Números potencias perfectas de la suma de sus dígitos

El número 2401 es una potencia de la suma de sus dígitos, ya que dicha suma es 7 y 7^4 = 2401.

Definir la lista

cuyos elementos son los números que son potencias de las sumas de sus dígitos. Por ejemplo,

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Órbita con raíz entera (OME1997 P4)

El enunciado del problema 4 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1997 es

Sea p un número primo. Determinar todos los enteros k tales que sqrt(k² – k*p) es natural.

Definir las funciones

tales que

  • (orbita n) es la lista de todos los enteros k tales que sqrt(k² – k*n) es natural. Por ejemplo,

  • (orbitaDePrimo p) es la lista de todos los enteros k tales que sqrt(k² – k*p) es natural, suponiendo que p es un número primo. Por ejemplo,

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Números iguales a potencias de las sumas de sus cifras (OME1999 P2)

El enunciado del problema 2 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 1998 es

Hallar todos los números naturales de 4 cifras, escritos en base 10, que sean iguales al cubo de la suma de sus cifras.

Definir la función

tal que (especiales a b) es la lista de los números de a cifras que son iguales la suma de sus cifras elevada a b. Por ejemplo,

Usando la función anterior, calcular las soluciones del problema de la Olimpiada.

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Máximos de una función recursiva (OME2002 P3)

El enunciado del problema 5 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 2002 es

La función g se define sobre los números naturales y satisface las condiciones:

  • g(1) = 1
  • g(2n) = g(n)
  • g(2n + 1) = g(2n) + 1

Sea n un número natural tal que 1 ≤ n ≤ 2002. Calcula el valor máximo M de g(n). Calcula también cuántos valores de n satisfacen g(n) = M.

Los valores de la función g para n de 1 a 30 son

Definir la función

tal que (maximoG m) es el máximo de los valores de g(n) para n en {1, 2,…, m}. Por ejemplo,

Usando la función maximoG, calcular los valores pedidos en el problema.

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Productos de cuatro consecutivos (OME2006 P5)

El enunciado del problema 5 de la OME (Olimpiada Matemática Española) del 2006 es

Probar que el producto de cuatro naturales consecutivos no puede ser ni cuadrado ni cubo perfecto.

Definir la lista

cuyos elementos son los productos de cuatro enteros positivos consecutivos. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que los elementos de la lista productos no son ni cuadrados ni cubos perfectos.

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