Negación del existencial en Lean: Caracterización de números no pares
He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 15 pruebas en Lean de la propiedad
¬(∃ k, n = 2k) ↔ ∀ k, n ≠ 2k
usando los estilos declarativo, aplicativo y funcional.
A continuación, se muestra el vídeo
y el código de la teoría utilizada
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import tactic variable (n : ℤ) -- ---------------------------------------------------- -- Ejercicio. Demostrar que si n es un número entero, -- entonces -- ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := begin split, { intro h, intro k, intro hk, apply h, use k, exact hk, }, { intro h1, intro h2, cases h2 with k hk, apply h1 k, exact hk, }, end -- 2ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := begin split, { intros h k hk, exact h ⟨k, hk⟩ }, { rintros h ⟨k, rfl⟩, apply h k, refl, }, end -- 3ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := begin split, { intros h k hk, exact h ⟨k, hk⟩ }, { rintros h ⟨k, rfl⟩, exact h k rfl }, end -- 4ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := begin push_neg, end -- 5ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := by push_neg -- 6ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k), show ∀ k, n ≠ 2*k, from assume k, show n ≠ 2*k, from assume h2 : n = 2*k, have h3 : ∃ k, n = 2*k, from exists.intro k h2, show false, from h1 h3) ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k, show ¬(∃ k, n = 2*k), from assume h2 : ∃ k, n = 2*k, show false, from exists.elim h2 ( assume k, assume hk : n = 2*k, have h3 : n ≠ 2*k, from h1 k, show false, from h3 hk)) -- 7ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k), show ∀ k, n ≠ 2*k, from assume k, show n ≠ 2*k, from assume h2 : n = 2*k, have h3 : ∃ k, n = 2*k, from exists.intro k h2, h1 h3) ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k, show ¬(∃ k, n = 2*k), from assume h2 : ∃ k, n = 2*k, show false, from exists.elim h2 ( assume k, assume hk : n = 2*k, have h3 : n ≠ 2*k, from h1 k, h3 hk)) -- 8ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k), show ∀ k, n ≠ 2*k, from assume k, show n ≠ 2*k, from assume h2 : n = 2*k, h1 (exists.intro k h2)) ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k, show ¬(∃ k, n = 2*k), from assume h2 : ∃ k, n = 2*k, show false, from exists.elim h2 ( assume k, assume hk : n = 2*k, (h1 k) hk)) -- 9ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k), show ∀ k, n ≠ 2*k, from assume k, λ h2, h1 (exists.intro k h2)) ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k, show ¬(∃ k, n = 2*k), from assume h2 : ∃ k, n = 2*k, show false, from exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)) -- 10ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k), λ k, λ h2, h1 (exists.intro k h2)) ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k, show ¬(∃ k, n = 2*k), from assume h2 : ∃ k, n = 2*k, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)) -- 11ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro (λ h1 k h2, h1 (exists.intro k h2)) (λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)) -- 12ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := ⟨λ h1 k h2, h1 ⟨k, h2⟩, λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)⟩ -- 13ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := -- by hint by simp -- 14ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := by finish -- 15ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := by norm_num |