dropWhile – Exercitium

Reconocimiento de potencias de 2

José A. Alonso, 11-mayo-2022, Ejercicio

Definir la función

   esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool

tal que (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.

   esPotenciaDeDos    1        == True
   esPotenciaDeDos    2        == True
   esPotenciaDeDos    6        == False
   esPotenciaDeDos    8        == True
   esPotenciaDeDos 1024        == True
   esPotenciaDeDos 1026        == False
   esPotenciaDeDos (2^(10^8))  == True

Soluciones

import Data.Bits ((.&.))
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck (Positive (Positive), quickCheck)
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
esPotenciaDeDos1 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos1 1 = True
esPotenciaDeDos1 n
  | even n    = esPotenciaDeDos1 (n `div` 2)
  | otherwise = False
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
esPotenciaDeDos2 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos2 n = n ==
  head (dropWhile (<n) potenciasDeDos)
 
-- potenciasDeDos es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo,
--    take 10 potenciasDeDos  == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512]
potenciasDeDos :: [Integer]
potenciasDeDos = iterate (*2) 1
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
esPotenciaDeDos3 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos3 x = all (==2) (primeFactors x)
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
-- Usando la función (.&.) de la librería Data.Bits. Dicha función
-- calcula el número correspondiente a la conjunción de las
-- representaciones binarias de sus argumentos. Por ejemplo,
--    6 .&. 3 == 2
-- ya que
--    la representación binaria de 6 es     [1,1,0]
--    la representación binaria de 3 es       [1,1]
--    la conjunción es                        [1,0]
--    la representación decimal de [1,0] es   2
--
-- Otros ejemplos:
--    4 .&. 3 ==   [1,0,0] .&.   [1,1] == 0
--    8 .&. 7 == [1,0,0,0] .&. [1,1,1] = 0
 
esPotenciaDeDos4 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos4 n = n .&. (n-1) == 0
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_esPotenciaDeDos :: Positive Integer -> Bool
prop_esPotenciaDeDos (Positive n) =
  all (== esPotenciaDeDos1 n)
      [ esPotenciaDeDos2 n
      , esPotenciaDeDos3 n
      , esPotenciaDeDos4 n
      ]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_esPotenciaDeDos
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> esPotenciaDeDos1 (2^(3*10^5))
--    True
--    (3.51 secs, 5,730,072,544 bytes)
--    λ> esPotenciaDeDos2 (2^(3*10^5))
--    True
--    (3.12 secs, 5,755,639,952 bytes)
--    λ> esPotenciaDeDos3 (2^(3*10^5))
--    True
--    (2.92 secs, 5,758,872,040 bytes)
--    λ> esPotenciaDeDos4 (2^(3*10^5))
--    True
--    (0.03 secs, 715,152 bytes)

import Data.Bits ((.&.)) import Data.Numbers.Primes (primeFactors) import Test.QuickCheck (Positive (Positive), quickCheck) -- 1ª solución -- =========== esPotenciaDeDos1 :: Integer -> Bool esPotenciaDeDos1 1 = True esPotenciaDeDos1 n | even n = esPotenciaDeDos1 (n `div` 2) | otherwise = False -- 2ª solución -- =========== esPotenciaDeDos2 :: Integer -> Bool esPotenciaDeDos2 n = n == head (dropWhile (<n) potenciasDeDos) -- potenciasDeDos es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo, -- take 10 potenciasDeDos == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512] potenciasDeDos :: [Integer] potenciasDeDos = iterate (*2) 1 -- 3ª solución -- =========== esPotenciaDeDos3 :: Integer -> Bool esPotenciaDeDos3 x = all (==2) (primeFactors x) -- 4ª solución -- =========== -- Usando la función (.&.) de la librería Data.Bits. Dicha función -- calcula el número correspondiente a la conjunción de las -- representaciones binarias de sus argumentos. Por ejemplo, -- 6 .&. 3 == 2 -- ya que -- la representación binaria de 6 es [1,1,0] -- la representación binaria de 3 es [1,1] -- la conjunción es [1,0] -- la representación decimal de [1,0] es 2 -- -- Otros ejemplos: -- 4 .&. 3 == [1,0,0] .&. [1,1] == 0 -- 8 .&. 7 == [1,0,0,0] .&. [1,1,1] = 0 esPotenciaDeDos4 :: Integer -> Bool esPotenciaDeDos4 n = n .&. (n-1) == 0 -- Comprobación de equivalencia -- ============================ -- La propiedad es prop_esPotenciaDeDos :: Positive Integer -> Bool prop_esPotenciaDeDos (Positive n) = all (== esPotenciaDeDos1 n) [ esPotenciaDeDos2 n , esPotenciaDeDos3 n , esPotenciaDeDos4 n ] -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_esPotenciaDeDos -- +++ OK, passed 100 tests. -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> esPotenciaDeDos1 (2^(3*10^5)) -- True -- (3.51 secs, 5,730,072,544 bytes) -- λ> esPotenciaDeDos2 (2^(3*10^5)) -- True -- (3.12 secs, 5,755,639,952 bytes) -- λ> esPotenciaDeDos3 (2^(3*10^5)) -- True -- (2.92 secs, 5,758,872,040 bytes) -- λ> esPotenciaDeDos4 (2^(3*10^5)) -- True -- (0.03 secs, 715,152 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

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Representación de Zeckendorf

José A. Alonso, 25-abril-2022, Ejercicio

Los primeros números de Fibonacci son

   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

tales que los dos primeros son iguales a 1 y los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.

El teorema de Zeckendorf establece que todo entero positivo n se puede representar, de manera única, como la suma de números de Fibonacci no consecutivos decrecientes. Dicha suma se llama la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo, la representación de Zeckendorf de 100 es

   100 = 89 + 8 + 3

Hay otras formas de representar 100 como sumas de números de Fibonacci; por ejemplo,

   100 = 89 +  8 + 2 + 1
   100 = 55 + 34 + 8 + 3

pero no son representaciones de Zeckendorf porque 1 y 2 son números de Fibonacci consecutivos, al igual que 34 y 55.

Definir la función

   zeckendorf :: Integer -> [Integer]

tal que (zeckendorf n) es la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo,

   zeckendorf 100 == [89,8,3]
   zeckendorf 200 == [144,55,1]
   zeckendorf 300 == [233,55,8,3,1]
   length (zeckendorf (10^50000)) == 66097

Soluciones

module Representacion_de_Zeckendorf where
 
import Data.List (subsequences)
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
zeckendorf1 :: Integer -> [Integer]
zeckendorf1 = head . zeckendorf1Aux
 
zeckendorf1Aux :: Integer -> [[Integer]]
zeckendorf1Aux n =
  [xs | xs <- subsequences (reverse (takeWhile (<= n) (tail fibs))),
        sum xs == n,
        sinFibonacciConsecutivos xs]
 
-- fibs es la la sucesión de los números de Fibonacci. Por ejemplo,
--    take 14 fibs  == [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377]
fibs :: [Integer]
fibs = 1 : scanl (+) 1 fibs
-- (sinFibonacciConsecutivos xs) se verifica si en la sucesión
-- decreciente de número de Fibonacci xs no hay dos consecutivos. Por
-- ejemplo, 
 
-- (sinFibonacciConsecutivos xs) se verifica si en la sucesión
-- decreciente de número de Fibonacci xs no hay dos consecutivos. Por
-- ejemplo, 
--    sinFibonacciConsecutivos [89, 8, 3]      ==  True
--    sinFibonacciConsecutivos [55, 34, 8, 3]  ==  False
sinFibonacciConsecutivos :: [Integer] -> Bool
sinFibonacciConsecutivos xs =
  and [x /= siguienteFibonacci y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]
 
-- (siguienteFibonacci n) es el menor número de Fibonacci mayor que
-- n. Por ejemplo, 
--    siguienteFibonacci 34  ==  55
siguienteFibonacci :: Integer -> Integer
siguienteFibonacci n =
  head (dropWhile (<= n) fibs)
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
zeckendorf2 :: Integer -> [Integer]
zeckendorf2 = head . zeckendorf2Aux
 
zeckendorf2Aux :: Integer -> [[Integer]]
zeckendorf2Aux n = map reverse (aux n (tail fibs))
  where aux 0 _ = [[]]
        aux m (x:y:zs)
            | x <= m     = [x:xs | xs <- aux (m-x) zs] ++ aux m (y:zs)
            | otherwise  = []
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
zeckendorf3 :: Integer -> [Integer]
zeckendorf3 0 = []
zeckendorf3 n = x : zeckendorf3 (n - x)
  where x = last (takeWhile (<= n) fibs)
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
zeckendorf4 :: Integer -> [Integer]
zeckendorf4 n = aux n (reverse (takeWhile (<= n) fibs))
  where aux 0 _      = []
        aux m (x:xs) = x : aux (m-x) (dropWhile (>m-x) xs)
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_zeckendorf :: Positive Integer -> Bool
prop_zeckendorf (Positive n) =
  all (== zeckendorf1 n)
      [zeckendorf2 n,
       zeckendorf3 n,
       zeckendorf4 n]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_zeckendorf
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> zeckendorf1 (7*10^4)
--    [46368,17711,4181,1597,89,34,13,5,2]
--    (1.49 secs, 2,380,707,744 bytes)
--    λ> zeckendorf2 (7*10^4)
--    [46368,17711,4181,1597,89,34,13,5,2]
--    (0.07 secs, 21,532,008 bytes)
--
--    λ> zeckendorf2 (10^6)
--    [832040,121393,46368,144,55]
--    (1.40 secs, 762,413,432 bytes)
--    λ> zeckendorf3 (10^6)
--    [832040,121393,46368,144,55]
--    (0.01 secs, 542,488 bytes)
--    λ> zeckendorf4 (10^6)
--    [832040,121393,46368,144,55]
--    (0.01 secs, 536,424 bytes)
--
--    λ> length (zeckendorf3 (10^3000))
--    3947
--    (3.02 secs, 1,611,966,408 bytes)
--    λ> length (zeckendorf4 (10^2000))
--    2611
--    (0.02 secs, 10,434,336 bytes)
--
--    λ> length (zeckendorf4 (10^50000))
--    66097
--    (2.84 secs, 3,976,483,760 bytes)

module Representacion_de_Zeckendorf where import Data.List (subsequences) import Test.QuickCheck -- 1ª solución -- =========== zeckendorf1 :: Integer -> [Integer] zeckendorf1 = head . zeckendorf1Aux zeckendorf1Aux :: Integer -> [[Integer]] zeckendorf1Aux n = [xs | xs <- subsequences (reverse (takeWhile (<= n) (tail fibs))), sum xs == n, sinFibonacciConsecutivos xs] -- fibs es la la sucesión de los números de Fibonacci. Por ejemplo, -- take 14 fibs == [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377] fibs :: [Integer] fibs = 1 : scanl (+) 1 fibs -- (sinFibonacciConsecutivos xs) se verifica si en la sucesión -- decreciente de número de Fibonacci xs no hay dos consecutivos. Por -- ejemplo, -- (sinFibonacciConsecutivos xs) se verifica si en la sucesión -- decreciente de número de Fibonacci xs no hay dos consecutivos. Por -- ejemplo, -- sinFibonacciConsecutivos [89, 8, 3] == True -- sinFibonacciConsecutivos [55, 34, 8, 3] == False sinFibonacciConsecutivos :: [Integer] -> Bool sinFibonacciConsecutivos xs = and [x /= siguienteFibonacci y | (x,y) <- zip xs (tail xs)] -- (siguienteFibonacci n) es el menor número de Fibonacci mayor que -- n. Por ejemplo, -- siguienteFibonacci 34 == 55 siguienteFibonacci :: Integer -> Integer siguienteFibonacci n = head (dropWhile (<= n) fibs) -- 2ª solución -- =========== zeckendorf2 :: Integer -> [Integer] zeckendorf2 = head . zeckendorf2Aux zeckendorf2Aux :: Integer -> [[Integer]] zeckendorf2Aux n = map reverse (aux n (tail fibs)) where aux 0 _ = [[]] aux m (x:y:zs) | x <= m = [x:xs | xs <- aux (m-x) zs] ++ aux m (y:zs) | otherwise = [] -- 3ª solución -- =========== zeckendorf3 :: Integer -> [Integer] zeckendorf3 0 = [] zeckendorf3 n = x : zeckendorf3 (n - x) where x = last (takeWhile (<= n) fibs) -- 4ª solución -- =========== zeckendorf4 :: Integer -> [Integer] zeckendorf4 n = aux n (reverse (takeWhile (<= n) fibs)) where aux 0 _ = [] aux m (x:xs) = x : aux (m-x) (dropWhile (>m-x) xs) -- Comprobación de equivalencia -- ============================ -- La propiedad es prop_zeckendorf :: Positive Integer -> Bool prop_zeckendorf (Positive n) = all (== zeckendorf1 n) [zeckendorf2 n, zeckendorf3 n, zeckendorf4 n] -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_zeckendorf -- +++ OK, passed 100 tests. -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> zeckendorf1 (7*10^4) -- [46368,17711,4181,1597,89,34,13,5,2] -- (1.49 secs, 2,380,707,744 bytes) -- λ> zeckendorf2 (7*10^4) -- [46368,17711,4181,1597,89,34,13,5,2] -- (0.07 secs, 21,532,008 bytes) -- -- λ> zeckendorf2 (10^6) -- [832040,121393,46368,144,55] -- (1.40 secs, 762,413,432 bytes) -- λ> zeckendorf3 (10^6) -- [832040,121393,46368,144,55] -- (0.01 secs, 542,488 bytes) -- λ> zeckendorf4 (10^6) -- [832040,121393,46368,144,55] -- (0.01 secs, 536,424 bytes) -- -- λ> length (zeckendorf3 (10^3000)) -- 3947 -- (3.02 secs, 1,611,966,408 bytes) -- λ> length (zeckendorf4 (10^2000)) -- 2611 -- (0.02 secs, 10,434,336 bytes) -- -- λ> length (zeckendorf4 (10^50000)) -- 66097 -- (2.84 secs, 3,976,483,760 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

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Eliminación de las ocurrencias aisladas.

José A. Alonso, 20-abril-2022, Ejercicio

Definir la función

   eliminaAisladas :: Eq a => a -> [a] -> [a]

tal que (eliminaAisladas x ys) es la lista obtenida eliminando en ys las ocurrencias aisladas de x (es decir, aquellas ocurrencias de x tales que su elemento anterior y posterior son distintos de x). Por ejemplo,

   eliminaAisladas 'X' ""                  == ""
   eliminaAisladas 'X' "X"                 == ""
   eliminaAisladas 'X' "XX"                == "XX"
   eliminaAisladas 'X' "XXX"               == "XXX"
   eliminaAisladas 'X' "abcd"              == "abcd"
   eliminaAisladas 'X' "Xabcd"             == "abcd"
   eliminaAisladas 'X' "XXabcd"            == "XXabcd"
   eliminaAisladas 'X' "XXXabcd"           == "XXXabcd"
   eliminaAisladas 'X' "abcdX"             == "abcd"
   eliminaAisladas 'X' "abcdXX"            == "abcdXX"
   eliminaAisladas 'X' "abcdXXX"           == "abcdXXX"
   eliminaAisladas 'X' "abXcd"             == "abcd"
   eliminaAisladas 'X' "abXXcd"            == "abXXcd"
   eliminaAisladas 'X' "abXXXcd"           == "abXXXcd"
   eliminaAisladas 'X' "XabXcdX"           == "abcd"
   eliminaAisladas 'X' "XXabXXcdXX"        == "XXabXXcdXX"
   eliminaAisladas 'X' "XXXabXXXcdXXX"     == "XXXabXXXcdXXX"
   eliminaAisladas 'X' "XabXXcdXeXXXfXx"   == "abXXcdeXXXfx"

Soluciones

module Elimina_aisladas where
 
import Data.List (group)
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
eliminaAisladas1 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
eliminaAisladas1 _ [] = []
eliminaAisladas1 x [y]
  | x == y    = []
  | otherwise = [y]
eliminaAisladas1 x (y1:y2:ys)
  | y1 /= x   = y1 : eliminaAisladas1 x (y2:ys)
  | y2 /= x   = y2 : eliminaAisladas1 x ys
  | otherwise = takeWhile (==x) (y1:y2:ys) ++
                eliminaAisladas1 x (dropWhile (==x) ys)
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
eliminaAisladas2 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
eliminaAisladas2 _ [] = []
eliminaAisladas2 x ys
  | cs == [x] = as ++ eliminaAisladas2 x ds
  | otherwise = as ++ cs ++ eliminaAisladas2 x ds
  where (as,bs) = span (/=x) ys
        (cs,ds) = span (==x) bs
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
eliminaAisladas3 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
eliminaAisladas3 x ys = concat [zs | zs <- group ys, zs /= [x]]
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
eliminaAisladas4 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
eliminaAisladas4 x = concat . filter (/= [x]) . group
 
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_eliminaAisladas :: Int -> [Int] -> Bool
prop_eliminaAisladas x ys =
  all (== eliminaAisladas1 x ys)
      [eliminaAisladas2 x ys,
       eliminaAisladas3 x ys,
       eliminaAisladas4 x ys]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_eliminaAisladas
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> length (eliminaAisladas1 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))
--    4999998
--    (3.86 secs, 2,030,515,400 bytes)
--    λ> length (eliminaAisladas2 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))
--    4999998
--    (3.41 secs, 2,210,516,832 bytes)
--    λ> length (eliminaAisladas3 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))
--    4999998
--    (2.11 secs, 2,280,516,448 bytes)
--    λ> length (eliminaAisladas4 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))
--    4999998
--    (0.92 secs, 1,920,516,704 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
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Las sucesiones de Loomis

José A. Alonso, 22-mayo-2020, Medio

La sucesión de Loomis generada por un número entero positivo x es la sucesión cuyos términos se definen por

f(0) es x
f(n) es la suma de f(n-1) y el producto de los dígitos no nulos de f(n-1)

Los primeros términos de las primeras sucesiones de Loomis son

Generada por 1: 1, 2, 4, 8, 16, 22, 26, 38, 62, 74, 102, 104, 108, 116, 122, …
Generada por 2: 2, 4, 8, 16, 22, 26, 38, 62, 74, 102, 104, 108, 116, 122, 126, …
Generada por 3: 3, 6, 12, 14, 18, 26, 38, 62, 74, 102, 104, 108, 116, 122, 126, …
Generada por 4: 4, 8, 16, 22, 26, 38, 62, 74, 102, 104, 108, 116, 122, 126, 138, …
Generada por 5: 5, 10, 11, 12, 14, 18, 26, 38, 62, 74, 102, 104, 108, 116, 122, …

Se observa que a partir de un término todas coinciden con la generada por 1. Dicho término se llama el punto de convergencia. Por ejemplo,

la generada por 2 converge a 2
la generada por 3 converge a 26
la generada por 4 converge a 4
la generada por 5 converge a 26

Definir las siguientes funciones

   sucLoomis           :: Integer -> [Integer]
   convergencia        :: Integer -> Integer
   graficaConvergencia :: [Integer] -> IO ()

tales que

(sucLoomis x) es la sucesión de Loomis generada por x. Por ejemplo,

     λ> take 15 (sucLoomis 1)
     [1,2,4,8,16,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122]
     λ> take 15 (sucLoomis 2)
     [2,4,8,16,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126]
     λ> take 15 (sucLoomis 3)
     [3,6,12,14,18,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126]
     λ> take 15 (sucLoomis 4)
     [4,8,16,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126,138]
     λ> take 15 (sucLoomis 5)
     [5,10,11,12,14,18,26,38,62,74,102,104,108,116,122]
     λ> take 15 (sucLoomis 20)
     [20,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126,138,162,174]
     λ> take 15 (sucLoomis 100)
     [100,101,102,104,108,116,122,126,138,162,174,202,206,218,234]
     λ> sucLoomis 1 !! (2*10^5)
     235180736652

(convergencia x) es el término de convergencia de la sucesioń de Loomis generada por x xon la geerada por 1. Por ejemplo,

     convergencia  2      ==  2
     convergencia  3      ==  26
     convergencia  4      ==  4
     convergencia 17      ==  38
     convergencia 19      ==  102
     convergencia 43      ==  162
     convergencia 27      ==  202
     convergencia 58      ==  474
     convergencia 63      ==  150056
     convergencia 81      ==  150056
     convergencia 89      ==  150056
     convergencia (10^12) ==  1000101125092

(graficaConvergencia xs) dibuja la gráfica de los términos de convergencia de las sucesiones de Loomis generadas por los elementos de xs. Por ejemplo, (graficaConvergencia ([1..50]) dibuja

y graficaConvergencia ([1..148] \ [63,81,89,137]) dibuja

Soluciones

import Data.List               ((\\))
import Data.Char               (digitToInt)
import Graphics.Gnuplot.Simple (plotList, Attribute (Key, Title, XRange, PNG))
 
-- 1ª definición de sucLoomis
-- ==========================
 
sucLoomis :: Integer -> [Integer]
sucLoomis x = map (loomis x) [0..]
 
loomis :: Integer -> Integer -> Integer
loomis x 0 = x
loomis x n = y + productoDigitosNoNulos y
  where y = loomis x (n-1)
 
productoDigitosNoNulos :: Integer -> Integer
productoDigitosNoNulos = product . digitosNoNulos
 
digitosNoNulos :: Integer -> [Integer]
digitosNoNulos x =
  [read [c] | c <- show x, c /= '0']
 
-- 2ª definición de sucLoomis
-- ==========================
 
sucLoomis2 :: Integer -> [Integer]
sucLoomis2 = iterate siguienteLoomis 
 
siguienteLoomis :: Integer -> Integer
siguienteLoomis y = y + productoDigitosNoNulos y
 
-- 3ª definición de sucLoomis
-- ==========================
 
sucLoomis3 :: Integer -> [Integer]
sucLoomis3 =
  iterate ((+) <*> product .
           map (toInteger . digitToInt) .
           filter (/= '0') . show)
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> sucLoomis 1 !! 30000
--    6571272766
--    (2.45 secs, 987,955,944 bytes)
--    λ> sucLoomis2 1 !! 30000
--    6571272766
--    (2.26 secs, 979,543,328 bytes)
--    λ> sucLoomis3 1 !! 30000
--    6571272766
--    (0.31 secs, 88,323,832 bytes)
 
-- 1ª definición de convergencia
-- =============================
 
convergencia1 :: Integer -> Integer
convergencia1 x =
  head (dropWhile noEnSucLoomisDe1 (sucLoomis x))
 
noEnSucLoomisDe1 :: Integer -> Bool
noEnSucLoomisDe1 x = not (pertenece x sucLoomisDe1)
 
sucLoomisDe1 :: [Integer]
sucLoomisDe1 = sucLoomis 1
 
pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool
pertenece x ys =
  x == head (dropWhile (<x) ys)
 
-- 2ª definición de convergencia
-- =============================
 
convergencia2 :: Integer -> Integer
convergencia2 = aux (sucLoomis3 1) . sucLoomis3
 where aux as@(x:xs) bs@(y:ys) | x == y    = x
                               | x < y     = aux xs bs
                               | otherwise = aux as ys
 
-- 3ª definición de convergencia
-- =============================
 
convergencia3 :: Integer -> Integer
convergencia3 = head . interseccion (sucLoomis3 1) . sucLoomis3
 
-- (interseccion xs ys) es la intersección entre las listas ordenadas xs
-- e ys. Por ejemplo,
--    λ> take 10 (interseccion (sucLoomis3 1) (sucLoomis3 2))
--    [2,4,8,16,22,26,38,62,74,102]
interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
interseccion = aux
  where aux as@(x:xs) bs@(y:ys) = case compare x y of
                                    LT ->     aux xs bs
                                    EQ -> x : aux xs ys
                                    GT ->     aux as ys
        aux _         _         = []                           
 
-- 4ª definición de convergencia
-- =============================
 
convergencia4 :: Integer -> Integer
convergencia4 x = perteneceA (sucLoomis3 x) 1
  where perteneceA (y:ys) n | y == c    = y
                            | otherwise = perteneceA ys c
          where c = head $ dropWhile (< y) $ sucLoomis3 n
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> convergencia1 (10^4)
--    150056
--    (2.94 secs, 1,260,809,808 bytes)
--    λ> convergencia2 (10^4)
--    150056
--    (0.03 secs, 700,240 bytes)
--    λ> convergencia3 (10^4)
--    150056
--    (0.03 secs, 1,165,496 bytes)
--    λ> convergencia4 (10^4)
--    150056
--    (0.02 secs, 1,119,648 bytes)
--    
--    λ> convergencia2 (10^12)
--    1000101125092
--    (1.81 secs, 714,901,080 bytes)
--    λ> convergencia3 (10^12)
--    1000101125092
--    (1.92 secs, 744,932,184 bytes)
--    λ> convergencia4 (10^12)
--    1000101125092
--    (1.82 secs, 941,053,328 bytes)
 
-- Definición de graficaConvergencia
-- ==================================
 
graficaConvergencia :: [Integer] -> IO ()
graficaConvergencia xs =
  plotList [ Key Nothing
           , Title "Convergencia de sucesiones de Loomis"
           , XRange (fromIntegral (minimum xs),fromIntegral (maximum xs))
           , PNG "Las_sucesiones_de_Loomis_2.png"
           ]
           [(x,convergencia2 x) | x <- xs]

import Data.List ((\\)) import Data.Char (digitToInt) import Graphics.Gnuplot.Simple (plotList, Attribute (Key, Title, XRange, PNG)) -- 1ª definición de sucLoomis -- ========================== sucLoomis :: Integer -> [Integer] sucLoomis x = map (loomis x) [0..] loomis :: Integer -> Integer -> Integer loomis x 0 = x loomis x n = y + productoDigitosNoNulos y where y = loomis x (n-1) productoDigitosNoNulos :: Integer -> Integer productoDigitosNoNulos = product . digitosNoNulos digitosNoNulos :: Integer -> [Integer] digitosNoNulos x = [read [c] | c <- show x, c /= '0'] -- 2ª definición de sucLoomis -- ========================== sucLoomis2 :: Integer -> [Integer] sucLoomis2 = iterate siguienteLoomis siguienteLoomis :: Integer -> Integer siguienteLoomis y = y + productoDigitosNoNulos y -- 3ª definición de sucLoomis -- ========================== sucLoomis3 :: Integer -> [Integer] sucLoomis3 = iterate ((+) <*> product . map (toInteger . digitToInt) . filter (/= '0') . show) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- λ> sucLoomis 1 !! 30000 -- 6571272766 -- (2.45 secs, 987,955,944 bytes) -- λ> sucLoomis2 1 !! 30000 -- 6571272766 -- (2.26 secs, 979,543,328 bytes) -- λ> sucLoomis3 1 !! 30000 -- 6571272766 -- (0.31 secs, 88,323,832 bytes) -- 1ª definición de convergencia -- ============================= convergencia1 :: Integer -> Integer convergencia1 x = head (dropWhile noEnSucLoomisDe1 (sucLoomis x)) noEnSucLoomisDe1 :: Integer -> Bool noEnSucLoomisDe1 x = not (pertenece x sucLoomisDe1) sucLoomisDe1 :: [Integer] sucLoomisDe1 = sucLoomis 1 pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool pertenece x ys = x == head (dropWhile (<x) ys) -- 2ª definición de convergencia -- ============================= convergencia2 :: Integer -> Integer convergencia2 = aux (sucLoomis3 1) . sucLoomis3 where aux as@(x:xs) bs@(y:ys) | x == y = x | x < y = aux xs bs | otherwise = aux as ys -- 3ª definición de convergencia -- ============================= convergencia3 :: Integer -> Integer convergencia3 = head . interseccion (sucLoomis3 1) . sucLoomis3 -- (interseccion xs ys) es la intersección entre las listas ordenadas xs -- e ys. Por ejemplo, -- λ> take 10 (interseccion (sucLoomis3 1) (sucLoomis3 2)) -- [2,4,8,16,22,26,38,62,74,102] interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] interseccion = aux where aux as@(x:xs) bs@(y:ys) = case compare x y of LT -> aux xs bs EQ -> x : aux xs ys GT -> aux as ys aux _ _ = [] -- 4ª definición de convergencia -- ============================= convergencia4 :: Integer -> Integer convergencia4 x = perteneceA (sucLoomis3 x) 1 where perteneceA (y:ys) n | y == c = y | otherwise = perteneceA ys c where c = head $ dropWhile (< y) $ sucLoomis3 n -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- λ> convergencia1 (10^4) -- 150056 -- (2.94 secs, 1,260,809,808 bytes) -- λ> convergencia2 (10^4) -- 150056 -- (0.03 secs, 700,240 bytes) -- λ> convergencia3 (10^4) -- 150056 -- (0.03 secs, 1,165,496 bytes) -- λ> convergencia4 (10^4) -- 150056 -- (0.02 secs, 1,119,648 bytes) -- -- λ> convergencia2 (10^12) -- 1000101125092 -- (1.81 secs, 714,901,080 bytes) -- λ> convergencia3 (10^12) -- 1000101125092 -- (1.92 secs, 744,932,184 bytes) -- λ> convergencia4 (10^12) -- 1000101125092 -- (1.82 secs, 941,053,328 bytes) -- Definición de graficaConvergencia -- ================================== graficaConvergencia :: [Integer] -> IO () graficaConvergencia xs = plotList [ Key Nothing , Title "Convergencia de sucesiones de Loomis" , XRange (fromIntegral (minimum xs),fromIntegral (maximum xs)) , PNG "Las_sucesiones_de_Loomis_2.png" ] [(x,convergencia2 x) | x <- xs]

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Conjuntos de primos emparejables

José A. Alonso, 5-mayo-2020, Avanzado

Un conjunto de primos emparejables es un conjunto S de números primos tales que al concatenar cualquier par de elementos de S se obtiene un número primo. Por ejemplo, {3, 7, 109, 673} es un conjunto de primos emparejables ya que sus elementos son primos y las concatenaciones de sus parejas son 37, 3109, 3673, 73, 7109, 7673, 1093, 1097, 109673, 6733, 6737 y 673109 son primos.

Definir la función

   emparejables :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

tal que (emparejables n m) es el conjunto de los conjuntos emparejables de n elementos menores que n. Por ejemplo,

   take 5 (emparejables 2   10)  ==  [[3,7]]
   take 5 (emparejables 3   10)  ==  []
   take 5 (emparejables 2  100)  ==  [[3,7],[3,11],[3,17],[3,31],[3,37]]
   take 5 (emparejables 3  100)  ==  [[3,37,67],[7,19,97]]
   take 5 (emparejables 4  100)  ==  []
   take 5 (emparejables 4 1000)  ==  [[3,7,109,673],[23,311,677,827]]

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Etiqueta: dropWhile

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