Sucesión de sumas de dos números abundantes

Un número n es abundante si la suma de los divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,

Soluciones

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Suma de divisores

Definir la función

tal que (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,

Soluciones

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Número de divisores

Definir la función

tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,

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Conjunto de divisores

Definir la función

tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de x. Por ejemplo,

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Eliminación de las ocurrencias aisladas.

Definir la función

tal que (eliminaAisladas x ys) es la lista obtenida eliminando en ys las ocurrencias aisladas de x (es decir, aquellas ocurrencias de x tales que su elemento anterior y posterior son distintos de x). Por ejemplo,

Soluciones

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La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

  • En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Reparto de escaños por la ley d’Hont

El sistema D’Hondt es una fórmula creada por Victor d’Hondt, que permite obtener el número de cargos electos asignados a las candidaturas, en proporción a los votos conseguidos.

Tras el recuento de los votos, se calcula una serie de divisores para cada partido. La fórmula de los divisores es V/N, donde V representa el número total de votos recibidos por el partido, y N representa cada uno de los números enteros desde 1 hasta el número de cargos electos de la circunscripción objeto de escrutinio. Una vez realizadas las divisiones de los votos de cada partido por cada uno de los divisores desde 1 hasta N, la asignación de cargos electos se hace ordenando los cocientes de las divisiones de mayor a menor y asignando a cada uno un escaño hasta que éstos se agoten

Definir la función

tal que (reparto n vs) es la lista de los pares formados por los números de los partidos y el número de escaño que les corresponden al repartir n escaños en función de la lista de sus votos. Por ejemplo,

es decir, en el primer ejemplo,

  • al 1º partido (que obtuvo 340000 votos) le corresponden 3 escaños,
  • al 2º partido (que obtuvo 280000 votos) le corresponden 3 escaños,
  • al 3º partido (que obtuvo 160000 votos) le corresponden 1 escaño.

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Huecos de Aquiles

Un número de Aquiles es un número natural n que es potente (es decir, si p es un divisor primo de n, entonces p² también lo es) y no es una potencia perfecta (es decir, no existen números naturales m y k tales que n es igual a m^k). Por ejemplo,

  • 108 es un número de Aquiles proque es un número potente (ya que su factorización es 2^2 · 3^3, sus divisores primos son 2 and 3 y sus cuadrados (2^2 = 4 y 3^2 = 9) son divisores de 108. Además, 108 no es una potencia perfecta.
  • 360 no es un número de Aquiles ya que 5 es un divisor primo de 360, pero 5^2 = 15 no lo es.
  • 784 no es un número de Aquiles porque, aunque es potente, es una potencia perfecta ya que 784 = 28^2.

Los primeros números de Aquiles son

Definir las funciones

tales que

  • (esAquiles x) se verifica si x es un número de Aquiles. Por ejemplo,

  • huecosDeAquiles es la sucesión de la diferencias entre los números de Aquiles consecutivos. Por ejemplo,

  • (graficaHuecosDeAquiles n) dibuja la gráfica de los n primeros huecos de Aquiles. Por ejemplo, (graficaHuecosDeAquiles 160) dibuja

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
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Cálculo de dígitos de pi y su distribución

Se pueden generar los dígitos de Pi, como se explica en el artículo Unbounded spigot algorithms for the digits of pi c0on la función digitosPi definida por

Por ejemplo,

La distribución de los primeros 25 dígitos de pi es [0,2,3,5,3,3,3,1,2,3] ya que el 0 no aparece, el 1 ocurre 2 veces, el 3 ocurre 3 veces, el 4 ocurre 5 veces, …

Usando digitosPi, definir las siguientes funciones

tales que

  • (distribucionDigitosPi n) es la distribución de los n primeros dígitos de pi. Por ejemplo,

  • (frecuenciaDigitosPi n) es la frecuencia de los n primeros dígitos de pi. Por ejemplo,

Soluciones

Otras soluciones

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Repeticiones consecutivas

Se dice que una palabra tiene una repetición en una frase si es igual a una, o más, de las palabras consecutivas sin distinguir mayúsculas de minúsculas.

Definir la función

tal que (nRepeticionesConsecutivas cs) es el número de repeticiones de palabras consecutivas de la cadena cs. Por ejemplo,

Soluciones

Otras soluciones

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Pensamiento

«En el campo de la computación, el momento de la verdad es la ejecución de un programa; todo lo demás es profecía.»

Herbert A. Simon.

Máximo número de consecutivos iguales al dado

Definir la función

tal que (maximoConsecutivosIguales x xs) es el mayor número de elementos consecutivos en xs iguales a x. Por ejemplo,

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Otras soluciones

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Pensamiento

«La programación de computadoras es un arte, porque aplica el conocimiento
acumulado al mundo, porque requiere habilidad e ingenio, y especialmente
porque produce belleza. Un programador que subconscientemente se ve
a sí mismo como un artista disfrutará con lo que hace y lo hará mejor.»

Donald Knuth.

Las conjeturas de Catalan y de Pillai

La conjetura de Catalan, enunciada en 1844 por Eugène Charles Catalan y demostrada 2002 por Preda Mihăilescu1, afirma que

Las únicas dos potencias de números enteros consecutivos son 8 y 9 (que son respectivamente 2³ y 3²).

En otras palabras, la única solución entera de la ecuación

para x, a, y, b > 1 es x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

La conjetura de Pillai, propuesta por S.S. Pillai en 1942, generaliza este resultado y es un problema abierto. Afirma que cada entero se puede escribir sólo un número finito de veces como una diferencia de dos potencias perfectas. En otras palabras, para todo entero positivo n, el conjunto de soluciones de

para x, a, y, b > 1 es finito.

Por ejemplo, para n = 4, hay 3 soluciones

Las soluciones se pueden representar por la menor potencia (en el caso anterior, por 4, 32 y 121) ya que dado n (en el caso anterior es 4), la potencia mayor es la menor más n.

Definir las funciones

tales que

  • potenciasPerfectas es la lista de las potencias perfectas (es decir, de los números de la forma x^a con x y a mayores que 1). Por ejemplo,

  • (solucionesPillati n) es la lista de las menores potencias de las soluciones de la ecuación de Pillati x^a – y^b = n; es decir, es la lista de los u tales que u y u+n son potencias perfectas. Por ejemplo,

  • (solucionesPillatiAcotadas c n) es la lista de elementos de (solucionesPillati n) menores que n. Por ejemplo,

Soluciones

Referencia

Pensamiento

Y te enviaré mi canción:
«Se canta lo que se pierde»,
con un papagayo verde
que la diga en tu balcón.

Antonio Machado

Teorema de Liouville sobre listas CuCu

Una lista CuCu es una lista de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Por ejemplo, [1, 2, 3, 2, 4, 6] es una lista CuCu ya que

La lista de Liouville correspondiente al número entero positivo n es la lista formada por el número de divisores de cada divisor de n. Por ejemplo, para el número 20 se tiene que sus divisores son

puesto que el número de sus divisores es

  • El 1 tiene 1 divisor (el 1 solamente).
  • El 2 tiene 2 divisores (el 1 y el 2).
  • El 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4).
  • El 5 tiene 2 divisores (el 1 y el 5).
  • El 10 tiene 4 divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
  • El 20 tiene 6 divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).

la lista de Liouville de 20 es [1, 2, 3, 2, 4, 6] que, como se comentó anteriormente, es una lista CuCu.

El teorema de Lioville afirma que todas las lista de Lioville son CuCu.

Definir las funciones

tales que

  • (esCuCu xs) se verifica si la lista xs es CuCu; es decir, la suma de los cubos de sus elementos es igual al cuadrado de su suma. Por ejemplo,

  • (liouville n) es la lista de Lioville correspondiente al número n. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck

  • que para todo entero positivo n, (liouville (2^n)) es la lista [1,2,3,…,n+1] y
  • el teorema de Lioville; es decir, para todo entero positivo n, (liouville n) es una lista CuCu.

Nota: Este ejercicio está basado en Cómo generar conjuntos CuCu de Gaussianos.

Soluciones

Pensamiento

¡Oh, tarde viva y quieta
que opuso al panta rhei su nada corre.

Antonio Machado

Derivada aritmética

La derivada aritmética es una función definida sobre los números naturales por analogía con la regla del producto para el cálculo de las derivadas usada en análisis.

Para un número natural n su derivada D(n) se define por

Por ejemplo,

Definir la función

tal que (derivada n) es la derivada aritmética de n. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que si x es un número entero positivo y su descomposición en factores primos es

entonces la derivada de x es

Nota: No usar en la definición la propiedad que hay que comprobar.

Soluciones

Referencias

Pensamiento

En ese jardín, Guiomar,
el mutuo jardín que inventan
dos corazones al par,
se funden y complementan
nuestras horas.

Antonio Machado

Pares definidos por su MCD y su MCM

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (pares a b) es la lista de los pares de números enteros positivos tales que su máximo común divisor es a y su mínimo común múltiplo es b. Por ejemplo,

  • (nPares a b) es el número de pares de enteros positivos tales que su máximo común divisor es a y su mínimo común múltiplo es b. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Largo es el camino de la enseñanza por medio de teorías; breve y eficaz por medio de ejemplos. ~ Séneca

Menor número triangular con más de n divisores

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

Así, el 7º número triangular es

Los primeros 10 números triangulares son

Los divisores de los primeros 7 números triangulares son:

Como se puede observar, 28 es el menor número triangular con más de 5 divisores.

Definir la función

tal que (menorTriangularConAlMenosNDivisores n) es el menor número triangular que tiene al menos n divisores. Por ejemplo,

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 12 del Proyecto Euler

Soluciones

Pensamiento

«La Matemática es una ciencia experimental y la computación es el experimento.» ~ Rivin

Factorización prima

La descomposición prima de 600 es

Definir la función

tal que (factorizacion x) ses la lista de las bases y exponentes de la descomposición prima de x. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

¿Todo para los demás?
Mancebo, llena tu jarro,
que ya te lo beberán.

Antonio Machado

Reparto de escaños por la ley d’Hont

El sistema D’Hondt es una fórmula creada por Victor d’Hondt, que permite obtener el número de cargos electos asignados a las candidaturas, en proporción a los votos conseguidos.

Tras el recuento de los votos, se calcula una serie de divisores para cada partido. La fórmula de los divisores es V/N, donde V representa el número total de votos recibidos por el partido, y N representa cada uno de los números enteros desde 1 hasta el número de cargos electos de la circunscripción objeto de escrutinio. Una vez realizadas las divisiones de los votos de cada partido por cada uno de los divisores desde 1 hasta N, la asignación de cargos electos se hace ordenando los cocientes de las divisiones de mayor a menor y asignando a cada uno un escaño hasta que éstos se agoten

Definir la función

tal que (reparto n vs) es la lista de los pares formados por los números de los partidos y el número de escaño que les corresponden al repartir n escaños en función de la lista de sus votos. Por ejemplo,

es decir, en el primer ejemplo,

  • al 1º partido (que obtuvo 340000 votos) le corresponden 3 escaños,
  • al 2º partido (que obtuvo 280000 votos) le corresponden 3 escaños,
  • al 3º partido (que obtuvo 160000 votos) le corresponden 1 escaño.

Soluciones

Pensamiento

Sus cantares llevan
agua de remanso,
que parece quieta.
Y que no lo está;
mas no tiene prisa
por ir a la mar.

Antonio Machado

Cálculo de dígitos de pi y su distribución

Se pueden generar los dígitos de Pi, como se explica en el artículo Unbounded spigot algorithms for the digits of pi c0on la función digitosPi definida por

Por ejemplo,

La distribución de los primeros 25 dígitos de pi es [0,2,3,5,3,3,3,1,2,3] ya que el 0 no aparece, el 1 ocurre 2 veces, el 3 ocurre 3 veces, el 4 ocurre 5 veces, …

Usando digitosPi, definir las siguientes funciones

tales que

  • (distribucionDigitosPi n) es la distribución de los n primeros dígitos de pi. Por ejemplo,

  • (frecuenciaDigitosPi n) es la frecuencia de los n primeros dígitos de pi. Por ejemplo,

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