

-- (raizDigital n) es la raíz digital de n. Por ejemplo,
--    raizDigital 23451  ==  6
raizDigital :: Integer -> Integer
raizDigital n = 1 + (n-1) `mod` 9

-- (noPertenece x ys) se verifica si x no pertenece a la lista infinita
-- ordenada creciente ys. Por ejemplo,
--    noPertenece 2 [1,3..] == True
--    noPertenece 5 [1,3..] == False
noPertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool
noPertenece x ys =
  not (x `pertenece` ys)

-- (Pertenece x ys) se verifica si x pertenece a la lista infinita
-- ordenada creciente ys. Por ejemplo,
--    pertenece 5 [1,3..] == True
--    pertenece 2 [1,3..] == False
pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool
pertenece x ys =
  x == head (dropWhile (<x) ys)

-- 2ª solución
-- ===========

-- En el ejercicio aterior vimos que sólo hay 5 sucesiones de ríace
-- digitales: las generadas por 1, 3, 5, 7 y 9. Las raíces digitales de
-- dichas sucesiones son
--    λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 1)
--    [1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2]
--    λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 3)
--    [3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6]
--    λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 5)
--    [5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1]
--    λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 7)
--    [7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5]
--    λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 9)
--    [9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9]
-- Se observa que todas son periódicas.

raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales2 :: Integer -> [Integer]
raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales2 a =
  cycle (d : takeWhile (/= d) (tail (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales a)))
  where d = raizDigital a

-- 3ª solución
-- ===========

raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales3 :: Integer -> [Integer]
raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales3 a =
  case (raizDigital a) of
    1 -> cycle [1,2,4,8,7,5]
    2 -> cycle [2,4,8,7,5,1]
    3 -> cycle [3,6]
    4 -> cycle [4,8,7,5,1,2]
    5 -> cycle [5,1,2,4,8,7]
    6 -> cycle [6,3]
    7 -> cycle [7,5,1,2,4,8]
    8 -> cycle [8,7,5,1,2,4]
    9 -> cycle [9]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales (9^100) !! (3*10^6)
--    9
--    (4.23 secs, 2,160,860,128 bytes)
--    λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales2 (9^100) !! (3*10^6)
--    9
--    (0.02 secs, 103,768 bytes)
--    λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales3 (9^100) !! (3*10^6)
--    9
--    (0.02 secs, 103,056 bytes)
--
--    λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales2 (9^100) !! (10^9)
--    9
--    (2.09 secs, 103,608 bytes)
--    λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales3 (9^100) !! (10^9)
--    9
--    (2.25 secs, 102,952 bytes)

100

101

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104

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106

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110

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112

import Data.List (cycle)

-- 1ª solución

-- ===========

raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales :: Integer -> [Integer]

raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales a =

map raizDigital (sucesionRaicesDigitales a)

-- (sucesionRaicesDigitales a) es la sucesión de las raíces digitales

-- definida por un número a. Por ejemplo,

-- λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 1)

-- [1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89]

-- λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 3)

-- [3,6,12,15,21,24,30,33,39,42,48,51,57,60,66,69,75,78,84,87,93,96]

-- λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 5)

-- [5,10,11,13,17,25,32,37,38,40,44,52,59,64,65,67,71,79,86,91,92,94]

-- λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 7)

-- [7,14,19,20,22,26,34,41,46,47,49,53,61,68,73,74,76,80,88,95,100,101]

-- λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 9)

-- [9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99,108,117,126,135,144,153,162,171,180,189,198]

sucesionRaicesDigitales :: Integer -> [Integer]

sucesionRaicesDigitales a =

iterate siguienteRaizDigital a

-- (siguienteRaizDigital a) es el siguiente de a en la sucesión de raices

-- digitales. Por ejemplo,

-- siguienteRaizDigital 23 == 28

siguienteRaizDigital :: Integer -> Integer

siguienteRaizDigital a =

a + raizDigital a

-- (raizDigital n) es la raíz digital de n. Por ejemplo,

-- raizDigital 23451 == 6

raizDigital :: Integer -> Integer

raizDigital n = 1 + (n-1) `mod` 9

-- (noPertenece x ys) se verifica si x no pertenece a la lista infinita

-- ordenada creciente ys. Por ejemplo,

-- noPertenece 2 [1,3..] == True

-- noPertenece 5 [1,3..] == False

noPertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool

noPertenece x ys =

not (x `pertenece` ys)

-- (Pertenece x ys) se verifica si x pertenece a la lista infinita

-- ordenada creciente ys. Por ejemplo,

-- pertenece 5 [1,3..] == True

-- pertenece 2 [1,3..] == False

pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool

pertenece x ys =

x == head (dropWhile (<x) ys)

-- 2ª solución

-- ===========

-- En el ejercicio aterior vimos que sólo hay 5 sucesiones de ríace

-- digitales: las generadas por 1, 3, 5, 7 y 9. Las raíces digitales de

-- dichas sucesiones son

-- λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 1)

-- [1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2]

-- λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 3)

-- [3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6]

-- λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 5)

-- [5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1]

-- λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 7)

-- [7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5]

-- λ> take 20 (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales 9)

-- [9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9]

-- Se observa que todas son periódicas.

raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales2 :: Integer -> [Integer]

raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales2 a =

cycle (d : takeWhile (/= d) (tail (raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales a)))

where d = raizDigital a

-- 3ª solución

-- ===========

raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales3 :: Integer -> [Integer]

raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales3 a =

case (raizDigital a) of

1 -> cycle [1,2,4,8,7,5]

2 -> cycle [2,4,8,7,5,1]

3 -> cycle [3,6]

4 -> cycle [4,8,7,5,1,2]

5 -> cycle [5,1,2,4,8,7]

6 -> cycle [6,3]

7 -> cycle [7,5,1,2,4,8]

8 -> cycle [8,7,5,1,2,4]

9 -> cycle [9]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales (9^100) !! (3*10^6)

-- 9

-- (4.23 secs, 2,160,860,128 bytes)

-- λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales2 (9^100) !! (3*10^6)

-- 9

-- (0.02 secs, 103,768 bytes)

-- λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales3 (9^100) !! (3*10^6)

-- 9

-- (0.02 secs, 103,056 bytes)

-- λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales2 (9^100) !! (10^9)

-- 9

-- (2.09 secs, 103,608 bytes)

-- λ> raicesDigitalesSucesionRaicesDigitales3 (9^100) !! (10^9)

-- 9

-- (2.25 secs, 102,952 bytes)

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Sucesiones de raíces digitales

PorJosé A. Alonso 13-abril-202120-abril-2021

La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 23451 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.

   1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89,...

1	1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89,...

Se observa que el menor número que no pertenece a la sucesión anterior es 3. Los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 3 son

   3,6,12,15,21,24,30,33,39,42,48,51,57,60,66,69,75,78,84,87,93,96,...

1	3,6,12,15,21,24,30,33,39,42,48,51,57,60,66,69,75,78,84,87,93,96,...

Se observa que el menor número que no pertenece a las 2 sucesiones anteriores es 5. Los primeros términos de la sucesión de las raíces digitales definida por 5 son

   5,10,11,13,17,25,32,37,38,40,44,52,59,64,65,67,71,79,86,91,92,94,...

1	5,10,11,13,17,25,32,37,38,40,44,52,59,64,65,67,71,79,86,91,92,94,...

Definir la función

   sucesionSucesionesRaicesDigitales :: [[Integer]]

1	sucesionSucesionesRaicesDigitales :: [[Integer]]

tal que sus elementos son las sucesiones de raíces digitales tal el primer elemento de cada sucesión es el menor elemento que no pertenece a las sucesiones anteriores. Por ejemplo,

   λ> map (take 5) (take 4 sucesionSucesionesRaicesDigitales)
   [[1,2,4,8,16],[3,6,12,15,21],[5,10,11,13,17],[7,14,19,20,22]]

1 2	λ> map (take 5) (take 4 sucesionSucesionesRaicesDigitales) [[1,2,4,8,16],[3,6,12,15,21],[5,10,11,13,17],[7,14,19,20,22]]

Comprobar con QuickCheck que sucesionSucesionesRaicesDigitales tiene exactamente 5 elementos.

Soluciones

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

sucesionSucesionesRaicesDigitales :: [[Integer]]
sucesionSucesionesRaicesDigitales =
  map aux [1..]
  where aux 1 = sucesionRaicesDigitales 1
        aux n = sucesionRaicesDigitales m
          where m = head [a | a <- [1..],
                              all (a `noPertenece`)
                                  [aux k | k <- [1..n-1]]]

-- (sucesionRaicesDigitales a) es la sucesión de las raíces digitales
-- definida por un número a. Por ejemplo,
--    λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 1)
--    [1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89]
--    λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 3)
--    [3,6,12,15,21,24,30,33,39,42,48,51,57,60,66,69,75,78,84,87,93,96]
--    λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 5)
--    [5,10,11,13,17,25,32,37,38,40,44,52,59,64,65,67,71,79,86,91,92,94]
--    λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 7)
--    [7,14,19,20,22,26,34,41,46,47,49,53,61,68,73,74,76,80,88,95,100,101]
--    λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 9)
--    [9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99,108,117,126,135,144,153,162,171,180,189,198]
sucesionRaicesDigitales :: Integer -> [Integer]
sucesionRaicesDigitales a =
  iterate siguienteRaizDigital a

-- (siguienteRaizDigital a) es el siguiente de a en la sucesión de raices
-- digitales. Por ejemplo,
--    siguienteRaizDigital 23 == 28
siguienteRaizDigital :: Integer -> Integer
siguienteRaizDigital a =
  a + raizDigital a

-- (raizDigital n) es la raíz digital de n. Por ejemplo,
--    raizDigital 23451  ==  6
raizDigital :: Integer -> Integer
raizDigital n = 1 + (n-1) `mod` 9

-- (noPertenece x ys) se verifica si x no pertenece a la lista infinita
-- ordenada creciente ys. Por ejemplo,
--    noPertenece 2 [1,3..] == True
--    noPertenece 5 [1,3..] == False
noPertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool
noPertenece x ys =
  not (x `pertenece` ys)

-- (Pertenece x ys) se verifica si x pertenece a la lista infinita
-- ordenada creciente ys. Por ejemplo,
--    pertenece 5 [1,3..] == True
--    pertenece 2 [1,3..] == False
pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool
pertenece x ys =
  x == head (dropWhile (<x) ys)

-- 2ª solución
-- ===========

sucesionSucesionesRaicesDigitales2 :: [[Integer]]
sucesionSucesionesRaicesDigitales2 = aux [1..]
  where aux xs = sucesion xs : aux (diferencia xs (sucesion xs))
        sucesion xs = sucesionRaicesDigitales (head xs)

-- (diferencia xs ys) es la diferencia las listas infinitas ordenadas
-- crecientes xs e ys. Por ejemplo,
--    λ> take 8 (diferencia [1..] [2,4..])
--    [1,3,5,7,9,11,13,15]
diferencia :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]
diferencia (x:xs) (y:ys)
  | x == y    = diferencia xs ys
  | otherwise = x : diferencia xs (y:ys)

-- Propiedad
-- =========

-- Del cálculo 
--    λ> map (take 4) (take 5 sucesionSucesionesRaicesDigitales)
--    [[1,2,4,8],[3,6,12,15],[5,10,11,13],[7,14,19,20],[9,18,27,36]]
-- se deduce que tiene al menos 5. Sólo queda por comprobar que no tiene más; es decir
prop_sucesionSucesionesRaicesDigitales :: Integer -> Property
prop_sucesionSucesionesRaicesDigitales n =
  n > 0 ==>
  any (n `pertenece`) xss
  where xss = take 5 (sucesionSucesionesRaicesDigitales2)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_sucesionSucesionesRaicesDigitales
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

sucesionSucesionesRaicesDigitales :: [[Integer]]

sucesionSucesionesRaicesDigitales =

map aux [1..]

where aux 1 = sucesionRaicesDigitales 1

aux n = sucesionRaicesDigitales m

where m = head [a | a <- [1..],

all (a `noPertenece`)

[aux k | k <- [1..n-1]]]

-- (sucesionRaicesDigitales a) es la sucesión de las raíces digitales

-- definida por un número a. Por ejemplo,

-- λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 1)

-- [1,2,4,8,16,23,28,29,31,35,43,50,55,56,58,62,70,77,82,83,85,89]

-- λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 3)

-- [3,6,12,15,21,24,30,33,39,42,48,51,57,60,66,69,75,78,84,87,93,96]

-- λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 5)

-- [5,10,11,13,17,25,32,37,38,40,44,52,59,64,65,67,71,79,86,91,92,94]

-- λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 7)

-- [7,14,19,20,22,26,34,41,46,47,49,53,61,68,73,74,76,80,88,95,100,101]

-- λ> take 22 (sucesionRaicesDigitales 9)

-- [9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99,108,117,126,135,144,153,162,171,180,189,198]

sucesionRaicesDigitales :: Integer -> [Integer]

sucesionRaicesDigitales a =

iterate siguienteRaizDigital a

-- (siguienteRaizDigital a) es el siguiente de a en la sucesión de raices

-- digitales. Por ejemplo,

-- siguienteRaizDigital 23 == 28

siguienteRaizDigital :: Integer -> Integer

siguienteRaizDigital a =

a + raizDigital a

-- (raizDigital n) es la raíz digital de n. Por ejemplo,

-- raizDigital 23451 == 6

raizDigital :: Integer -> Integer

raizDigital n = 1 + (n-1) `mod` 9

-- (noPertenece x ys) se verifica si x no pertenece a la lista infinita

-- ordenada creciente ys. Por ejemplo,

-- noPertenece 2 [1,3..] == True

-- noPertenece 5 [1,3..] == False

noPertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool

noPertenece x ys =

not (x `pertenece` ys)

-- (Pertenece x ys) se verifica si x pertenece a la lista infinita

-- ordenada creciente ys. Por ejemplo,

-- pertenece 5 [1,3..] == True

-- pertenece 2 [1,3..] == False

pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool

pertenece x ys =

x == head (dropWhile (<x) ys)

-- 2ª solución

-- ===========

sucesionSucesionesRaicesDigitales2 :: [[Integer]]

sucesionSucesionesRaicesDigitales2 = aux [1..]

where aux xs = sucesion xs : aux (diferencia xs (sucesion xs))

sucesion xs = sucesionRaicesDigitales (head xs)

-- (diferencia xs ys) es la diferencia las listas infinitas ordenadas

-- crecientes xs e ys. Por ejemplo,

-- λ> take 8 (diferencia [1..] [2,4..])

-- [1,3,5,7,9,11,13,15]

diferencia :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]

diferencia (x:xs) (y:ys)

| x == y = diferencia xs ys

| otherwise = x : diferencia xs (y:ys)

-- Propiedad

-- =========

-- Del cálculo

-- λ> map (take 4) (take 5 sucesionSucesionesRaicesDigitales)

-- [[1,2,4,8],[3,6,12,15],[5,10,11,13],[7,14,19,20],[9,18,27,36]]

-- se deduce que tiene al menos 5. Sólo queda por comprobar que no tiene más; es decir

prop_sucesionSucesionesRaicesDigitales :: Integer -> Property

prop_sucesionSucesionesRaicesDigitales n =

n > 0 ==>

any (n `pertenece`) xss

where xss = take 5 (sucesionSucesionesRaicesDigitales2)

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_sucesionSucesionesRaicesDigitales

-- +++ OK, passed 100 tests.

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Raíces digitales de los números de Fibonacci

PorJosé A. Alonso 12-abril-202119-abril-2021

La sucesión Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

1	1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

La sucesión comienza con los números 1 y 1 y, a partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores.

Definir la función

   raizDigitalFibonacci :: Integer -> Integer

1	raizDigitalFibonacci :: Integer -> Integer

tal que (raizDigitalFibonacci n) es la raíz digital del n-ésimo número de Fibonacci. Por ejemplo,

   raizDigitalFibonacci 6         ==  4
   raizDigitalFibonacci 7         ==  3
   raizDigitalFibonacci (3*10^7)  ==  1

raizDigitalFibonacci 6 == 4

raizDigitalFibonacci 7 == 3

raizDigitalFibonacci (3*10^7) == 1

Soluciones

import Data.List (genericIndex, cycle)

-- 1ª solución
-- ===========

raizDigitalFibonacci :: Integer -> Integer
raizDigitalFibonacci =
  raizDigital . fibonacci

-- (fibonacci k) es el k-ésimo número de Fibonacci. Por ejemplo,
fibonacci :: Integer -> Integer
fibonacci 0 = 1
fibonacci 1 = 1
fibonacci n = fibonacci (n-1) + fibonacci (n-2)

-- (raizDigital n) es la raíz digital de n. Por ejemplo,
--    raizDigital 23451  ==  6
raizDigital :: Integer -> Integer
raizDigital n = 1 + (n-1) `mod` 9

-- 2ª solución
-- ===========

raizDigitalFibonacci2 :: Integer -> Integer
raizDigitalFibonacci2 n =
  raizDigital (fibs `genericIndex` n)

-- fibs es la la sucesión de los números de Fibonacci. Por ejemplo,
--    take 14 fibs  == [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377]
fibs :: [Integer]
fibs = 1 : scanl (+) 1 fibs

-- 3ª solución
-- ===========

-- En el cálculo
---   λ> map raizDigitalFibonacci2 [0..47]
---   [1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,
--     1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9]
-- se observa que la lista es periódica con período
--    1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,

raizDigitalFibonacci3 :: Integer -> Integer
raizDigitalFibonacci3 n =
  raicesDigitalesFibonacci `genericIndex` n

-- raicesDigitalesFibonacci es la suceción de las raíces digitales de
-- los números de Fibonacci. Por ejemplo,
---   λ> take 24 raicesDigitalesFibonacci
---   [1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9]
raicesDigitalesFibonacci :: [Integer]
raicesDigitalesFibonacci =
  concat (repeat [1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9])

-- 4ª solución
-- ===========

raizDigitalFibonacci4 :: Integer -> Integer
raizDigitalFibonacci4 n =
  raicesDigitalesFibonacci2 `genericIndex` n

-- raicesDigitalesFibonacci2 es la suceción de las raíces digitales de
-- los números de Fibonacci. Por ejemplo,
---   λ> take 24 raicesDigitalesFibonacci2
---   [1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9]
raicesDigitalesFibonacci2 :: [Integer]
raicesDigitalesFibonacci2 =
  cycle [1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> raizDigitalFibonacci 34
--    8
--    (7.88 secs, 3,560,871,624 bytes)
--    λ> raizDigitalFibonacci2 34
--    8
--    (0.01 secs, 106,896 bytes)
--    λ> raizDigitalFibonacci3 34
--    8
--    (0.01 secs, 106,568 bytes)
--    λ> raizDigitalFibonacci4 34
--    8
--    (0.01 secs, 107,512 bytes)
--
--    λ> raizDigitalFibonacci2 (4*10^5)
--    4
--    (3.19 secs, 7,146,227,192 bytes)
--    λ> raizDigitalFibonacci3 (4*10^5)
--    4
--    (0.05 secs, 80,635,064 bytes)
--    λ> raizDigitalFibonacci4 (4*10^5)
--    4
--    (0.05 secs, 57,701,392 bytes)
--
--    λ> raizDigitalFibonacci3 (10^7)
--    4
--    (1.34 secs, 2,013,435,912 bytes)
--    λ> raizDigitalFibonacci4 (10^7)
--    4
--    (0.66 secs, 1,440,100,712 bytes)
--
--    λ> raizDigitalFibonacci4 (3*10^7)
--    1
--    (1.92 secs, 4,320,102,368 bytes)

100

101

102

103

104

105

106

import Data.List (genericIndex, cycle)

-- 1ª solución

-- ===========

raizDigitalFibonacci :: Integer -> Integer

raizDigitalFibonacci =

raizDigital . fibonacci

-- (fibonacci k) es el k-ésimo número de Fibonacci. Por ejemplo,

fibonacci :: Integer -> Integer

fibonacci 0 = 1

fibonacci 1 = 1

fibonacci n = fibonacci (n-1) + fibonacci (n-2)

-- (raizDigital n) es la raíz digital de n. Por ejemplo,

-- raizDigital 23451 == 6

raizDigital :: Integer -> Integer

raizDigital n = 1 + (n-1) `mod` 9

-- 2ª solución

-- ===========

raizDigitalFibonacci2 :: Integer -> Integer

raizDigitalFibonacci2 n =

raizDigital (fibs `genericIndex` n)

-- fibs es la la sucesión de los números de Fibonacci. Por ejemplo,

-- take 14 fibs == [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377]

fibs :: [Integer]

fibs = 1 : scanl (+) 1 fibs

-- 3ª solución

-- ===========

-- En el cálculo

--- λ> map raizDigitalFibonacci2 [0..47]

--- [1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,

-- 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9]

-- se observa que la lista es periódica con período

-- 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,

raizDigitalFibonacci3 :: Integer -> Integer

raizDigitalFibonacci3 n =

raicesDigitalesFibonacci `genericIndex` n

-- raicesDigitalesFibonacci es la suceción de las raíces digitales de

-- los números de Fibonacci. Por ejemplo,

--- λ> take 24 raicesDigitalesFibonacci

--- [1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9]

raicesDigitalesFibonacci :: [Integer]

raicesDigitalesFibonacci =

concat (repeat [1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9])

-- 4ª solución

-- ===========

raizDigitalFibonacci4 :: Integer -> Integer

raizDigitalFibonacci4 n =

raicesDigitalesFibonacci2 `genericIndex` n

-- raicesDigitalesFibonacci2 es la suceción de las raíces digitales de

-- los números de Fibonacci. Por ejemplo,

--- λ> take 24 raicesDigitalesFibonacci2

--- [1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9]

raicesDigitalesFibonacci2 :: [Integer]

raicesDigitalesFibonacci2 =

cycle [1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> raizDigitalFibonacci 34

-- 8

-- (7.88 secs, 3,560,871,624 bytes)

-- λ> raizDigitalFibonacci2 34

-- 8

-- (0.01 secs, 106,896 bytes)

-- λ> raizDigitalFibonacci3 34

-- 8

-- (0.01 secs, 106,568 bytes)

-- λ> raizDigitalFibonacci4 34

-- 8

-- (0.01 secs, 107,512 bytes)

-- λ> raizDigitalFibonacci2 (4*10^5)

-- 4

-- (3.19 secs, 7,146,227,192 bytes)

-- λ> raizDigitalFibonacci3 (4*10^5)

-- 4

-- (0.05 secs, 80,635,064 bytes)

-- λ> raizDigitalFibonacci4 (4*10^5)

-- 4

-- (0.05 secs, 57,701,392 bytes)

-- λ> raizDigitalFibonacci3 (10^7)

-- 4

-- (1.34 secs, 2,013,435,912 bytes)

-- λ> raizDigitalFibonacci4 (10^7)

-- 4

-- (0.66 secs, 1,440,100,712 bytes)

-- λ> raizDigitalFibonacci4 (3*10^7)

-- 1

-- (1.92 secs, 4,320,102,368 bytes)

Nuevas soluciones

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Raíces digitales de los números de Fermat.

PorJosé A. Alonso 9-abril-202116-abril-2021

Los números de Fermat son los número de la forma F(n) = 2^(2^n) + 1, donde n es un número natural.

Definir la función

   raizDigitalFermat :: Integer -> Integer

1	raizDigitalFermat :: Integer -> Integer

tal que (raizDigitalFermat n) es la raíz digital del n-ésimo número de Fermat. Por ejemplo,

   raizDigitalFermat 3          ==  5
   raizDigitalFermat (10^2021)  ==  8

1 2	raizDigitalFermat 3 == 5 raizDigitalFermat (10^2021) == 8

Soluciones

-- 1ª solución
-- ===========

raizDigitalFermat :: Integer -> Integer
raizDigitalFermat =
  raizDigital . fermat

-- (fermat k) es el k-ésimo número de Fermat. Por ejemplo,
--    fermat 0  ==  3
--    fermat 1  ==  5
--    fermat 2  ==  17
--    fermat 3  ==  257
--    fermat 4  ==  65537
--    fermat 5  ==  4294967297
fermat :: Integer -> Integer
fermat k = 1 + 2^(2^k)

-- (raizDigital n) es la raíz digital de n. Por ejemplo,
--    raizDigital 23451  ==  6
raizDigital :: Integer -> Integer
raizDigital n = 1 + (n-1) `mod` 9

-- 2ª solución
-- ===========

-- En el cálculo
--    λ> map raizDigitalFermat [0..20]
--    [3,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8]
-- se observa que se compone del 3 seguido por la repetición periódica
-- de 5 y 8.

raizDigitalFermat2 :: Integer -> Integer
raizDigitalFermat2 0 = 3
raizDigitalFermat2 n
  | odd n     = 5
  | otherwise = 8

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> raizDigitalFermat 30
--    8
--    (6.76 secs, 536,981,128 bytes)
--    λ> raizDigitalFermat2 30
--    8
--    (0.01 secs, 98,400 bytes)

-- 1ª solución

-- ===========

raizDigitalFermat :: Integer -> Integer

raizDigitalFermat =

raizDigital . fermat

-- (fermat k) es el k-ésimo número de Fermat. Por ejemplo,

-- fermat 0 == 3

-- fermat 1 == 5

-- fermat 2 == 17

-- fermat 3 == 257

-- fermat 4 == 65537

-- fermat 5 == 4294967297

fermat :: Integer -> Integer

fermat k = 1 + 2^(2^k)

-- (raizDigital n) es la raíz digital de n. Por ejemplo,

-- raizDigital 23451 == 6

raizDigital :: Integer -> Integer

raizDigital n = 1 + (n-1) `mod` 9

-- 2ª solución

-- ===========

-- En el cálculo

-- λ> map raizDigitalFermat [0..20]

-- [3,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8,5,8]

-- se observa que se compone del 3 seguido por la repetición periódica

-- de 5 y 8.

raizDigitalFermat2 :: Integer -> Integer

raizDigitalFermat2 0 = 3

raizDigitalFermat2 n

| odd n = 5

| otherwise = 8

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> raizDigitalFermat 30

-- 8

-- (6.76 secs, 536,981,128 bytes)

-- λ> raizDigitalFermat2 30

-- 8

-- (0.01 secs, 98,400 bytes)

Nuevas soluciones

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Persistencia aditiva

PorJosé A. Alonso 8-abril-202115-abril-2021

La raíz digital de un número entero positivo n es el dígito resulta al sumar sus dígitos, volviendo a sumar reiteradamente los resultados de esa suma y de las siguientes hasta que la suma sea un número de un dígito, al que se llama la raíz digital del número n y se representa pod D(n). Por ejemplo, la raíz digital del número 23451 es 6, porque 2+3+4+5+1 = 15 y sumando los dígitos del 15 resulta 6.

La persistencia aditiva de un número entero positivo es el número de veces que hay sumar sus dígitos para llegar a su raíz digital. Por ejemplo, la persistencia aditiva de 2718 es 2: primero encontramos que 2+7+1+8 = 18, luego que 1+8 = 9.

Definir la función

   persistencia :: Integer -> Integer

1	persistencia :: Integer -> Integer

tal que (persistencia n) es la persistencia del número entero positivo n. Por ejemplo,

   persistencia 2718                     ==  2
   persistencia 199                      ==  3
   persistencia 19999999999999999999999  ==  4

persistencia 2718 == 2

persistencia 199 == 3

persistencia 19999999999999999999999 == 4

Soluciones

import Data.List (genericLength)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

persistencia :: Integer -> Integer
persistencia n
  | n < 10    = 0
  | otherwise = 1 + persistencia (sumaDigitos n)

-- (sumaDigitos n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo,
--    sumaDigitos 2021  ==  5
sumaDigitos :: Integer -> Integer
sumaDigitos = sum . digitos

-- (digitos n) es la lista de los dígitos de n. Por ejemplo,
--    digitos 2021  ==  [2,0,2,1]
digitos :: Integer -> [Integer]
digitos x = [read [c] | c <- show x]

-- 2ª solución
-- ===========

persistencia2 :: Integer -> Integer
persistencia2 = aux 0
  where aux m n
          | n < 10    = m
          | otherwise = aux (m+1) (sumaDigitos n)

-- 3ª solución
-- ===========

persistencia3 :: Integer -> Integer
persistencia3 n =
  genericLength (takeWhile (>9) (iterate sumaDigitos n))

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_equiv :: Integer -> Property
prop_equiv n =
  n > 0 ==>
  all (== (persistencia n))
      [persistencia2 n,
       persistencia3 n]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_equiv
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List (genericLength)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

persistencia :: Integer -> Integer

persistencia n

| n < 10 = 0

| otherwise = 1 + persistencia (sumaDigitos n)

-- (sumaDigitos n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo,

-- sumaDigitos 2021 == 5

sumaDigitos :: Integer -> Integer

sumaDigitos = sum . digitos

-- (digitos n) es la lista de los dígitos de n. Por ejemplo,

-- digitos 2021 == [2,0,2,1]

digitos :: Integer -> [Integer]

digitos x = [read [c] | c <- show x]

-- 2ª solución

-- ===========

persistencia2 :: Integer -> Integer

persistencia2 = aux 0

where aux m n

| n < 10 = m

| otherwise = aux (m+1) (sumaDigitos n)

-- 3ª solución

-- ===========

persistencia3 :: Integer -> Integer

persistencia3 n =

genericLength (takeWhile (>9) (iterate sumaDigitos n))

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_equiv :: Integer -> Property

prop_equiv n =

n > 0 ==>

all (== (persistencia n))

[persistencia2 n,

persistencia3 n]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_equiv

-- +++ OK, passed 100 tests.

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— (0.17 secs, 103,957,288 bytes)

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