Terna pitagórica en la que el perímetro es múltiplo de uno de los catetos
La terna (n,a,b) es una terna pitagórica si n² = a²+b² y b < a < n. Por ejemplo, (5,4,3) y (10,8,6) son ternas pitagóricas.
Una terna pitagórica es primitiva si sus tres componentes son primos entre sí. Por ejemplo, (5,4,3) es una terna pitagórica primitiva y (10,8,6) es una terna pitagórica no primitiva (ya que sus tres lados son divisibles por 2).
Los elementos (n,a,b) de una terna pitagórica son las longitudes de los lados de un triágulo rectángulo; concretamente n es la longitud de la hipotenusa, a la del cateto mayor y b la del cateto menor. Su perímetro es n+a+b.
Definir la función
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1 |
ternasPPPDC :: [(Integer,Integer,Integer)] |
tal que ternasPPPDC es la lista de las ternas pitagóricas primitivas tales que su perímetro es divisibe por alguno de los catetos. Por ejemplo,
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1 2 3 4 5 6 |
λ> take 5 ternasPPPDC [(5,4,3),(13,12,5),(17,15,8),(25,24,7),(37,35,12)] λ> [n | (n,a,b) <- take 15 ternasPPPDC] [5,13,17,25,37,41,61,65,85,101,113,145,145,181,197] λ> ternasPPPDC !! 80 (4705,4704,97) |
Comprobar con QuickCheck que existen infinitas ternas pitagóricas primitivas tales que su perímetro es divisibe por alguno de los catetos; es decir, para todo x existe alguna terna (n,a,b) en ternasPPPDC tal que n es mayor que x.
Referencia: Este ejercicio está basado en el artículo Terna pitagórica en la que el perímetro es múltiplo de uno de los catetos publicado por Antonio Roldán en «Números y hoja de cálculo» el 21 de enero de 2021.
Soluciones
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import Data.Numbers.Primes (primes) import Test.QuickCheck (quickCheck) -- 1ª solución -- =========== ternasPPPDC :: [(Integer,Integer,Integer)] ternasPPPDC = [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricasPrimitivas , (n+a+b) `mod` a == 0 || (n+a+b) `mod` b == 0] -- ternasPitagoricasPrimitivas es la lista de las ternas pitagóricas -- primitivas. Por ejemplo, -- λ> take 5 ternasPitagoricasPrimitivas -- [(5,4,3),(13,12,5),(17,15,8),(25,24,7),(29,21,20)] ternasPitagoricasPrimitivas :: [(Integer,Integer,Integer)] ternasPitagoricasPrimitivas = [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricas , foldl1 gcd [n,a,b] == 1] -- ternasPitagoricas es la lista de las ternas pitagóricas. Por ejemplo, -- λ> take 5 ternasPitagoricas -- [(5,4,3),(10,8,6),(13,12,5),(15,12,9),(17,15,8)] ternasPitagoricas :: [(Integer,Integer,Integer)] ternasPitagoricas = [(n,a,b) | n <- [1..], a <- [1..n-1], let b2 = n^2-a^2, let b = round (sqrt (fromIntegral b2)), b < a, b^2 == b2] -- 2ª solución -- =========== ternasPPPDC2 :: [(Integer,Integer,Integer)] ternasPPPDC2 = [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricasPrimitivas2 , (n+a+b) `mod` a == 0 || (n+a+b) `mod` b == 0] ternasPitagoricasPrimitivas2 :: [(Integer,Integer,Integer)] ternasPitagoricasPrimitivas2 = [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricas2 , foldl1 gcd [n,a,b] == 1] ternasPitagoricas2 :: [(Integer,Integer,Integer)] ternasPitagoricas2 = [(n,a,b) | n <- [5,9..], a <- [1..n-1], let b2 = n^2-a^2, let b = round (sqrt (fromIntegral b2)), b < a, b^2 == b2] -- 3ª solución -- =========== ternasPPPDC3 :: [(Integer,Integer,Integer)] ternasPPPDC3 = [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricasPrimitivas3 , (n+a+b) `mod` a == 0 || (n+a+b) `mod` b == 0] ternasPitagoricasPrimitivas3 :: [(Integer,Integer,Integer)] ternasPitagoricasPrimitivas3 = [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricas3 , foldl1 gcd [n,a,b] == 1] ternasPitagoricas3 :: [(Integer,Integer,Integer)] ternasPitagoricas3 = [(n,a,b) | n <- [5,9..], or [x `mod` 4 == 1 | x <- takeWhile (<=n) primes, n `mod` x == 0], a <- [1..n-1], let b2 = n^2-a^2, let b = round (sqrt (fromIntegral b2)), b < a, b^2 == b2] -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> ternasPPPDC !! 80 -- (4705,4704,97) -- (19.66 secs, 21,249,420,072 bytes) -- λ> ternasPPPDC2 !! 80 -- (4705,4704,97) -- (5.00 secs, 5,316,680,464 bytes) -- λ> ternasPPPDC3 !! 80 -- (4705,4704,97) -- (3.68 secs, 4,234,492,416 bytes) -- Propiedad -- ========= -- La propiedad es prop_ternasPPPDC :: Integer -> Bool prop_ternasPPPDC x = not (null [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPPPDC , n > x]) -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_ternasPPPDC -- +++ OK, passed 100 tests. |
Nuevas soluciones
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