ForMatUS: Pruebas en Lean de “La función identidad es menor o igual que la función de extracción”
He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 5 pruebas en Lean de la propiedad
Si φ es una función de extracción (es decir, una función creciente de ℕ en ℕ), entonces n ≤ φ n (para todo n).
usando los estilos declarativo y aplicativo.
A continuación, se muestra el vídeo
y el código de la teoría utilizada
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import data.real.basic open nat variable {φ : ℕ → ℕ} set_option pp.structure_projections false -- ---------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Para extraer una sucesión se aplica una -- función de extracción que conserva el orden; por -- ejemplo, la subsucesión -- uₒ, u₂, u₄, u₆, ... -- se ha obtenido con la función de extracción φ tal -- que φ(n) = 2*n. -- -- Definir la función -- extraccion : (ℕ → ℕ) → Prop -- tal que (extraccion φ) expresa que φ es una función -- de extracción -- ---------------------------------------------------- def extraccion : (ℕ → ℕ) → Prop | φ := ∀ n m, n < m → φ n < φ m -- ---------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Demostrar que si φ es una función de -- extracción, entonces -- ∀ n, n ≤ φ n -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example : extraccion φ → ∀ n, n ≤ φ n := begin intros h n, induction n with m HI, { exact nat.zero_le (φ 0), }, { apply nat.succ_le_of_lt, have h1 : m < succ m, from lt_add_one m, calc m ≤ φ m : HI ... < φ (succ m) : h m (succ m) h1, }, end -- 2ª demostración example : extraccion φ → ∀ n, n ≤ φ n := begin intros h n, induction n with m HI, { exact nat.zero_le _ }, { apply nat.succ_le_of_lt, calc m ≤ φ m : HI ... < φ (succ m) : by linarith [h m (m+1) (by linarith)] }, end -- 3ª demostración example : extraccion φ → ∀ n, n ≤ φ n := begin intros h n, induction n with m HI, { linarith }, { apply nat.succ_le_of_lt, linarith [h m (m+1) (by linarith)] }, end -- 4ª demostración example : extraccion φ → ∀ n, n ≤ φ n := begin intros h n, induction n with m HI, { linarith }, { exact nat.succ_le_of_lt (by linarith [h m (m+1) (by linarith)]) }, end -- 5ª demostración example : extraccion φ → ∀ n, n ≤ φ n := assume h : extraccion φ, assume n, nat.rec_on n ( show 0 ≤ φ 0, from nat.zero_le (φ 0) ) ( assume m, assume HI : m ≤ φ m, have h1 : m < succ m, from lt_add_one m, have h2 : m < φ (succ m), from calc m ≤ φ m : HI ... < φ (succ m) : h m (succ m) h1, show succ m ≤ φ (succ m), from nat.succ_le_of_lt h2) |