La composición de dos funciones monótonas es monótona
Demostrar que la composición de dos funciones monótonas es monótona.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) example (mf : monotone f) (mg : monotone g) : monotone (f ∘ g) := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) -- 1ª demostración -- =============== example (mf : monotone f) (mg : monotone g) : monotone (f ∘ g) := begin have h1 : ∀ a b, a ≤ b → (f ∘ g) a ≤ (f ∘ g) b, { intros a b hab, have h1 : g a ≤ g b := mg hab, have h2 : f (g a) ≤ f (g b) := mf h1, show (f ∘ g) a ≤ (f ∘ g) b, by exact h2, }, show monotone (f ∘ g), by exact h1, end -- 2ª demostración -- =============== example (mf : monotone f) (mg : monotone g) : monotone (f ∘ g) := begin intros a b hab, apply mf, apply mg, apply hab end -- 3ª demostración -- =============== example (mf : monotone f) (mg : monotone g) : monotone (f ∘ g) := λ a b hab, mf (mg hab) -- 4ª demostración -- =============== example (mf : monotone f) (mg : monotone g) : monotone (f ∘ g) := -- by library_search monotone.comp mf mg -- 5ª demostración -- =============== example (mf : monotone f) (mg : monotone g) : monotone (f ∘ g) := -- by hint by tauto |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 28.