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Números cíclopes

José A. Alonso,

Un número cíclope es un número natural cuya representación binaria sólo tiene un cero en el centro. Por ejemplo,

     0      es ciclope porque su representación binaria es 0       
     1   no es ciclope porque su representación binaria es 1       
     5      es ciclope porque su representación binaria es 101     
     9   no es ciclope porque su representación binaria es 1001    
    10   no es ciclope porque su representación binaria es 1010    
    27      es ciclope porque su representación binaria es 11011   
    85   no es ciclope porque su representación binaria es 1010101 
   101   no es ciclope porque su representación binaria es 1100101 
   111   no es ciclope porque su representación binaria es 1101111 
   119      es ciclope porque su representación binaria es 1110111

Definir las funciones

   esCiclope       :: Integer -> Bool
   ciclopes        :: [Integer]
   graficaCiclopes :: Int -> IO ()

tales que

  • (esCiclope n) se verifica si el número natual n es cíclope. Por ejemplo, 
      esCiclope 0    ==  True
      esCiclope 1    ==  False
      esCiclope 5    ==  True
      esCiclope 9    ==  False
      esCiclope 10   ==  False
      esCiclope 27   ==  True
      esCiclope 85   ==  False
      esCiclope 101  ==  False
      esCiclope 111  ==  False
      esCiclope 119  ==  True
  • ciclopes es la lista de los número cíclopes. Por ejemplo,
     λ> take 12 ciclopes
     [0,5,27,119,495,2015,8127,32639,130815,523775,2096127,8386559]
     λ> length (show (ciclopes !! (10^5)))
     60207
  • (graficaCiclopes n) dibuja la gráfica del último dígito de los n primeros números cíclopes. Por ejemplo, (graficaCiclopes n) dibuja

Soluciones

import Graphics.Gnuplot.Simple
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
--    esCiclope 5  ==  True
--    esCiclope 6  ==  False
esCiclope :: Integer -> Bool
esCiclope n =
  esCiclopeBinario (decimalAbinario n)
 
--    decimalAbinario 4  ==  [0,0,1]
--    decimalAbinario 5  ==  [1,0,1]
--    decimalAbinario 6  ==  [0,1,1]
decimalAbinario :: Integer -> [Integer]
decimalAbinario 0 = [0]
decimalAbinario 1 = [1]
decimalAbinario n = r : decimalAbinario q
  where (q,r) = quotRem n 2
 
--    esCiclopeBinario [1,1,0,1,1]  ==  True
--    esCiclopeBinario [1,1,0,1]  ==  False
--    esCiclopeBinario [1,1,2,1,1]  ==  False
--    esCiclopeBinario [2,2,0,2,2]  ==  False
esCiclopeBinario :: [Integer] -> Bool
esCiclopeBinario xs =
  odd n && xs == ys ++ 0 : ys
  where n  = length xs
        m  = n `div` 2
        ys = replicate m 1
 
--    take 8 ciclopes  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes :: [Integer]
ciclopes = filter esCiclope [0..]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
--    take 8 ciclopes2  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes2 :: [Integer]
ciclopes2 =
  [binarioAdecimal (replicate n 1 ++ 0 : replicate n 1) | n <- [0..]]
 
--    binarioAdecimal [0,1,1]  ==  6
binarioAdecimal :: [Integer] -> Integer
binarioAdecimal [x]    = x
binarioAdecimal (x:xs) = x + 2 * binarioAdecimal xs
 
esCiclope2 :: Integer -> Bool
esCiclope2 n =
  n `pertenece` ciclopes2
 
pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool
pertenece x ys =
  x == head (dropWhile (<x) ys)
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
--    take 8 ciclopes3  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes3 :: [Integer]
ciclopes3 =
  [sum [2^k | k <- [0..n-1]] + sum [2^k | k <- [n+1..n+n]] | n <- [0..]]
 
esCiclope3 :: Integer -> Bool
esCiclope3 n =
  n `pertenece` ciclopes3
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
--    take 8 ciclopes3  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes4 :: [Integer]
ciclopes4 =
  [2^(2*n+1) - 1 - 2^n | n <- [0..]]
 
esCiclope4 :: Integer -> Bool
esCiclope4 n =
  n `pertenece` ciclopes4
 
 
-- 5ª solución
-- ===========
 
--    take 8 ciclopes5  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes5 :: [Integer]
ciclopes5 =
  [2*4^n - 1 - 2^n | n <- [0..]]
 
esCiclope5 :: Integer -> Bool
esCiclope5 n =
  n `pertenece` ciclopes5
 
-- 6ª solución
-- ===========
 
--    take 8 ciclopes6  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes6 :: [Integer]
ciclopes6 =
  [2*x*x - 1 - x | x <- iterate (*2) 1]
 
esCiclope6 :: Integer -> Bool
esCiclope6 n =
  n `pertenece` ciclopes6
 
 
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> ciclopes !! 9
--    523775
--    (6.68 secs, 4,696,734,960 bytes)
--    λ> ciclopes2 !! 9
--    523775
--    (0.00 secs, 134,664 bytes)
--    λ> ciclopes3 !! 9
--    523775
--    (0.00 secs, 150,920 bytes)
--    λ> ciclopes4 !! 9
--    523775
--    (0.01 secs, 131,936 bytes)
--    λ> ciclopes5 !! 9
--    523775
--    (0.00 secs, 132,064 bytes)
--
--    λ> length (show (ciclopes2 !! (3*10^4)))
--    18063
--    (0.65 secs, 486,437,480 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes3 !! (3*10^4)))
--    18063
--    (2.94 secs, 1,188,645,584 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes4 !! (3*10^4)))
--    18063
--    (0.02 secs, 6,769,592 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes5 !! (3*10^4)))
--    18063
--    (0.02 secs, 6,773,552 bytes)
--
--    λ> length (show (ciclopes2 !! (10^5)))
--    60207
--    (6.42 secs, 5,148,671,368 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes4 !! (10^5)))
--    60207
--    (0.07 secs, 22,291,480 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes5 !! (10^5)))
--    60207
--    (0.04 secs, 22,316,216 bytes)
--    
--    λ> length (show (ciclopes4 !! (5*10^6)))
--    3010301
--    (2.34 secs, 1,116,327,832 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes5 !! (5*10^6)))
--    3010301
--    (2.39 secs, 1,099,177,056 bytes)
 
-- Definición de graficaCiclopes
-- =============================
 
graficaCiclopes :: Int -> IO ()
graficaCiclopes n =
  plotList [ Key Nothing
           -- , PNG "Numeros_ciclopes.png"
           ]
           [x `mod` 10 | x <- take n ciclopes5]

Pensamiento

¿Sabes cuando el agua suena,
si es agua de cumbre o valle,
de plaza, jardín o huerta?
Cantores, dejad
palmas y jaleo
para los demás.

Antonio Machado

Avanzado
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6 soluciones de “Números cíclopes”

  1. Responder
    frahidzam 
    import Graphics.Gnuplot.Simple
 
esCiclope :: Integer -> Bool
esCiclope n = last (takeWhile (<= n) ciclopes) == n
 
ciclopes :: [Integer]
ciclopes = [fromBinary (((replicate k 1) ++ [0] ++  (replicate k 1))) | k <- [0..]]
 
fromBinary :: [Integer] -> Integer
fromBinary xs = sum [a*2^b | (a,b) <- zip xs [0..]]
 
graficaCiclopes :: Int -> IO ()
graficaCiclopes n = plotList [Key Nothing] (map (x -> mod x 10) (take n ciclopes))
  2. Responder
    frahidzam 

    import Graphics.Gnuplot.Simple

esCiclope :: Integer -> Bool
esCiclope n = last (takeWhile (<= n) ciclopes) == n

ciclopes2 :: [Integer]
ciclopes2 = map (\n -> (2^n - 1)*(2*2^n + 1)) [0..]

graficaCiclopes :: Int -> IO ()
graficaCiclopes n = plotList [Key Nothing] (map (x -> mod x 10) (take n ciclopes))

  3. Responder
    adogargon 
    ciclopes :: [Integer]
ciclopes = map base10 $! [ (replicate n 1) ++ [0] ++  (replicate n 1) |  n <- [0..]]
 
base10 :: [Integer] -> Integer
base10 [] = 0
base10 (x:xs) = x*2^(length xs) + (base10 xs)
 
esCiclope  :: Integer -> Bool
esCiclope x = x`elem` (takeWhile (<=x) (ciclopes))
 
graficaCiclopes n :: Int -> IO()
graficaCiclopes n = plotList [] (take n ciclopes)
  4. Responder
    luipromor 
    esCiclope       :: Integer -> Bool
esCiclope x = last (takeWhile (<=x) ciclopes ) == x
ciclopes        :: [Integer]
ciclopes = [(2^n - 1)*(2*2^n + 1) | n <- [0..]]
graficaCiclopes :: Int -> IO ()
graficaCiclopes n = plotList []  [ read [last (show x)] :: Integer | x <- (take n ciclopes)]
  5. Responder
    frahidzam

    Solución en maxima

    ciclopes (n) := map (lambda ([n],(2^n – 1)(22^n + 1)), (makelist(k,k,0,n-1)))$
    esCiclope (n) := member(n,ciclopes (n))$
    ciclopes2 (n) := map (lambda ([n], mod (n,10)), ciclopes (n))$
    graficaCiclopes (n) := plot2d ([discrete, makelist (k,k,0,n-1), ciclopes2 (n)])$

  6. Responder
    javmarcha1 
    import Graphics.Gnuplot.Simple
 
esCiclope :: Integer -> Bool
esCiclope x = head(drop a xs) == 0 &&
             ((replicate a 1 == take a xs) && (replicate a 1 == drop (a+1) xs))
  where a = div (length (toBin x) -1) 2
        xs = toBin x
 
toBin :: Integer -> [Integer]
toBin 0 = [0]
toBin 1 = [1]
toBin n | n `mod` 2 == 1 = toBin (n `div` 2) ++ [1]
        | n `mod` 2 == 0 = toBin (n `div` 2) ++ [0]
 
ciclopes :: [Integer]
ciclopes = [fromBin((replicate k 1) ++ [0] ++  (replicate k 1)) | k <- [0..]]
 
fromBin :: [Integer] -> Integer
fromBin xs = sum [a*2^b | (a,b) <- zip xs [0..]]
 
graficaCiclopes :: Int -> IO ()
graficaCiclopes n = plotList [Key Nothing] (map (last) [digitos x | x <- (take n ciclopes)])
 
digitos :: Integer -> [Integer]
digitos x = [ read [y] | y <- show x]

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