plotLists – Exercitium

Cálculo de pi mediante los métodos de Gregory-Leibniz y de Beeler

José A. Alonso, 7-abril-2020, Avanzado

La fórmula de Gregory-Leibniz para calcular pi es

y la de Beeler es

Definir las funciones

   aproximaPiGL     :: Int -> Double
   aproximaPiBeeler :: Int -> Double
   graficas         :: [Int] -> IO ()

tales que

(aproximaPiGL n) es la aproximación de pi con los primeros n términos de la fórmula de Gregory-Leibniz. Por ejemplo,

     aproximaPiGL 1       ==  4.0
     aproximaPiGL 2       ==  2.666666666666667
     aproximaPiGL 3       ==  3.466666666666667
     aproximaPiGL 10      ==  3.0418396189294032
     aproximaPiGL 100     ==  3.1315929035585537
     aproximaPiGL 1000    ==  3.140592653839794
     aproximaPiGL 10000   ==  3.1414926535900345
     aproximaPiGL 100000  ==  3.1415826535897198

(aproximaPiBeeler n) es la aproximación de pi con los primeros n términos de la fórmula de Beeler. Por ejemplo,

     aproximaPiBeeler 1   ==  2.0
     aproximaPiBeeler 2   ==  2.6666666666666665
     aproximaPiBeeler 3   ==  2.933333333333333
     aproximaPiBeeler 10  ==  3.140578169680337
     aproximaPiBeeler 60  ==  3.141592653589793
     pi                   ==  3.141592653589793

(graficas xs) dibuja la gráfica de las k-ésimas aproximaciones de pi, donde k toma los valores de la lista xs, con las fórmulas de Gregory-Leibniz y de Beeler. Por ejemplo, (graficas [1..25]) dibuja

donde la línea morada corresponde a la aproximación de Gregory-Leibniz y la verde a la de Beeler.

Soluciones

import Graphics.Gnuplot.Simple
 
-- Definiciones de aproximaPiGL
-- ============================
 
-- 1ª definición de aproximaPiGL
aproximaPiGL :: Int -> Double
aproximaPiGL n = 4 * (sum . take n . sumaA . zipWith (/) [1,1..]) [1,3..]
  where sumaA (x:y:xs) = x:(-y):sumaA xs
 
-- 2ª definición de aproximaPiGL
aproximaPiGL2 :: Int -> Double
aproximaPiGL2 n =
  4 * (sum (take n (zipWith (/) (cycle [1,-1]) [1,3..])))
 
-- 3ª definición de aproximaPiGL
aproximaPiGL3 :: Int -> Double
aproximaPiGL3 n =
  4 * (sum . take n . zipWith (/) (cycle [1,-1])) [1,3..]
 
-- 4ª definición de aproximaPiGL
aproximaPiGL4 :: Int -> Double
aproximaPiGL4 n = serieGL !! (n-1)
 
serieGL :: [Double]
serieGL = scanl1 (+) (zipWith (/) numeradores denominadores)
  where numeradores   = cycle [4,-4]
        denominadores = [1,3..]
 
-- Definición de aproximaPiBeeler
aproximaPiBeeler :: Int -> Double
aproximaPiBeeler n = 2 * aux (fromIntegral n) 1
  where
    aux :: Double -> Double -> Double 
    aux n k | n == k    = 1
            | otherwise = 1 + (k/(2*k+1)) * aux n (1+k)
 
-- Definición de graficas
graficas :: [Int] -> IO ()
graficas xs = 
    plotLists [Key Nothing]
             [[(k,aproximaPiGL k)     | k <- xs],
              [(k,aproximaPiBeeler k) | k <- xs]]

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

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El sesgo de Chebyshev

José A. Alonso, 23-marzo-2020, Medio

Un número primo distinto de 2 tiene la forma 4k + 1 o 4k + 3. Chebyshev notó en 1853 que la mayoría de las veces hay más números primos de la forma 4k + 3 que números primos de la forma 4k + 1 menores que un número dado. Esto se llama el sesgo de Chebyshev.

Definir las funciones

   distribucionPrimosModulo4 :: [(Integer, Integer, Integer)]
   empatesRestosModulo4 :: [Integer]
   mayoria1RestosModulo4 :: [Integer]
   grafica_Chebyshev :: Int -> IO ()

tales que

distribucionPrimosModulo4 es la lista de las ternas (p,a,b) tales que p es un números primo, a es la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 módulo 4 y b es la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 3 módulo 4. Por ejemplo,

     λ> take 7 distribucionPrimosModulo4
     [(2,0,0),(3,0,1),(5,1,1),(7,1,2),(11,1,3),(13,2,3),(17,3,3)]
     λ> distribucionPrimosModulo4 !! (5*10^5)
     (7368791,249888,250112)

empatesRestosModulo4 es la lista de los primos p tales que la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 módulo 4 es igual a la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 3 módulo 4. Por ejemplo,

     λ> take 10 empatesRestosModulo4
     [2,5,17,41,461,26833,26849,26863,26881,26893]
     λ> length (takeWhile (< = 10^6) empatesRestosModulo4)
     112

mayoria1RestosModulo4 es la lista de los primos p tales que la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 módulo 4 es mayor que la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 3 módulo 4. Por ejemplo,

     λ> take 10 mayoria1RestosModulo4
     [26861,616841,616849,616877,616897,616909,616933,616943,616951,616961]
     λ> length (takeWhile (< = 10^6) mayoria1RestosModulo4)
     239

(graficaChebyshev n) dibuja la gráfica de los puntos (p,b-a) donde p es uno de los n primeros primos impares, a es la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 módulo 4 y b es la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 3 módulo 4. Por ejemplo, (graficaChebyshev 5000) dibuja la figura

Soluciones

[schedule expon=’2020-03-30′ expat=»06:00″]

Las soluciones se pueden escribir en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Pensamiento

«El valor de un problema no es tanto el de encontrar la respuesta como el de las ideas e intentos que obliga su resolución.»

Israel Nathan Herstein.

[/schedule]

[schedule on=’2020-03-30′ at=»06:00″]

import Data.Numbers.Primes
import Graphics.Gnuplot.Simple
 
distribucionPrimosModulo4 :: [(Integer, Integer, Integer)]
distribucionPrimosModulo4 = (2,0,0) : aux (tail primes) (0, 0)
  where aux (p:ps) (a,b)
          | p `mod` 4 == 1 = (p,a+1,b) : aux ps (a+1,b)
          | otherwise      = (p,a,b+1) : aux ps (a,b+1)
 
empatesRestosModulo4 :: [Integer]
empatesRestosModulo4 =
  [p | (p,a,b) <- distribucionPrimosModulo4
     , a == b]
 
mayoria1RestosModulo4 :: [Integer]
mayoria1RestosModulo4 =
  [p | (p,a,b) <- distribucionPrimosModulo4
     , a > b]
 
grafica :: Int -> IO ()
grafica n = 
  plotLists [Key Nothing]
            [ [(p, a) | (p,a,b) <- xs]
            , [(p, b) | (p,a,b) <- xs]
            , [(p, b-a) | (p,a,b) <- xs]]
  where xs = take n (tail (distribucionPrimosModulo4))
 
graficaChebyshev :: Int -> IO ()
graficaChebyshev n = 
  plotList [ Key Nothing
           , PNG "El_sesgo_de_Chebyshev.png"
           ]
           [(p, b-a) | (p,a,b) <- xs]
  where xs = take n (tail (distribucionPrimosModulo4))

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

[/schedule]

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La conjetura de Mertens

José A. Alonso, 27-enero-2020, Medio

Un número entero n es libre de cuadrados si no existe un número primo p tal que p² divide a n; es decir, los factores primos de n son todos distintos.

La función de Möbius μ(n) está definida para todos los enteros positivos como sigue:

μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos.
μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos.
μ(n) = 0 si n no es libre de cuadrados.

Sus primeros valores son 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, …

La función de Mertens M(n) está definida para todos los enteros positivos como la suma de μ(k) para 1 ≤ k ≤ n. Sus primeros valores son 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, …

La conjetura de Mertens afirma que

Para todo entero x mayor que 1, el valor absoluto de la función de Mertens en x es menor que la raíz cuadrada de x.

La conjetura fue planteada por Franz Mertens en 1897. Riele Odlyzko, demostraronen 1985 que la conjetura de Mertens deja de ser cierta más o menos a partir de $10^{10^{64}}$ , cifra que luego de algunos refinamientos se redujo a $10^{10^{40}}$ .

Definir las funciones

   mobius :: Integer -> Integer
   mertens :: Integer -> Integer
   graficaMertens :: Integer -> IO ()

tales que

(mobius n) es el valor de la función de Möbius en n. Por ejemplo,

     mobius 6   ==  1
     mobius 30  ==  -1
     mobius 12  ==  0

(mertens n) es el valor de la función de Mertens en n. Por ejemplo,

     mertens 1     ==  1
     mertens 2     ==  0
     mertens 3     ==  -1
     mertens 5     ==  -2
     mertens 661   ==  -11
     mertens 1403  ==  11

(graficaMertens n) dibuja la gráfica de la función de Mertens, la raíz cuadrada y el opuestos de la raíz cuadrada para los n primeros n enteros positivos. Por ejemplo, (graficaMertens 1000) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Mertens.

Nota: El ejercicio está basado en La conjetura de Merterns y su relación con un número tan raro como extremada y colosalmente grande publicado por @Alvy la semana pasada en Microsiervos.

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck
import Graphics.Gnuplot.Simple
 
mobius :: Integer -> Integer
mobius n | tieneRepetidos xs = 0
         | otherwise         = (-1)^(length xs)
  where xs = primeFactors n
 
tieneRepetidos :: [Integer] -> Bool
tieneRepetidos xs =
  or [x == y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]
 
mertens :: Integer -> Integer
mertens n = sum (map mobius [1..n])
 
-- Definición de graficaMertens
-- ============================
 
graficaMertens :: Integer -> IO ()
graficaMertens n = do
  plotLists [ Key Nothing
            , Title "Conjetura de Mertens"
            , PNG "La_conjetura_de_Mertens.png"
            ]
            [ [mertens k | k <- [1..n]]
            , raices
            , map negate raices
            ]
 
  where
    raices = [ceiling (sqrt k) | k <- [1..fromIntegral n]]
 
-- Conjetura de Mertens
-- ====================
 
-- La conjetura es
conjeturaDeMertens :: Integer -> Property
conjeturaDeMertens n =
  n > 1
  ==>
  abs (mertens n) < ceiling (sqrt n')
  where n' = fromIntegral n
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck conjeturaDeMertens
--    +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
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Pensamiento

«El control de la complejidad es la esencia de la programación informática.»

Brian Kernighan.

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Distribución de diferencias de dígitos consecutivos de pi

José A. Alonso, 4-abril-2019, Medio

Usando la librería Data.Number.CReal, que se instala con

   cabal install number

se pueden calcular el número pi con la precisión que se desee. Por ejemplo,

   λ> import Data.Number.CReal
   λ> showCReal 60 pi
   "3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974945"

importa la librería y calcula el número pi con 60 decimales.

La distribución de las diferencias de los dígitos consecutivos para los 18 primeros n dígitos de pi se calcula como sigue: los primeros 18 dígitos de pi son

   3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3

Las diferencias de sus elementos consecutivos es

   2, -3, 3, -4, -4, 7, -4, 1, 2, -2, -3, -1, 2, -2, 6, 1, -1

y la distribución de sus frecuencias en el intervalo [-9,9] es

   0, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 2, 2, 0, 2, 3, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0

es decir, el desde el -9 a -5 no aparecen, el -4 aparece 3 veces, el -2 aparece 2 veces y así sucesivamente.

Definir las funciones

   distribucionDDCpi :: Int -> [Int]
   graficas :: [Int] -> FilePath -> IO ()

tales que

(distribucionDDCpi n) es la distribución de las diferencias de los dígitos consecutivos para los primeros n dígitos de pi. Por ejemplo,

     λ> distribucionDDCpi 18
     [0,0,0,0,0,3,2,2,2,0,2,3,1,0,0,1,1,0,0]
     λ> distribucionDDCpi 100
     [1,2,1,7,7,7,6,5,8,6,7,14,4,9,3,6,4,1,0]
     λ> distribucionDDCpi 200
     [3,6,2,13,14,12,11,12,15,17,15,19,11,17,8,13,9,2,0]
     λ> distribucionDDCpi 1000
     [16,25,23,44,57,61,55,75,92,98,80,88,64,65,42,54,39,14,8]
     λ> distribucionDDCpi 5000
     [67,99,130,196,245,314,361,391,453,468,447,407,377,304,242,221,134,97,47]

(graficas ns f) dibuja en el fichero f las gráficas de las distribuciones de las diferencias de los dígitos consecutivos para los primeros n dígitos de pi, para n en ns. Por ejemplo, al evaluar (graficas [100,250..4000] «distribucionDDCpi.png» se escribe en el fichero «distribucionDDCpi.png» la siguiente gráfica

Soluciones

import Data.Number.CReal
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Data.Array
 
--    λ> digitosPi 18
--    [3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3]
digitosPi :: Int -> [Int]
digitosPi n = init [read [c] | c <- (x:xs)]
  where (x:_:xs) = showCReal n pi
 
--    λ> diferenciasConsecutivos (digitosPi 18)
--    [2,-3,3,-4,-4,7,-4,1,2,-2,-3,-1,2,-2,6,1,-1]
diferenciasConsecutivos :: Num a => [a] -> [a]
diferenciasConsecutivos xs =
  zipWith (-) xs (tail xs)
 
distribucionDDCpi :: Int -> [Int]
distribucionDDCpi =
  distribucion . diferenciasConsecutivos . digitosPi
  where distribucion xs =
          elems (accumArray (+) 0 (-9,9) (zip xs (repeat 1)))
 
graficas :: [Int] -> FilePath -> IO ()
graficas ns f = 
  plotLists [Key Nothing, PNG f]
            [puntos n | n <- ns]
  where puntos :: Int -> [(Int,Int)]
        puntos n = zip [-9..9] (distribucionDDCpi n)

Pensamiento

Doy consejo, a fuer de viejo:
nunca sigas mi consejo.

Antonio Machado

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Números apocalípticos

José A. Alonso, 8-enero-2018, Medio

Un número apocalíptico es aquel número natural n tal que 2^n contiene la secuencia 666.

Definir las funciones

   esApocaliptico           :: Integer -> Bool
   apocalipticos            :: [Integer]
   mayorNoApocalipticoMenor :: Integer -> Maybe Integer
   grafica                  :: Integer -> IO ()

tales que

(esApocaliptico n) se verifica si n es un número apocalíptico. Por ejemplo,

     esApocaliptico 666    ==  True
     esApocaliptico 29784  ==  False

apocalipticos es la lista de los números apocalípticos. Por ejemplo,

     take 9 apocalipticos  ==  [157,192,218,220,222,224,226,243,245]
     apocalipticos !! 55   ==  666

(mayorNoApocalipticoMenor n) es justo el mayor número no apocalíptico menor que n. Por ejemplo,

     mayorNoApocalipticoMenor  40000  ==  Just 29784
     mayorNoApocalipticoMenor  29784  ==  Just 26667

(grafica n) dibuja las gráficas de los n primeros términos de la sucesión de los números apocalípticos junto con los de la sucesión a(n) = 3715+n. Por ejemplo, (grafica 3000) dibuja

y (grafica 30000) dibuja

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Ángel Ruiz Campos.

Soluciones

import Data.List (isInfixOf, find, genericTake)
import Graphics.Gnuplot.Simple
 
esApocaliptico :: Integer -> Bool
esApocaliptico = isInfixOf "666" . show . (2^)
 
apocalipticos :: [Integer]
apocalipticos = filter esApocaliptico [1..]
 
mayorNoApocalipticoMenor :: Integer -> Maybe Integer
mayorNoApocalipticoMenor n = find (not . esApocaliptico) [n-1,n-2..1]
 
grafica :: Integer -> IO ()
grafica n = 
  plotLists [ Key Nothing
            , PNG ("Numeros_apocalipticos_" ++ show n ++ ".png")
            ]
            [ genericTake n apocalipticos
            , [3715..3715+n-1] ]

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