Negación del existencial en Lean: Caracterización de números no pares
He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 15 pruebas en Lean de la propiedad
¬(∃ k, n = 2k) ↔ ∀ k, n ≠ 2k
usando los estilos declarativo, aplicativo y funcional.
A continuación, se muestra el vídeo
y el código de la teoría utilizada
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 |
import tactic variable (n : ℤ) -- ---------------------------------------------------- -- Ejercicio. Demostrar que si n es un número entero, -- entonces -- ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := begin split, { intro h, intro k, intro hk, apply h, use k, exact hk, }, { intro h1, intro h2, cases h2 with k hk, apply h1 k, exact hk, }, end -- 2ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := begin split, { intros h k hk, exact h ⟨k, hk⟩ }, { rintros h ⟨k, rfl⟩, apply h k, refl, }, end -- 3ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := begin split, { intros h k hk, exact h ⟨k, hk⟩ }, { rintros h ⟨k, rfl⟩, exact h k rfl }, end -- 4ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := begin push_neg, end -- 5ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := by push_neg -- 6ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k), show ∀ k, n ≠ 2*k, from assume k, show n ≠ 2*k, from assume h2 : n = 2*k, have h3 : ∃ k, n = 2*k, from exists.intro k h2, show false, from h1 h3) ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k, show ¬(∃ k, n = 2*k), from assume h2 : ∃ k, n = 2*k, show false, from exists.elim h2 ( assume k, assume hk : n = 2*k, have h3 : n ≠ 2*k, from h1 k, show false, from h3 hk)) -- 7ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k), show ∀ k, n ≠ 2*k, from assume k, show n ≠ 2*k, from assume h2 : n = 2*k, have h3 : ∃ k, n = 2*k, from exists.intro k h2, h1 h3) ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k, show ¬(∃ k, n = 2*k), from assume h2 : ∃ k, n = 2*k, show false, from exists.elim h2 ( assume k, assume hk : n = 2*k, have h3 : n ≠ 2*k, from h1 k, h3 hk)) -- 8ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k), show ∀ k, n ≠ 2*k, from assume k, show n ≠ 2*k, from assume h2 : n = 2*k, h1 (exists.intro k h2)) ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k, show ¬(∃ k, n = 2*k), from assume h2 : ∃ k, n = 2*k, show false, from exists.elim h2 ( assume k, assume hk : n = 2*k, (h1 k) hk)) -- 9ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k), show ∀ k, n ≠ 2*k, from assume k, λ h2, h1 (exists.intro k h2)) ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k, show ¬(∃ k, n = 2*k), from assume h2 : ∃ k, n = 2*k, show false, from exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)) -- 10ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k), λ k, λ h2, h1 (exists.intro k h2)) ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k, show ¬(∃ k, n = 2*k), from assume h2 : ∃ k, n = 2*k, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)) -- 11ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := iff.intro (λ h1 k h2, h1 (exists.intro k h2)) (λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)) -- 12ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := ⟨λ h1 k h2, h1 ⟨k, h2⟩, λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)⟩ -- 13ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := -- by hint by simp -- 14ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := by finish -- 15ª demostración example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k := by norm_num |