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Números racionales

Los números racionales pueden representarse mediante pares de números enteros. Por ejemplo, el número 2/5 puede representarse mediante el par (2,5).

Definir las funciones

   formaReducida    :: (Int,Int) -> (Int,Int)
   sumaRacional     :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> (Int,Int)
   productoRacional :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> (Int,Int)
   igualdadRacional :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> Bool

tales que

  • formaReducida x es la forma reducida del número racional x. Por ejemplo,
     formaReducida (4,10)  ==  (2,5)
     formaReducida (0,5)   ==  (0,1)
  • sumaRacional x y es la suma de los números racionales x e y, expresada en forma reducida. Por ejemplo,
     sumaRacional (2,3) (5,6)  ==  (3,2)
     sumaRacional (3,5) (-3,5) ==  (0,1)
  • productoRacional x y es el producto de los números racionales x e y, expresada en forma reducida. Por ejemplo,
     productoRacional (2,3) (5,6)  ==  (5,9)
  • igualdadRacional x y se verifica si los números racionales x e y son iguales. Por ejemplo,
     igualdadRacional (6,9) (10,15)  ==  True
     igualdadRacional (6,9) (11,15)  ==  False
     igualdadRacional (0,2) (0,-5)   ==  True

Comprobar con QuickCheck la propiedad distributiva del producto racional respecto de la suma.

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


Soluciones en Haskell

import Test.QuickCheck
 
formaReducida :: (Int,Int) -> (Int,Int)
formaReducida (0,_) = (0,1)
formaReducida (a,b) = (a `div` c, b  `div` c)
    where c = gcd a b
 
sumaRacional :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> (Int,Int)
sumaRacional (a,b) (c,d) = formaReducida (a*d+b*c, b*d)
 
productoRacional :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> (Int,Int)
productoRacional (a,b) (c,d) = formaReducida (a*c, b*d)
 
igualdadRacional :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> Bool
igualdadRacional (a,b) (c,d) =
    a*d == b*c
 
-- La propiedad es
prop_distributiva :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> (Int,Int) -> Property
prop_distributiva x y z =
  snd x /= 0 && snd y /= 0 && snd z /= 0 ==>
  igualdadRacional (productoRacional x (sumaRacional y z))
                   (sumaRacional (productoRacional x y)
                                 (productoRacional x z))
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_distributiva
--    +++ OK, passed 100 tests; 21 discarded.

El código se encuentra en GitHub.


Soluciones en Python

from math import gcd
from hypothesis import given, assume, strategies as st
 
Racional = tuple[int, int]
 
def formaReducida(x: Racional) -> Racional:
    (a, b) = x
    if a == 0:
        return (0, 1)
    c = gcd(a, b)
    return (a // c, b // c)
 
def sumaRacional(x: Racional,
                 y: Racional) -> Racional:
    (a, b) = x
    (c, d) = y
    return formaReducida((a*d+b*c, b*d))
 
def productoRacional(x: Racional,
                     y: Racional) -> Racional:
    (a, b) = x
    (c, d) = y
    return formaReducida((a*c, b*d))
 
def igualdadRacional(x: Racional,
                     y: Racional) -> bool:
    (a, b) = x
    (c, d) = y
    return a*d == b*c
 
# La propiedad es
@given(st.tuples(st.integers(), st.integers()),
       st.tuples(st.integers(), st.integers()),
       st.tuples(st.integers(), st.integers()))
def test_prop_distributiva(x, y, z):
    (_, x2) = x
    (_, y2) = y
    (_, z2) = z
    assume(x2 != 0 and y2 != 0 and z2 != 0)
    assert igualdadRacional(productoRacional(x, sumaRacional(y, z)),
                            sumaRacional(productoRacional(x, y),
                                         productoRacional(x, z)))
 
# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q numeros_racionales.py
#    1 passed in 0.37s

El código se encuentra en GitHub.

Haskell y Python

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