Árboles – Exercitium

Valor de un árbol booleano

PorJosé A. Alonso 4-enero-202329-diciembre-2022

Se consideran los árboles con operaciones booleanas definidos por

   data Arbol = H Bool
              | Conj Arbol Arbol
              | Disy Arbol Arbol
              | Neg Arbol

data Arbol = H Bool

| Conj Arbol Arbol

| Disy Arbol Arbol

| Neg Arbol

Por ejemplo, los árboles

               Conj                            Conj
              /   \                           /   \
             /     \                         /     \
          Disy      Conj                  Disy      Conj
         /   \       /  \                /   \      /   \
      Conj    Neg   Neg True          Conj    Neg   Neg  True
      /  \    |     |                 /  \    |     |
   True False False False          True False True  False

Conj Conj

/ \ / \

Disy Conj Disy Conj

/ \ / \ / \ / \

Conj Neg Neg True Conj Neg Neg True

/ \ | | / \ | |

True False False False True False True False

se definen por

   ej1, ej2:: Arbol
   ej1 = Conj (Disy (Conj (H True) (H False))
                    (Neg (H False)))
              (Conj (Neg (H False))
                    (H True))

   ej2 = Conj (Disy (Conj (H True) (H False))
                    (Neg (H True)))
              (Conj (Neg (H False))
                    (H True))

ej1, ej2:: Arbol

ej1 = Conj (Disy (Conj (H True) (H False))

(Neg (H False)))

(Conj (Neg (H False))

(H True))

ej2 = Conj (Disy (Conj (H True) (H False))

(Neg (H True)))

(Conj (Neg (H False))

(H True))

Definir la función

   valor :: Arbol -> Bool

1	valor :: Arbol -> Bool

tal que valor a) es el resultado de procesar el árbol a realizando las operaciones booleanas especificadas en los nodos. Por ejemplo,

   valor ej1 == True
   valor ej2 == False

1 2	valor ej1 == True valor ej2 == False

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

data Arbol = H Bool
           | Conj Arbol Arbol
           | Disy Arbol Arbol
           | Neg Arbol

ej1, ej2 :: Arbol
ej1 = Conj (Disy (Conj (H True) (H False))
                 (Neg (H False)))
           (Conj (Neg (H False))
                 (H True))

ej2 = Conj (Disy (Conj (H True) (H False))
                 (Neg (H True)))
           (Conj (Neg (H False))
                 (H True))

valor :: Arbol -> Bool
valor (H x)      = x
valor (Neg a)    = not (valor a)
valor (Conj i d) = valor i && valor d
valor (Disy i d) = valor i || valor d

data Arbol = H Bool

| Conj Arbol Arbol

| Disy Arbol Arbol

| Neg Arbol

ej1, ej2 :: Arbol

ej1 = Conj (Disy (Conj (H True) (H False))

(Neg (H False)))

(Conj (Neg (H False))

(H True))

ej2 = Conj (Disy (Conj (H True) (H False))

(Neg (H True)))

(Conj (Neg (H False))

(H True))

valor :: Arbol -> Bool

valor (H x) = x

valor (Neg a) = not (valor a)

valor (Conj i d) = valor i && valor d

valor (Disy i d) = valor i || valor d

Soluciones en Python

from dataclasses import dataclass

@dataclass
class Arbol:
    pass

@dataclass
class H(Arbol):
    x: bool

@dataclass
class Conj(Arbol):
    i: Arbol
    d: Arbol

@dataclass
class Disy(Arbol):
    i: Arbol
    d: Arbol

@dataclass
class Neg(Arbol):
    a: Arbol

ej1: Arbol = Conj(Disy(Conj(H(True), H(False)),
                       (Neg(H(False)))),
                  (Conj(Neg(H(False)),
                        (H(True)))))

ej2: Arbol = Conj(Disy(Conj(H(True), H(False)),
                       (Neg(H(True)))),
                  (Conj(Neg(H(False)),
                        (H(True)))))

def valor(a: Arbol) -> bool:
    match a:
        case H(x):
            return x
        case Neg(b):
            return not valor(b)
        case Conj(i, d):
            return valor(i) and valor(d)
        case Disy(i, d):
            return valor(i) or valor(d)
    assert False

from dataclasses import dataclass

@dataclass

class Arbol:

pass

@dataclass

class H(Arbol):

x: bool

@dataclass

class Conj(Arbol):

i: Arbol

d: Arbol

@dataclass

class Disy(Arbol):

i: Arbol

d: Arbol

@dataclass

class Neg(Arbol):

a: Arbol

ej1: Arbol = Conj(Disy(Conj(H(True), H(False)),

(Neg(H(False)))),

(Conj(Neg(H(False)),

(H(True)))))

ej2: Arbol = Conj(Disy(Conj(H(True), H(False)),

(Neg(H(True)))),

(Conj(Neg(H(False)),

(H(True)))))

def valor(a: Arbol) -> bool:

match a:

case H(x):

return x

case Neg(b):

return not valor(b)

case Conj(i, d):

return valor(i) and valor(d)

case Disy(i, d):

return valor(i) or valor(d)

assert False

Árbol de factorización

PorJosé A. Alonso 3-enero-202328-diciembre-2022

Los divisores medios de un número son los que ocupan la media entre los divisores de n, ordenados de menor a mayor. Por ejemplo, los divisores de 60 son [1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60] y sus divisores medios son 6 y 10. Para los números que son cuadrados perfectos, sus divisores medios de son sus raíces cuadradas; por ejemplos, los divisores medios de 9 son 3 y 3.

El árbol de factorización de un número compuesto n se construye de la siguiente manera:

la raíz es el número n,
la rama izquierda es el árbol de factorización de su divisor medio menor y
la rama derecha es el árbol de factorización de su divisor medio mayor

Si el número es primo, su árbol de factorización sólo tiene una hoja con dicho número. Por ejemplo, el árbol de factorización de 60 es

       60
      /  \
     6    10
    / \   / \
   2   3 2   5

/ \

6 10

/ \ / \

2 3 2 5

Definir la función

   arbolFactorizacion :: Int -> Arbol

1	arbolFactorizacion :: Int -> Arbol

tal que arbolFactorizacion n es el árbol de factorización de n. Por ejemplo,

   arbolFactorizacion 60 == N 60 (N 6 (H 2) (H 3)) (N 10 (H 2) (H 5))
   arbolFactorizacion 45 == N 45 (H 5) (N 9 (H 3) (H 3))
   arbolFactorizacion 7  == H 7
   arbolFactorizacion 9  == N 9 (H 3) (H 3)
   arbolFactorizacion 14 == N 14 (H 2) (H 7)
   arbolFactorizacion 28 == N 28 (N 4 (H 2) (H 2)) (H 7)
   arbolFactorizacion 84 == N 84 (H 7) (N 12 (H 3) (N 4 (H 2) (H 2)))

arbolFactorizacion 60 == N 60 (N 6 (H 2) (H 3)) (N 10 (H 2) (H 5))

arbolFactorizacion 45 == N 45 (H 5) (N 9 (H 3) (H 3))

arbolFactorizacion 7 == H 7

arbolFactorizacion 9 == N 9 (H 3) (H 3)

arbolFactorizacion 14 == N 14 (H 2) (H 7)

arbolFactorizacion 28 == N 28 (N 4 (H 2) (H 2)) (H 7)

arbolFactorizacion 84 == N 84 (H 7) (N 12 (H 3) (N 4 (H 2) (H 2)))

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

data Arbol = H Int
           | N Int Arbol Arbol
  deriving (Eq, Show)

arbolFactorizacion1 :: Int -> Arbol
arbolFactorizacion1 n
  | esPrimo n = H n
  | otherwise = N n (arbolFactorizacion1 x) (arbolFactorizacion1 y)
  where (x,y) = divisoresMedio n

-- (esPrimo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,
--    esPrimo 7  ==  True
--    esPrimo 9  ==  False
esPrimo :: Int -> Bool
esPrimo n = divisores n == [1,n]

-- (divisoresMedio n) es el par formado por los divisores medios de
-- n. Por ejemplo,
--    divisoresMedio 30  ==  (5,6)
--    divisoresMedio  7  ==  (1,7)
--    divisoresMedio 16  ==  (4,4)
divisoresMedio :: Int -> (Int,Int)
divisoresMedio n = (n `div` x,x)
  where xs = divisores n
        x  = xs !! (length xs `div` 2)

-- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,
--    divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
divisores :: Int -> [Int]
divisores n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0]

-- 2ª solución
-- ===========

arbolFactorizacion2 :: Int -> Arbol
arbolFactorizacion2 n
  | x == 1    = H n
  | otherwise = N n (arbolFactorizacion2 x) (arbolFactorizacion2 y)
  where (x,y) = divisoresMedio n

-- (divisoresMedio2 n) es el par formado por los divisores medios de
-- n. Por ejemplo,
--    divisoresMedio2 30  ==  (5,6)
--    divisoresMedio2  7  ==  (1,7)
divisoresMedio2 :: Int -> (Int,Int)
divisoresMedio2 n = (n `div` x,x)
  where m = ceiling (sqrt (fromIntegral n))
        x = head [y | y <- [m..n], n `rem` y == 0]

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_arbolFactorizacion :: Int -> Property
prop_arbolFactorizacion n =
  n > 1 ==> arbolFactorizacion1 n == arbolFactorizacion2 n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_arbolFactorizacion
--    +++ OK, passed 100 tests; 162 discarded.

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

data Arbol = H Int

| N Int Arbol Arbol

deriving (Eq, Show)

arbolFactorizacion1 :: Int -> Arbol

arbolFactorizacion1 n

| esPrimo n = H n

| otherwise = N n (arbolFactorizacion1 x) (arbolFactorizacion1 y)

where (x,y) = divisoresMedio n

-- (esPrimo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,

-- esPrimo 7 == True

-- esPrimo 9 == False

esPrimo :: Int -> Bool

esPrimo n = divisores n == [1,n]

-- (divisoresMedio n) es el par formado por los divisores medios de

-- n. Por ejemplo,

-- divisoresMedio 30 == (5,6)

-- divisoresMedio 7 == (1,7)

-- divisoresMedio 16 == (4,4)

divisoresMedio :: Int -> (Int,Int)

divisoresMedio n = (n `div` x,x)

where xs = divisores n

x = xs !! (length xs `div` 2)

-- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,

-- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30]

divisores :: Int -> [Int]

divisores n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0]

-- 2ª solución

-- ===========

arbolFactorizacion2 :: Int -> Arbol

arbolFactorizacion2 n

| x == 1 = H n

| otherwise = N n (arbolFactorizacion2 x) (arbolFactorizacion2 y)

where (x,y) = divisoresMedio n

-- (divisoresMedio2 n) es el par formado por los divisores medios de

-- n. Por ejemplo,

-- divisoresMedio2 30 == (5,6)

-- divisoresMedio2 7 == (1,7)

divisoresMedio2 :: Int -> (Int,Int)

divisoresMedio2 n = (n `div` x,x)

where m = ceiling (sqrt (fromIntegral n))

x = head [y | y <- [m..n], n `rem` y == 0]

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_arbolFactorizacion :: Int -> Property

prop_arbolFactorizacion n =

n > 1 ==> arbolFactorizacion1 n == arbolFactorizacion2 n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_arbolFactorizacion

-- +++ OK, passed 100 tests; 162 discarded.

Soluciones en Python

from dataclasses import dataclass
from math import ceil, sqrt

from hypothesis import given
from hypothesis import strategies as st

# 1ª solución
# ===========

@dataclass
class Arbol:
    pass

@dataclass
class H(Arbol):
    x: int

@dataclass
class N(Arbol):
    x: int
    i: Arbol
    d: Arbol

# divisores(n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,
#    divisores(30)  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
def divisores(n: int) -> list[int]:
    return [x for x in range(1, n + 1) if n % x == 0]

# divisoresMedio(n) es el par formado por los divisores medios de
# n. Por ejemplo,
#    divisoresMedio(30)  ==  (5,6)
#    divisoresMedio(7)   ==  (1,7)
#    divisoresMedio(16)  ==  (4,4)
def divisoresMedio(n: int) -> tuple[int, int]:
    xs = divisores(n)
    x = xs[len(xs) // 2]
    return (n // x, x)

# esPrimo(n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,
#    esPrimo(7)  ==  True
#    esPrimo(9)  ==  False
def esPrimo(n: int) -> bool:
    return divisores(n) == [1, n]

def arbolFactorizacion1(n: int) -> Arbol:
    if esPrimo(n):
        return H(n)
    (x, y) = divisoresMedio(n)
    return N(n, arbolFactorizacion1(x), arbolFactorizacion1(y))

# 2ª solución
# ===========

# divisoresMedio2(n) es el par formado por los divisores medios de
# n. Por ejemplo,
#    divisoresMedio2(30) ==  (5,6)
#    divisoresMedio2(7)  ==  (1,7)
#    divisoresMedio2(16) ==  (4,4)
def divisoresMedio2(n: int) -> tuple[int, int]:
    m = ceil(sqrt(n))
    x = [y for y in range(m, n + 1) if n % y == 0][0]
    return (n // x, x)

def arbolFactorizacion2(n: int) -> Arbol:
    if esPrimo(n):
        return H(n)
    (x, y) = divisoresMedio2(n)
    return N(n, arbolFactorizacion2(x), arbolFactorizacion2(y))

# Comprobación de equivalencia
# ============================

# La propiedad es
@given(st.integers(min_value=2, max_value=200))
def test_arbolFactorizacion(n: int) -> None:
    assert arbolFactorizacion1(n) == arbolFactorizacion2(n)

# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q arbol_de_factorizacion.py
#    1 passed in 0.14s

from dataclasses import dataclass

from math import ceil, sqrt

from hypothesis import given

from hypothesis import strategies as st

# 1ª solución

# ===========

@dataclass

class Arbol:

pass

@dataclass

class H(Arbol):

x: int

@dataclass

class N(Arbol):

x: int

i: Arbol

d: Arbol

# divisores(n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,

# divisores(30) == [1,2,3,5,6,10,15,30]

def divisores(n: int) -> list[int]:

return [x for x in range(1, n + 1) if n % x == 0]

# divisoresMedio(n) es el par formado por los divisores medios de

# n. Por ejemplo,

# divisoresMedio(30) == (5,6)

# divisoresMedio(7) == (1,7)

# divisoresMedio(16) == (4,4)

def divisoresMedio(n: int) -> tuple[int, int]:

xs = divisores(n)

x = xs[len(xs) // 2]

return (n // x, x)

# esPrimo(n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,

# esPrimo(7) == True

# esPrimo(9) == False

def esPrimo(n: int) -> bool:

return divisores(n) == [1, n]

def arbolFactorizacion1(n: int) -> Arbol:

if esPrimo(n):

return H(n)

(x, y) = divisoresMedio(n)

return N(n, arbolFactorizacion1(x), arbolFactorizacion1(y))

# 2ª solución

# ===========

# divisoresMedio2(n) es el par formado por los divisores medios de

# n. Por ejemplo,

# divisoresMedio2(30) == (5,6)

# divisoresMedio2(7) == (1,7)

# divisoresMedio2(16) == (4,4)

def divisoresMedio2(n: int) -> tuple[int, int]:

m = ceil(sqrt(n))

x = [y for y in range(m, n + 1) if n % y == 0][0]

return (n // x, x)

def arbolFactorizacion2(n: int) -> Arbol:

if esPrimo(n):

return H(n)

(x, y) = divisoresMedio2(n)

return N(n, arbolFactorizacion2(x), arbolFactorizacion2(y))

# Comprobación de equivalencia

# ============================

# La propiedad es

@given(st.integers(min_value=2, max_value=200))

def test_arbolFactorizacion(n: int) -> None:

assert arbolFactorizacion1(n) == arbolFactorizacion2(n)

# La comprobación es

# src> poetry run pytest -q arbol_de_factorizacion.py

# 1 passed in 0.14s

Elementos del nivel k de un árbol

PorJosé A. Alonso 2-enero-20232-enero-2023

Los árboles binarios con valores en las hojas y en los nodos se definen por

   data Arbol a = H a
                | N a (Arbol a) (Arbol a)

1 2	data Arbol a = H a \| N a (Arbol a) (Arbol a)

Por ejemplo, el árbol

/ \

2 9

/ \

5 4

se representa por

   N 7 (N 2 (H 5) (H 4)) (H 9)

1	N 7 (N 2 (H 5) (H 4)) (H 9)

Un elemento de un árbol se dirá de nivel k si aparece en el árbol a distancia k de la raíz.

Definir la función

   nivel :: Int -> Arbol a -> [a]

1	nivel :: Int -> Arbol a -> [a]

tal que nivel k a es la lista de los elementos de nivel k del árbol a. Por ejemplo,

   nivel 0 (H 5)                          ==  [5]
   nivel 1 (H 5)                          ==  []
   nivel 0 (N 7 (N 2 (H 5) (H 4)) (H 9))  ==  [7]
   nivel 1 (N 7 (N 2 (H 5) (H 4)) (H 9))  ==  [2,9]
   nivel 2 (N 7 (N 2 (H 5) (H 4)) (H 9))  ==  [5,4]
   nivel 3 (N 7 (N 2 (H 5) (H 4)) (H 9))  ==  []

nivel 0 (H 5) == [5]

nivel 1 (H 5) == []

nivel 0 (N 7 (N 2 (H 5) (H 4)) (H 9)) == [7]

nivel 1 (N 7 (N 2 (H 5) (H 4)) (H 9)) == [2,9]

nivel 2 (N 7 (N 2 (H 5) (H 4)) (H 9)) == [5,4]

nivel 3 (N 7 (N 2 (H 5) (H 4)) (H 9)) == []

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

data Arbol a = H a
             | N a (Arbol a) (Arbol a)

nivel :: Int -> Arbol a -> [a]
nivel 0 (H x)      = [x]
nivel 0 (N x _  _) = [x]
nivel _ (H _ )     = []
nivel k (N _ i d)  = nivel (k-1) i ++ nivel (k-1) d

data Arbol a = H a

| N a (Arbol a) (Arbol a)

nivel :: Int -> Arbol a -> [a]

nivel 0 (H x) = [x]

nivel 0 (N x _ _) = [x]

nivel _ (H _ ) = []

nivel k (N _ i d) = nivel (k-1) i ++ nivel (k-1) d

Soluciones en Python

from dataclasses import dataclass
from typing import Generic, TypeVar

A = TypeVar("A")

@dataclass
class Arbol(Generic[A]):
    pass

@dataclass
class H(Arbol[A]):
    x: A

@dataclass
class N(Arbol[A]):
    x: A
    i: Arbol[A]
    d: Arbol[A]

def nivel(k: int, a: Arbol[A]) -> list[A]:
    match (k, a):
        case (0, H(x)):
            return [x]
        case (0, N(x, _, _)):
            return [x]
        case (_, H(_)):
            return []
        case (_, N(_, i, d)):
            return nivel(k - 1, i) + nivel(k - 1, d)
    assert False

from dataclasses import dataclass

from typing import Generic, TypeVar

A = TypeVar("A")

@dataclass

class Arbol(Generic[A]):

pass

@dataclass

class H(Arbol[A]):

x: A

@dataclass

class N(Arbol[A]):

x: A

i: Arbol[A]

d: Arbol[A]

def nivel(k: int, a: Arbol[A]) -> list[A]:

match (k, a):

case (0, H(x)):

return [x]

case (0, N(x, _, _)):

return [x]

case (_, H(_)):

return []

case (_, N(_, i, d)):

return nivel(k - 1, i) + nivel(k - 1, d)

assert False

Existencia de elementos del árbol que verifican una propiedad

PorJosé A. Alonso 30-diciembre-202227-diciembre-2022

Los árboles binarios con valores en las hojas y en los nodos se definen por

   data Arbol a = H a
                | N a (Arbol a) (Arbol a)
     deriving Show

data Arbol a = H a

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving Show

Por ejemplo, el árbol

/ \

3 2

/ \

1 4

se representa por

   N 5 (N 3 (H 1) (H 4)) (H 2)

1	N 5 (N 3 (H 1) (H 4)) (H 2)

Definir la función

   algunoArbol :: Arbol t -> (t -> Bool) -> Bool

1	algunoArbol :: Arbol t -> (t -> Bool) -> Bool

tal que algunoArbol a p se verifica si algún elemento del árbol a cumple la propiedad p. Por ejemplo,

   algunoArbol (N 5 (N 3 (H 1) (H 4)) (H 2)) (>4)  ==  True
   algunoArbol (N 5 (N 3 (H 1) (H 4)) (H 2)) (>7)  ==  False

1 2	algunoArbol (N 5 (N 3 (H 1) (H 4)) (H 2)) (>4) == True algunoArbol (N 5 (N 3 (H 1) (H 4)) (H 2)) (>7) == False

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

data Arbol a = H a
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
  deriving Show

algunoArbol :: Arbol a -> (a -> Bool) -> Bool
algunoArbol (H x) p     = p x
algunoArbol (N x i d) p = p x || algunoArbol i p || algunoArbol d p

data Arbol a = H a

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving Show

algunoArbol :: Arbol a -> (a -> Bool) -> Bool

algunoArbol (H x) p = p x

algunoArbol (N x i d) p = p x || algunoArbol i p || algunoArbol d p

Soluciones en Python

from dataclasses import dataclass
from typing import Callable, Generic, TypeVar

A = TypeVar("A")

@dataclass
class Arbol(Generic[A]):
    pass

@dataclass
class H(Arbol[A]):
    x: A

@dataclass
class N(Arbol[A]):
    x: A
    i: Arbol[A]
    d: Arbol[A]

def algunoArbol(a: Arbol[A], p: Callable[[A], bool]) -> bool:
    match a:
        case H(x):
            return p(x)
        case N(x, i, d):
            return p(x) or algunoArbol(i, p) or algunoArbol(d, p)
    assert False

from dataclasses import dataclass

from typing import Callable, Generic, TypeVar

A = TypeVar("A")

@dataclass

class Arbol(Generic[A]):

pass

@dataclass

class H(Arbol[A]):

x: A

@dataclass

class N(Arbol[A]):

x: A

i: Arbol[A]

d: Arbol[A]

def algunoArbol(a: Arbol[A], p: Callable[[A], bool]) -> bool:

match a:

case H(x):

return p(x)

case N(x, i, d):

return p(x) or algunoArbol(i, p) or algunoArbol(d, p)

assert False

El tipo de los árboles binarios con valores en los nodos

PorJosé A. Alonso 23-diciembre-202224-abril-2023

1. El tipo de los árboles binarios con valores en los nodos en Haskell

El árbol, con valores en los nodos,

           9
          / \
         /   \
        /     \
       8       6
      / \     / \
     3   2   4   5
    /\  /\  /\   /\
   ·  ··  ··  · ·  ·

/ \

8 6

/ \ / \

3 2 4 5

/\ /\ /\ /\

· ·· ·· · · ·

se puede representar por

   N 9 (N 8 (N 3 H H) (N 2 H H)) (N 6 (N 4 H H) (N 5 H H))

1	N 9 (N 8 (N 3 H H) (N 2 H H)) (N 6 (N 4 H H) (N 5 H H))

usando el tipo de los árboles con valores en los nodos definido como se muestra a continuación.

data Arbol a = H
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
  deriving (Show, Eq)

data Arbol a = H

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

2. El tipo de los árboles binarios con valores en los nodos en Python

El árbol binario, con valores en los nodos,

           9
          / \
         /   \
        /     \
       8       6
      / \     / \
     3   2   4   5
    /\  /\  /\   /\
   ·  ··  ··  · ·  ·

/ \

8 6

/ \ / \

3 2 4 5

/\ /\ /\ /\

· ·· ·· · · ·

se puede representar por

   N(9, N(8, N(3, H(), H()), N(2, H(), H())), N(6, N(4, H(), H()), N(5, H(), H())))

1	N(9, N(8, N(3, H(), H()), N(2, H(), H())), N(6, N(4, H(), H()), N(5, H(), H())))

usando el tipo de los árboles binarios con valores en los nodos definido como se muestra a continuación.

from dataclasses import dataclass

from typing import Generic, TypeVar

A = TypeVar("A")

@dataclass
class Arbol(Generic[A]):
    pass

@dataclass
class H(Arbol[A]):
    pass

@dataclass
class N(Arbol[A]):
    x: A
    i: Arbol[A]
    d: Arbol[A]

from dataclasses import dataclass

from typing import Generic, TypeVar

A = TypeVar("A")

@dataclass

class Arbol(Generic[A]):

pass

@dataclass

class H(Arbol[A]):

pass

@dataclass

class N(Arbol[A]):

x: A

i: Arbol[A]

d: Arbol[A]

Profundidad de un árbol binario

PorJosé A. Alonso 16-diciembre-202215-diciembre-2022

El árbol binario

/ \

3 7

/ \

2 4

se puede representar por

   N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)

1	N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)

El tipo de los árboles binarios se puede definir por

   data Arbol a = H a
                | N a (Arbol a) (Arbol a)
     deriving (Show, Eq)

data Arbol a = H a

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

Definir la función

   profundidad :: Arbol a -> Int

1	profundidad :: Arbol a -> Int

tal que profundidad x es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,

   profundidad (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7))              ==  2
   profundidad (N 9 (N 3 (H 2) (N 1 (H 4) (H 5))) (H 7))  ==  3
   profundidad (N 4 (N 5 (H 4) (H 2)) (N 3 (H 7) (H 4)))  ==  2

profundidad (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 2

profundidad (N 9 (N 3 (H 2) (N 1 (H 4) (H 5))) (H 7)) == 3

profundidad (N 4 (N 5 (H 4) (H 2)) (N 3 (H 7) (H 4))) == 2

Comprobar con QuickCheck que para todo árbol biario x, se tiene que

   nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1

1	nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

import Test.QuickCheck

data Arbol a = H a
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
  deriving (Show, Eq)

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad (H _)     = 0
profundidad (N _ i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d)

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de altura n. Por ejemplo,
--    λ> sample (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int))
--    N 0 (H 0) (H 0)
--    N 1 (N (-2) (H (-1)) (H 1)) (H 2)
--    N 3 (H 1) (H 2)
--    N 6 (N 0 (H 5) (H (-5))) (N (-5) (H (-5)) (H 4))
--    H 7
--    N (-8) (H (-8)) (H 9)
--    H 2
--    N (-1) (H 7) (N 9 (H (-2)) (H (-8)))
--    H (-3)
--    N 0 (N 16 (H (-14)) (H (-18))) (H 7)
--    N (-16) (H 18) (N (-19) (H (-15)) (H (-18)))
arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)
arbolArbitrario 0 = H <$> arbitrary
arbolArbitrario n =
  oneof [H <$> arbitrary,
         N <$> arbitrary <*> arbolArbitrario (div n 2) <*> arbolArbitrario (div n 2)]

-- Arbol es subclase de Arbitrary
instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
  arbitrary = sized arbolArbitrario

-- La propiedad es
prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodosProfundidad x =
   nNodos x <= 2 ^ profundidad x - 1

-- (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
--      nNodos (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7))  ==  2
nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos (H _)     = 0
nNodos (N _ i d) = 1 + nNodos i + nNodos d

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_nNodosProfundidad
--    OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

data Arbol a = H a

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

profundidad :: Arbol a -> Int

profundidad (H _) = 0

profundidad (N _ i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d)

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de altura n. Por ejemplo,

-- λ> sample (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int))

-- N 0 (H 0) (H 0)

-- N 1 (N (-2) (H (-1)) (H 1)) (H 2)

-- N 3 (H 1) (H 2)

-- N 6 (N 0 (H 5) (H (-5))) (N (-5) (H (-5)) (H 4))

-- H 7

-- N (-8) (H (-8)) (H 9)

-- H 2

-- N (-1) (H 7) (N 9 (H (-2)) (H (-8)))

-- H (-3)

-- N 0 (N 16 (H (-14)) (H (-18))) (H 7)

-- N (-16) (H 18) (N (-19) (H (-15)) (H (-18)))

arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)

arbolArbitrario 0 = H <$> arbitrary

arbolArbitrario n =

oneof [H <$> arbitrary,

N <$> arbitrary <*> arbolArbitrario (div n 2) <*> arbolArbitrario (div n 2)]

-- Arbol es subclase de Arbitrary

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where

arbitrary = sized arbolArbitrario

-- La propiedad es

prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool

prop_nNodosProfundidad x =

nNodos x <= 2 ^ profundidad x - 1

-- (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,

-- nNodos (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 2

nNodos :: Arbol a -> Int

nNodos (H _) = 0

nNodos (N _ i d) = 1 + nNodos i + nNodos d

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_nNodosProfundidad

-- OK, passed 100 tests.

Soluciones en Python

from dataclasses import dataclass
from random import choice, randint
from typing import Generic, TypeVar

from hypothesis import given
from hypothesis import strategies as st

A = TypeVar("A")

@dataclass
class Arbol(Generic[A]):
    pass

@dataclass
class H(Arbol[A]):
    x: A

@dataclass
class N(Arbol[A]):
    x: A
    i: Arbol[A]
    d: Arbol[A]

def profundidad(a: Arbol[A]) -> int:
    match a:
        case H(_):
            return 0
        case N(_, i, d):
            return 1 + max(profundidad(i), profundidad(d))
    assert False

# Comprobación de equivalencia
# ============================

# (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de orden n. Por ejemplo,
#    >>> arbolArbitrario(4)
#    N(x=2, i=H(x=1), d=H(x=9))
#    >>> arbolArbitrario(4)
#    H(x=10)
#    >>> arbolArbitrario(4)
#    N(x=4, i=N(x=7, i=H(x=4), d=H(x=0)), d=H(x=6))
def arbolArbitrario(n: int) -> Arbol[int]:
    if n <= 1:
        return H(randint(0, 10))
    m = n // 2
    return choice([H(randint(0, 10)),
                   N(randint(0, 10),
                     arbolArbitrario(m),
                     arbolArbitrario(m))])

# nNodos(x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
#    nNodos(N(9, N(3, H(2), H(4)), H(7)))  ==  2
def nNodos(a: Arbol[A]) -> int:
    match a:
        case H(_):
            return 0
        case N(_, i, d):
            return 1 + nNodos(i) + nNodos(d)
    assert False

# La propiedad es
@given(st.integers(min_value=1, max_value=10))
def test_nHojas(n: int) -> None:
    a = arbolArbitrario(n)
    assert nNodos(a) <= 2 ** profundidad(a) - 1

# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q profundidad_de_un_arbol_binario.py
#    1 passed in 0.11s

from dataclasses import dataclass

from random import choice, randint

from typing import Generic, TypeVar

from hypothesis import given

from hypothesis import strategies as st

A = TypeVar("A")

@dataclass

class Arbol(Generic[A]):

pass

@dataclass

class H(Arbol[A]):

x: A

@dataclass

class N(Arbol[A]):

x: A

i: Arbol[A]

d: Arbol[A]

def profundidad(a: Arbol[A]) -> int:

match a:

case H(_):

return 0

case N(_, i, d):

return 1 + max(profundidad(i), profundidad(d))

assert False

# Comprobación de equivalencia

# ============================

# (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de orden n. Por ejemplo,

# >>> arbolArbitrario(4)

# N(x=2, i=H(x=1), d=H(x=9))

# >>> arbolArbitrario(4)

# H(x=10)

# >>> arbolArbitrario(4)

# N(x=4, i=N(x=7, i=H(x=4), d=H(x=0)), d=H(x=6))

def arbolArbitrario(n: int) -> Arbol[int]:

if n <= 1:

return H(randint(0, 10))

m = n // 2

return choice([H(randint(0, 10)),

N(randint(0, 10),

arbolArbitrario(m),

arbolArbitrario(m))])

# nNodos(x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,

# nNodos(N(9, N(3, H(2), H(4)), H(7))) == 2

def nNodos(a: Arbol[A]) -> int:

match a:

case H(_):

return 0

case N(_, i, d):

return 1 + nNodos(i) + nNodos(d)

assert False

# La propiedad es

@given(st.integers(min_value=1, max_value=10))

def test_nHojas(n: int) -> None:

a = arbolArbitrario(n)

assert nNodos(a) <= 2 ** profundidad(a) - 1

# La comprobación es

# src> poetry run pytest -q profundidad_de_un_arbol_binario.py

# 1 passed in 0.11s

El tipo de los árboles binarios

PorJosé A. Alonso 15-diciembre-202222-abril-2023

1. El tipo de los árboles binarios en Haskell

El árbol binario

/ \

3 7

/ \

2 4

se puede representar por

   N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)

1	N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)

usando el tipo de los árboles binarios definido como se muestra a continuación.

import Test.QuickCheck

data Arbol a = H a
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
  deriving (Show, Eq)

-- Generador de árboles binarios
-- =============================

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de altura n. Por ejemplo,
--    λ> sample (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int))
--    N 0 (H 0) (H 0)
--    N 1 (N (-2) (H (-1)) (H 1)) (H 2)
--    N 3 (H 1) (H 2)
--    N 6 (N 0 (H 5) (H (-5))) (N (-5) (H (-5)) (H 4))
--    H 7
--    N (-8) (H (-8)) (H 9)
--    H 2
--    N (-1) (H 7) (N 9 (H (-2)) (H (-8)))
--    H (-3)
--    N 0 (N 16 (H (-14)) (H (-18))) (H 7)
--    N (-16) (H 18) (N (-19) (H (-15)) (H (-18)))
arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)
arbolArbitrario 0 = H <$> arbitrary
arbolArbitrario n =
  oneof [H <$> arbitrary,
         N <$> arbitrary <*> arbolArbitrario (div n 2) <*> arbolArbitrario (div n 2)]

-- Arbol es subclase de Arbitrary
instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
  arbitrary = sized arbolArbitrario

import Test.QuickCheck

data Arbol a = H a

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

-- Generador de árboles binarios

-- =============================

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de altura n. Por ejemplo,

-- λ> sample (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int))

-- N 0 (H 0) (H 0)

-- N 1 (N (-2) (H (-1)) (H 1)) (H 2)

-- N 3 (H 1) (H 2)

-- N 6 (N 0 (H 5) (H (-5))) (N (-5) (H (-5)) (H 4))

-- H 7

-- N (-8) (H (-8)) (H 9)

-- H 2

-- N (-1) (H 7) (N 9 (H (-2)) (H (-8)))

-- H (-3)

-- N 0 (N 16 (H (-14)) (H (-18))) (H 7)

-- N (-16) (H 18) (N (-19) (H (-15)) (H (-18)))

arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)

arbolArbitrario 0 = H <$> arbitrary

arbolArbitrario n =

oneof [H <$> arbitrary,

N <$> arbitrary <*> arbolArbitrario (div n 2) <*> arbolArbitrario (div n 2)]

-- Arbol es subclase de Arbitrary

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where

arbitrary = sized arbolArbitrario

2. El tipo de los árboles binarios en Python

El árbol binario

/ \

3 7

/ \

2 4

se puede representar por

   N(9, N(3, H(2), H(4)), H(7))

1	N(9, N(3, H(2), H(4)), H(7))

usando la definición de los árboles binarios que se muestra a continuación.

from dataclasses import dataclass
from random import choice, randint
from typing import Generic, TypeVar

A = TypeVar("A")

@dataclass
class Arbol(Generic[A]):
    pass

@dataclass
class H(Arbol[A]):
    x: A

@dataclass
class N(Arbol[A]):
    x: A
    i: Arbol[A]
    d: Arbol[A]

def nHojas(a: Arbol[A]) -> int:
    match a:
        case H(_):
            return 1
        case N(_, i, d):
            return nHojas(i) + nHojas(d)
    assert False

def nNodos(a: Arbol[A]) -> int:
    match a:
        case H(_):
            return 0
        case N(_, i, d):
            return 1 + nNodos(i) + nNodos(d)
    assert False

# Generador de árboles
# ====================

# (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de orden n. Por ejemplo,
#    >>> arbolArbitrario(4)
#    N(x=2, i=H(x=1), d=H(x=9))
#    >>> arbolArbitrario(4)
#    H(x=10)
#    >>> arbolArbitrario(4)
#    N(x=4, i=N(x=7, i=H(x=4), d=H(x=0)), d=H(x=6))
def arbolArbitrario(n: int) -> Arbol[int]:
    if n <= 1:
        return H(randint(0, 10))
    m = n // 2
    return choice([H(randint(0, 10)),
                   N(randint(0, 10),
                     arbolArbitrario(m),
                     arbolArbitrario(m))])

from dataclasses import dataclass

from random import choice, randint

from typing import Generic, TypeVar

A = TypeVar("A")

@dataclass

class Arbol(Generic[A]):

pass

@dataclass

class H(Arbol[A]):

x: A

@dataclass

class N(Arbol[A]):

x: A

i: Arbol[A]

d: Arbol[A]

def nHojas(a: Arbol[A]) -> int:

match a:

case H(_):

return 1

case N(_, i, d):

return nHojas(i) + nHojas(d)

assert False

def nNodos(a: Arbol[A]) -> int:

match a:

case H(_):

return 0

case N(_, i, d):

return 1 + nNodos(i) + nNodos(d)

assert False

# Generador de árboles

# ====================

# (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de orden n. Por ejemplo,

# >>> arbolArbitrario(4)

# N(x=2, i=H(x=1), d=H(x=9))

# >>> arbolArbitrario(4)

# H(x=10)

# >>> arbolArbitrario(4)

# N(x=4, i=N(x=7, i=H(x=4), d=H(x=0)), d=H(x=6))

def arbolArbitrario(n: int) -> Arbol[int]:

if n <= 1:

return H(randint(0, 10))

m = n // 2

return choice([H(randint(0, 10)),

N(randint(0, 10),

arbolArbitrario(m),

arbolArbitrario(m))])

Árbol con las hojas en la profundidad dada

PorJosé A. Alonso 9-diciembre-202214-diciembre-2022

El árbol binario

        ·
       / \
      /   \
     ·     ·
    / \   / \
   1   4 6   9

/ \

· ·

/ \ / \

1 4 6 9

se puede representar por

   ejArbol = Nodo (Nodo (Hoja 1) (Hoja 4))
                  (Nodo (Hoja 6) (Hoja 9))

1 2	ejArbol = Nodo (Nodo (Hoja 1) (Hoja 4)) (Nodo (Hoja 6) (Hoja 9))

El tipo de los árboles binarios se puede definir por

   data Arbol a = Hoja a
                | Nodo (Arbol a) (Arbol a)
     deriving (Show, Eq)

data Arbol a = Hoja a

| Nodo (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

Definir la función

   creaArbol :: Int -> Arbol ()

1	creaArbol :: Int -> Arbol ()

tal que creaArbol n es el árbol cuyas hoyas están en la profundidad n. Por ejemplo,

   λ> creaArbol 2
   Nodo (Nodo (Hoja ()) (Hoja ())) (Nodo (Hoja ()) (Hoja ()))

1 2	λ> creaArbol 2 Nodo (Nodo (Hoja ()) (Hoja ())) (Nodo (Hoja ()) (Hoja ()))

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

data Arbol a = Hoja a
             | Nodo (Arbol a) (Arbol a)
  deriving (Show, Eq)

creaArbol :: Int -> Arbol ()
creaArbol h
  | h <= 0    = Hoja ()
  | otherwise = Nodo x x
  where x = creaArbol (h - 1)

data Arbol a = Hoja a

| Nodo (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

creaArbol :: Int -> Arbol ()

creaArbol h

| h <= 0 = Hoja ()

| otherwise = Nodo x x

where x = creaArbol (h - 1)

Soluciones en Python

from dataclasses import dataclass
from typing import Any, Generic, TypeVar

A = TypeVar("A")

@dataclass
class Arbol(Generic[A]):
    pass

@dataclass
class Hoja(Arbol[A]):
    x: A

@dataclass
class Nodo(Arbol[A]):
    i: Arbol[A]
    d: Arbol[A]

def creaArbol(h: int) -> Arbol[Any]:
    if h <= 0:
        return Hoja(None)
    x = creaArbol(h - 1)
    return Nodo(x, x)

from dataclasses import dataclass

from typing import Any, Generic, TypeVar

A = TypeVar("A")

@dataclass

class Arbol(Generic[A]):

pass

@dataclass

class Hoja(Arbol[A]):

x: A

@dataclass

class Nodo(Arbol[A]):

i: Arbol[A]

d: Arbol[A]

def creaArbol(h: int) -> Arbol[Any]:

if h <= 0:

return Hoja(None)

x = creaArbol(h - 1)

return Nodo(x, x)

Árboles con la misma forma

PorJosé A. Alonso 8-diciembre-202214-diciembre-2022

El árbol binario

        ·
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      /   \
     ·     ·
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   1   4 6   9

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· ·

/ \ / \

1 4 6 9

se puede representar por

   ejArbol = Nodo (Nodo (Hoja 1) (Hoja 4))
                  (Nodo (Hoja 6) (Hoja 9))

1 2	ejArbol = Nodo (Nodo (Hoja 1) (Hoja 4)) (Nodo (Hoja 6) (Hoja 9))

El tipo de los árboles binarios se puede definir por

   data Arbol a = Hoja a
                | Nodo (Arbol a) (Arbol a)
     deriving (Show, Eq)

data Arbol a = Hoja a

| Nodo (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

Definir la función

   mismaForma :: Arbol a -> Arbol b -> Bool

1	mismaForma :: Arbol a -> Arbol b -> Bool

tal que mismaForma t1 t2 se verifica si t1 y t2 tienen la misma estructura. Por ejemplo,

   λ> arbol1 = Hoja 5
   λ> arbol2 = Hoja 3
   λ> mismaForma arbol1 arbol2
   True
   λ> arbol3 = Nodo (Hoja 6) (Hoja 7)
   λ> mismaForma arbol1 arbol3
   False
   λ> arbol4 = Nodo (Hoja 9) (Hoja 5)
   λ> mismaForma arbol3 arbol4
   True

λ> arbol1 = Hoja 5

λ> arbol2 = Hoja 3

λ> mismaForma arbol1 arbol2

True

λ> arbol3 = Nodo (Hoja 6) (Hoja 7)

λ> mismaForma arbol1 arbol3

False

λ> arbol4 = Nodo (Hoja 9) (Hoja 5)

λ> mismaForma arbol3 arbol4

True

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.

Soluciones en Haskell

import Test.QuickCheck

data Arbol a = Hoja a
             | Nodo (Arbol a) (Arbol a)
  deriving (Show, Eq)

-- 1ª solución
-- ===========

mismaForma1 :: Arbol a -> Arbol b -> Bool
mismaForma1 (Hoja _)   (Hoja _)     = True
mismaForma1 (Nodo l r) (Nodo l' r') = mismaForma1 l l' && mismaForma1 r r'
mismaForma1 _          _            = False

-- 2ª solución
-- ===========

mismaForma2 :: Arbol a -> Arbol b -> Bool
mismaForma2 x y = f x == f y
  where
    f = mapArbol (const ())

-- (mapArbol f t) es el árbol obtenido aplicando la función f a los
-- elementos del árbol t. Por ejemplo,
--    λ> mapArbol (+ 1) (Nodo (Hoja 2) (Hoja 4))
--    Nodo (Hoja 3) (Hoja 5)
mapArbol :: (a -> b) -> Arbol a -> Arbol b
mapArbol f (Hoja a)   = Hoja (f a)
mapArbol f (Nodo i d) = Nodo (mapArbol f i) (mapArbol f d)

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de altura n. Por ejemplo,
--    λ> sample (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int))
--    Nodo (Nodo (Nodo (Hoja 0) (Hoja 0)) (Hoja 0)) (Hoja 0)
--    Nodo (Nodo (Hoja 4) (Hoja 8)) (Hoja (-4))
--    Nodo (Nodo (Nodo (Hoja 4) (Hoja 10)) (Hoja (-6))) (Hoja (-1))
--    Nodo (Nodo (Hoja 3) (Hoja 6)) (Hoja (-5))
--    Nodo (Nodo (Hoja (-11)) (Hoja (-13))) (Hoja 14)
--    Nodo (Nodo (Hoja (-7)) (Hoja 15)) (Hoja (-2))
--    Nodo (Nodo (Hoja (-9)) (Hoja (-2))) (Hoja (-6))
--    Nodo (Nodo (Hoja (-15)) (Hoja (-16))) (Hoja (-20))
arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)
arbolArbitrario n
  | n <= 1    = Hoja <$> arbitrary
  | otherwise = do
      k <- choose (2, n - 1)
      Nodo <$> arbolArbitrario k <*> arbolArbitrario (n - k)

-- Arbol es subclase de Arbitraria
instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
  arbitrary = sized arbolArbitrario
  shrink (Hoja x)   = Hoja <$> shrink x
  shrink (Nodo l r) = l :
                      r :
                      [Nodo l' r | l' <- shrink l] ++
                      [Nodo l r' | r' <- shrink r]

-- La propiedad es
prop_mismaForma :: Arbol Int -> Arbol Int -> Property
prop_mismaForma a1 a2 =
  mismaForma1 a1 a2 === mismaForma2 a1 a2

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_mismaForma
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

data Arbol a = Hoja a

| Nodo (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

-- 1ª solución

-- ===========

mismaForma1 :: Arbol a -> Arbol b -> Bool

mismaForma1 (Hoja _) (Hoja _) = True

mismaForma1 (Nodo l r) (Nodo l' r') = mismaForma1 l l' && mismaForma1 r r'

mismaForma1 _ _ = False

-- 2ª solución

-- ===========

mismaForma2 :: Arbol a -> Arbol b -> Bool

mismaForma2 x y = f x == f y

where

f = mapArbol (const ())

-- (mapArbol f t) es el árbol obtenido aplicando la función f a los

-- elementos del árbol t. Por ejemplo,

-- λ> mapArbol (+ 1) (Nodo (Hoja 2) (Hoja 4))

-- Nodo (Hoja 3) (Hoja 5)

mapArbol :: (a -> b) -> Arbol a -> Arbol b

mapArbol f (Hoja a) = Hoja (f a)

mapArbol f (Nodo i d) = Nodo (mapArbol f i) (mapArbol f d)

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de altura n. Por ejemplo,

-- λ> sample (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int))

-- Nodo (Nodo (Nodo (Hoja 0) (Hoja 0)) (Hoja 0)) (Hoja 0)

-- Nodo (Nodo (Hoja 4) (Hoja 8)) (Hoja (-4))

-- Nodo (Nodo (Nodo (Hoja 4) (Hoja 10)) (Hoja (-6))) (Hoja (-1))

-- Nodo (Nodo (Hoja 3) (Hoja 6)) (Hoja (-5))

-- Nodo (Nodo (Hoja (-11)) (Hoja (-13))) (Hoja 14)

-- Nodo (Nodo (Hoja (-7)) (Hoja 15)) (Hoja (-2))

-- Nodo (Nodo (Hoja (-9)) (Hoja (-2))) (Hoja (-6))

-- Nodo (Nodo (Hoja (-15)) (Hoja (-16))) (Hoja (-20))

arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)

arbolArbitrario n

| n <= 1 = Hoja <$> arbitrary

| otherwise = do

k <- choose (2, n - 1)

Nodo <$> arbolArbitrario k <*> arbolArbitrario (n - k)

-- Arbol es subclase de Arbitraria

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where

arbitrary = sized arbolArbitrario

shrink (Hoja x) = Hoja <$> shrink x

shrink (Nodo l r) = l :

r :

[Nodo l' r | l' <- shrink l] ++

[Nodo l r' | r' <- shrink r]

-- La propiedad es

prop_mismaForma :: Arbol Int -> Arbol Int -> Property

prop_mismaForma a1 a2 =

mismaForma1 a1 a2 === mismaForma2 a1 a2

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_mismaForma

-- +++ OK, passed 100 tests.

Soluciones en Python

from dataclasses import dataclass
from random import randint
from typing import Callable, Generic, TypeVar

from hypothesis import given
from hypothesis import strategies as st

A = TypeVar("A")
B = TypeVar("B")

@dataclass
class Arbol(Generic[A]):
    pass

@dataclass
class Hoja(Arbol[A]):
    x: A

@dataclass
class Nodo(Arbol[A]):
    i: Arbol[A]
    d: Arbol[A]

# -- 1ª solución
# -- ===========

def mismaForma1(a: Arbol[A], b: Arbol[B]) -> bool:
    match (a, b):
        case (Hoja(_), Hoja(_)):
            return True
        case (Nodo(i1, d1), Nodo(i2, d2)):
            return mismaForma1(i1, i2) and mismaForma1(d1, d2)
        case (_, _):
            return False
    assert False

# -- 2ª solución
# -- ===========

# mapArbol(f, t) es el árbolo obtenido aplicando la función f a
# los elementos del árbol t. Por ejemplo,
#    >>> mapArbol(lambda x: 1 + x, Nodo(Hoja(2), Hoja(4)))
#    Nodo(i=Hoja(x=3), d=Hoja(x=5))
def mapArbol(f: Callable[[A], B], a: Arbol[A]) -> Arbol[B]:
    match a:
        case Hoja(x):
            return Hoja(f(x))
        case Nodo(i, d):
            return Nodo(mapArbol(f, i), mapArbol(f, d))
    assert False

def mismaForma2(a: Arbol[A], b: Arbol[B]) -> bool:
    return mapArbol(lambda x: 0, a) == mapArbol(lambda x: 0, b)

# Comprobación de equivalencia
# ============================

# arbolArbitrario(n) es un árbol aleatorio de altura n. Por ejemplo,
#    >>> arbolArbitrario(3)
#    Nodo(i=Hoja(x=2), d=Nodo(i=Hoja(x=5), d=Hoja(x=2)))
#    >>> arbolArbitrario(3)
#    Nodo(i=Nodo(i=Hoja(x=6), d=Hoja(x=9)), d=Hoja(x=1))
def arbolArbitrario(n: int) -> Arbol[int]:
    if n <= 1:
        return Hoja(randint(1, 10 * n))
    k = min(randint(1, n), n - 1)
    return Nodo(arbolArbitrario(k), arbolArbitrario(n - k))

# La propiedad es
@given(st.integers(min_value=1, max_value=10),
       st.integers(min_value=1, max_value=10))
def test_mismaForma(n1: int, n2: int) -> None:
    a1 = arbolArbitrario(n1)
    a2 = arbolArbitrario(n2)
    assert mismaForma1(a1, a2) == mismaForma2(a1, a2)

# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q arboles_con_la_misma_forma.py
#    1 passed in 0.22s

from dataclasses import dataclass

from random import randint

from typing import Callable, Generic, TypeVar

from hypothesis import given

from hypothesis import strategies as st

A = TypeVar("A")

B = TypeVar("B")

@dataclass

class Arbol(Generic[A]):

pass

@dataclass

class Hoja(Arbol[A]):

x: A

@dataclass

class Nodo(Arbol[A]):

i: Arbol[A]

d: Arbol[A]

# -- 1ª solución

# -- ===========

def mismaForma1(a: Arbol[A], b: Arbol[B]) -> bool:

match (a, b):

case (Hoja(_), Hoja(_)):

return True

case (Nodo(i1, d1), Nodo(i2, d2)):

return mismaForma1(i1, i2) and mismaForma1(d1, d2)

case (_, _):

return False

assert False

# -- 2ª solución

# -- ===========

# mapArbol(f, t) es el árbolo obtenido aplicando la función f a

# los elementos del árbol t. Por ejemplo,

# >>> mapArbol(lambda x: 1 + x, Nodo(Hoja(2), Hoja(4)))

# Nodo(i=Hoja(x=3), d=Hoja(x=5))

def mapArbol(f: Callable[[A], B], a: Arbol[A]) -> Arbol[B]:

match a:

case Hoja(x):

return Hoja(f(x))

case Nodo(i, d):

return Nodo(mapArbol(f, i), mapArbol(f, d))

assert False

def mismaForma2(a: Arbol[A], b: Arbol[B]) -> bool:

return mapArbol(lambda x: 0, a) == mapArbol(lambda x: 0, b)

# Comprobación de equivalencia

# ============================

# arbolArbitrario(n) es un árbol aleatorio de altura n. Por ejemplo,

# >>> arbolArbitrario(3)

# Nodo(i=Hoja(x=2), d=Nodo(i=Hoja(x=5), d=Hoja(x=2)))

# >>> arbolArbitrario(3)

# Nodo(i=Nodo(i=Hoja(x=6), d=Hoja(x=9)), d=Hoja(x=1))

def arbolArbitrario(n: int) -> Arbol[int]:

if n <= 1:

return Hoja(randint(1, 10 * n))

k = min(randint(1, n), n - 1)

return Nodo(arbolArbitrario(k), arbolArbitrario(n - k))

# La propiedad es

@given(st.integers(min_value=1, max_value=10),

st.integers(min_value=1, max_value=10))

def test_mismaForma(n1: int, n2: int) -> None:

a1 = arbolArbitrario(n1)

a2 = arbolArbitrario(n2)

assert mismaForma1(a1, a2) == mismaForma2(a1, a2)

# La comprobación es

# src> poetry run pytest -q arboles_con_la_misma_forma.py

# 1 passed in 0.22s

El tipo de los árboles binarios con valores en las hojas

PorJosé A. Alonso 6-diciembre-202223-abril-2023

1. El tipo de los árboles binarios con valores en las hojas en Haskell

El árbol binario

        ·
       / \
      /   \
     ·     ·
    / \   / \
   1   4 6   9

/ \

· ·

/ \ / \

1 4 6 9

se puede representar por

   ejArbol = Nodo (Nodo (Hoja 1) (Hoja 4))
                  (Nodo (Hoja 6) (Hoja 9))

1 2	ejArbol = Nodo (Nodo (Hoja 1) (Hoja 4)) (Nodo (Hoja 6) (Hoja 9))

usando el tipo de los árboles binarios con valores en las hojas definido como se muestra a continuación.

data Arbol a = Hoja a
             | Nodo (Arbol a) (Arbol a)
  deriving (Eq, Show)

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de altura n. Por ejemplo,
--    λ> sample (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int))
--    Nodo (Nodo (Nodo (Hoja 0) (Hoja 0)) (Hoja 0)) (Hoja 0)
--    Nodo (Nodo (Hoja 4) (Hoja 8)) (Hoja (-4))
--    Nodo (Nodo (Nodo (Hoja 4) (Hoja 10)) (Hoja (-6))) (Hoja (-1))
--    Nodo (Nodo (Hoja 3) (Hoja 6)) (Hoja (-5))
--    Nodo (Nodo (Hoja (-11)) (Hoja (-13))) (Hoja 14)
--    Nodo (Nodo (Hoja (-7)) (Hoja 15)) (Hoja (-2))
--    Nodo (Nodo (Hoja (-9)) (Hoja (-2))) (Hoja (-6))
--    Nodo (Nodo (Hoja (-15)) (Hoja (-16))) (Hoja (-20))
arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)
arbolArbitrario n
  | n <= 1    = Hoja <$> arbitrary
  | otherwise = do
      k <- choose (2, n - 1)
      Nodo <$> arbolArbitrario k <*> arbolArbitrario (n - k)

-- Arbol es subclase de Arbitraria
instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
  arbitrary = sized arbolArbitrario
  shrink (Hoja x)   = Hoja <$> shrink x
  shrink (Nodo l r) = l :
                      r :
                      [Nodo l' r | l' <- shrink l] ++
                      [Nodo l r' | r' <- shrink r]

data Arbol a = Hoja a

| Nodo (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Eq, Show)

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de altura n. Por ejemplo,

-- λ> sample (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int))

-- Nodo (Nodo (Nodo (Hoja 0) (Hoja 0)) (Hoja 0)) (Hoja 0)

-- Nodo (Nodo (Hoja 4) (Hoja 8)) (Hoja (-4))

-- Nodo (Nodo (Nodo (Hoja 4) (Hoja 10)) (Hoja (-6))) (Hoja (-1))

-- Nodo (Nodo (Hoja 3) (Hoja 6)) (Hoja (-5))

-- Nodo (Nodo (Hoja (-11)) (Hoja (-13))) (Hoja 14)

-- Nodo (Nodo (Hoja (-7)) (Hoja 15)) (Hoja (-2))

-- Nodo (Nodo (Hoja (-9)) (Hoja (-2))) (Hoja (-6))

-- Nodo (Nodo (Hoja (-15)) (Hoja (-16))) (Hoja (-20))

arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)

arbolArbitrario n

| n <= 1 = Hoja <$> arbitrary

| otherwise = do

k <- choose (2, n - 1)

Nodo <$> arbolArbitrario k <*> arbolArbitrario (n - k)

-- Arbol es subclase de Arbitraria

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where

arbitrary = sized arbolArbitrario

shrink (Hoja x) = Hoja <$> shrink x

shrink (Nodo l r) = l :

r :

[Nodo l' r | l' <- shrink l] ++

[Nodo l r' | r' <- shrink r]

2. El tipo de los árboles binarios con valores en las hojas en Python

El árbol binario

        ·
       / \
      /   \
     ·     ·
    / \   / \
   1   4 6   9

/ \

· ·

/ \ / \

1 4 6 9

se puede representar por

   ejArbol = Nodo(Nodo(Hoja(1), Hoja(4)),
                  Nodo(Hoja(6), Hoja(9)))

1 2	ejArbol = Nodo(Nodo(Hoja(1), Hoja(4)), Nodo(Hoja(6), Hoja(9)))

usando el tipo de los árboles binarios con valores en las hojas definido como se muestra a continuación.

from dataclasses import dataclass
from typing import Generic, TypeVar
from random import randint

A = TypeVar("A")

@dataclass
class Arbol(Generic[A]):
    pass

@dataclass
class Hoja(Arbol[A]):
    x: A

@dataclass
class Nodo(Arbol[A]):
    i: Arbol[A]
    d: Arbol[A]

# Generador
# =========

# arbolArbitrario(n) es un árbol aleatorio de orden n. Por ejemplo,
#    >>> arbolArbitrario(2)
#    Nodo(i=Nodo(i=Hoja(x=6), d=Hoja(x=3)), d=Nodo(i=Hoja(x=4), d=Hoja(x=4)))
#    >>> arbolArbitrario(2)
#    Nodo(i=Nodo(i=Hoja(x=9), d=Hoja(x=6)), d=Nodo(i=Hoja(x=9), d=Hoja(x=8)))
def arbolArbitrario(n: int) -> Arbol[int]:
    if n == 0:
        return Hoja(randint(1, 10))
    if n == 1:
        return Nodo(arbolArbitrario(0), arbolArbitrario(0))
    k = min(randint(1, n + 1), n - 1)
    return Nodo(arbolArbitrario(k), arbolArbitrario(n - k))

from dataclasses import dataclass

from typing import Generic, TypeVar

from random import randint

A = TypeVar("A")

@dataclass

class Arbol(Generic[A]):

pass

@dataclass

class Hoja(Arbol[A]):

x: A

@dataclass

class Nodo(Arbol[A]):

i: Arbol[A]

d: Arbol[A]

# Generador

# =========

# arbolArbitrario(n) es un árbol aleatorio de orden n. Por ejemplo,

# >>> arbolArbitrario(2)

# Nodo(i=Nodo(i=Hoja(x=6), d=Hoja(x=3)), d=Nodo(i=Hoja(x=4), d=Hoja(x=4)))

# >>> arbolArbitrario(2)

# Nodo(i=Nodo(i=Hoja(x=9), d=Hoja(x=6)), d=Nodo(i=Hoja(x=9), d=Hoja(x=8)))

def arbolArbitrario(n: int) -> Arbol[int]:

if n == 0:

return Hoja(randint(1, 10))

if n == 1:

return Nodo(arbolArbitrario(0), arbolArbitrario(0))

k = min(randint(1, n + 1), n - 1)

return Nodo(arbolArbitrario(k), arbolArbitrario(n - k))

Enumeración de árboles binarios

PorJosé A. Alonso 6-abril-202213-abril-2022

Los árboles binarios se pueden representar mediante el tipo Arbol definido por

   data Arbol a = H a
                | N (Arbol a) a (Arbol a)
      deriving Show

data Arbol a = H a

| N (Arbol a) a (Arbol a)

deriving Show

Por ejemplo, el árbol

        "B"
        / \
       /   \
      /     \
    "B"     "A"
    / \     / \
  "A" "B" "C" "C"

"B"

/ \

"B" "A"

/ \ / \

"A" "B" "C" "C"

se puede definir por

   ej1 :: Arbol String
   ej1 = N (N (H "A") "B" (H "B")) "B" (N (H "C") "A" (H "C"))

1 2	ej1 :: Arbol String ej1 = N (N (H "A") "B" (H "B")) "B" (N (H "C") "A" (H "C"))

Definir la función

   enumeraArbol :: Arbol t -> Arbol Int

1	enumeraArbol :: Arbol t -> Arbol Int

tal que (enumeraArbol a) es el árbol obtenido numerando las hojas y los nodos de a desde la hoja izquierda hasta la raíz. Por ejemplo,

   λ> enumeraArbol ej1
   N (N (H 0) 1 (H 2)) 3 (N (H 4) 5 (H 6))

1 2	λ> enumeraArbol ej1 N (N (H 0) 1 (H 2)) 3 (N (H 4) 5 (H 6))

Gráficamente,

         3
        / \
       /   \
      /     \
     1       5
    / \     / \
   0   2   4   6

/ \

1 5

/ \ / \

0 2 4 6

Soluciones

import Test.QuickCheck (Arbitrary, Gen, arbitrary, quickCheck, sized)
import Control.Monad.State (State, evalState, get, put)

data Arbol a = H a
             | N (Arbol a) a (Arbol a)
  deriving (Show, Eq)

ej1 :: Arbol String
ej1 = N (N (H "A") "B" (H "B")) "B" (N (H "C") "A" (H "C"))

-- 1ª solución
-- ===========

enumeraArbol1 :: Arbol t -> Arbol Int
enumeraArbol1 a = fst (aux a 0)
  where aux :: Arbol t -> Int -> (Arbol Int, Int)
        aux (H _) n     = (H n, n+1)
        aux (N i _ d) n = (N i' n1 d', n2)
          where (i', n1) = aux i n
                (d', n2) = aux d (n1+1)

-- 2ª solución
-- ===========

enumeraArbol2 :: Arbol t -> Arbol Int
enumeraArbol2 a = evalState (aux a) 0
  where aux :: Arbol t -> State Int (Arbol Int)
        aux (H _)     = H <$> contador
        aux (N i _ d) = do
          i' <- aux i
          n1 <- contador
          d' <- aux d
          return (N i' n1 d')

contador :: State Int Int
contador = do
  n <- get
  put (n+1)
  return n

-- 3ª solución
-- ===========

enumeraArbol3 :: Arbol t -> Arbol Int
enumeraArbol3 a = evalState (aux a) 0
  where aux :: Arbol t -> State Int (Arbol Int)
        aux (H _)     = H <$> contador
        aux (N i _ d) = N <$> aux i <*> contador <*> aux d

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- (arbolArbitrario n) genera un árbol aleatorio de orden n. Por
-- ejemplo,
--    λ> generate (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int))
--    N (N (H 19) 0 (H (-27))) 21 (N (H 2) 17 (H 26))
arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)
arbolArbitrario n
  | n <= 0    = H <$> arbitrary
  | otherwise = N <$> subarbol <*> arbitrary <*> subarbol
  where subarbol = arbolArbitrario (n `div` 2)

-- Arbol es una subclase de Arbitrary.
instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
  arbitrary = sized arbolArbitrario

-- La propiedad es
prop_enumeraArbol :: Arbol Int -> Bool
prop_enumeraArbol a =
  all (== enumeraArbol1 a)
      [enumeraArbol2 a,
       enumeraArbol3 a]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_enumeraArbol
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck (Arbitrary, Gen, arbitrary, quickCheck, sized)

import Control.Monad.State (State, evalState, get, put)

data Arbol a = H a

| N (Arbol a) a (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

ej1 :: Arbol String

ej1 = N (N (H "A") "B" (H "B")) "B" (N (H "C") "A" (H "C"))

-- 1ª solución

-- ===========

enumeraArbol1 :: Arbol t -> Arbol Int

enumeraArbol1 a = fst (aux a 0)

where aux :: Arbol t -> Int -> (Arbol Int, Int)

aux (H _) n = (H n, n+1)

aux (N i _ d) n = (N i' n1 d', n2)

where (i', n1) = aux i n

(d', n2) = aux d (n1+1)

-- 2ª solución

-- ===========

enumeraArbol2 :: Arbol t -> Arbol Int

enumeraArbol2 a = evalState (aux a) 0

where aux :: Arbol t -> State Int (Arbol Int)

aux (H _) = H <$> contador

aux (N i _ d) = do

i' <- aux i

n1 <- contador

d' <- aux d

return (N i' n1 d')

contador :: State Int Int

contador = do

n <- get

put (n+1)

return n

-- 3ª solución

-- ===========

enumeraArbol3 :: Arbol t -> Arbol Int

enumeraArbol3 a = evalState (aux a) 0

where aux :: Arbol t -> State Int (Arbol Int)

aux (H _) = H <$> contador

aux (N i _ d) = N <$> aux i <*> contador <*> aux d

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- (arbolArbitrario n) genera un árbol aleatorio de orden n. Por

-- ejemplo,

-- λ> generate (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int))

-- N (N (H 19) 0 (H (-27))) 21 (N (H 2) 17 (H 26))

arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)

arbolArbitrario n

| n <= 0 = H <$> arbitrary

| otherwise = N <$> subarbol <*> arbitrary <*> subarbol

where subarbol = arbolArbitrario (n `div` 2)

-- Arbol es una subclase de Arbitrary.

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where

arbitrary = sized arbolArbitrario

-- La propiedad es

prop_enumeraArbol :: Arbol Int -> Bool

prop_enumeraArbol a =

all (== enumeraArbol1 a)

[enumeraArbol2 a,

enumeraArbol3 a]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_enumeraArbol

-- +++ OK, passed 100 tests.

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

[/schedule]

Mayor producto de las ramas de un árbol

PorJosé A. Alonso 28-marzo-20224-abril-2022

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

   data Arbol a = N a [Arbol a]
     deriving Show

1 2	data Arbol a = N a [Arbol a] deriving Show

Por ejemplo, los árboles

      1              3
    /  \            /|\
   2   3           / | \
       |          5  4  7
       4          |     /\
                  6    2  1

1 3

/ \ /|\

2 3 / | \

| 5 4 7

4 | /\

6 2 1

se representan por

   ej1, ej2 :: Arbol Int
   ej1 = N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]]
   ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]

ej1, ej2 :: Arbol Int

ej1 = N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]]

ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]

Definir la función

   mayorProducto :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a

1	mayorProducto :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a

tal que (mayorProducto a) es el mayor producto de las ramas del árbol a. Por ejemplo,

   λ> mayorProducto (N 1 [N 2 [], N  3 []])
   3
   λ> mayorProducto (N 1 [N 8 [], N  4 [N 3 []]])
   12
   λ> mayorProducto (N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]])
   12
   λ> mayorProducto (N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]])
   90
   λ> mayorProducto (N (-8) [N 0 [N (-9) []],N 6 []])
   0
   λ> a = N (-4) [N (-7) [],N 14 [N 19 []],N (-1) [N (-6) [],N 21 []],N (-4) []]
   λ> mayorProducto a
   84

λ> mayorProducto (N 1 [N 2 [], N 3 []])

λ> mayorProducto (N 1 [N 8 [], N 4 [N 3 []]])

λ> mayorProducto (N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]])

λ> mayorProducto (N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]])

λ> mayorProducto (N (-8) [N 0 [N (-9) []],N 6 []])

λ> a = N (-4) [N (-7) [],N 14 [N 19 []],N (-1) [N (-6) [],N 21 []],N (-4) []]

λ> mayorProducto a

Soluciones

import Test.QuickCheck

data Arbol a = N a [Arbol a]
  deriving Show

-- 1ª solución
-- ===========

mayorProducto1 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a
mayorProducto1 a = maximum [product xs | xs <- ramas a]

-- (ramas a) es la lista de las ramas del árbol a. Por ejemplo,
--    λ> ramas (N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]])
--    [[3,5,6],[3,4],[3,7,2],[3,7,1]]
ramas :: Arbol b -> [[b]]
ramas (N x []) = [[x]]
ramas (N x as) = [x : xs | a <- as, xs <- ramas a]

-- 2ª solución
-- ===========

mayorProducto2 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a
mayorProducto2 a = maximum (map product (ramas a))

-- 3ª solución
-- ===========

mayorProducto3 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a
mayorProducto3 = maximum . map product . ramas

-- 4º solución
-- ===========

mayorProducto4 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a
mayorProducto4 = maximum . productosRamas

-- (productosRamas a) es la lista de los productos de las ramas
-- del árbol a. Por ejemplo,
--    λ> productosRamas (N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]])
--    [90,12,42,21]
productosRamas :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> [a]
productosRamas (N x []) = [x]
productosRamas (N x xs) = [x * y | a <- xs, y <- productosRamas a]

-- 5ª solución
-- ===========

mayorProducto5 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a
mayorProducto5 (N x []) = x
mayorProducto5 (N x xs)
  | x > 0     = x * maximum (map mayorProducto5 xs)
  | x == 0    = 0
  | otherwise = x * minimum (map menorProducto xs)

-- (menorProducto a) es el menor producto de las ramas del árbol
-- a. Por ejemplo,
--    λ> menorProducto (N 1 [N 2 [], N  3 []])
--    2
--    λ> menorProducto (N 1 [N 8 [], N  4 [N 3 []]])
--    8
--    λ> menorProducto (N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]])
--    2
--    λ> menorProducto (N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]])
--    12
menorProducto :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a
menorProducto (N x []) = x
menorProducto (N x xs)
  | x > 0     = x * minimum (map menorProducto xs)
  | x == 0    = 0
  | otherwise = x * maximum (map mayorProducto2 xs)

-- 6ª solución
-- ===========

mayorProducto6 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a
mayorProducto6 = maximum . aux
  where aux (N a []) = [a]
        aux (N a b)  = [v,u]
          where u = maximum g
                v = minimum g
                g = map (*a) (concatMap aux b)

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de orden n. Por ejemplo,
--   > sample (arbolArbitrario 5 :: Gen (Arbol Int))
--   N 0 [N 0 []]
--   N (-2) []
--   N 4 []
--   N 2 [N 4 []]
--   N 8 []
--   N (-2) [N (-9) [],N 7 []]
--   N 11 []
--   N (-11) [N 4 [],N 14 []]
--   N 10 [N (-3) [],N 13 []]
--   N 12 [N 11 []]
--   N 20 [N (-18) [],N (-13) []]
arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)
arbolArbitrario n = do
  x  <- arbitrary
  ms <- sublistOf [0 .. n `div` 2]
  as <- mapM arbolArbitrario ms
  return (N x as)

-- Arbol es una subclase de Arbitraria
instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
  arbitrary = sized arbolArbitrario

-- La propiedad es
prop_mayorProducto :: Arbol Integer -> Bool
prop_mayorProducto a =
  all (== mayorProducto1 a)
      [f a | f <- [ mayorProducto2
                  , mayorProducto3
                  , mayorProducto4
                  , mayorProducto5
                  , mayorProducto6
                  ]]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_mayorProducto
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> ejArbol <- generate (arbolArbitrario 600 :: Gen (Arbol Integer))
--    λ> mayorProducto1 ejArbol
--    2419727651266241493467136000
--    (1.87 secs, 1,082,764,480 bytes)
--    λ> mayorProducto2 ejArbol
--    2419727651266241493467136000
--    (1.57 secs, 1,023,144,008 bytes)
--    λ> mayorProducto3 ejArbol
--    2419727651266241493467136000
--    (1.55 secs, 1,023,144,248 bytes)
--    λ> mayorProducto4 ejArbol
--    2419727651266241493467136000
--    (1.60 secs, 824,473,800 bytes)
--    λ> mayorProducto5 ejArbol
--    2419727651266241493467136000
--    (0.83 secs, 732,370,352 bytes)
--    λ> mayorProducto6 ejArbol
--    2419727651266241493467136000
--    (0.98 secs, 817,473,344 bytes)
--
--    λ> ejArbol2 <- generate (arbolArbitrario 700 :: Gen (Arbol Integer))
--    λ> mayorProducto5 ejArbol2
--    1044758937398026715504640000000
--    (4.94 secs, 4,170,324,376 bytes)
--    λ> mayorProducto6 ejArbol2
--    1044758937398026715504640000000
--    (5.88 secs, 4,744,782,024 bytes)

100

101

102

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152

153

154

155

import Test.QuickCheck

data Arbol a = N a [Arbol a]

deriving Show

-- 1ª solución

-- ===========

mayorProducto1 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a

mayorProducto1 a = maximum [product xs | xs <- ramas a]

-- (ramas a) es la lista de las ramas del árbol a. Por ejemplo,

-- λ> ramas (N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]])

-- [[3,5,6],[3,4],[3,7,2],[3,7,1]]

ramas :: Arbol b -> [[b]]

ramas (N x []) = [[x]]

ramas (N x as) = [x : xs | a <- as, xs <- ramas a]

-- 2ª solución

-- ===========

mayorProducto2 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a

mayorProducto2 a = maximum (map product (ramas a))

-- 3ª solución

-- ===========

mayorProducto3 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a

mayorProducto3 = maximum . map product . ramas

-- 4º solución

-- ===========

mayorProducto4 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a

mayorProducto4 = maximum . productosRamas

-- (productosRamas a) es la lista de los productos de las ramas

-- del árbol a. Por ejemplo,

-- λ> productosRamas (N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]])

-- [90,12,42,21]

productosRamas :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> [a]

productosRamas (N x []) = [x]

productosRamas (N x xs) = [x * y | a <- xs, y <- productosRamas a]

-- 5ª solución

-- ===========

mayorProducto5 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a

mayorProducto5 (N x []) = x

mayorProducto5 (N x xs)

| x > 0 = x * maximum (map mayorProducto5 xs)

| x == 0 = 0

| otherwise = x * minimum (map menorProducto xs)

-- (menorProducto a) es el menor producto de las ramas del árbol

-- a. Por ejemplo,

-- λ> menorProducto (N 1 [N 2 [], N 3 []])

-- 2

-- λ> menorProducto (N 1 [N 8 [], N 4 [N 3 []]])

-- 8

-- λ> menorProducto (N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]])

-- 2

-- λ> menorProducto (N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]])

-- 12

menorProducto :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a

menorProducto (N x []) = x

menorProducto (N x xs)

| x > 0 = x * minimum (map menorProducto xs)

| x == 0 = 0

| otherwise = x * maximum (map mayorProducto2 xs)

-- 6ª solución

-- ===========

mayorProducto6 :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a

mayorProducto6 = maximum . aux

where aux (N a []) = [a]

aux (N a b) = [v,u]

where u = maximum g

v = minimum g

g = map (*a) (concatMap aux b)

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de orden n. Por ejemplo,

-- > sample (arbolArbitrario 5 :: Gen (Arbol Int))

-- N 0 [N 0 []]

-- N (-2) []

-- N 4 []

-- N 2 [N 4 []]

-- N 8 []

-- N (-2) [N (-9) [],N 7 []]

-- N 11 []

-- N (-11) [N 4 [],N 14 []]

-- N 10 [N (-3) [],N 13 []]

-- N 12 [N 11 []]

-- N 20 [N (-18) [],N (-13) []]

arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)

arbolArbitrario n = do

x <- arbitrary

ms <- sublistOf [0 .. n `div` 2]

as <- mapM arbolArbitrario ms

return (N x as)

-- Arbol es una subclase de Arbitraria

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where

arbitrary = sized arbolArbitrario

-- La propiedad es

prop_mayorProducto :: Arbol Integer -> Bool

prop_mayorProducto a =

all (== mayorProducto1 a)

[f a | f <- [ mayorProducto2

, mayorProducto3

, mayorProducto4

, mayorProducto5

, mayorProducto6

]]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_mayorProducto

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> ejArbol <- generate (arbolArbitrario 600 :: Gen (Arbol Integer))

-- λ> mayorProducto1 ejArbol

-- 2419727651266241493467136000

-- (1.87 secs, 1,082,764,480 bytes)

-- λ> mayorProducto2 ejArbol

-- 2419727651266241493467136000

-- (1.57 secs, 1,023,144,008 bytes)

-- λ> mayorProducto3 ejArbol

-- 2419727651266241493467136000

-- (1.55 secs, 1,023,144,248 bytes)

-- λ> mayorProducto4 ejArbol

-- 2419727651266241493467136000

-- (1.60 secs, 824,473,800 bytes)

-- λ> mayorProducto5 ejArbol

-- 2419727651266241493467136000

-- (0.83 secs, 732,370,352 bytes)

-- λ> mayorProducto6 ejArbol

-- 2419727651266241493467136000

-- (0.98 secs, 817,473,344 bytes)

-- λ> ejArbol2 <- generate (arbolArbitrario 700 :: Gen (Arbol Integer))

-- λ> mayorProducto5 ejArbol2

-- 1044758937398026715504640000000

-- (4.94 secs, 4,170,324,376 bytes)

-- λ> mayorProducto6 ejArbol2

-- 1044758937398026715504640000000

-- (5.88 secs, 4,744,782,024 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Espacio de estados del problema de las N reinas

PorJosé A. Alonso 21-mayo-202028-mayo-2020

El problema de las N reinas consiste en colocar N reinas en tablero rectangular de dimensiones N por N de forma que no se encuentren más de una en la misma línea: horizontal, vertical o diagonal. Por ejemplo, una solución para el problema de las 4 reinas es

   |---|---|---|---|
   |   | R |   |   |
   |---|---|---|---|
   |   |   |   | R |
   |---|---|---|---|
   | R |   |   |   |
   |---|---|---|---|
   |   |   | R |   |
   |---|---|---|---|

|---|---|---|---|

| | R | | |

|---|---|---|---|

| | | | R |

|---|---|---|---|

| R | | | |

|---|---|---|---|

| | | R | |

|---|---|---|---|

Los estados del problema de las N reinas son los tableros con las reinas colocadas. Inicialmente el tablero está vacío y, en cda paso se coloca una reina en la primera columna en la que aún no hay ninguna reina.

Cada estado se representa por una lista de números que indican las filas donde se han colocado las reinas. Por ejemplo, el tablero anterior se representa por [2,4,1,3].

Usando la librería de árboles Data.Tree, definir las funciones

   arbolReinas :: Int -> Tree [Int]
   nEstados    :: Int -> Int
   soluciones  :: Int -> [[Int]]
   nSoluciones :: Int -> Int

arbolReinas :: Int -> Tree [Int]

nEstados :: Int -> Int

soluciones :: Int -> [[Int]]

nSoluciones :: Int -> Int

tales que

(arbolReinas n) es el árbol de estados para el problema de las n reinas. Por ejemplo,

     λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolReinas 4)))
     []
     |
     +- [1]
     |  |
     |  +- [3,1]
     |  |
     |  `- [4,1]
     |     |
     |     `- [2,4,1]
     |
     +- [2]
     |  |
     |  `- [4,2]
     |     |
     |     `- [1,4,2]
     |        |
     |        `- [3,1,4,2]
     |
     +- [3]
     |  |
     |  `- [1,3]
     |     |
     |     `- [4,1,3]
     |        |
     |        `- [2,4,1,3]
     |
     `- [4]
        |
        +- [1,4]
        |  |
        |  `- [3,1,4]
        |
        `- [2,4]
     
     λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolReinas 5)))
     []
     |
     +- [1]
     |  |
     |  +- [3,1]
     |  |  |
     |  |  `- [5,3,1]
     |  |     |
     |  |     `- [2,5,3,1]
     |  |        |
     |  |        `- [4,2,5,3,1]
     |  |
     |  +- [4,1]
     |  |  |
     |  |  `- [2,4,1]
     |  |     |
     |  |     `- [5,2,4,1]
     |  |        |
     |  |        `- [3,5,2,4,1]
     |  |
     |  `- [5,1]
     |     |
     |     `- [2,5,1]
     |
     +- [2]
     |  |
     |  +- [4,2]
     |  |  |
     |  |  `- [1,4,2]
     |  |     |
     |  |     `- [3,1,4,2]
     |  |        |
     |  |        `- [5,3,1,4,2]
     |  |
     |  `- [5,2]
     |     |
     |     +- [1,5,2]
     |     |  |
     |     |  `- [4,1,5,2]
     |     |
     |     `- [3,5,2]
     |        |
     |        `- [1,3,5,2]
     |           |
     |           `- [4,1,3,5,2]
     |
     +- [3]
     |  |
     |  +- [1,3]
     |  |  |
     |  |  `- [4,1,3]
     |  |     |
     |  |     `- [2,4,1,3]
     |  |        |
     |  |        `- [5,2,4,1,3]
     |  |
     |  `- [5,3]
     |     |
     |     `- [2,5,3]
     |        |
     |        `- [4,2,5,3]
     |           |
     |           `- [1,4,2,5,3]
     |
     +- [4]
     |  |
     |  +- [1,4]
     |  |  |
     |  |  +- [3,1,4]
     |  |  |  |
     |  |  |  `- [5,3,1,4]
     |  |  |     |
     |  |  |     `- [2,5,3,1,4]
     |  |  |
     |  |  `- [5,1,4]
     |  |     |
     |  |     `- [2,5,1,4]
     |  |
     |  `- [2,4]
     |     |
     |     `- [5,2,4]
     |        |
     |        `- [3,5,2,4]
     |           |
     |           `- [1,3,5,2,4]
     |
     `- [5]
        |
        +- [1,5]
        |  |
        |  `- [4,1,5]
        |
        +- [2,5]
        |  |
        |  `- [4,2,5]
        |     |
        |     `- [1,4,2,5]
        |        |
        |        `- [3,1,4,2,5]
        |
        `- [3,5]
           |
           `- [1,3,5]
              |
              `- [4,1,3,5]
                 |
                 `- [2,4,1,3,5]

100

101

102

103

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110

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119

120

121

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129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolReinas 4)))

[]

+- [1]

| |

| +- [3,1]

| |

| `- [4,1]

| |

| `- [2,4,1]

+- [2]

| |

| `- [4,2]

| |

| `- [1,4,2]

| |

| `- [3,1,4,2]

+- [3]

| |

| `- [1,3]

| |

| `- [4,1,3]

| |

| `- [2,4,1,3]

`- [4]

+- [1,4]

| |

| `- [3,1,4]

`- [2,4]

λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolReinas 5)))

[]

+- [1]

| |

| +- [3,1]

| | |

| | `- [5,3,1]

| | |

| | `- [2,5,3,1]

| | |

| | `- [4,2,5,3,1]

| |

| +- [4,1]

| | |

| | `- [2,4,1]

| | |

| | `- [5,2,4,1]

| | |

| | `- [3,5,2,4,1]

| |

| `- [5,1]

| |

| `- [2,5,1]

+- [2]

| |

| +- [4,2]

| | |

| | `- [1,4,2]

| | |

| | `- [3,1,4,2]

| | |

| | `- [5,3,1,4,2]

| |

| `- [5,2]

| |

| +- [1,5,2]

| | |

| | `- [4,1,5,2]

| |

| `- [3,5,2]

| |

| `- [1,3,5,2]

| |

| `- [4,1,3,5,2]

+- [3]

| |

| +- [1,3]

| | |

| | `- [4,1,3]

| | |

| | `- [2,4,1,3]

| | |

| | `- [5,2,4,1,3]

| |

| `- [5,3]

| |

| `- [2,5,3]

| |

| `- [4,2,5,3]

| |

| `- [1,4,2,5,3]

+- [4]

| |

| +- [1,4]

| | |

| | +- [3,1,4]

| | | |

| | | `- [5,3,1,4]

| | | |

| | | `- [2,5,3,1,4]

| | |

| | `- [5,1,4]

| | |

| | `- [2,5,1,4]

| |

| `- [2,4]

| |

| `- [5,2,4]

| |

| `- [3,5,2,4]

| |

| `- [1,3,5,2,4]

`- [5]

+- [1,5]

| |

| `- [4,1,5]

+- [2,5]

| |

| `- [4,2,5]

| |

| `- [1,4,2,5]

| |

| `- [3,1,4,2,5]

`- [3,5]

`- [1,3,5]

`- [4,1,3,5]

`- [2,4,1,3,5]

(nEstados n) es el número de estados en el problema de las n reinas. Por ejemplo,

     nEstados 4            ==  17
     nEstados 5            ==  54
     map nEstados [0..10]  ==  [1,2,3,6,17,54,153,552,2057,8394,35539]

nEstados 4 == 17

nEstados 5 == 54

map nEstados [0..10] == [1,2,3,6,17,54,153,552,2057,8394,35539]

(soluciones n) es la lista de estados que son soluciones del problema de las n reinas. Por ejemplo,

     λ> soluciones 4
     [[3,1,4,2],[2,4,1,3]]
     λ> soluciones 5
     [[4,2,5,3,1],[3,5,2,4,1],[5,3,1,4,2],[4,1,3,5,2],[5,2,4,1,3],
      [1,4,2,5,3],[2,5,3,1,4],[1,3,5,2,4],[3,1,4,2,5],[2,4,1,3,5]]

λ> soluciones 4

[[3,1,4,2],[2,4,1,3]]

λ> soluciones 5

[[4,2,5,3,1],[3,5,2,4,1],[5,3,1,4,2],[4,1,3,5,2],[5,2,4,1,3],

[1,4,2,5,3],[2,5,3,1,4],[1,3,5,2,4],[3,1,4,2,5],[2,4,1,3,5]]

(nSoluciones n) es el número de soluciones del problema de las n reinas. Por ejemplo,

     nSoluciones 4            ==  2
     nSoluciones 5            ==  10
     map nSoluciones [0..10]  ==  [1,1,0,0,2,10,4,40,92,352,724]

nSoluciones 4 == 2

nSoluciones 5 == 10

map nSoluciones [0..10] == [1,1,0,0,2,10,4,40,92,352,724]

Soluciones

import Data.List ((\\))
import Data.Tree

-- Definición de arbolReinas
-- =========================

arbolReinas :: Int -> Tree [Int]
arbolReinas n = expansion n []
  where
    expansion m xs = Node xs [expansion (m-1) ys | ys <- sucesores n xs]

-- (sucesores n xs) es la lista de los sucesores del estado xs en el
-- problema de las n reinas. Por ejemplo,
--    sucesores 4 []       ==  [[1],[2],[3],[4]]
--    sucesores 4 [1]      ==  [[3,1],[4,1]]
--    sucesores 4 [4,1]    ==  [[2,4,1]]
--    sucesores 4 [2,4,1]  ==  []
sucesores :: Int -> [Int] -> [[Int]]
sucesores n xs = [y:xs | y <- [1..n] \\ xs
                       , noAtaca y xs 1]

-- (noAtaca y xs d) se verifica si la reina en la fila y no ataca a las
-- colocadas en las filas xs donde d es el número de columnas desde la
-- de la posición de x a la primera de xs.
noAtaca :: Int -> [Int] -> Int -> Bool
noAtaca _ [] _ = True
noAtaca y (x:xs) distH = abs(y-x) /= distH &&
                         noAtaca y xs (distH + 1)               

-- Definición de nEstados
-- ======================

nEstados :: Int -> Int
nEstados = length . arbolReinas

-- Definición de solucionesReinas
-- ==============================

--    λ> soluciones 4
--    [[3,1,4,2],[2,4,1,3]]
--    λ> soluciones 5
--    [[4,2,5,3,1],[3,5,2,4,1],[5,3,1,4,2],[4,1,3,5,2],[5,2,4,1,3],
--     [1,4,2,5,3],[2,5,3,1,4],[1,3,5,2,4],[3,1,4,2,5],[2,4,1,3,5]]
soluciones :: Int -> [[Int]]
soluciones n =
  filter (\xs -> length xs == n) (estados n)

-- (estados n) es la lista de estados del problema de las n reinas. Por
-- ejemplo, 
--   λ> estados 4
--   [[],
--    [1],[2],[3],[4],
--    [3,1],[4,1],[4,2],[1,3],[1,4],[2,4],
--    [2,4,1],[1,4,2],[4,1,3],[3,1,4],
--    [3,1,4,2],[2,4,1,3]]
estados :: Int -> [[Int]]
estados = concat . levels . arbolReinas

-- Definición de nSoluciones
-- =========================

nSoluciones :: Int -> Int
nSoluciones = length . soluciones

import Data.List ((\\))

import Data.Tree

-- Definición de arbolReinas

-- =========================

arbolReinas :: Int -> Tree [Int]

arbolReinas n = expansion n []

where

expansion m xs = Node xs [expansion (m-1) ys | ys <- sucesores n xs]

-- (sucesores n xs) es la lista de los sucesores del estado xs en el

-- problema de las n reinas. Por ejemplo,

-- sucesores 4 [] == [[1],[2],[3],[4]]

-- sucesores 4 [1] == [[3,1],[4,1]]

-- sucesores 4 [4,1] == [[2,4,1]]

-- sucesores 4 [2,4,1] == []

sucesores :: Int -> [Int] -> [[Int]]

sucesores n xs = [y:xs | y <- [1..n] \\ xs

, noAtaca y xs 1]

-- (noAtaca y xs d) se verifica si la reina en la fila y no ataca a las

-- colocadas en las filas xs donde d es el número de columnas desde la

-- de la posición de x a la primera de xs.

noAtaca :: Int -> [Int] -> Int -> Bool

noAtaca _ [] _ = True

noAtaca y (x:xs) distH = abs(y-x) /= distH &&

noAtaca y xs (distH + 1)

-- Definición de nEstados

-- ======================

nEstados :: Int -> Int

nEstados = length . arbolReinas

-- Definición de solucionesReinas

-- ==============================

-- λ> soluciones 4

-- [[3,1,4,2],[2,4,1,3]]

-- λ> soluciones 5

-- [[4,2,5,3,1],[3,5,2,4,1],[5,3,1,4,2],[4,1,3,5,2],[5,2,4,1,3],

-- [1,4,2,5,3],[2,5,3,1,4],[1,3,5,2,4],[3,1,4,2,5],[2,4,1,3,5]]

soluciones :: Int -> [[Int]]

soluciones n =

filter (\xs -> length xs == n) (estados n)

-- (estados n) es la lista de estados del problema de las n reinas. Por

-- ejemplo,

-- λ> estados 4

-- [[],

-- [1],[2],[3],[4],

-- [3,1],[4,1],[4,2],[1,3],[1,4],[2,4],

-- [2,4,1],[1,4,2],[4,1,3],[3,1,4],

-- [3,1,4,2],[2,4,1,3]]

estados :: Int -> [[Int]]

estados = concat . levels . arbolReinas

-- Definición de nSoluciones

-- =========================

nSoluciones :: Int -> Int

nSoluciones = length . soluciones

Hojas con caminos no decrecientes

PorJosé A. Alonso 17-abril-202029-abril-2020

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

   data Arbol = N Int [Arbol]
     deriving Show

1 2	data Arbol