Sucesión de números amigos

Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.

Definir la lista

   sucesionAmigos :: [(Integer,Integer)]

1	sucesionAmigos :: [(Integer,Integer)]

cuyos elementos son los pares de números amigos con la primera componente menor que la segunda. Por ejemplo,

   take 4 sucesionAmigos == [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]
   sucesionAmigos6 !! 20 == (185368,203432)

1 2	take 4 sucesionAmigos == [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] sucesionAmigos6 !! 20 == (185368,203432)

Soluciones

import Data.List (genericLength, group, inits, nub, sort, subsequences)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

-- 1ª solución                                                   --
-- ===========

sucesionAmigos1 :: [(Integer,Integer)]
sucesionAmigos1 =
  [(x,y) | x <- [1..],
           let y = sumaDivisoresPropios1 x,
           y > x,
           sumaDivisoresPropios1 y == x]

-- (sumaDivisoresPropios1 x) es la suma de los divisores propios de
-- x. Por ejemplo,
--    sumaDivisoresPropios1 220  ==  284
--    sumaDivisoresPropios1 284  ==  220
sumaDivisoresPropios1 :: Integer -> Integer
sumaDivisoresPropios1 = sum . divisoresPropios1

-- (divisoresPropios1 x) es la lista de los divisores propios de x. Por
-- ejemplo,
--    divisoresPropios1 220  ==  [1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110]
--    divisoresPropios1 284  ==  [1,2,4,71,142]
divisoresPropios1 :: Integer -> [Integer]
divisoresPropios1 x = [n | n <- [1..x-1], x `mod` n == 0]

-- 2ª solución                                                   --
-- ===========

sucesionAmigos2 :: [(Integer,Integer)]
sucesionAmigos2 =
  [(x,y) | x <- [1..],
           let y = sumaDivisoresPropios2 x,
           y > x,
           sumaDivisoresPropios2 y == x]

sumaDivisoresPropios2 :: Integer -> Integer
sumaDivisoresPropios2 = sum . divisoresPropios2

divisoresPropios2 :: Integer -> [Integer]
divisoresPropios2 x = filter ((== 0) . mod x) [1..x-1]

-- 3ª solución                                                   --
-- ===========

sucesionAmigos3 :: [(Integer,Integer)]
sucesionAmigos3 =
  [(x,y) | x <- [1..],
           let y = sumaDivisoresPropios3 x,
           y > x,
           sumaDivisoresPropios3 y == x]

sumaDivisoresPropios3 :: Integer -> Integer
sumaDivisoresPropios3 = sum . divisoresPropios3

divisoresPropios3 :: Integer -> [Integer]
divisoresPropios3 =
  init . nub . sort . map product . subsequences . primeFactors

-- 4ª solución                                                   --
-- ===========

sucesionAmigos4 :: [(Integer,Integer)]
sucesionAmigos4 =
  [(x,y) | x <- [1..],
           let y = sumaDivisoresPropios4 x,
           y > x,
           sumaDivisoresPropios4 y == x]

sumaDivisoresPropios4 :: Integer -> Integer
sumaDivisoresPropios4 = sum . divisoresPropios4

divisoresPropios4 :: Integer -> [Integer]
divisoresPropios4 =
  init
  . sort
  . map (product . concat)
  . productoCartesiano
  . map inits
  . group
  . primeFactors

-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos
-- xss. Por ejemplo,
--    λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]]
--    [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]
productoCartesiano []       = [[]]
productoCartesiano (xs:xss) =
  [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]

-- 5ª solución                                                   --
-- ===========

sucesionAmigos5 :: [(Integer,Integer)]
sucesionAmigos5 =
  [(x,y) | x <- [1..],
           let y = sumaDivisoresPropios5 x,
           y > x,
           sumaDivisoresPropios5 y == x]

sumaDivisoresPropios5 :: Integer -> Integer
sumaDivisoresPropios5 = sum . divisoresPropios5

divisoresPropios5 :: Integer -> [Integer]
divisoresPropios5 =
  init
  . sort
  . map (product . concat)
  . sequence
  . map inits
  . group
  . primeFactors

-- 6ª solución                                                   --
-- ===========

sucesionAmigos6 :: [(Integer,Integer)]
sucesionAmigos6 =
  [(x,y) | x <- [1..],
           let y = sumaDivisoresPropios6 x,
           y > x,
           sumaDivisoresPropios6 y == x]

sumaDivisoresPropios6 :: Integer -> Integer
sumaDivisoresPropios6 =
  sum
  . init
  . map (product . concat)
  . sequence
  . map inits
  . group
  . primeFactors

-- 7ª solución                                                   --
-- ===========

sucesionAmigos7 :: [(Integer,Integer)]
sucesionAmigos7 =
  [(x,y) | x <- [1..],
           let y = sumaDivisoresPropios7 x,
           y > x,
           sumaDivisoresPropios7 y == x]

-- Si la descomposición de x en factores primos es
--    x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n)
-- entonces la suma de los divisores de x es
--    p(1)^(e(1)+1) - 1     p(2)^(e(2)+1) - 1       p(n)^(e(2)+1) - 1
--   ------------------- . ------------------- ... -------------------
--        p(1)-1                p(2)-1                  p(n)-1
-- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc

sumaDivisoresPropios7 :: Integer -> Integer
sumaDivisoresPropios7 x =
  product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x] - x

-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la
-- descomposición prima de x. Por ejemplo,
--    factorizacion 600  ==  [(2,3),(3,1),(5,2)]
factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors

-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs
-- y la longitud de xs. Por ejemplo,
--    primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)
primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)
primeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> take 4 sucesionAmigos1
--    [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]
--    (6.00 secs, 3,413,777,560 bytes)
--    λ> take 4 sucesionAmigos2
--    [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]
--    (2.38 secs, 2,052,151,800 bytes)
--    λ> take 4 sucesionAmigos3
--    [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]
--    (0.14 secs, 235,238,864 bytes)
--    λ> take 4 sucesionAmigos4
--    [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]
--    (0.20 secs, 208,315,832 bytes)
--    λ> take 4 sucesionAmigos5
--    [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]
--    (0.09 secs, 176,149,160 bytes)
--    λ> take 4 sucesionAmigos6
--    [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]
--    (0.07 secs, 154,686,728 bytes)
--    λ> take 4 sucesionAmigos7
--    [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]
--    (0.12 secs, 120,826,648 bytes)
--
--    λ> sucesionAmigos3 !! 10
--    (67095,71145)
--    (3.52 secs, 6,749,059,064 bytes)
--    λ> sucesionAmigos4 !! 10
--    (67095,71145)
--    (3.11 secs, 4,951,018,904 bytes)
--    λ> sucesionAmigos5 !! 10
--    (67095,71145)
--    (1.69 secs, 4,294,457,320 bytes)
--    λ> sucesionAmigos6 !! 10
--    (67095,71145)
--    (1.43 secs, 3,889,045,760 bytes)
--    λ> sucesionAmigos7 !! 10
--    (67095,71145)
--    (1.63 secs, 3,191,073,224 bytes)
--
--    λ> sucesionAmigos5 !! 12
--    (79750,88730)
--    (2.13 secs, 5,312,053,312 bytes)
--    λ> sucesionAmigos6 !! 12
--    (79750,88730)
--    (1.78 secs, 4,820,560,920 bytes)
--    λ> sucesionAmigos7 !! 12
--    (79750,88730)
--    (2.11 secs, 3,971,113,184 bytes)

100

101

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220

import Data.List (genericLength, group, inits, nub, sort, subsequences)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

-- 1ª solución --

-- ===========

sucesionAmigos1 :: [(Integer,Integer)]

sucesionAmigos1 =

[(x,y) | x <- [1..],

let y = sumaDivisoresPropios1 x,

y > x,

sumaDivisoresPropios1 y == x]

-- (sumaDivisoresPropios1 x) es la suma de los divisores propios de

-- x. Por ejemplo,

-- sumaDivisoresPropios1 220 == 284

-- sumaDivisoresPropios1 284 == 220

sumaDivisoresPropios1 :: Integer -> Integer

sumaDivisoresPropios1 = sum . divisoresPropios1

-- (divisoresPropios1 x) es la lista de los divisores propios de x. Por

-- ejemplo,

-- divisoresPropios1 220 == [1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110]

-- divisoresPropios1 284 == [1,2,4,71,142]

divisoresPropios1 :: Integer -> [Integer]

divisoresPropios1 x = [n | n <- [1..x-1], x `mod` n == 0]

-- 2ª solución --

-- ===========

sucesionAmigos2 :: [(Integer,Integer)]

sucesionAmigos2 =

[(x,y) | x <- [1..],

let y = sumaDivisoresPropios2 x,

y > x,

sumaDivisoresPropios2 y == x]

sumaDivisoresPropios2 :: Integer -> Integer

sumaDivisoresPropios2 = sum . divisoresPropios2

divisoresPropios2 :: Integer -> [Integer]

divisoresPropios2 x = filter ((== 0) . mod x) [1..x-1]

-- 3ª solución --

-- ===========

sucesionAmigos3 :: [(Integer,Integer)]

sucesionAmigos3 =

[(x,y) | x <- [1..],

let y = sumaDivisoresPropios3 x,

y > x,

sumaDivisoresPropios3 y == x]

sumaDivisoresPropios3 :: Integer -> Integer

sumaDivisoresPropios3 = sum . divisoresPropios3

divisoresPropios3 :: Integer -> [Integer]

divisoresPropios3 =

init . nub . sort . map product . subsequences . primeFactors

-- 4ª solución --

-- ===========

sucesionAmigos4 :: [(Integer,Integer)]

sucesionAmigos4 =

[(x,y) | x <- [1..],

let y = sumaDivisoresPropios4 x,

y > x,

sumaDivisoresPropios4 y == x]

sumaDivisoresPropios4 :: Integer -> Integer

sumaDivisoresPropios4 = sum . divisoresPropios4

divisoresPropios4 :: Integer -> [Integer]

divisoresPropios4 =

init

. sort

. map (product . concat)

. productoCartesiano

. map inits

. group

. primeFactors

-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos

-- xss. Por ejemplo,

-- λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]]

-- [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]

productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]

productoCartesiano [] = [[]]

productoCartesiano (xs:xss) =

[x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]

-- 5ª solución --

-- ===========

sucesionAmigos5 :: [(Integer,Integer)]

sucesionAmigos5 =

[(x,y) | x <- [1..],

let y = sumaDivisoresPropios5 x,

y > x,

sumaDivisoresPropios5 y == x]

sumaDivisoresPropios5 :: Integer -> Integer

sumaDivisoresPropios5 = sum . divisoresPropios5

divisoresPropios5 :: Integer -> [Integer]

divisoresPropios5 =

init

. sort

. map (product . concat)

. sequence

. map inits

. group

. primeFactors

-- 6ª solución --

-- ===========

sucesionAmigos6 :: [(Integer,Integer)]

sucesionAmigos6 =

[(x,y) | x <- [1..],

let y = sumaDivisoresPropios6 x,

y > x,

sumaDivisoresPropios6 y == x]

sumaDivisoresPropios6 :: Integer -> Integer

sumaDivisoresPropios6 =

sum

. init

. map (product . concat)

. sequence

. map inits

. group

. primeFactors

-- 7ª solución --

-- ===========

sucesionAmigos7 :: [(Integer,Integer)]

sucesionAmigos7 =

[(x,y) | x <- [1..],

let y = sumaDivisoresPropios7 x,

y > x,

sumaDivisoresPropios7 y == x]

-- Si la descomposición de x en factores primos es

-- x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n)

-- entonces la suma de los divisores de x es

-- p(1)^(e(1)+1) - 1 p(2)^(e(2)+1) - 1 p(n)^(e(2)+1) - 1

-- ------------------- . ------------------- ... -------------------

-- p(1)-1 p(2)-1 p(n)-1

-- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc

sumaDivisoresPropios7 :: Integer -> Integer

sumaDivisoresPropios7 x =

product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x] - x

-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la

-- descomposición prima de x. Por ejemplo,

-- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)]

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]

factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors

-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs

-- y la longitud de xs. Por ejemplo,

-- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)

primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)

primeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> take 4 sucesionAmigos1

-- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]

-- (6.00 secs, 3,413,777,560 bytes)

-- λ> take 4 sucesionAmigos2

-- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]

-- (2.38 secs, 2,052,151,800 bytes)

-- λ> take 4 sucesionAmigos3

-- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]

-- (0.14 secs, 235,238,864 bytes)

-- λ> take 4 sucesionAmigos4

-- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]

-- (0.20 secs, 208,315,832 bytes)

-- λ> take 4 sucesionAmigos5

-- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]

-- (0.09 secs, 176,149,160 bytes)

-- λ> take 4 sucesionAmigos6

-- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]

-- (0.07 secs, 154,686,728 bytes)

-- λ> take 4 sucesionAmigos7

-- [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)]

-- (0.12 secs, 120,826,648 bytes)

-- λ> sucesionAmigos3 !! 10

-- (67095,71145)

-- (3.52 secs, 6,749,059,064 bytes)

-- λ> sucesionAmigos4 !! 10

-- (67095,71145)

-- (3.11 secs, 4,951,018,904 bytes)

-- λ> sucesionAmigos5 !! 10

-- (67095,71145)

-- (1.69 secs, 4,294,457,320 bytes)

-- λ> sucesionAmigos6 !! 10

-- (67095,71145)

-- (1.43 secs, 3,889,045,760 bytes)

-- λ> sucesionAmigos7 !! 10

-- (67095,71145)

-- (1.63 secs, 3,191,073,224 bytes)

-- λ> sucesionAmigos5 !! 12

-- (79750,88730)

-- (2.13 secs, 5,312,053,312 bytes)

-- λ> sucesionAmigos6 !! 12

-- (79750,88730)

-- (1.78 secs, 4,820,560,920 bytes)

-- λ> sucesionAmigos7 !! 12

-- (79750,88730)

-- (2.11 secs, 3,971,113,184 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

4 Comentarios

sucesionAmigos :: [(Int, Int)]
sucesionAmigos =
  map snd . filter (even . fst) . zip [0 ..] $
    (220, 284) : do
      x <- [221 ..]
      let y = sum . divisors $ x
      guard $ x /= y && sum (divisors y) == x
      pure (x, y)

divisors :: Int -> [Int]
divisors n = 1 : filter ((== 0) . rem n) [2 .. n `div` 2]

sucesionAmigos :: [(Int, Int)]

sucesionAmigos =

map snd . filter (even . fst) . zip [0 ..] $

(220, 284) : do

x <- [221 ..]

let y = sum . divisors $ x

guard $ x /= y && sum (divisors y) == x

pure (x, y)

divisors :: Int -> [Int]

divisors n = 1 : filter ((== 0) . rem n) [2 .. n `div` 2]

Responder

Corrección:

sucesionAmigos :: [(Int, Int)]
sucesionAmigos = iterate nextAmicable (220, 284)

nextAmicable :: (Int, Int) -> (Int, Int)
nextAmicable (x, y) =
  head $ do
    x' <- [(succ x) ..]
    let y' = sum . divisors $ x'
    guard $ x' > x && y' > x && x' /= y' && x' /= y && sum (divisors y') == x'
    pure $ if x' < y' then (x', y') else (y', x')

divisors :: Int -> [Int]
divisors n = 1 : filter ((== 0) . rem n) [2 .. n `div` 2]

sucesionAmigos = iterate nextAmicable (220, 284)

nextAmicable :: (Int, Int) -> (Int, Int)

nextAmicable (x, y) =

head $ do

x' <- [(succ x) ..]

let y' = sum . divisors $ x'

guard $ x' > x && y' > x && x' /= y' && x' /= y && sum (divisors y') == x'

pure $ if x' < y' then (x', y') else (y', x')

import Data.Numbers.Primes
import Data.List

sigma = foldl' a 1 . group . primeFactors
  where a s xs@(x:_) = s + s * x * (x^(length xs) - 1) `div` (x - 1)

sucesionAmigos :: [(Integer,Integer)]
sucesionAmigos = [(a, b) | a <- [2..]
               , let s = sigma a
               , 2 * a < s && s^2 < a^3 -- abundante
               , let b = s - a
               , sigma b == s ]

{-

*Main> sucesionAmigos !! 20
(185368,203432)
(9.24 secs, 11,785,924,544 bytes)

-}

import Data.Numbers.Primes

import Data.List

sigma = foldl' a 1 . group . primeFactors

where a s xs@(x:_) = s + s * x * (x^(length xs) - 1) `div` (x - 1)

sucesionAmigos = [(a, b) | a <- [2..]

, let s = sigma a

, 2 * a < s && s^2 < a^3 -- abundante

, let b = s - a

, sigma b == s ]

*Main> sucesionAmigos !! 20

(185368,203432)

(9.24 secs, 11,785,924,544 bytes)

sucesionAmigos :: [(Integer,Integer)]
sucesionAmigos =
  [(x,y) | x <- [1..],
           let y = sumaDivisoresPropios x,
           y > x,
           sumaDivisoresPropios y == x]

sumaDivisoresPropios :: Integer -> Integer
sumaDivisoresPropios = sum . divisoresPropios

divisoresPropios :: Integer -> [Integer]
divisoresPropios x = [n | n <- [1..x-1], x `mod` n == 0]

let y = sumaDivisoresPropios x,

sumaDivisoresPropios y == x]

sumaDivisoresPropios :: Integer -> Integer

sumaDivisoresPropios = sum . divisoresPropios

divisoresPropios :: Integer -> [Integer]

divisoresPropios x = [n | n <- [1..x-1], x `mod` n == 0]

Sucesión de números amigos

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