Si f es monótona y c ≥ 0, entonces c·f es monótona
Demostrar que si f es monótona y c ≥ 0, entonces c·f es monótona.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic variables (f : ℝ → ℝ) variable {c : ℝ} example (mf : monotone f) (nnc : 0 ≤ c) : monotone (λ x, c * f x) := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic variables (f : ℝ → ℝ) variable {c : ℝ} -- 1ª demostración -- =============== example (mf : monotone f) (nnc : 0 ≤ c) : monotone (λ x, c * f x) := begin have h1 : ∀ a b, a ≤ b → (λ x, c * f x) a ≤ (λ x, c * f x) b, { intros a b hab, have h2 : f a ≤ f b := mf hab, have h3 : c * f a ≤ c * f b := mul_le_mul_of_nonneg_left h2 nnc, show (λ x, c * f x) a ≤ (λ x, c * f x) b, by exact h3, }, show monotone (λ x, c * f x), by exact h1, end -- 2ª demostración -- =============== example (mf : monotone f) (nnc : 0 ≤ c) : monotone (λ x, c * f x) := begin intros a b hab, apply mul_le_mul_of_nonneg_left, apply mf hab, apply nnc end -- 3ª demostración -- =============== example (mf : monotone f) (nnc : 0 ≤ c) : monotone (λ x, c * f x) := λ a b hab, mul_le_mul_of_nonneg_left (mf hab) nnc |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 28.
