Listas infinitas

Operaciones con series de potencias

PorJosé A. Alonso 29-abril-201625-marzo-2022

Una serie de potencias es una serie de la forma

   a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

1	a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

Las series de potencias se pueden representar mediante listas
infinitas. Por ejemplo, la serie de la función exponencial es

   e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

1	e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

y se puede representar por [1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120, …]

Las operaciones con series se pueden ver como una generalización de las de los polinomios.

En lo que sigue, usaremos el tipo (Serie a) para representar las series de potencias con coeficientes en a y su definición es

   type Serie a = [a]

1	type Serie a = [a]

Definir las siguientes funciones

   opuesta      :: Num a => Serie a -> Serie a
   suma         :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   resta        :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   producto     :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   cociente     :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   derivada     :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
   integral     :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
   expx         :: Serie Rational

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a

expx :: Serie Rational

tales que

(opuesta xs) es la opuesta de la serie xs. Por ejemplo,

     λ> take 7 (opuesta [-6,-4..])
     [6,4,2,0,-2,-4,-6]

1 2	λ> take 7 (opuesta [-6,-4..]) [6,4,2,0,-2,-4,-6]

(suma xs ys) es la suma de las series xs e ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (suma [1,3..] [2,4..])
     [3,7,11,15,19,23,27]

1 2	λ> take 7 (suma [1,3..] [2,4..]) [3,7,11,15,19,23,27]

(resta xs ys) es la resta de las series xs es ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (resta [3,5..] [2,4..])
     [1,1,1,1,1,1,1]
     λ> take 7 (resta ([3,7,11,15,19,23,27] ++ repeat 0) [1,3..])
     [2,4,6,8,10,12,14]

λ> take 7 (resta [3,5..] [2,4..])

[1,1,1,1,1,1,1]

λ> take 7 (resta ([3,7,11,15,19,23,27] ++ repeat 0) [1,3..])

[2,4,6,8,10,12,14]

(producto xs ys) es el producto de las series xs e ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (producto [3,5..] [2,4..])
     [6,22,52,100,170,266,392]

1 2	λ> take 7 (producto [3,5..] [2,4..]) [6,22,52,100,170,266,392]

(cociente xs ys) es el cociente de las series xs e ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (cociente ([6,22,52,100,170,266,392] ++ repeat 0) [3,5..])
     [2.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

1 2	λ> take 7 (cociente ([6,22,52,100,170,266,392] ++ repeat 0) [3,5..]) [2.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

(derivada xs) es la derivada de la serie xs. Por ejemplo,

     λ> take 7 (derivada [2,4..])
     [4,12,24,40,60,84,112]

1 2	λ> take 7 (derivada [2,4..]) [4,12,24,40,60,84,112]

(integral xs) es la integral de la serie xs. Por ejemplo,

     λ> take 7 (integral ([4,12,24,40,60,84,112] ++ repeat 0))
     [0.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

1 2	λ> take 7 (integral ([4,12,24,40,60,84,112] ++ repeat 0)) [0.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

expx es la serie de la función exponencial. Por ejemplo,

     λ> take 8 expx
     [1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]
     λ> take 8 (derivada expx)
     [1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]
     λ> take 8 (integral expx)
     [0 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

λ> take 8 expx

[1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

λ> take 8 (derivada expx)

[1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

λ> take 8 (integral expx)

[0 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

Soluciones

type Serie a = [a] 

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a
opuesta = map negate

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
suma = zipWith (+)

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
resta xs ys = suma xs (opuesta ys)

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
producto (x:xs) zs@(y:ys) = 
    x*y : suma (producto xs zs) (map (x*) ys)

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
cociente (x:xs) (y:ys) = zs 
    where zs = x/y : map (/y) (resta xs (producto zs ys))  

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
derivada (_:xs) = zipWith (*) xs [1..]

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
integral xs = 0 : zipWith (/) xs [1..]

expx :: Serie Rational
expx = map (1/) (map fromIntegral factoriales)

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo, 
--    take 7 factoriales  ==  [1,1,2,6,24,120,720]
factoriales :: [Integer]
factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

type Serie a = [a]

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a

opuesta = map negate

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

suma = zipWith (+)

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

resta xs ys = suma xs (opuesta ys)

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

producto (x:xs) zs@(y:ys) =

x*y : suma (producto xs zs) (map (x*) ys)

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a

cociente (x:xs) (y:ys) = zs

where zs = x/y : map (/y) (resta xs (producto zs ys))

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a

derivada (_:xs) = zipWith (*) xs [1..]

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a

integral xs = 0 : zipWith (/) xs [1..]

expx :: Serie Rational

expx = map (1/) (map fromIntegral factoriales)

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- take 7 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720]

factoriales :: [Integer]

factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

Números cuyos dígitos coinciden con los de sus factores primos

PorJosé A. Alonso 30-marzo-201625-marzo-2022

Un número n es especial si al unir los dígitos de sus factores primos, se obtienen exactamente los dígitos de n, aunque puede ser en otro orden. Por ejemplo, 1255 es especial, pues los factores primos de 1255 son 5 y 251.

Definir la función

   esEspecial :: Integer -> Bool

1	esEspecial :: Integer -> Bool

tal que (esEspecial n) se verifica si un número n es especial. Por ejemplo,

   esEspecial 1255 == True
   esEspecial 125  == False
   esEspecial 132  == False

esEspecial 1255 == True

esEspecial 125 == False

esEspecial 132 == False

Comprobar con QuickCheck que todo número primo es especial.

Calcular los 5 primeros números especiales que no son primos.

Soluciones

import Data.List (nub, sort)
import Data.Numbers.Primes (isPrime, primeFactors)
import Test.QuickCheck

esEspecial :: Integer -> Bool
esEspecial n = 
    sort (show n) == sort (concatMap show (nub (primeFactors n)))

-- La propiedad es
prop_primos:: Integer -> Property
prop_primos n = 
    isPrime (abs n) ==> esEspecial (abs n)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_primos
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- El cálculo es
--    ghci> take 5 [n | n <- [2..], esEspecial n, not (isPrime n)]
--    [735,1255,3792,7236,11913]

import Data.List (nub, sort)

import Data.Numbers.Primes (isPrime, primeFactors)

import Test.QuickCheck

esEspecial :: Integer -> Bool

esEspecial n =

sort (show n) == sort (concatMap show (nub (primeFactors n)))

-- La propiedad es

prop_primos:: Integer -> Property

prop_primos n =

isPrime (abs n) ==> esEspecial (abs n)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_primos

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- El cálculo es

-- ghci> take 5 [n | n <- [2..], esEspecial n, not (isPrime n)]

-- [735,1255,3792,7236,11913]

Índices de números de Fibonacci

PorJosé A. Alonso 2-marzo-201626-marzo-2022

Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son

   0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

1	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

Se observa que el 6º término de la sucesión (comenzando a contar en 0) es el número 8.

Definir la función

   indiceFib :: Integer -> Maybe Integer

1	indiceFib :: Integer -> Maybe Integer

tal que (indiceFib x) es justo el número n si x es el n-ésimo términos de la sucesión de Fibonacci o Nothing en el caso de que x no pertenezca a la sucesión. Por ejemplo,

    indiceFib 8                                           == Just 6
    indiceFib 9                                           == Nothing
    indiceFib 21                                          == Just 8
    indiceFib 22                                          == Nothing
    indiceFib 280571172992510140037611932413038677189525  == Just 200
    indiceFib 123456789012345678901234567890123456789012  == Nothing

indiceFib 8 == Just 6

indiceFib 9 == Nothing

indiceFib 21 == Just 8

indiceFib 22 == Nothing

indiceFib 280571172992510140037611932413038677189525 == Just 200

indiceFib 123456789012345678901234567890123456789012 == Nothing

Soluciones

indiceFib :: Integer -> Maybe Integer
indiceFib x | y == x    = Just n
            | otherwise = Nothing
    where (y,n) = head (dropWhile (\(z,m) -> z < x) fibsNumerados)

-- fibs es la lista de los términos de la sucesión de Fibonacci. Por
-- ejemplo, 
--    take 10 fibs  ==  [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]
fibs :: [Integer]
fibs = 0 : 1 : [x+y | (x,y) <- zip fibs (tail fibs)]

-- fibsNumerados es la lista de los términos de la sucesión de Fibonacci
-- juntos con sus posiciones. Por ejemplo,
--    ghci> take 10 fibsNumerados
--    [(0,0),(1,1),(1,2),(2,3),(3,4),(5,5),(8,6),(13,7),(21,8),(34,9)]
fibsNumerados :: [(Integer,Integer)]
fibsNumerados = zip fibs [0..]

indiceFib :: Integer -> Maybe Integer

indiceFib x | y == x = Just n

| otherwise = Nothing

where (y,n) = head (dropWhile (\(z,m) -> z < x) fibsNumerados)

-- fibs es la lista de los términos de la sucesión de Fibonacci. Por

-- ejemplo,

-- take 10 fibs == [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]

fibs :: [Integer]

fibs = 0 : 1 : [x+y | (x,y) <- zip fibs (tail fibs)]

-- fibsNumerados es la lista de los términos de la sucesión de Fibonacci

-- juntos con sus posiciones. Por ejemplo,

-- ghci> take 10 fibsNumerados

-- [(0,0),(1,1),(1,2),(2,3),(3,4),(5,5),(8,6),(13,7),(21,8),(34,9)]

fibsNumerados :: [(Integer,Integer)]

fibsNumerados = zip fibs [0..]

En Maxima

indiceFib (n) := block([a:0,b:1,c:1,p:0],
  unless n <= a do
   (a : b,
    b : c,
    c : a + b,
    p : p + 1),
  if n = a
  then Just (p)
  else Nothing)$

indiceFib (n) := block([a:0,b:1,c:1,p:0],

unless n <= a do

(a : b,

b : c,

c : a + b,

p : p + 1),

if n = a

then Just (p)

else Nothing)$

Sumas de potencias de 3 primos

PorJosé A. Alonso 24-febrero-201625-marzo-2022

Los primeros números de la forma p²+q³+r⁴, con p, q y r primos son

   28 = 2² + 2³ + 2⁴
   33 = 3² + 2³ + 2⁴
   47 = 2² + 3³ + 2⁴
   49 = 5² + 2³ + 2⁴

28 = 2² + 2³ + 2⁴

33 = 3² + 2³ + 2⁴

47 = 2² + 3³ + 2⁴

49 = 5² + 2³ + 2⁴

Definir la sucesión

   sumas3potencias :: [Integer]

1	sumas3potencias :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden escribir de la forma p²+q³+r⁴, con p, q y r primos. Por ejemplo,

   λ> take 15 sumas3potencias
   [28,33,47,49,52,68,73,92,93,98,112,114,117,133,138]
   λ> sumas3potencias !! 234567
   8953761

λ> take 15 sumas3potencias

[28,33,47,49,52,68,73,92,93,98,112,114,117,133,138]

λ> sumas3potencias !! 234567

8953761

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primes)

-- 1ª solución
-- ===========

sumas3potencias1 :: [Integer]
sumas3potencias1 = filter esTripleSuma [1..]
 
-- (esTripleSuma n) se verifica si n se puede escribir de la forma
-- p²+q³+r⁴, con p, q y r primos. Por ejemplo, 
--    esTripleSuma 33  ==  True
--    esTripleSuma 45  ==  False
esTripleSuma :: Integer -> Bool
esTripleSuma = not . null . triplesSumas  

-- (triplesSumas n) es la lista de las ternas de primos (p,q,r) tales
-- que p²+q³+r⁴ = n. Por ejemplo,
--    triplesSumas 33   ==  [(3,2,2)]
--    triplesSumas 145  ==  [(11,2,2),(2,5,2)]
--    triplesSumas 45   ==  []
triplesSumas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
triplesSumas n =  
    [(p,q,r) 
    | r <- xs, 
      q <- xs, 
      let p2 = n - q^3 - r^4,
      let p = (floor . sqrt . fromIntegral) p2,
      p*p == p2,
      isPrime p]
    where xs = takeWhile (< (ceiling $ sqrt $ fromIntegral n)) primes

-- 2ª solución
-- ===========

sumas3potencias2 :: [Integer]
sumas3potencias2 = sumaOrdenadaInf as (sumaOrdenadaInf bs cs)

sumaOrdenadaInf:: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]
sumaOrdenadaInf xs ys = mezclaTodas [map (+x) ys | x <- xs]

mezclaTodas :: Ord a => [[a]] -> [a]
mezclaTodas = foldr1 xmezcla
    where xmezcla (x:xs) ys = x : mezcla xs ys

mezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
mezcla (x:xs) (y:ys) | x < y  = x : mezcla xs (y:ys)
                     | x == y = x : mezcla xs ys
                     | x > y  = y : mezcla (x:xs) ys
 
as = map (^2) primes
bs = map (^3) primes
cs = map (^4) primes

import Data.Numbers.Primes (primes)

-- 1ª solución

-- ===========

sumas3potencias1 :: [Integer]

sumas3potencias1 = filter esTripleSuma [1..]

-- (esTripleSuma n) se verifica si n se puede escribir de la forma

-- p²+q³+r⁴, con p, q y r primos. Por ejemplo,

-- esTripleSuma 33 == True

-- esTripleSuma 45 == False

esTripleSuma :: Integer -> Bool

esTripleSuma = not . null . triplesSumas

-- (triplesSumas n) es la lista de las ternas de primos (p,q,r) tales

-- que p²+q³+r⁴ = n. Por ejemplo,

-- triplesSumas 33 == [(3,2,2)]

-- triplesSumas 145 == [(11,2,2),(2,5,2)]

-- triplesSumas 45 == []

triplesSumas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]

triplesSumas n =

[(p,q,r)

| r <- xs,

q <- xs,

let p2 = n - q^3 - r^4,

let p = (floor . sqrt . fromIntegral) p2,

p*p == p2,

isPrime p]

where xs = takeWhile (< (ceiling $ sqrt $ fromIntegral n)) primes

-- 2ª solución

-- ===========

sumas3potencias2 :: [Integer]

sumas3potencias2 = sumaOrdenadaInf as (sumaOrdenadaInf bs cs)

sumaOrdenadaInf:: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]

sumaOrdenadaInf xs ys = mezclaTodas [map (+x) ys | x <- xs]

mezclaTodas :: Ord a => [[a]] -> [a]

mezclaTodas = foldr1 xmezcla

where xmezcla (x:xs) ys = x : mezcla xs ys

mezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

mezcla (x:xs) (y:ys) | x < y = x : mezcla xs (y:ys)

| x == y = x : mezcla xs ys

| x > y = y : mezcla (x:xs) ys

as = map (^2) primes

bs = map (^3) primes

cs = map (^4) primes

Múltiplos con ceros y unos

PorJosé A. Alonso 23-febrero-201625-marzo-2022

Se observa que todos los primeros números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos. Por ejemplo, 1×10=10, 2×5=10, 3×37=111, 4×25=100, 5×2=10, 6×185=1110; 7×143=1001; 8X125=1000; 9×12345679=111111111.

Definir la función

   multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

1	multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosCon1y0 n) es la lista de los múltiplos de n cuyos dígitos son 1 ó 0. Por ejemplo,

   take 4 (multiplosCon1y0 3)      ==  [111,1011,1101,1110]
   take 3 (multiplosCon1y0 23)     ==  [110101,1011011,1101010]
   head (multiplosCon1y0 1234658)  ==  110101101101000000110

take 4 (multiplosCon1y0 3) == [111,1011,1101,1110]

take 3 (multiplosCon1y0 23) == [110101,1011011,1101010]

head (multiplosCon1y0 1234658) == 110101101101000000110

Comprobar con QuickCheck que todo entero positivo tiene algún múltiplo cuyos dígitos son 1 ó 0.

Soluciones

import Test.QuickCheck

multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer] 
multiplosCon1y0 n = 
    [x | x <- numerosCon1y0, 
         x `rem` n == 0] 

-- numerosCon1y0 es la lista de los números cuyos dígitos son 1 ó 0. Por
-- ejemplo,  
--    ghci> take 15 numerosCon1y0
--    [1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111]
numerosCon1y0 :: [Integer]
numerosCon1y0 = 1 : concat [[10*x,10*x+1] | x <- numerosCon1y0]

-- La propiedad es
prop_existe_multiplosCon1y0 :: Integer -> Property
prop_existe_multiplosCon1y0 n = 
    n > 0 ==> multiplosCon1y0 n /= []

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_existe_multiplosCon1y0
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

multiplosCon1y0 n =

[x | x <- numerosCon1y0,

x `rem` n == 0]

-- numerosCon1y0 es la lista de los números cuyos dígitos son 1 ó 0. Por

-- ejemplo,

-- ghci> take 15 numerosCon1y0

-- [1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111]

numerosCon1y0 :: [Integer]

numerosCon1y0 = 1 : concat [[10*x,10*x+1] | x <- numerosCon1y0]

-- La propiedad es

prop_existe_multiplosCon1y0 :: Integer -> Property

prop_existe_multiplosCon1y0 n =

n > 0 ==> multiplosCon1y0 n /= []

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_existe_multiplosCon1y0

-- +++ OK, passed 100 tests.

Operaciones con series de potencias

Soluciones

Números cuyos dígitos coinciden con los de sus factores primos

Soluciones

Índices de números de Fibonacci

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En Maxima

Sumas de potencias de 3 primos

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Múltiplos con ceros y unos

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