Mayores potencias de 5 que dividen a la sucesión (OME2014 P4)

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1. Haskell

   import Data.List --Definimos la sucesión del enunciado. El caso base es x(1)=2. Para los demás, --el término (n+1)-ésimo se calcula multiplicando el término n-ésimo al cubo --por 2, más el término n-ésimo. --No es muy eficiente, pero debemos definirla así primero para intentar buscar --luego algún patrón. -- λ> suc 1 == 2 (0.00 secs, 55,744 bytes) -- λ> suc 2 == 18 (0.00 secs, 60,288 bytes) -- λ> suc 3 == 11682 (0.00 secs, 61,056 bytes) suc :: Integer -> Integer suc 1 = 2 suc n = 2*suc(n-1)^3 + suc(n-1) --Vamos a hacer una definición de mayorExponenteL lo más básica posible. Primero --vamos a pedir la lista de los exponentes que dividen a (suc n)^2+1. -- λ> mayorExponenteL 1 == [1] (0.00 secs, 60,456 bytes) -- λ> mayorExponenteL 2 == [1,2] (0.00 secs, 65,656 bytes) -- λ> mayorExponenteL 10 == [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10] (0.03 secs, 5,741,312 bytes) mayorExponenteL :: Integer -> [Integer] mayorExponenteL n = [m | m<-[1..n], rem ((suc n)^2+1) (5^m) == 0] --Vemos que todos los posibles exponentes desde 1 hasta n dividen a estos --términos. Por tanto, podemo aventurar que el máximo exponente que lo dividirá será n. --Analizamos los primeros casos: -- λ> primeFactors ((suc 2)^2+1) == [5,5,13] (0.00 secs, 68,560 bytes) -- λ> primeFactors ((suc 4)^2+1) == [5,5,5,13,137,613] (0.01 secs, 142,456 bytes) -- λ> primeFactors ((suc 4)^2+1) == [5,5,5,5,13,137,157,613,6113,8929,1738609] (0.01 secs, 2,892,688 bytes) --Vemos que en n=2, la descomposición en primos cuenta con dos 5. En el caso --siguiente, aumenta en uno. En el siguiente otro más. Finalmente, con la función --anterior mayorExponenteL y con esta comprobación de los factores primos de --los primeros casos, podemos concluir que el mayor exponente que lo dividirá --será n. --Realizamos, pues, una definición eficiente a más no poder. mayorExponente :: Integer -> Integer mayorExponente n = n

   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

   import Data.List   --Definimos la sucesión del enunciado. El caso base es x(1)=2. Para los demás, --el término (n+1)-ésimo se calcula multiplicando el término n-ésimo al cubo --por 2, más el término n-ésimo. --No es muy eficiente, pero debemos definirla así primero para intentar buscar --luego algún patrón. --   λ> suc 1 == 2 (0.00 secs, 55,744 bytes) --   λ> suc 2 == 18 (0.00 secs, 60,288 bytes) --   λ> suc 3 == 11682 (0.00 secs, 61,056 bytes)   suc :: Integer -> Integer suc 1 = 2 suc n = 2*suc(n-1)^3 + suc(n-1)     --Vamos a hacer una definición de mayorExponenteL lo más básica posible. Primero --vamos a pedir la lista de los exponentes que dividen a (suc n)^2+1. --   λ> mayorExponenteL 1 == [1] (0.00 secs, 60,456 bytes) --   λ> mayorExponenteL 2 == [1,2] (0.00 secs, 65,656 bytes) --   λ> mayorExponenteL 10 == [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10] (0.03 secs, 5,741,312 bytes)   mayorExponenteL :: Integer -> [Integer] mayorExponenteL n =  [m | m<-[1..n], rem ((suc n)^2+1) (5^m) == 0]   --Vemos que todos los posibles exponentes desde 1 hasta n dividen a estos --términos. Por tanto, podemo aventurar que el máximo exponente que lo dividirá será n. --Analizamos los primeros casos: --    λ> primeFactors ((suc 2)^2+1) == [5,5,13] (0.00 secs, 68,560 bytes) --    λ> primeFactors ((suc 4)^2+1) == [5,5,5,13,137,613] (0.01 secs, 142,456 bytes) --    λ> primeFactors ((suc 4)^2+1) == [5,5,5,5,13,137,157,613,6113,8929,1738609] (0.01 secs, 2,892,688 bytes)   --Vemos que en n=2, la descomposición en primos cuenta con dos 5. En el caso --siguiente, aumenta en uno. En el siguiente otro más. Finalmente, con la función --anterior mayorExponenteL y con esta comprobación de los factores primos de --los primeros casos, podemos concluir que el mayor exponente que lo dividirá --será n.   --Realizamos, pues, una definición eficiente a más no poder.   mayorExponente :: Integer -> Integer mayorExponente n =  n

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2. Haskell

   -- EXERCITIUM 2: -- LA SUCESION EN SI x' :: Int -> Int x' 1 = 2 x' n = 2* (x' (n-1))^3 + (x' (n-1)) -- COMPUTACIONALMENTE ES MUCHO MAS SENCILLO lista :: Integer ->[Integer] lista 1 = [2] lista n = (2* (y)^3 + (y)):(lista (n-1)) where y = head (lista (n-1)) mayorExponente :: Integer -> Integer mayorExponente n = maximum[ x | x <- [2..s], rem (s^2 + 1) (5^x) == 0] where s = (head (lista n))

   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

   -- EXERCITIUM 2:   -- LA SUCESION EN SI x' :: Int -> Int x' 1 = 2 x' n = 2* (x' (n-1))^3 + (x' (n-1))   -- COMPUTACIONALMENTE ES MUCHO MAS SENCILLO lista :: Integer ->[Integer] lista 1 = [2] lista n = (2* (y)^3 + (y)):(lista (n-1))   where y = head (lista (n-1))   mayorExponente :: Integer -> Integer mayorExponente n = maximum[ x | x <- [2..s], rem (s^2 + 1) (5^x) == 0]   where s = (head (lista n))

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