Un número n es abundante si la suma de los divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.
Definir la sucesión
sumasDeDosAbundantes :: [Integer] |
cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,
take 10 sumasDeDosAbundantes == [24,30,32,36,38,40,42,44,48,50] |
Definir la función
sumaDivisores :: Integer -> Integer |
tal que (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,
sumaDivisores 12 == 28 sumaDivisores 25 == 31 sumaDivisores (product [1..25]) == 93383273455325195473152000 length (show (sumaDivisores (product [1..30000]))) == 121289 maximum (map sumaDivisores [1..10^5]) == 403200 |
Definir la función
numeroDivisores :: Integer -> Integer |
tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,
numeroDivisores 12 == 6 numeroDivisores 25 == 3 length (show (numeroDivisores (product [1..3*10^4]))) == 1948 |
Definir la función
divisores :: Integer -> [Integer] |
tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de x. Por ejemplo,
divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30] length (divisores (product [1..10])) == 270 length (divisores (product [1..25])) == 340032 |
Definir la función
esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool |
tal que (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.
esPotenciaDeDos 1 == True esPotenciaDeDos 2 == True esPotenciaDeDos 6 == False esPotenciaDeDos 8 == True esPotenciaDeDos 1024 == True esPotenciaDeDos 1026 == False esPotenciaDeDos (2^(10^8)) == True |
Dos números enteros positivos son primos relativos si no tienen ningún factor primo en común; es decit, si 1 es su único divisor común. Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3.
Definir la función
primosRelativos :: [Int] -> Bool |
tal que (primosRelativos xs) se verifica si los elementos de xs son primos relativos dos a dos. Por ejemplo,
primosRelativos [6,35] == True primosRelativos [6,27] == False primosRelativos [2,3,4] == False primosRelativos [6,35,11] == True primosRelativos [6,35,11,221] == True primosRelativos [6,35,11,231] == False |
import Test.QuickCheck import Data.List (delete, intersect) import Data.Numbers.Primes (primeFactors, primes) import qualified Data.Set as S (disjoint, fromList) -- 1ª solución -- =========== primosRelativos1 :: [Int] -> Bool primosRelativos1 [] = True primosRelativos1 (x:xs) = and [sonPrimosRelativos1 x y | y <- xs] && primosRelativos1 xs -- (sonPrimosRelativos x y) se verifica si x e y son primos -- relativos. Por ejemplo, -- sonPrimosRelativos1 6 35 == True -- sonPrimosRelativos1 6 27 == False sonPrimosRelativos1 :: Int -> Int -> Bool sonPrimosRelativos1 x y = null (divisoresPrimos x `intersect` divisoresPrimos y) -- (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. Por -- ejemplo, -- divisoresPrimos 600 == [2,2,2,3,5,5] divisoresPrimos :: Int -> [Int] divisoresPrimos 1 = [] divisoresPrimos x = y : divisoresPrimos (x `div` y) where y = menorDivisorPrimo x -- (menorDivisorPrimo x) es el menor divisor primo de x. Por ejemplo, -- menorDivisorPrimo 15 == 3 -- menorDivisorPrimo 11 == 11 menorDivisorPrimo :: Int -> Int menorDivisorPrimo x = head [y | y <- [2..], x `mod` y == 0] -- 2ª solución -- =========== primosRelativos2 :: [Int] -> Bool primosRelativos2 [] = True primosRelativos2 (x:xs) = all (sonPrimosRelativos1 x) xs && primosRelativos2 xs -- 3ª solución -- =========== primosRelativos3 :: [Int] -> Bool primosRelativos3 [] = True primosRelativos3 (x:xs) = all (sonPrimosRelativos2 x) xs && primosRelativos3 xs sonPrimosRelativos2 :: Int -> Int -> Bool sonPrimosRelativos2 x y = null (primeFactors x `intersect` primeFactors y) -- 4ª solución -- =========== primosRelativos4 :: [Int] -> Bool primosRelativos4 [] = True primosRelativos4 (x:xs) = all (sonPrimosRelativos3 x) xs && primosRelativos4 xs sonPrimosRelativos3 :: Int -> Int -> Bool sonPrimosRelativos3 x y = S.fromList (primeFactors x) `S.disjoint` S.fromList (primeFactors y) -- 5ª solución -- =========== primosRelativos5 :: [Int] -> Bool primosRelativos5 [] = True primosRelativos5 (x:xs) = all (sonPrimosRelativos5 x) xs && primosRelativos5 xs sonPrimosRelativos5 :: Int -> Int -> Bool sonPrimosRelativos5 x y = gcd x y == 1 -- Comprobación de equivalencia -- ============================ -- La propiedad es prop_primosRelativos :: [Positive Int] -> Bool prop_primosRelativos xs = all (== primosRelativos1 ys) [primosRelativos2 ys, primosRelativos3 ys, primosRelativos4 ys, primosRelativos5 ys] where ys = getPositive <$> xs -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_primosRelativos -- +++ OK, passed 100 tests. -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> primosRelativos1 (take 120 primes) -- True -- (1.92 secs, 869,909,416 bytes) -- λ> primosRelativos2 (take 120 primes) -- True -- (1.99 secs, 869,045,656 bytes) -- λ> primosRelativos3 (take 120 primes) -- True -- (0.09 secs, 221,183,200 bytes) -- -- λ> primosRelativos3 (take 600 primes) -- True -- (2.62 secs, 11,196,690,856 bytes) -- λ> primosRelativos4 (take 600 primes) -- True -- (2.66 secs, 11,190,940,456 bytes) -- λ> primosRelativos5 (take 600 primes) -- True -- (0.14 secs, 123,673,648 bytes) |
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La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo
Definir la función
primosEquidistantes :: Integer -> [(Integer,Integer)] |
tal que (primosEquidistantes k) es la lista de los pares de primos cuya diferencia es k. Por ejemplo,
take 3 (primosEquidistantes 2) == [(3,5),(5,7),(11,13)] take 3 (primosEquidistantes 4) == [(7,11),(13,17),(19,23)] take 3 (primosEquidistantes 6) == [(23,29),(31,37),(47,53)] take 3 (primosEquidistantes 8) == [(89,97),(359,367),(389,397)] primosEquidistantes 4 !! (10^5) == (18467047,18467051) |
import Data.Numbers.Primes (primes) -- 1ª solución -- =========== primosEquidistantes1 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosEquidistantes1 k = aux primos where aux (x:y:ps) | y - x == k = (x,y) : aux (y:ps) | otherwise = aux (y:ps) -- (primo x) se verifica si x es primo. Por ejemplo, -- primo 7 == True -- primo 8 == False primo :: Integer -> Bool primo x = [y | y <- [1..x], x `rem` y == 0] == [1,x] -- primos es la lista de los números primos. Por ejemplo, -- take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] primos :: [Integer] primos = 2 : [x | x <- [3,5..], primo x] -- 2ª solución -- =========== primosEquidistantes2 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosEquidistantes2 k = aux primos2 where aux (x:y:ps) | y - x == k = (x,y) : aux (y:ps) | otherwise = aux (y:ps) primos2 :: [Integer] primos2 = criba [2..] where criba (p:ps) = p : criba [n | n <- ps, mod n p /= 0] -- 3ª solución -- =========== primosEquidistantes3 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosEquidistantes3 k = [(x,y) | (x,y) <- zip primos2 (tail primos2) , y - x == k] -- 4ª solución -- =========== primosEquidistantes4 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosEquidistantes4 k = aux primes where aux (x:y:ps) | y - x == k = (x,y) : aux (y:ps) | otherwise = aux (y:ps) -- 5ª solución -- =========== primosEquidistantes5 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosEquidistantes5 k = [(x,y) | (x,y) <- zip primes (tail primes) , y - x == k] -- Comprobación de equivalencia -- ============================ -- La propiedad es prop_primosEquidistantes :: Int -> Integer -> Bool prop_primosEquidistantes n k = all (== take n (primosEquidistantes1 k)) [take n (f k) | f <- [primosEquidistantes2, primosEquidistantes3, primosEquidistantes4, primosEquidistantes5]] -- La comprobación es -- λ> prop_primosEquidistantes 100 4 -- True -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> primosEquidistantes1 4 !! 200 -- (9829,9833) -- (2.60 secs, 1,126,458,272 bytes) -- λ> primosEquidistantes2 4 !! 200 -- (9829,9833) -- (0.44 secs, 249,622,048 bytes) -- λ> primosEquidistantes3 4 !! 200 -- (9829,9833) -- (0.36 secs, 207,549,592 bytes) -- λ> primosEquidistantes4 4 !! 200 -- (9829,9833) -- (0.02 secs, 4,012,848 bytes) -- λ> primosEquidistantes5 4 !! 200 -- (9829,9833) -- (0.01 secs, 7,085,072 bytes) -- -- λ> primosEquidistantes2 4 !! 600 -- (41617,41621) -- (5.67 secs, 3,340,313,480 bytes) -- λ> primosEquidistantes3 4 !! 600 -- (41617,41621) -- (5.43 secs, 3,090,994,096 bytes) -- λ> primosEquidistantes4 4 !! 600 -- (41617,41621) -- (0.03 secs, 15,465,824 bytes) -- λ> primosEquidistantes5 4 !! 600 -- (41617,41621) -- (0.04 secs, 28,858,232 bytes) -- -- λ> primosEquidistantes4 4 !! (10^5) -- (18467047,18467051) -- (3.99 secs, 9,565,715,488 bytes) -- λ> primosEquidistantes5 4 !! (10^5) -- (18467047,18467051) -- (7.95 secs, 18,712,469,144 bytes) |
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Definir la lista
primosConsecutivosConMediaCapicua :: [(Int,Int,Int)] |
formada por las ternas (x,y,z) tales que x e y son primos consecutivos cuya media, z, es capicúa. Por ejemplo,
λ> take 5 primosConsecutivosConMediaCapicua [(3,5,4),(5,7,6),(7,11,9),(97,101,99),(109,113,111)] λ> primosConsecutivosConMediaCapicua !! 500 (5687863,5687867,5687865) |
import Data.List (genericTake) import Data.Numbers.Primes (primes) -- 1ª solución -- =========== primosConsecutivosConMediaCapicua :: [(Integer,Integer,Integer)] primosConsecutivosConMediaCapicua = [(x,y,z) | (x,y) <- zip primosImpares (tail primosImpares), let z = (x + y) `div` 2, capicua z] -- (primo x) se verifica si x es primo. Por ejemplo, -- primo 7 == True -- primo 8 == False primo :: Integer -> Bool primo x = [y | y <- [1..x], x `rem` y == 0] == [1,x] -- primosImpares es la lista de los números primos impares. Por ejemplo, -- take 10 primosImpares == [3,5,7,11,13,17,19,23,29] primosImpares :: [Integer] primosImpares = [x | x <- [3,5..], primo x] -- (capicua x) se verifica si x es capicúa. Por ejemplo, capicua :: Integer -> Bool capicua x = ys == reverse ys where ys = show x -- 2ª solución -- =========== primosConsecutivosConMediaCapicua2 :: [(Integer,Integer,Integer)] primosConsecutivosConMediaCapicua2 = [(x,y,z) | (x,y) <- zip primosImpares2 (tail primosImpares2), let z = (x + y) `div` 2, capicua z] primosImpares2 :: [Integer] primosImpares2 = tail (criba [2..]) where criba (p:ps) = p : criba [n | n <- ps, mod n p /= 0] criba [] = error "Imposible" -- 3ª solución -- =========== primosConsecutivosConMediaCapicua3 :: [(Integer,Integer,Integer)] primosConsecutivosConMediaCapicua3 = [(x,y,z) | (x,y) <- zip (tail primos3) (drop 2 primos3), let z = (x + y) `div` 2, capicua z] primos3 :: [Integer] primos3 = 2 : 3 : criba3 0 (tail primos3) 3 where criba3 k (p:ps) x = [n | n <- [x+2,x+4..p*p-2], and [n `rem` q /= 0 | q <- take k (tail primos3)]] ++ criba3 (k+1) ps (p*p) criba3 _ [] _ = error "Imposible" -- 4ª solución -- =========== primosConsecutivosConMediaCapicua4 :: [(Integer,Integer,Integer)] primosConsecutivosConMediaCapicua4 = [(x,y,z) | (x,y) <- zip (tail primes) (drop 2 primes), let z = (x + y) `div` 2, capicua z] -- Equivalencia de definiciones -- ============================ -- La propiedad es prop_primosConsecutivosConMediaCapicua :: Integer -> Bool prop_primosConsecutivosConMediaCapicua n = all (== genericTake n primosConsecutivosConMediaCapicua) [genericTake n primosConsecutivosConMediaCapicua2, genericTake n primosConsecutivosConMediaCapicua3, genericTake n primosConsecutivosConMediaCapicua4] -- La comprobación es -- λ> prop_primosConsecutivosConMediaCapicua 25 {-# SCC "" #-} -- True -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> primosConsecutivosConMediaCapicua !! 30 -- (12919,12923,12921) -- (4.60 secs, 1,877,064,288 bytes) -- λ> primosConsecutivosConMediaCapicua2 !! 30 -- (12919,12923,12921) -- (0.69 secs, 407,055,848 bytes) -- λ> primosConsecutivosConMediaCapicua3 !! 30 -- (12919,12923,12921) -- (0.07 secs, 18,597,104 bytes) -- λ> primosConsecutivosConMediaCapicua4 !! 30 -- (12919,12923,12921) -- (0.01 secs, 10,065,784 bytes) -- -- λ> primosConsecutivosConMediaCapicua2 !! 40 -- (29287,29297,29292) -- (2.67 secs, 1,775,554,576 bytes) -- λ> primosConsecutivosConMediaCapicua3 !! 40 -- (29287,29297,29292) -- (0.09 secs, 32,325,808 bytes) -- λ> primosConsecutivosConMediaCapicua4 !! 40 -- (29287,29297,29292) -- (0.01 secs, 22,160,072 bytes) -- -- λ> primosConsecutivosConMediaCapicua3 !! 150 -- (605503,605509,605506) -- (3.68 secs, 2,298,403,864 bytes) -- λ> primosConsecutivosConMediaCapicua4 !! 150 -- (605503,605509,605506) -- (0.24 secs, 491,917,240 bytes) |
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Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la función
sumaAmigosMenores :: Integer -> Integer |
tal que (sumaAmigosMenores n) es la suma de los números amigos menores que n. Por ejemplo,
sumaAmigosMenores 2000 == 2898 sumaAmigosMenores (10^5) == 852810 |
import Data.List (genericLength, group, inits, nub, sort, subsequences) import Data.Numbers.Primes (primeFactors) -- 1ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores1 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores1 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores1 n] -- (amigosMenores1 n) es la lista de los pares de números amigos (con la -- primera componente menor que la segunda) que son menores que n. Por -- ejemplo, -- amigosMenores1 2000 == [(220,284),(1184,1210)] amigosMenores1 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores1 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos1 sucesionAmigos1 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos1 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios1 x, y > x, sumaDivisoresPropios1 y == x] -- (sumaDivisoresPropios1 x) es la suma de los divisores propios de -- x. Por ejemplo, -- sumaDivisoresPropios1 220 == 284 -- sumaDivisoresPropios1 284 == 220 sumaDivisoresPropios1 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios1 = sum . divisoresPropios1 -- (divisoresPropios1 x) es la lista de los divisores propios de x. Por -- ejemplo, -- divisoresPropios1 220 == [1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110] -- divisoresPropios1 284 == [1,2,4,71,142] divisoresPropios1 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios1 x = [n | n <- [1..x-1], x `mod` n == 0] -- 2ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores2 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores2 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores2 n] amigosMenores2 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores2 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos2 sucesionAmigos2 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos2 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios2 x, y > x, sumaDivisoresPropios2 y == x] sumaDivisoresPropios2 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios2 = sum . divisoresPropios2 divisoresPropios2 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios2 x = filter ((== 0) . mod x) [1..x-1] -- 3ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores3 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores3 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores3 n] amigosMenores3 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores3 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos3 sucesionAmigos3 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos3 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios3 x, y > x, sumaDivisoresPropios3 y == x] sumaDivisoresPropios3 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios3 = sum . divisoresPropios3 divisoresPropios3 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios3 = init . nub . sort . map product . subsequences . primeFactors -- 4ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores4 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores4 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores4 n] amigosMenores4 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores4 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos4 sucesionAmigos4 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos4 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios4 x, y > x, sumaDivisoresPropios4 y == x] sumaDivisoresPropios4 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios4 = sum . divisoresPropios4 divisoresPropios4 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios4 = init . sort . map (product . concat) . productoCartesiano . map inits . group . primeFactors -- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos -- xss. Por ejemplo, -- λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]] -- [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]] productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]] productoCartesiano [] = [[]] productoCartesiano (xs:xss) = [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss] -- 5ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores5 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores5 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores5 n] amigosMenores5 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores5 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos5 sucesionAmigos5 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos5 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios5 x, y > x, sumaDivisoresPropios5 y == x] sumaDivisoresPropios5 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios5 = sum . divisoresPropios5 divisoresPropios5 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios5 = init . sort . map (product . concat) . sequence . map inits . group . primeFactors -- 6ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores6 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores6 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores6 n] amigosMenores6 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores6 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos6 sucesionAmigos6 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos6 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios6 x, y > x, sumaDivisoresPropios6 y == x] sumaDivisoresPropios6 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios6 = sum . init . map (product . concat) . sequence . map inits . group . primeFactors -- 7ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores7 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores7 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores7 n] amigosMenores7 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores7 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos7 sucesionAmigos7 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos7 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios7 x, y > x, sumaDivisoresPropios7 y == x] -- Si la descomposición de x en factores primos es -- x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n) -- entonces la suma de los divisores de x es -- p(1)^(e(1)+1) - 1 p(2)^(e(2)+1) - 1 p(n)^(e(2)+1) - 1 -- ------------------- . ------------------- ... ------------------- -- p(1)-1 p(2)-1 p(n)-1 -- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc sumaDivisoresPropios7 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios7 x = product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x] - x -- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la -- descomposición prima de x. Por ejemplo, -- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)] factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)] factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors -- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs -- y la longitud de xs. Por ejemplo, -- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4) primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer) primeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> sumaAmigosMenores1 6000 -- 19026 -- (10.37 secs, 5,261,392,352 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores2 6000 -- 19026 -- (3.86 secs, 3,161,700,400 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores3 6000 -- 19026 -- (0.15 secs, 308,520,248 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores4 6000 -- 19026 -- (0.23 secs, 271,421,184 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores5 6000 -- 19026 -- (0.13 secs, 230,042,112 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores6 6000 -- 19026 -- (0.12 secs, 202,638,880 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores7 6000 -- 19026 -- (0.13 secs, 159,022,448 bytes) -- -- λ> sumaAmigosMenores3 (10^5) -- 852810 -- (4.83 secs, 10,726,377,728 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores4 (10^5) -- 852810 -- (4.79 secs, 7,832,234,120 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores5 (10^5) -- 852810 -- (2.79 secs, 6,837,118,464 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores6 (10^5) -- 852810 -- (2.39 secs, 6,229,730,472 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores7 (10^5) -- 852810 -- (2.65 secs, 5,170,949,168 bytes) |
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Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la lista
sucesionAmigos :: [(Integer,Integer)] |
cuyos elementos son los pares de números amigos con la primera componente menor que la segunda. Por ejemplo,
take 4 sucesionAmigos == [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] sucesionAmigos6 !! 20 == (185368,203432) |
import Data.List (genericLength, group, inits, nub, sort, subsequences) import Data.Numbers.Primes (primeFactors) -- 1ª solución -- -- =========== sucesionAmigos1 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos1 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios1 x, y > x, sumaDivisoresPropios1 y == x] -- (sumaDivisoresPropios1 x) es la suma de los divisores propios de -- x. Por ejemplo, -- sumaDivisoresPropios1 220 == 284 -- sumaDivisoresPropios1 284 == 220 sumaDivisoresPropios1 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios1 = sum . divisoresPropios1 -- (divisoresPropios1 x) es la lista de los divisores propios de x. Por -- ejemplo, -- divisoresPropios1 220 == [1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110] -- divisoresPropios1 284 == [1,2,4,71,142] divisoresPropios1 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios1 x = [n | n <- [1..x-1], x `mod` n == 0] -- 2ª solución -- -- =========== sucesionAmigos2 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos2 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios2 x, y > x, sumaDivisoresPropios2 y == x] sumaDivisoresPropios2 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios2 = sum . divisoresPropios2 divisoresPropios2 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios2 x = filter ((== 0) . mod x) [1..x-1] -- 3ª solución -- -- =========== sucesionAmigos3 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos3 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios3 x, y > x, sumaDivisoresPropios3 y == x] sumaDivisoresPropios3 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios3 = sum . divisoresPropios3 divisoresPropios3 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios3 = init . nub . sort . map product . subsequences . primeFactors -- 4ª solución -- -- =========== sucesionAmigos4 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos4 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios4 x, y > x, sumaDivisoresPropios4 y == x] sumaDivisoresPropios4 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios4 = sum . divisoresPropios4 divisoresPropios4 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios4 = init . sort . map (product . concat) . productoCartesiano . map inits . group . primeFactors -- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos -- xss. Por ejemplo, -- λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]] -- [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]] productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]] productoCartesiano [] = [[]] productoCartesiano (xs:xss) = [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss] -- 5ª solución -- -- =========== sucesionAmigos5 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos5 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios5 x, y > x, sumaDivisoresPropios5 y == x] sumaDivisoresPropios5 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios5 = sum . divisoresPropios5 divisoresPropios5 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios5 = init . sort . map (product . concat) . sequence . map inits . group . primeFactors -- 6ª solución -- -- =========== sucesionAmigos6 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos6 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios6 x, y > x, sumaDivisoresPropios6 y == x] sumaDivisoresPropios6 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios6 = sum . init . map (product . concat) . sequence . map inits . group . primeFactors -- 7ª solución -- -- =========== sucesionAmigos7 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos7 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios7 x, y > x, sumaDivisoresPropios7 y == x] -- Si la descomposición de x en factores primos es -- x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n) -- entonces la suma de los divisores de x es -- p(1)^(e(1)+1) - 1 p(2)^(e(2)+1) - 1 p(n)^(e(2)+1) - 1 -- ------------------- . ------------------- ... ------------------- -- p(1)-1 p(2)-1 p(n)-1 -- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc sumaDivisoresPropios7 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios7 x = product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x] - x -- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la -- descomposición prima de x. Por ejemplo, -- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)] factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)] factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors -- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs -- y la longitud de xs. Por ejemplo, -- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4) primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer) primeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> take 4 sucesionAmigos1 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (6.00 secs, 3,413,777,560 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos2 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (2.38 secs, 2,052,151,800 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos3 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (0.14 secs, 235,238,864 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos4 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (0.20 secs, 208,315,832 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos5 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (0.09 secs, 176,149,160 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos6 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (0.07 secs, 154,686,728 bytes) -- λ> take 4 sucesionAmigos7 -- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] -- (0.12 secs, 120,826,648 bytes) -- -- λ> sucesionAmigos3 !! 10 -- (67095,71145) -- (3.52 secs, 6,749,059,064 bytes) -- λ> sucesionAmigos4 !! 10 -- (67095,71145) -- (3.11 secs, 4,951,018,904 bytes) -- λ> sucesionAmigos5 !! 10 -- (67095,71145) -- (1.69 secs, 4,294,457,320 bytes) -- λ> sucesionAmigos6 !! 10 -- (67095,71145) -- (1.43 secs, 3,889,045,760 bytes) -- λ> sucesionAmigos7 !! 10 -- (67095,71145) -- (1.63 secs, 3,191,073,224 bytes) -- -- λ> sucesionAmigos5 !! 12 -- (79750,88730) -- (2.13 secs, 5,312,053,312 bytes) -- λ> sucesionAmigos6 !! 12 -- (79750,88730) -- (1.78 secs, 4,820,560,920 bytes) -- λ> sucesionAmigos7 !! 12 -- (79750,88730) -- (2.11 secs, 3,971,113,184 bytes) |
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José A. Alonso