Suma de los números amigos menores que n
Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la función
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1 |
sumaAmigosMenores :: Integer -> Integer |
tal que (sumaAmigosMenores n) es la suma de los números amigos menores que n. Por ejemplo,
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1 2 |
sumaAmigosMenores 2000 == 2898 sumaAmigosMenores (10^5) == 852810 |
Soluciones
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 |
import Data.List (genericLength, group, inits, nub, sort, subsequences) import Data.Numbers.Primes (primeFactors) -- 1ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores1 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores1 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores1 n] -- (amigosMenores1 n) es la lista de los pares de números amigos (con la -- primera componente menor que la segunda) que son menores que n. Por -- ejemplo, -- amigosMenores1 2000 == [(220,284),(1184,1210)] amigosMenores1 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores1 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos1 sucesionAmigos1 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos1 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios1 x, y > x, sumaDivisoresPropios1 y == x] -- (sumaDivisoresPropios1 x) es la suma de los divisores propios de -- x. Por ejemplo, -- sumaDivisoresPropios1 220 == 284 -- sumaDivisoresPropios1 284 == 220 sumaDivisoresPropios1 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios1 = sum . divisoresPropios1 -- (divisoresPropios1 x) es la lista de los divisores propios de x. Por -- ejemplo, -- divisoresPropios1 220 == [1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110] -- divisoresPropios1 284 == [1,2,4,71,142] divisoresPropios1 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios1 x = [n | n <- [1..x-1], x `mod` n == 0] -- 2ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores2 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores2 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores2 n] amigosMenores2 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores2 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos2 sucesionAmigos2 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos2 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios2 x, y > x, sumaDivisoresPropios2 y == x] sumaDivisoresPropios2 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios2 = sum . divisoresPropios2 divisoresPropios2 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios2 x = filter ((== 0) . mod x) [1..x-1] -- 3ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores3 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores3 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores3 n] amigosMenores3 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores3 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos3 sucesionAmigos3 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos3 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios3 x, y > x, sumaDivisoresPropios3 y == x] sumaDivisoresPropios3 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios3 = sum . divisoresPropios3 divisoresPropios3 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios3 = init . nub . sort . map product . subsequences . primeFactors -- 4ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores4 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores4 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores4 n] amigosMenores4 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores4 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos4 sucesionAmigos4 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos4 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios4 x, y > x, sumaDivisoresPropios4 y == x] sumaDivisoresPropios4 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios4 = sum . divisoresPropios4 divisoresPropios4 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios4 = init . sort . map (product . concat) . productoCartesiano . map inits . group . primeFactors -- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos -- xss. Por ejemplo, -- λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]] -- [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]] productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]] productoCartesiano [] = [[]] productoCartesiano (xs:xss) = [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss] -- 5ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores5 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores5 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores5 n] amigosMenores5 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores5 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos5 sucesionAmigos5 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos5 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios5 x, y > x, sumaDivisoresPropios5 y == x] sumaDivisoresPropios5 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios5 = sum . divisoresPropios5 divisoresPropios5 :: Integer -> [Integer] divisoresPropios5 = init . sort . map (product . concat) . sequence . map inits . group . primeFactors -- 6ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores6 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores6 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores6 n] amigosMenores6 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores6 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos6 sucesionAmigos6 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos6 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios6 x, y > x, sumaDivisoresPropios6 y == x] sumaDivisoresPropios6 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios6 = sum . init . map (product . concat) . sequence . map inits . group . primeFactors -- 7ª solución -- -- =========== sumaAmigosMenores7 :: Integer -> Integer sumaAmigosMenores7 n = sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores7 n] amigosMenores7 :: Integer -> [(Integer,Integer)] amigosMenores7 n = takeWhile (\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos7 sucesionAmigos7 :: [(Integer,Integer)] sucesionAmigos7 = [(x,y) | x <- [1..], let y = sumaDivisoresPropios7 x, y > x, sumaDivisoresPropios7 y == x] -- Si la descomposición de x en factores primos es -- x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n) -- entonces la suma de los divisores de x es -- p(1)^(e(1)+1) - 1 p(2)^(e(2)+1) - 1 p(n)^(e(2)+1) - 1 -- ------------------- . ------------------- ... ------------------- -- p(1)-1 p(2)-1 p(n)-1 -- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc sumaDivisoresPropios7 :: Integer -> Integer sumaDivisoresPropios7 x = product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x] - x -- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la -- descomposición prima de x. Por ejemplo, -- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)] factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)] factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors -- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs -- y la longitud de xs. Por ejemplo, -- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4) primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer) primeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> sumaAmigosMenores1 6000 -- 19026 -- (10.37 secs, 5,261,392,352 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores2 6000 -- 19026 -- (3.86 secs, 3,161,700,400 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores3 6000 -- 19026 -- (0.15 secs, 308,520,248 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores4 6000 -- 19026 -- (0.23 secs, 271,421,184 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores5 6000 -- 19026 -- (0.13 secs, 230,042,112 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores6 6000 -- 19026 -- (0.12 secs, 202,638,880 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores7 6000 -- 19026 -- (0.13 secs, 159,022,448 bytes) -- -- λ> sumaAmigosMenores3 (10^5) -- 852810 -- (4.83 secs, 10,726,377,728 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores4 (10^5) -- 852810 -- (4.79 secs, 7,832,234,120 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores5 (10^5) -- 852810 -- (2.79 secs, 6,837,118,464 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores6 (10^5) -- 852810 -- (2.39 secs, 6,229,730,472 bytes) -- λ> sumaAmigosMenores7 (10^5) -- 852810 -- (2.65 secs, 5,170,949,168 bytes) |
El código se encuentra en GitHub.
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