Árboles

Árbol de computación de Fibonacci

PorJosé A. Alonso 11-diciembre-201817-enero-2019

La sucesión de Fibonacci es

   0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,...

1	0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,...

cuyos dos primeros términos son 0 y 1 y los restantentes se obtienen sumando los dos anteriores.

El árbol de computación de su 5º término es

                 5
                / \
               /   \
              /     \
             /       \
            /         \
           3           2  
          / \         / \ 
         /   \       1   1
        2     1     / \   
       / \   / \   1   0  
      1   1 1   0
     / \ 
    1   0

/ \

3 2

/ \ / \

/ \ 1 1

2 1 / \

/ \ / \ 1 0

1 1 1 0

/ \

1 0

que, usando los árboles definidos por

   data Arbol = H Int
              | N Int Arbol Arbol
     deriving (Eq, Show)

data Arbol = H Int

| N Int Arbol Arbol

deriving (Eq, Show)

se puede representar por

   N 5              
     (N 3           
        (N 2        
           (N 1 (H 1) (H 0))
           (H 1))   
        (N 1 (H 1) (H 0)))  
     (N 2           
        (N 1 (H 1) (H 0))   
        (H 1))

N 5

(N 3

(N 2

(N 1 (H 1) (H 0))

(H 1))

(N 1 (H 1) (H 0)))

(N 2

(N 1 (H 1) (H 0))

(H 1))

Definir las funciones

   arbolFib           :: Int -> Arbol
   nElementosArbolFib :: Int -> Int

1 2	arbolFib :: Int -> Arbol nElementosArbolFib :: Int -> Int

tales que

(arbolFib n) es el árbol de computación del n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,

     λ> arbolFib 5
     N 5              
       (N 3           
          (N 2        
             (N 1 (H 1) (H 0))
             (H 1))   
          (N 1 (H 1) (H 0)))  
       (N 2           
          (N 1 (H 1) (H 0))   
          (H 1))
     λ> arbolFib 6
     N 8
       (N 5
          (N 3
             (N 2
                (N 1 (H 1) (H 0))
                (H 1))
             (N 1 (H 1) (H 0)))
          (N 2
             (N 1 (H 1) (H 0))
             (H 1)))
       (N 3
          (N 2
             (N 1 (H 1) (H 0)) (H 1))
          (N 1 (H 1) (H 0)))

λ> arbolFib 5

N 5

(N 3

(N 2

(N 1 (H 1) (H 0))

(H 1))

(N 1 (H 1) (H 0)))

(N 2

(N 1 (H 1) (H 0))

(H 1))

λ> arbolFib 6

N 8

(N 5

(N 3

(N 2

(N 1 (H 1) (H 0))

(H 1))

(N 1 (H 1) (H 0)))

(N 2

(N 1 (H 1) (H 0))

(H 1)))

(N 3

(N 2

(N 1 (H 1) (H 0)) (H 1))

(N 1 (H 1) (H 0)))

(nElementosArbolFib n) es el número de elementos en el árbol de computación del n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,

     nElementosArbolFib 5   ==  15
     nElementosArbolFib 6   ==  25
     nElementosArbolFib 30  ==  2692537

nElementosArbolFib 5 == 15

nElementosArbolFib 6 == 25

nElementosArbolFib 30 == 2692537

Soluciones

data Arbol = H Int
           | N Int Arbol Arbol
  deriving (Eq, Show)

-- 1ª definición
-- =============

arbolFib :: Int -> Arbol
arbolFib 0 = H 0
arbolFib 1 = H 1
arbolFib n = N (fib n) (arbolFib (n-1)) (arbolFib (n-2))

-- (fib n) es el n-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci. Por
-- ejemplo,
--    fib 5  ==  5
--    fib 6  ==  8
fib :: Int -> Int
fib 0 = 0
fib 1 = 1
fib n = fib (n-1) + fib (n-2)

-- 2ª definición
-- =============

arbolFib2 :: Int -> Arbol
arbolFib2 0 = H 0
arbolFib2 1 = H 1
arbolFib2 2 = N 1 (H 1) (H 0)
arbolFib2 3 = N 2 (N 1 (H 1) (H 0)) (H 1)
arbolFib2 n = N (a1 + a2) (N a1 i1 d1) (N a2 i2 d2)
  where (N a1 i1 d1) = arbolFib2 (n-1)
        (N a2 i2 d2) = arbolFib2 (n-2)

-- 3ª definición
-- =============

arbolFib3 :: Int -> Arbol
arbolFib3 0 = H 0
arbolFib3 1 = H 1
arbolFib3 2 = N 1 (H 1) (H 0)
arbolFib3 3 = N 2 (N 1 (H 1) (H 0)) (H 1)
arbolFib3 n = N (a + b) i d
  where i@(N a _ _) = arbolFib3 (n-1)
        d@(N b _ _) = arbolFib3 (n-2)

-- 1ª definición de nElementosArbolFib
-- ===================================

nElementosArbolFib :: Int -> Int
nElementosArbolFib = length . elementos . arbolFib3

-- (elementos a) es la lista de elementos del árbol a. Por ejemplo,
--    λ> elementos (arbolFib 5)
--    [5,3,2,1,1,0,1,1,1,0,2,1,1,0,1]
--    λ> elementos (arbolFib 6)
--    [8,5,3,2,1,1,0,1,1,1,0,2,1,1,0,1,3,2,1,1,0,1,1,1,0]
elementos :: Arbol -> [Int]
elementos (H x)     = [x]
elementos (N x i d) = x : elementos i ++ elementos d

-- 2ª definición de nElementosArbolFib
-- ===================================

nElementosArbolFib2 :: Int -> Int
nElementosArbolFib2 0 = 1
nElementosArbolFib2 1 = 1
nElementosArbolFib2 n = 1 + nElementosArbolFib2 (n-1)
                          + nElementosArbolFib2 (n-2)

data Arbol = H Int

| N Int Arbol Arbol

deriving (Eq, Show)

-- 1ª definición

-- =============

arbolFib :: Int -> Arbol

arbolFib 0 = H 0

arbolFib 1 = H 1

arbolFib n = N (fib n) (arbolFib (n-1)) (arbolFib (n-2))

-- (fib n) es el n-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci. Por

-- ejemplo,

-- fib 5 == 5

-- fib 6 == 8

fib :: Int -> Int

fib 0 = 0

fib 1 = 1

fib n = fib (n-1) + fib (n-2)

-- 2ª definición

-- =============

arbolFib2 :: Int -> Arbol

arbolFib2 0 = H 0

arbolFib2 1 = H 1

arbolFib2 2 = N 1 (H 1) (H 0)

arbolFib2 3 = N 2 (N 1 (H 1) (H 0)) (H 1)

arbolFib2 n = N (a1 + a2) (N a1 i1 d1) (N a2 i2 d2)

where (N a1 i1 d1) = arbolFib2 (n-1)

(N a2 i2 d2) = arbolFib2 (n-2)

-- 3ª definición

-- =============

arbolFib3 :: Int -> Arbol

arbolFib3 0 = H 0

arbolFib3 1 = H 1

arbolFib3 2 = N 1 (H 1) (H 0)

arbolFib3 3 = N 2 (N 1 (H 1) (H 0)) (H 1)

arbolFib3 n = N (a + b) i d

where i@(N a _ _) = arbolFib3 (n-1)

d@(N b _ _) = arbolFib3 (n-2)

-- 1ª definición de nElementosArbolFib

-- ===================================

nElementosArbolFib :: Int -> Int

nElementosArbolFib = length . elementos . arbolFib3

-- (elementos a) es la lista de elementos del árbol a. Por ejemplo,

-- λ> elementos (arbolFib 5)

-- [5,3,2,1,1,0,1,1,1,0,2,1,1,0,1]

-- λ> elementos (arbolFib 6)

-- [8,5,3,2,1,1,0,1,1,1,0,2,1,1,0,1,3,2,1,1,0,1,1,1,0]

elementos :: Arbol -> [Int]

elementos (H x) = [x]

elementos (N x i d) = x : elementos i ++ elementos d

-- 2ª definición de nElementosArbolFib

-- ===================================

nElementosArbolFib2 :: Int -> Int

nElementosArbolFib2 0 = 1

nElementosArbolFib2 1 = 1

nElementosArbolFib2 n = 1 + nElementosArbolFib2 (n-1)

+ nElementosArbolFib2 (n-2)

Pensamiento

Toda visión requiere distancia.

Antonio Machado

Elemento del árbol binario completo según su posición

PorJosé A. Alonso 6-diciembre-201817-enero-2019

Un árbol binario completo es un árbol binario que tiene todos los nodos posibles hasta el penúltimo nivel, y donde los elementos del último nivel están colocados de izquierda a derecha sin dejar huecos entre ellos.

La numeración de los árboles binarios completos se realiza a partir de la raíz, recorriendo los niveles de izquierda a derecha. Por ejemplo,

                  1
                 /  \
                /    \
               /      \
              2        3
             / \      / \
            4   5    6   7
           / \ 
          8   9

/ \

2 3

/ \ / \

4 5 6 7

/ \

8 9

Los árboles binarios se puede representar mediante el siguiente tipo

   data Arbol = H
              | N Integer Arbol Arbol
     deriving (Show, Eq)

data Arbol = H

| N Integer Arbol Arbol

deriving (Show, Eq)

Cada posición de un elemento de un árbol es una lista de movimientos hacia la izquierda o hacia la derecha. Por ejemplo, la posición de 9 en al árbol anterior es [I,I,D].

Los tipos de los movimientos y de las posiciones se definen por

   data Movimiento = I | D deriving (Show, Eq)
   type Posicion   = [Movimiento]

1 2	data Movimiento = I \| D deriving (Show, Eq) type Posicion = [Movimiento]

Definir la función

   elementoEnPosicion :: Posicion -> Integer

1	elementoEnPosicion :: Posicion -> Integer

tal que (elementoEnPosicion ms) es el elemento en la posición ms. Por ejemplo,

   elementoEnPosicion [D,I]    ==  6
   elementoEnPosicion [D,D]    ==  7
   elementoEnPosicion [I,I,D]  ==  9
   elementoEnPosicion []       ==  1

elementoEnPosicion [D,I] == 6

elementoEnPosicion [D,D] == 7

elementoEnPosicion [I,I,D] == 9

elementoEnPosicion [] == 1

Soluciones

import Test.QuickCheck

data Arbol = H
           | N Integer Arbol Arbol
  deriving (Eq, Show)

data Movimiento = I | D deriving (Show, Eq)

type Posicion = [Movimiento]

-- 1ª solución
-- ===========

elementoEnPosicion :: Posicion -> Integer
elementoEnPosicion ms =
  aux ms (arbolBinarioCompleto (2^(1 + length ms)))
  where aux []     (N x _ _) = x
        aux (I:ms) (N _ i _) = aux ms i
        aux (D:ms) (N _ _ d) = aux ms d

-- (arbolBinarioCompleto n) es el árbol binario completo con n
-- nodos. Por ejemplo, 
--    λ> arbolBinarioCompleto 4
--    N 1 (N 2 (N 4 H H) H) (N 3 H H)
--    λ> pPrint (arbolBinarioCompleto 9)
--    N 1
--      (N 2
--         (N 4
--            (N 8 H H)
--            (N 9 H H))
--         (N 5 H H))
--      (N 3
--         (N 6 H H)
--         (N 7 H H))
arbolBinarioCompleto :: Integer -> Arbol
arbolBinarioCompleto n = aux 1
  where aux i | i <= n    = N i (aux (2*i)) (aux (2*i+1))
              | otherwise = H

-- 2ª solución
-- ===========

elementoEnPosicion2 :: Posicion -> Integer
elementoEnPosicion2 = aux . reverse
  where aux []     = 1
        aux (I:ms) = 2 * aux ms
        aux (D:ms) = 2 * aux ms + 1

-- Equivalencia
-- ============

-- La propiedad es
prop_elementoEnPosicion_equiv :: Positive Integer -> Bool
prop_elementoEnPosicion_equiv (Positive n) =
  elementoEnPosicion  ps == n &&
  elementoEnPosicion2 ps == n 
  where ps = posicionDeElemento n

-- tal que (posicionDeElemento n) es la posición del elemento n en el
-- árbol binario completo. Por ejemplo,
--    posicionDeElemento 6  ==  [D,I]
--    posicionDeElemento 7  ==  [D,D]
--    posicionDeElemento 9  ==  [I,I,D]
--    posicionDeElemento 1  ==  []
posicionDeElemento :: Integer -> Posicion
posicionDeElemento n =
  [f x | x <- tail (reverse (binario n))]
  where f 0 = I
        f 1 = D

-- (binario n) es la lista de los dígitos de la representación binaria
-- de n. Por ejemplo,
--    binario 11  ==  [1,1,0,1]
binario :: Integer -> [Integer]
binario n
  | n < 2     = [n]
  | otherwise = n `mod` 2 : binario (n `div` 2)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_elementoEnPosicion_equiv
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> length (show (elementoEnPosicion (replicate (3*10^5) D)))
--    90310
--    (1.96 secs, 11,518,771,016 bytes)
--    λ> length (show (elementoEnPosicion2 (replicate (3*10^5) D)))
--    90310
--    (14.32 secs, 11,508,181,176 bytes)

import Test.QuickCheck

data Arbol = H

| N Integer Arbol Arbol

deriving (Eq, Show)

data Movimiento = I | D deriving (Show, Eq)

type Posicion = [Movimiento]

-- 1ª solución

-- ===========

elementoEnPosicion :: Posicion -> Integer

elementoEnPosicion ms =

aux ms (arbolBinarioCompleto (2^(1 + length ms)))

where aux [] (N x _ _) = x

aux (I:ms) (N _ i _) = aux ms i

aux (D:ms) (N _ _ d) = aux ms d

-- (arbolBinarioCompleto n) es el árbol binario completo con n

-- nodos. Por ejemplo,

-- λ> arbolBinarioCompleto 4

-- N 1 (N 2 (N 4 H H) H) (N 3 H H)

-- λ> pPrint (arbolBinarioCompleto 9)

-- N 1

-- (N 2

-- (N 4

-- (N 8 H H)

-- (N 9 H H))

-- (N 5 H H))

-- (N 3

-- (N 6 H H)

-- (N 7 H H))

arbolBinarioCompleto :: Integer -> Arbol

arbolBinarioCompleto n = aux 1

where aux i | i <= n = N i (aux (2*i)) (aux (2*i+1))

| otherwise = H

-- 2ª solución

-- ===========

elementoEnPosicion2 :: Posicion -> Integer

elementoEnPosicion2 = aux . reverse

where aux [] = 1

aux (I:ms) = 2 * aux ms

aux (D:ms) = 2 * aux ms + 1

-- Equivalencia

-- ============

-- La propiedad es

prop_elementoEnPosicion_equiv :: Positive Integer -> Bool

prop_elementoEnPosicion_equiv (Positive n) =

elementoEnPosicion ps == n &&

elementoEnPosicion2 ps == n

where ps = posicionDeElemento n

-- tal que (posicionDeElemento n) es la posición del elemento n en el

-- árbol binario completo. Por ejemplo,

-- posicionDeElemento 6 == [D,I]

-- posicionDeElemento 7 == [D,D]

-- posicionDeElemento 9 == [I,I,D]

-- posicionDeElemento 1 == []

posicionDeElemento :: Integer -> Posicion

posicionDeElemento n =

[f x | x <- tail (reverse (binario n))]

where f 0 = I

f 1 = D

-- (binario n) es la lista de los dígitos de la representación binaria

-- de n. Por ejemplo,

-- binario 11 == [1,1,0,1]

binario :: Integer -> [Integer]

binario n

| n < 2 = [n]

| otherwise = n `mod` 2 : binario (n `div` 2)

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_elementoEnPosicion_equiv

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> length (show (elementoEnPosicion (replicate (3*10^5) D)))

-- 90310

-- (1.96 secs, 11,518,771,016 bytes)

-- λ> length (show (elementoEnPosicion2 (replicate (3*10^5) D)))

-- 90310

-- (14.32 secs, 11,508,181,176 bytes)

Pensamiento

Las más hondas palabras
del sabio nos enseñan
lo que el silbar del viento cuando sopla
o el sonar de las aguas cuando ruedan.

Antonio Machado

Posiciones en árboles binarios completos

PorJosé A. Alonso 5-diciembre-201819-enero-2019

La numeración de los árboles binarios completos se realiza a partir de la raíz, recorriendo los niveles de izquierda a derecha. Por ejemplo,

                  1
                 /  \
                /    \
               /      \
              2        3
             / \      / \
            4   5    6   7
           / \    
          8   9

/ \

2 3

/ \ / \

4 5 6 7

/ \

8 9

Los árboles binarios se puede representar mediante el siguiente tipo

   data Arbol = H
              | N Integer Arbol Arbol
     deriving (Show, Eq)

data Arbol = H

| N Integer Arbol Arbol

deriving (Show, Eq)

Cada posición de un elemento de un árbol es una lista de movimientos hacia la izquierda o hacia la derecha. Por ejemplo, la posición de 9 en al árbol anterior es [I,I,D].

Los tipos de los movimientos y de las posiciones se definen por

   data Movimiento = I | D deriving (Show, Eq)
   type Posicion   = [Movimiento]

1 2	data Movimiento = I \| D deriving (Show, Eq) type Posicion = [Movimiento]

Definir la función

   posicionDeElemento :: Integer -> Posicion

1	posicionDeElemento :: Integer -> Posicion

tal que (posicionDeElemento n) es la posición del elemento n en el árbol binario completo. Por ejemplo,

   posicionDeElemento 6  ==  [D,I]
   posicionDeElemento 7  ==  [D,D]
   posicionDeElemento 9  ==  [I,I,D]
   posicionDeElemento 1  ==  []

   length (posicionDeElemento (10^50000))  ==  166096

posicionDeElemento 6 == [D,I]

posicionDeElemento 7 == [D,D]

posicionDeElemento 9 == [I,I,D]

posicionDeElemento 1 == []

length (posicionDeElemento (10^50000)) == 166096

Soluciones

import Test.QuickCheck

data Arbol = H
           | N Integer Arbol Arbol
  deriving (Eq, Show)

data Movimiento = I | D deriving (Show, Eq)

type Posicion = [Movimiento]

-- 1ª solución
-- ===========

posicionDeElemento :: Integer -> Posicion
posicionDeElemento n =
  head (posiciones n (arbolBinarioCompleto n))

-- (arbolBinarioCompleto n) es el árbol binario completo con n
-- nodos. Por ejemplo, 
--    λ> arbolBinarioCompleto 4
--    N 1 (N 2 (N 4 H H) H) (N 3 H H)
--    λ> pPrint (arbolBinarioCompleto 9)
--    N 1
--      (N 2
--         (N 4
--            (N 8 H H)
--            (N 9 H H))
--         (N 5 H H))
--      (N 3
--         (N 6 H H)
--         (N 7 H H))
arbolBinarioCompleto :: Integer -> Arbol
arbolBinarioCompleto n = aux 1
  where aux i | i <= n    = N i (aux (2*i)) (aux (2*i+1))
              | otherwise = H

-- (posiciones n a) es la lista de las posiciones del elemento n
-- en el árbol a. Por ejemplo,
--    posiciones 9 (arbolBinarioCompleto 9)  ==  [[I,I,D]]
posiciones :: Integer -> Arbol -> [Posicion]
posiciones n a = aux n a [[]]
  where aux _ H _                      = []
        aux n (N x i d) cs | x == n    = cs ++ ps
                           | otherwise = ps
          where ps = map (I:) (aux n i cs) ++
                     map (D:) (aux n d cs)

-- 2ª solución
-- ===========

posicionDeElemento2 :: Integer -> Posicion
posicionDeElemento2 1 = []
posicionDeElemento2 n
  | even n    = posicionDeElemento2 (n `div` 2) ++ [I]
  | otherwise = posicionDeElemento2 (n `div` 2) ++ [D]

-- 3ª solución
-- ===========

posicionDeElemento3 :: Integer -> Posicion
posicionDeElemento3 = reverse . aux
  where aux 1 = []
        aux n | even n    = I : aux (n `div` 2) 
              | otherwise = D : aux (n `div` 2) 

-- 4ª solución
-- ===========

posicionDeElemento4 :: Integer -> Posicion
posicionDeElemento4 n =
  [f x | x <- tail (reverse (binario n))]
  where f 0 = I
        f 1 = D

-- (binario n) es la lista de los dígitos de la representación binaria
-- de n. Por ejemplo,
--    binario 11  ==  [1,1,0,1]
binario :: Integer -> [Integer]
binario n
  | n < 2     = [n]
  | otherwise = n `mod` 2 : binario (n `div` 2)

-- Equivalencia
-- ============

-- La propiedad es
prop_posicionDeElemento_equiv :: Positive Integer -> Bool
prop_posicionDeElemento_equiv (Positive n) =
  posicionDeElemento n == posicionDeElemento2 n &&
  posicionDeElemento n == posicionDeElemento3 n &&
  posicionDeElemento n == posicionDeElemento4 n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_posicionDeElemento_equiv
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> posicionDeElemento (10^7)
--    [I,I,D,D,I,I,I,D,I,I,D,I,D,D,I,D,I,I,I,I,I,I,I]
--    (5.72 secs, 3,274,535,328 bytes)
--    λ> posicionDeElemento2 (10^7)
--    [I,I,D,D,I,I,I,D,I,I,D,I,D,D,I,D,I,I,I,I,I,I,I]
--    (0.01 secs, 189,560 bytes)
--    λ> posicionDeElemento3 (10^7)
--    [I,I,D,D,I,I,I,D,I,I,D,I,D,D,I,D,I,I,I,I,I,I,I]
--    (0.01 secs, 180,728 bytes)
--    λ> posicionDeElemento4 (10^7)
--    [I,I,D,D,I,I,I,D,I,I,D,I,D,D,I,D,I,I,I,I,I,I,I]
--    (0.01 secs, 184,224 bytes)
--    
--    λ> length (posicionDeElemento2 (10^4000))
--    13287
--    (2.80 secs, 7,672,011,280 bytes)
--    λ> length (posicionDeElemento3 (10^4000))
--    13287
--    (0.03 secs, 19,828,744 bytes)
--    λ> length (posicionDeElemento4 (10^4000))
--    13287
--    (0.03 secs, 18,231,536 bytes)
--    
--    λ> length (posicionDeElemento3 (10^50000))
--    166096
--    (1.34 secs, 1,832,738,136 bytes)
--    λ> length (posicionDeElemento4 (10^50000))
--    166096
--    (1.70 secs, 1,812,806,080 bytes)

100

101

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126

127

128

import Test.QuickCheck

data Arbol = H

| N Integer Arbol Arbol

deriving (Eq, Show)

data Movimiento = I | D deriving (Show, Eq)

type Posicion = [Movimiento]

-- 1ª solución

-- ===========

posicionDeElemento :: Integer -> Posicion

posicionDeElemento n =

head (posiciones n (arbolBinarioCompleto n))

-- (arbolBinarioCompleto n) es el árbol binario completo con n

-- nodos. Por ejemplo,

-- λ> arbolBinarioCompleto 4

-- N 1 (N 2 (N 4 H H) H) (N 3 H H)

-- λ> pPrint (arbolBinarioCompleto 9)

-- N 1

-- (N 2

-- (N 4

-- (N 8 H H)

-- (N 9 H H))

-- (N 5 H H))

-- (N 3

-- (N 6 H H)

-- (N 7 H H))

arbolBinarioCompleto :: Integer -> Arbol

arbolBinarioCompleto n = aux 1

where aux i | i <= n = N i (aux (2*i)) (aux (2*i+1))

| otherwise = H

-- (posiciones n a) es la lista de las posiciones del elemento n

-- en el árbol a. Por ejemplo,

-- posiciones 9 (arbolBinarioCompleto 9) == [[I,I,D]]

posiciones :: Integer -> Arbol -> [Posicion]

posiciones n a = aux n a [[]]

where aux _ H _ = []

aux n (N x i d) cs | x == n = cs ++ ps

| otherwise = ps

where ps = map (I:) (aux n i cs) ++

map (D:) (aux n d cs)

-- 2ª solución

-- ===========

posicionDeElemento2 :: Integer -> Posicion

posicionDeElemento2 1 = []

posicionDeElemento2 n

| even n = posicionDeElemento2 (n `div` 2) ++ [I]

| otherwise = posicionDeElemento2 (n `div` 2) ++ [D]

-- 3ª solución

-- ===========

posicionDeElemento3 :: Integer -> Posicion

posicionDeElemento3 = reverse . aux

where aux 1 = []

aux n | even n = I : aux (n `div` 2)

| otherwise = D : aux (n `div` 2)

-- 4ª solución

-- ===========

posicionDeElemento4 :: Integer -> Posicion

posicionDeElemento4 n =

[f x | x <- tail (reverse (binario n))]

where f 0 = I

f 1 = D

-- (binario n) es la lista de los dígitos de la representación binaria

-- de n. Por ejemplo,

-- binario 11 == [1,1,0,1]

binario :: Integer -> [Integer]

binario n

| n < 2 = [n]

| otherwise = n `mod` 2 : binario (n `div` 2)

-- Equivalencia

-- ============

-- La propiedad es

prop_posicionDeElemento_equiv :: Positive Integer -> Bool

prop_posicionDeElemento_equiv (Positive n) =

posicionDeElemento n == posicionDeElemento2 n &&

posicionDeElemento n == posicionDeElemento3 n &&

posicionDeElemento n == posicionDeElemento4 n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_posicionDeElemento_equiv

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> posicionDeElemento (10^7)

-- [I,I,D,D,I,I,I,D,I,I,D,I,D,D,I,D,I,I,I,I,I,I,I]

-- (5.72 secs, 3,274,535,328 bytes)

-- λ> posicionDeElemento2 (10^7)

-- [I,I,D,D,I,I,I,D,I,I,D,I,D,D,I,D,I,I,I,I,I,I,I]

-- (0.01 secs, 189,560 bytes)

-- λ> posicionDeElemento3 (10^7)

-- [I,I,D,D,I,I,I,D,I,I,D,I,D,D,I,D,I,I,I,I,I,I,I]

-- (0.01 secs, 180,728 bytes)

-- λ> posicionDeElemento4 (10^7)

-- [I,I,D,D,I,I,I,D,I,I,D,I,D,D,I,D,I,I,I,I,I,I,I]

-- (0.01 secs, 184,224 bytes)

-- λ> length (posicionDeElemento2 (10^4000))

-- 13287

-- (2.80 secs, 7,672,011,280 bytes)

-- λ> length (posicionDeElemento3 (10^4000))

-- 13287

-- (0.03 secs, 19,828,744 bytes)

-- λ> length (posicionDeElemento4 (10^4000))

-- 13287

-- (0.03 secs, 18,231,536 bytes)

-- λ> length (posicionDeElemento3 (10^50000))

-- 166096

-- (1.34 secs, 1,832,738,136 bytes)

-- λ> length (posicionDeElemento4 (10^50000))

-- 166096

-- (1.70 secs, 1,812,806,080 bytes)

Pensamiento

El ojo que ves no es
ojo porque tú lo veas;
es ojo porque te ve.

Antonio Machado

Posiciones en árboles binarios

PorJosé A. Alonso 4-diciembre-201819-enero-2019

Los árboles binarios con datos en los nodos se definen por

   data Arbol a = H
                | N a (Arbol a) (Arbol a)
     deriving (Eq, Show)

data Arbol a = H

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Eq, Show)

Por ejemplo, el árbol

          3
         / \
        /   \
       0     5
      / \   / \
     5   0 0   3
    / \
   2   4

/ \

0 5

/ \ / \

5 0 0 3

/ \

2 4

se representa por

   ejArbol :: Arbol Int
   ejArbol = N 3
               (N 0
                  (N 5
                     (N 2 H H)
                     (N 4 H H))
                  (N 0 H H))
               (N 5
                  (N 0 H H)
                  (N 3 H H))

ejArbol :: Arbol Int

ejArbol = N 3

(N 0

(N 5

(N 2 H H)

(N 4 H H))

(N 0 H H))

(N 5

(N 0 H H)

(N 3 H H))

Cada posición de un elemento de un árbol es una lista de movimientos hacia la izquierda o hacia la derecha. Por ejemplo, la posición de 4 en al árbol anterior es [I,I,D].

Los tipos de los movimientos y de las posiciones se definen por

   data Movimiento = I | D deriving (Show, Eq)
   type Posicion   = [Movimiento]

1 2	data Movimiento = I \| D deriving (Show, Eq) type Posicion = [Movimiento]

Definir la función

   posiciones :: Eq b => b -> Arbol b -> [Posicion]

1	posiciones :: Eq b => b -> Arbol b -> [Posicion]

tal que (posiciones n a) es la lista de las posiciones del elemento n en el árbol a. Por ejemplo,

   posiciones 0 ejArbol  ==  [[I],[I,D],[D,I]]
   posiciones 2 ejArbol  ==  [[I,I,I]]
   posiciones 3 ejArbol  ==  [[],[D,D]]
   posiciones 4 ejArbol  ==  [[I,I,D]]
   posiciones 5 ejArbol  ==  [[I,I],[D]]
   posiciones 1 ejArbol  ==  []

posiciones 0 ejArbol == [[I],[I,D],[D,I]]

posiciones 2 ejArbol == [[I,I,I]]

posiciones 3 ejArbol == [[],[D,D]]

posiciones 4 ejArbol == [[I,I,D]]

posiciones 5 ejArbol == [[I,I],[D]]

posiciones 1 ejArbol == []

Soluciones

data Arbol a = H
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
  deriving (Eq, Show)

ejArbol :: Arbol Int
ejArbol = N 3
            (N 0
               (N 5
                  (N 2 H H)
                  (N 4 H H))
               (N 0 H H))
            (N 5
               (N 0 H H)
               (N 3 H H))

data Movimiento = I | D deriving (Show, Eq)

type Posicion = [Movimiento]

-- 1ª solución
-- ===========

posiciones :: Eq b => b -> Arbol b -> [Posicion]
posiciones n a = aux n a [[]]
  where aux _ H _                      = []
        aux n (N x i d) cs | x == n    = cs ++
                                         [I:xs | xs <- aux n i cs] ++
                                         [D:xs | xs <- aux n d cs]
                           | otherwise = [I:xs | xs <- aux n i cs] ++
                                         [D:xs | xs <- aux n d cs]
                   
-- 2ª solución
-- ===========

posiciones2 :: Eq b => b -> Arbol b -> [Posicion]
posiciones2 n a = aux n a [[]]
  where aux _ H _                      = []
        aux n (N x i d) cs | x == n    = cs ++ ps
                           | otherwise = ps
          where ps = [I:xs | xs <- aux n i cs] ++
                     [D:xs | xs <- aux n d cs]

-- 3ª solución
-- ===========

posiciones3 :: Eq b => b -> Arbol b -> [Posicion]
posiciones3 n a = aux n a [[]]
  where aux _ H _                      = []
        aux n (N x i d) cs | x == n    = cs ++ ps
                           | otherwise = ps
          where ps = map (I:) (aux n i cs) ++
                     map (D:) (aux n d cs)

-- Equivalencia
-- ============

-- Generador de árboles
instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
  arbitrary = sized genArbol

genArbol :: (Arbitrary a, Integral a1) => a1 -> Gen (Arbol a)
genArbol 0         = return H 
genArbol n | n > 0 = N <$> arbitrary <*> subarbol <*> subarbol
  where subarbol = genArbol (div n 2)

-- La propiedad es
prop_posiciones_equiv :: Arbol Int -> Bool
prop_posiciones_equiv a =
  and [posiciones n a == posiciones2 n a | n <- xs] &&
  and [posiciones n a == posiciones3 n a | n <- xs]  
  where xs = take 3 (elementos a)

-- (elementos a) son los elementos del árbol a. Por ejemplo,
--    elementos ejArbol  ==  [3,0,5,2,4]
elementos :: Eq b => Arbol b -> [b]
elementos H         = []
elementos (N x i d) = nub (x : elementos i ++ elementos d)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_posiciones_equiv
--    +++ OK, passed 100 tests.

data Arbol a = H

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Eq, Show)

ejArbol :: Arbol Int

ejArbol = N 3

(N 0

(N 5

(N 2 H H)

(N 4 H H))

(N 0 H H))

(N 5

(N 0 H H)

(N 3 H H))

data Movimiento = I | D deriving (Show, Eq)

type Posicion = [Movimiento]

-- 1ª solución

-- ===========

posiciones :: Eq b => b -> Arbol b -> [Posicion]

posiciones n a = aux n a [[]]

where aux _ H _ = []

aux n (N x i d) cs | x == n = cs ++

[I:xs | xs <- aux n i cs] ++

[D:xs | xs <- aux n d cs]

| otherwise = [I:xs | xs <- aux n i cs] ++

[D:xs | xs <- aux n d cs]

-- 2ª solución

-- ===========

posiciones2 :: Eq b => b -> Arbol b -> [Posicion]

posiciones2 n a = aux n a [[]]

where aux _ H _ = []

aux n (N x i d) cs | x == n = cs ++ ps

| otherwise = ps

where ps = [I:xs | xs <- aux n i cs] ++

[D:xs | xs <- aux n d cs]

-- 3ª solución

-- ===========

posiciones3 :: Eq b => b -> Arbol b -> [Posicion]

posiciones3 n a = aux n a [[]]

where aux _ H _ = []

aux n (N x i d) cs | x == n = cs ++ ps

| otherwise = ps

where ps = map (I:) (aux n i cs) ++

map (D:) (aux n d cs)

-- Equivalencia

-- ============

-- Generador de árboles

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where

arbitrary = sized genArbol

genArbol :: (Arbitrary a, Integral a1) => a1 -> Gen (Arbol a)

genArbol 0 = return H

genArbol n | n > 0 = N <$> arbitrary <*> subarbol <*> subarbol

where subarbol = genArbol (div n 2)

-- La propiedad es

prop_posiciones_equiv :: Arbol Int -> Bool

prop_posiciones_equiv a =

and [posiciones n a == posiciones2 n a | n <- xs] &&

and [posiciones n a == posiciones3 n a | n <- xs]

where xs = take 3 (elementos a)

-- (elementos a) son los elementos del árbol a. Por ejemplo,

-- elementos ejArbol == [3,0,5,2,4]

elementos :: Eq b => Arbol b -> [b]

elementos H = []

elementos (N x i d) = nub (x : elementos i ++ elementos d)

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_posiciones_equiv

-- +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

Nunca traces tu frontera,
ni cuides de tu perfil;
todo eso es cosa de fuera.

Antonio Machado

Numeración de los árboles binarios completos

PorJosé A. Alonso 3-diciembre-201819-enero-2019

La numeración de los árboles binarios completos se realiza a partir de la raíz, recorriendo los niveles de izquierda a derecha. Por ejemplo,

                  1
                 /  \
                /    \
               /      \
              2        3
             / \      / \
            4   5    6   7
           / \    
          8   9

/ \

2 3

/ \ / \

4 5 6 7

/ \

8 9

Los árboles binarios se puede representar mediante el siguiente tipo

   data Arbol = H
              | N Int Arbol Arbol
     deriving (Show, Eq)

data Arbol = H

| N Int Arbol Arbol

deriving (Show, Eq)

Definir la función

    arbolBinarioCompleto :: Int -> Arbol

1	arbolBinarioCompleto :: Int -> Arbol

tal que (arbolBinarioCompleto n) es el árbol binario completo con n
nodos. Por ejemplo,

   λ> arbolBinarioCompleto 4
   N 1 (N 2 (N 4 H H) H) (N 3 H H)
   λ> arbolBinarioCompleto 9
   N 1
     (N 2
        (N 4
           (N 8 H H)
           (N 9 H H))
        (N 5 H H))
     (N 3
        (N 6 H H)
        (N 7 H H))

λ> arbolBinarioCompleto 4

N 1 (N 2 (N 4 H H) H) (N 3 H H)

λ> arbolBinarioCompleto 9

N 1

(N 2

(N 4

(N 8 H H)

(N 9 H H))

(N 5 H H))

(N 3

(N 6 H H)

(N 7 H H))

Soluciones

data Arbol = H
           | N Int Arbol Arbol
  deriving (Eq, Show)

arbolBinarioCompleto :: Int -> Arbol
arbolBinarioCompleto n = aux 1
  where aux i | i <= n    = N i (aux (2*i)) (aux (2*i+1))
              | otherwise = H

data Arbol = H

| N Int Arbol Arbol

deriving (Eq, Show)

arbolBinarioCompleto :: Int -> Arbol

arbolBinarioCompleto n = aux 1

where aux i | i <= n = N i (aux (2*i)) (aux (2*i+1))

| otherwise = H

Pensamiento

– Ya se oyen palabras viejas.
– Pues aguzad las orejas.

Antonio Machado

Árbol de computación de Fibonacci

Soluciones

Pensamiento

Elemento del árbol binario completo según su posición

Soluciones

Pensamiento

Posiciones en árboles binarios completos

Soluciones

Pensamiento

Posiciones en árboles binarios

Soluciones

Pensamiento

Numeración de los árboles binarios completos

Soluciones

Pensamiento

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