zip

Árboles continuos

PorJosé A. Alonso 25-enero-20171-febrero-2017

Los árboles binarios se pueden representar con el de tipo de dato algebraico

   data Arbol a = H
                | N a (Arbol a) (Arbol a)
     deriving Show

data Arbol a = H

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving Show

Por ejemplo, los árboles

       3                7     
      / \              / \    
     2   4            5   8   
    / \   \          / \   \  
   1   3   5        6   4   10

3 7

/ \ / \

2 4 5 8

/ \ \ / \ \

1 3 5 6 4 10

se representan por

   ej1, ej2 :: Arbol Int
   ej1 = N 3 (N 2 (N 1 H H) (N 3 H H)) (N 4 H (N 5 H H))
   ej2 = N 7 (N 5 (N 6 H H) (N 4 H H)) (N 8 H (N 10 H H))

ej1, ej2 :: Arbol Int

ej1 = N 3 (N 2 (N 1 H H) (N 3 H H)) (N 4 H (N 5 H H))

ej2 = N 7 (N 5 (N 6 H H) (N 4 H H)) (N 8 H (N 10 H H))

Un árbol binario es continuo si el valor absoluto de la diferencia de los elementos adyacentes es 1. Por ejemplo, el árbol ej1 es continuo ya que el valor absoluto de sus pares de elementos adyacentes son

   |3-2| = |2-1| = |2-3| = |3-4| = |4-5| = 1

1	\|3-2\| = \|2-1\| = \|2-3\| = \|3-4\| = \|4-5\| = 1

En cambio, el ej2 no lo es ya que |8-10| ≠ 1.

Definir la función

   esContinuo :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool

1	esContinuo :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool

tal que (esContinuo x) se verifica si el árbol x es continuo. Por ejemplo,

   esContinuo ej1  ==  True
   esContinuo ej2  ==  False

1 2	esContinuo ej1 == True esContinuo ej2 == False

Soluciones

data Arbol a = H
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
  deriving Show

ej1, ej2 :: Arbol Int
ej1 = N 3 (N 2 (N 1 H H) (N 3 H H)) (N 4 H (N 5 H H))
ej2 = N 7 (N 5 (N 6 H H) (N 4 H H)) (N 8 H (N 10 H H))

-- 1ª solución
-- ===========

esContinuo :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool
esContinuo H         = True
esContinuo (N _ H H) = True
esContinuo (N x i@(N y _ _) H) =
  abs (x - y) == 1 && esContinuo i
esContinuo (N x H d@(N y _ _)) =
  abs (x - y) == 1 && esContinuo d
esContinuo (N x i@(N y _ _) d@(N z _ _)) =
  abs (x - y) == 1 && esContinuo i && abs (x - z) == 1 && esContinuo d 

-- 2ª solución
-- ===========

esContinuo2 :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool
esContinuo2 x =
  all esContinua (ramas x)

-- (ramas x) es la lista de las ramas del árbol x. Por ejemplo,
--    ramas ej1  ==  [[3,2,1],[3,2,3],[3,4,5]]
--    ramas ej2  ==  [[7,5,6],[7,5,4],[7,8,10]]
ramas :: Arbol a -> [[a]]
ramas H         = []
ramas (N x H H) = [[x]]
ramas (N x i d) = [x : xs | xs <- ramas i ++ ramas d]

-- (esContinua xs) se verifica si el valor absoluto de la diferencia de
-- los elementos adyacentes de xs es 1. Por ejemplo, 
--    esContinua [3,2,3]   ==  True
--    esContinua [7,8,10]  ==  False
esContinua :: (Num a, Eq a) => [a] -> Bool
esContinua xs =
  and [abs (x - y) == 1 | (x, y) <- zip xs (tail xs)]

data Arbol a = H

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving Show

ej1, ej2 :: Arbol Int

ej1 = N 3 (N 2 (N 1 H H) (N 3 H H)) (N 4 H (N 5 H H))

ej2 = N 7 (N 5 (N 6 H H) (N 4 H H)) (N 8 H (N 10 H H))

-- 1ª solución

-- ===========

esContinuo :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool

esContinuo H = True

esContinuo (N _ H H) = True

esContinuo (N x i@(N y _ _) H) =

abs (x - y) == 1 && esContinuo i

esContinuo (N x H d@(N y _ _)) =

abs (x - y) == 1 && esContinuo d

esContinuo (N x i@(N y _ _) d@(N z _ _)) =

abs (x - y) == 1 && esContinuo i && abs (x - z) == 1 && esContinuo d

-- 2ª solución

-- ===========

esContinuo2 :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool

esContinuo2 x =

all esContinua (ramas x)

-- (ramas x) es la lista de las ramas del árbol x. Por ejemplo,

-- ramas ej1 == [[3,2,1],[3,2,3],[3,4,5]]

-- ramas ej2 == [[7,5,6],[7,5,4],[7,8,10]]

ramas :: Arbol a -> [[a]]

ramas H = []

ramas (N x H H) = [[x]]

ramas (N x i d) = [x : xs | xs <- ramas i ++ ramas d]

-- (esContinua xs) se verifica si el valor absoluto de la diferencia de

-- los elementos adyacentes de xs es 1. Por ejemplo,

-- esContinua [3,2,3] == True

-- esContinua [7,8,10] == False

esContinua :: (Num a, Eq a) => [a] -> Bool

esContinua xs =

and [abs (x - y) == 1 | (x, y) <- zip xs (tail xs)]

Referencias

Basado en Continuous tree de GeeksforGeeks.

Inversa del factorial

PorJosé A. Alonso 16-enero-201726-marzo-2022

Definir la función

   inversaFactorial :: Integer -> Maybe Integer

1	inversaFactorial :: Integer -> Maybe Integer

tal que (inversaFactorial x) es (Just n) si el factorial de n es x y es Nothing si no existe ningún número n tal que el factorial de n es x. Por ejemplo,

   inversaFactorial 24  ==  Just 4
   inversaFactorial 25  ==  Nothing

1 2	inversaFactorial 24 == Just 4 inversaFactorial 25 == Nothing

Soluciones

-- 1ª definición
-- =============

inversaFactorial :: Integer -> Maybe Integer
inversaFactorial 1 = Just 1
inversaFactorial x = aux 2 x
  where aux n 1 = Just (n-1)
        aux n y | y `mod` n == 0 = aux (n+1) (y `div` n)
                | otherwise      = Nothing

-- 2ª definición
-- =============

inversaFactorial2 :: Integer -> Maybe Integer
inversaFactorial2 x
  | y == x   = Just n
  |otherwise = Nothing  
  where ((n,y):_) = dropWhile (\(k,z) -> z < x) factorialesAnotados

-- factorialesAnotados es la lista de los factoriales anotados con sus
-- posiciones. Por ejemplo, 
--    take 5 factorialesAnotados  ==  [(0,1),(1,1),(2,2),(3,6),(4,24)]
factorialesAnotados :: [(Integer, Integer)]
factorialesAnotados = zip [0..] factoriales
    
-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
--    take 5 factoriales  ==  [1,1,2,6,24]
factoriales :: [Integer]
factoriales =
  1 : scanl1 (*) [1..]

-- Comparación de eficiencia
--    λ> inversaFactorial (product [1..4*10^4])
--    Just 40000
--    (2.76 secs, 3,105,158,528 bytes)
--    λ> inversaFactorial2 (product [1..4*10^4])
--    Just 40000
--    (2.60 secs, 3,261,722,960 bytes)
--
--    λ> inversaFactorial (1 + product [1..4*10^4])
--    Nothing
--    (1.80 secs, 1,626,433,432 bytes)
--    λ> inversaFactorial2 (1 + product [1..4*10^4])
--    Nothing
--    (2.56 secs, 3,257,388,296 bytes)

-- 1ª definición

-- =============

inversaFactorial :: Integer -> Maybe Integer

inversaFactorial 1 = Just 1

inversaFactorial x = aux 2 x

where aux n 1 = Just (n-1)

aux n y | y `mod` n == 0 = aux (n+1) (y `div` n)

| otherwise = Nothing

-- 2ª definición

-- =============

inversaFactorial2 :: Integer -> Maybe Integer

inversaFactorial2 x

| y == x = Just n

|otherwise = Nothing

where ((n,y):_) = dropWhile (\(k,z) -> z < x) factorialesAnotados

-- factorialesAnotados es la lista de los factoriales anotados con sus

-- posiciones. Por ejemplo,

-- take 5 factorialesAnotados == [(0,1),(1,1),(2,2),(3,6),(4,24)]

factorialesAnotados :: [(Integer, Integer)]

factorialesAnotados = zip [0..] factoriales

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- take 5 factoriales == [1,1,2,6,24]

factoriales :: [Integer]

factoriales =

1 : scanl1 (*) [1..]

-- Comparación de eficiencia

-- λ> inversaFactorial (product [1..4*10^4])

-- Just 40000

-- (2.76 secs, 3,105,158,528 bytes)

-- λ> inversaFactorial2 (product [1..4*10^4])

-- Just 40000

-- (2.60 secs, 3,261,722,960 bytes)

-- λ> inversaFactorial (1 + product [1..4*10^4])

-- Nothing

-- (1.80 secs, 1,626,433,432 bytes)

-- λ> inversaFactorial2 (1 + product [1..4*10^4])

-- Nothing

-- (2.56 secs, 3,257,388,296 bytes)

Selección por posición

PorJosé A. Alonso 19-diciembre-201627-diciembre-2016

Definir la función

   seleccion :: Ord a => [a] -> [Int] -> [a]

1	seleccion :: Ord a => [a] -> [Int] -> [a]

tal que (seleccion xs ps) es la lista ordenada de los elementos que ocupan las posiciones indicadas en la lista ps. Por ejemplo,

   seleccion [6,2,4,7] [2,0]      ==  [4,6]
   seleccion ['a'..'z'] [0,2..10] ==  "acegik"

1 2	seleccion [6,2,4,7] [2,0] == [4,6] seleccion ['a'..'z'] [0,2..10] == "acegik"

Soluciones

import Data.List (sort)

-- 1ª definición
seleccion :: Ord a => [a] -> [Int] -> [a]
seleccion xs ps =
  sort [x | (x,n) <- zip xs [0..]
          , n `elem` ps]

-- 2ª definición
seleccion2 :: Ord a => [a] -> [Int] -> [a]
seleccion2 xs = sort . map (xs!!)

import Data.List (sort)

-- 1ª definición

seleccion :: Ord a => [a] -> [Int] -> [a]

seleccion xs ps =

sort [x | (x,n) <- zip xs [0..]

, n `elem` ps]

-- 2ª definición

seleccion2 :: Ord a => [a] -> [Int] -> [a]

seleccion2 xs = sort . map (xs!!)

Números de la suerte

PorJosé A. Alonso 16-diciembre-201625-marzo-2022

Un número de la suerte es un número natural que se genera por una criba, similar a la criba de Eratóstenes, como se indica a continuación:

Se comienza con la lista de los números enteros a partir de 1:

   1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25...

1	1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25...

Se eliminan los números de dos en dos

   1,  3,  5,  7,  9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25...

1	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25...

Como el segundo número que ha quedado es 3, se eliminan los números
restantes de tres en tres:

   1,  3,      7,  9,         13,   15,         19,   21,         25...

1	1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25...

Como el tercer número que ha quedado es 7, se eliminan los números restantes de
siete en siete:

   1,  3,      7,  9,         13,   15,               21,         25...

1	1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25...

Este procedimiento se repite indefinidamente y los supervivientes son
los números de la suerte:

   1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79

1	1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79

Definir la sucesión

   numerosDeLaSuerte :: [Int]

1	numerosDeLaSuerte :: [Int]

cuyos elementos son los números de la suerte. Por ejemplo,

   λ> take 20 numerosDeLaSuerte
   [1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79]
   λ> numerosDeLaSuerte !! 1500
   13995

λ> take 20 numerosDeLaSuerte

[1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79]

λ> numerosDeLaSuerte !! 1500

13995

Soluciones

-- 1ª definición
numerosDeLaSuerte :: [Int]
numerosDeLaSuerte = criba 3 [1,3..]
  where
    criba i (n:s:xs) =
      n : criba (i + 1) (s : [x | (n, x) <- zip [i..] xs
                                , rem n s /= 0])

-- 2ª definición
numerosDeLaSuerte2 :: [Int]
numerosDeLaSuerte2 =  1 : criba 2 [1, 3..]
  where criba k xs = z : criba (k + 1) (aux xs)
          where z = xs !! (k - 1 )
                aux ws = us ++ aux vs
                  where (us, _:vs) = splitAt (z - 1) ws

-- 1ª definición

numerosDeLaSuerte :: [Int]

numerosDeLaSuerte = criba 3 [1,3..]

where

criba i (n:s:xs) =

n : criba (i + 1) (s : [x | (n, x) <- zip [i..] xs

, rem n s /= 0])

-- 2ª definición

numerosDeLaSuerte2 :: [Int]

numerosDeLaSuerte2 = 1 : criba 2 [1, 3..]

where criba k xs = z : criba (k + 1) (aux xs)

where z = xs !! (k - 1 )

aux ws = us ++ aux vs

where (us, _:vs) = splitAt (z - 1) ws

Caracteres en la misma posición que en el alfabeto

PorJosé A. Alonso 9-diciembre-201617-diciembre-2016

Un carácter c de una cadena cs está bien colocado si la posición de c en cs es la misma que en el abecedario (sin distinguir entre mayúsculas y minúsculas). Por ejemplo, los elementos bien colocados de la cadena «aBaCEria» son ‘a’, ‘B’ y ‘E’.

Definir la función

   nBienColocados :: String -> Int

1	nBienColocados :: String -> Int

tal que (nBienColocados cs) es el número de elementos bien colocados de la cadena cs. Por ejemplo,

   nBienColocados "aBaCEria"                    ==  3
   nBienColocados "xBxxExxxIxxxxNxxxxxTxxxXYZ"  ==  8

1 2	nBienColocados "aBaCEria" == 3 nBienColocados "xBxxExxxIxxxxNxxxxxTxxxXYZ" == 8

Soluciones

import Data.Char (toLower)

nBienColocados :: String -> Int
nBienColocados = length . bienColocados

bienColocados :: String -> [Char]
bienColocados cs =
  [c | (c,d) <- zip (map toLower cs) ['a'..'z']
     , c == d]

import Data.Char (toLower)

nBienColocados :: String -> Int

nBienColocados = length . bienColocados

bienColocados :: String -> [Char]

bienColocados cs =

[c | (c,d) <- zip (map toLower cs) ['a'..'z']

, c == d]

Referencias

Basado en el problema Count characters at same position as in English alphabets de Sahil Chhabra en GeeksforGeeks.

Árboles continuos

Soluciones

Referencias

Inversa del factorial

Soluciones

Selección por posición

Soluciones

Números de la suerte

Soluciones

Caracteres en la misma posición que en el alfabeto

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