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Números libres de cuadrados

Un número es libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2^2.

Definir la función

   libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

tal que libreDeCuadrados x se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,

   libreDeCuadrados 70  ==  True
   libreDeCuadrados 40  ==  False
   libreDeCuadrados (product (take 30000 primes))  ==  True

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


Soluciones en Haskell

import Data.List (nub)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors, primes)
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
libreDeCuadrados1 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados1 n =
  null [x | x <- [2..n], rem n (x^2) == 0]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
libreDeCuadrados2 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados2 x =
  x == product (divisoresPrimos2 x)
 
-- (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. Por
-- ejemplo,
--    divisoresPrimos 40 == [2,5]
--    divisoresPrimos 70 == [2,5,7]
divisoresPrimos2 :: Integer -> [Integer]
divisoresPrimos2 x = [n | n <- divisores2 x, primo2 n]
 
-- (divisores n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,
--    divisores 25  ==  [1,5,25]
--    divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
divisores2 :: Integer -> [Integer]
divisores2 n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]
 
-- (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,
--    primo 30  == False
--    primo 31  == True
primo2 :: Integer -> Bool
primo2 n = divisores2 n == [1, n]
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
libreDeCuadrados3 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados3 n
  | even n = n `mod` 4 /= 0 && libreDeCuadrados3 (n `div` 2)
  | otherwise = aux n [3,5..n]
  where aux 1 _  = True
        aux _ [] = True
        aux m (x:xs)
          | m `mod` x == 0 = m `mod` (x^2) /= 0 && aux (m `div` x) xs
          | otherwise      = aux m xs
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
libreDeCuadrados4 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados4 x =
  x == product (divisoresPrimos4 x)
 
divisoresPrimos4 :: Integer -> [Integer]
divisoresPrimos4 = nub . primeFactors
 
-- 5ª solución
-- ===========
 
libreDeCuadrados5 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados5 =
  sinRepetidos . primeFactors
 
-- (sinRepetidos xs) se verifica si xs no tiene elementos repetidos. Por
-- ejemplo,
--    sinRepetidos [3,2,5]  ==  True
--    sinRepetidos [3,2,5,2]  ==  False
sinRepetidos :: [Integer] -> Bool
sinRepetidos xs =
  nub xs == xs
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_libreDeCuadrados :: Integer -> Property
prop_libreDeCuadrados x =
  x > 1 ==>
  all (== libreDeCuadrados1 x)
      [libreDeCuadrados2 x,
       libreDeCuadrados3 x,
       libreDeCuadrados4 x,
       libreDeCuadrados5 x]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_libreDeCuadrados
--    +++ OK, passed 100 tests; 165 discarded.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> libreDeCuadrados1 9699690
--    True
--    (8.54 secs, 6,441,144,248 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados2 9699690
--    True
--    (4.78 secs, 1,940,781,632 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados3 9699690
--    True
--    (0.01 secs, 561,400 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados4 9699690
--    True
--    (0.01 secs, 568,160 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados5 9699690
--    True
--    (0.01 secs, 567,536 bytes)
--
--    λ> libreDeCuadrados3 (product (take 30000 primes))
--    True
--    (2.30 secs, 2,369,316,208 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados4 (product (take 30000 primes))
--    True
--    (6.68 secs, 4,565,617,408 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados5 (product (take 30000 primes))
--    True
--    (5.54 secs, 3,411,701,752 bytes)

El código se encuentra en GitHub.


Soluciones en Python

from timeit import Timer, default_timer
from sys import setrecursionlimit
from sympy import primefactors, primerange
from hypothesis import given, strategies as st
 
setrecursionlimit(10**6)
 
# 1ª solución
# ===========
 
def libreDeCuadrados1(n: int) -> bool:
    return [x for x in range(2, n + 2) if n % (x**2) == 0] == []
 
# 2ª solución
# ===========
 
# divisores(n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,
#    divisores(30)  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
def divisores1(n: int) -> list[int]:
    return [x for x in range(1, n + 1) if n % x == 0]
 
# primo(n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,
#    primo(30)  == False
#    primo(31)  == True
def primo1(n: int) -> bool:
    return divisores1(n) == [1, n]
 
# divisoresPrimos(x) es la lista de los divisores primos de x. Por
# ejemplo,
#    divisoresPrimos(40) == [2, 5]
#    divisoresPrimos(70) == [2, 5, 7]
def divisoresPrimos1(x: int) -> list[int]:
    return [n for n in divisores1(x) if primo1(n)]
 
# producto(xs) es el producto de los elementos de xs. Por ejemplo,
#    producto([3, 2, 5])  ==  30
def producto(xs):
    if xs:
        return xs[0] * producto(xs[1:])
    return 1
 
def libreDeCuadrados2(x):
    return x == producto(divisoresPrimos1(x))
 
# 3ª solución
# ===========
 
def libreDeCuadrados3(n: int) -> bool:
    if n % 2 == 0:
        return n % 4 != 0 and libreDeCuadrados3(n // 2)
 
    def aux(m, xs):
        if m == 1:
            return True
        if xs == []:
            return True
        if m % xs[0] == 0:
            return m % (xs[0]**2) != 0 and aux(m // xs[0], xs[1:])
        return aux(m, xs[1:])
    return aux(n, range(3, n + 1, 2))
 
# 4ª solución
# ===========
 
def libreDeCuadrados4(x):
    return x == producto(primefactors(x))
 
# Comprobación de equivalencia
# ============================
 
# La propiedad es
@given(st.integers(min_value=2, max_value=1000))
def test_libreDeCuadrados(n):
    assert libreDeCuadrados1(n) ==\
           libreDeCuadrados2(n) ==\
           libreDeCuadrados3(n) ==\
           libreDeCuadrados4(n)
 
# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q numeros_libres_de_cuadrados.py
#    1 passed in 0.59s
 
# Comparación de eficiencia
# =========================
 
def tiempo(e):
    """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e."""
    t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1)
    print(f"{t:0.2f} segundos")
 
# La comparación es
#    >>> tiempo('libreDeCuadrados1(9699690)')
#    2.66 segundos
#    >>> tiempo('libreDeCuadrados2(9699690)')
#    2.58 segundos
#    >>> tiempo('libreDeCuadrados3(9699690)')
#    0.00 segundos
#    >>> tiempo('libreDeCuadrados4(9699690)')
#    0.00 segundos
#
#    >>> n = producto(list(primerange(1, 25000)))
#    >>> tiempo('libreDeCuadrados3(n)')
#    0.42 segundos
#    >>> tiempo('libreDeCuadrados4(n)')
#    0.14 segundos

El código se encuentra en GitHub.

Haskell y Python

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