La suma de dos funciones pares es par
La función f de ℝ en ℝ es par si, para todo x, f(-x) = f(x).
Demostrar que la suma de dos funciones pares es par.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) def par (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) example (hf : par f) (hg : par g) : par (f + g) := sorry |
Soluciones con Lean
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 |
import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) def par (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) -- 1ª demostración -- =============== example (hf : par f) (hg : par g) : par (f + g) := begin intro x, have h1 : f x = f (-x) := hf x, have h2 : g x = g (-x) := hg x, calc (f + g) x = f x + g x : rfl ... = f (-x) + g x : congr_arg (+ g x) h1 ... = f (-x) + g (-x) : congr_arg ((+) (f (-x))) h2 ... = (f + g) (-x) : rfl end -- 2ª demostración -- =============== example (hf : par f) (hg : par g) : par (f + g) := begin intro x, calc (f + g) x = f x + g x : rfl ... = f (-x) + g (-x) : by rw [hf, hg] ... = (f + g) (-x) : rfl end |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 28.