2ª propiedad semidistributiva de la intersección sobre la unión
Demostrar que
(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.set.basic open set variable {α : Type} variables s t u : set α example : (s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u):= sorry |
Notas
- En este enlace se puede escribir las soluciones en Lean.
- A continuación se muestran algunas soluciones (que se pueden probar en este enlace).
- En los comentarios se pueden publicar otras soluciones, en Lean o en otros sistemas de razonamiento.
- Para publicar las demostraciones en Lean se deben de escribir entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
- Para publicar las demostraciones en Isabelle/HOL se deben de escribir entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
Soluciones con Lean
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import data.set.basic open set variable {α : Type} variables s t u : set α -- 1ª demostración -- =============== example : (s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u):= begin intros x hx, cases hx with xst xsu, { split, { exact xst.1 }, { left, exact xst.2 }}, { split, { exact xsu.1 }, { right, exact xsu.2 }}, end -- 2ª demostración -- =============== example : (s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u):= begin rintros x (⟨xs, xt⟩ | ⟨xs, xu⟩), { use xs, left, exact xt }, { use xs, right, exact xu }, end -- 3ª demostración -- =============== example : (s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u):= by rw inter_distrib_left s t u -- 4ª demostración -- =============== example : (s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u):= begin intros x hx, finish end |
Soluciones con Isabelle/HOL
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theory Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union_2 imports Main begin (* 1ª demostración *) lemma "(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)" proof (rule subsetI) fix x assume "x ∈ (s ∩ t) ∪ (s ∩ u)" then show "x ∈ s ∩ (t ∪ u)" proof (rule UnE) assume xst : "x ∈ s ∩ t" then have xs : "x ∈ s" by (simp only: IntD1) have xt : "x ∈ t" using xst by (simp only: IntD2) then have xtu : "x ∈ t ∪ u" by (simp only: UnI1) show "x ∈ s ∩ (t ∪ u)" using xs xtu by (simp only: IntI) next assume xsu : "x ∈ s ∩ u" then have xs : "x ∈ s" by (simp only: IntD1) have xt : "x ∈ u" using xsu by (simp only: IntD2) then have xtu : "x ∈ t ∪ u" by (simp only: UnI2) show "x ∈ s ∩ (t ∪ u)" using xs xtu by (simp only: IntI) qed qed (* 2ª demostración *) lemma "(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)" proof fix x assume "x ∈ (s ∩ t) ∪ (s ∩ u)" then show "x ∈ s ∩ (t ∪ u)" proof assume xst : "x ∈ s ∩ t" then have xs : "x ∈ s" by simp have xt : "x ∈ t" using xst by simp then have xtu : "x ∈ t ∪ u" by simp show "x ∈ s ∩ (t ∪ u)" using xs xtu by simp next assume xsu : "x ∈ s ∩ u" then have xs : "x ∈ s" by (simp only: IntD1) have xt : "x ∈ u" using xsu by simp then have xtu : "x ∈ t ∪ u" by simp show "x ∈ s ∩ (t ∪ u)" using xs xtu by simp qed qed (* 3ª demostración *) lemma "(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)" proof fix x assume "x ∈ (s ∩ t) ∪ (s ∩ u)" then show "x ∈ s ∩ (t ∪ u)" proof assume "x ∈ s ∩ t" then show "x ∈ s ∩ (t ∪ u)" by simp next assume "x ∈ s ∩ u" then show "x ∈ s ∩ (t ∪ u)" by simp qed qed (* 4ª demostración *) lemma "(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)" proof fix x assume "x ∈ (s ∩ t) ∪ (s ∩ u)" then show "x ∈ s ∩ (t ∪ u)" by auto qed (* 5ª demostración *) lemma "(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)" by auto (* 6ª demostración *) lemma "(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)" by (simp only: distrib_inf_le) end |