Primos gemelos próximos a múltiplos de 6

PorJosé A. Alonso 6-noviembre-201513-noviembre-2015

Un par de números primos (p,q) es un par de números primos gemelos si su distancia de 2; es decir, si q = p+2. Por ejemplo, (17,19) es una par de números primos gemelos.

Se dice que un par de números (x,y) está próximo a un múltiplo de 6 si es de la forma (6*n-1,6*n+1). Por ejemplo, (17,19) está cerca de un múltiplo de 6 porque (17,19) = (6*3-1,6*3+1).

Definir las funciones

   primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

1 2	primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tales que

(primosGemelos n) es la lista de los primos gemelos menores que n. Por ejemplo,

     primosGemelos 50  == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43)]
     primosGemelos 43  == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31)]

1 2	primosGemelos 50 == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43)] primosGemelos 43 == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31)]

(primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n) es la lista de los primos gemelos menores que n que no están próximos a un múltiplo de 6. Por ejemplo,

     primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 50              == [(3,5)]
     length (primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 (10^9)) == 1

1 2	primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 50 == [(3,5)] length (primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 (10^9)) == 1

Soluciones

primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelos n = [(x,x+2) | x <- [3,5..n-3], 
                             primo x,
                             primo (x+2)]

primo :: Integer -> Bool
primo n = divisores n == [1,n]

divisores :: Integer -> [Integer]
divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

proximosAmultiplosDe6 :: (Integer,Integer) -> Bool
proximosAmultiplosDe6 (x,y) =
    (x+1) `mod` 6 == 0 && y == 6*n+1
    where n = (x+1) `div` 6

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n =
    [p | p <- primosGemelos n,
         not (proximosAmultiplosDe6 p)]


-- Experimentado con primosGemelosNProximosAmultiplosDe6
--    primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 50    == [(3,5)]
--    primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 500   == [(3,5)]
--    primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 5000  == [(3,5)]
-- se observa que el único par de primos gemelos no próximos a múltiplos
-- de 6 es el (3,5). Su demostración es la siguiente:
--
-- Para cualquier n > 3, se tiene que de los tres números n-1, n. n+1
-- uno es divisible por 2 y alguno es divisible por 3. Si n-1 y n+1 son
-- primos, entonces el que es divisible por 2 y por 3 es n y, por tanto,
-- n es divisible por 6 y (n-1,n+1) están próximos a un múltiplo de 6.

-- Usando la propiedad tenemos una definición más eficiente
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6' :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6' n = [(3,5)]

primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelos n = [(x,x+2) | x <- [3,5..n-3],

primo x,

primo (x+2)]

primo :: Integer -> Bool

primo n = divisores n == [1,n]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

proximosAmultiplosDe6 :: (Integer,Integer) -> Bool

proximosAmultiplosDe6 (x,y) =

(x+1) `mod` 6 == 0 && y == 6*n+1

where n = (x+1) `div` 6

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n =

[p | p <- primosGemelos n,

not (proximosAmultiplosDe6 p)]

-- Experimentado con primosGemelosNProximosAmultiplosDe6

-- primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 50 == [(3,5)]

-- primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 500 == [(3,5)]

-- primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 5000 == [(3,5)]

-- se observa que el único par de primos gemelos no próximos a múltiplos

-- de 6 es el (3,5). Su demostración es la siguiente:

-- Para cualquier n > 3, se tiene que de los tres números n-1, n. n+1

-- uno es divisible por 2 y alguno es divisible por 3. Si n-1 y n+1 son

-- primos, entonces el que es divisible por 2 y por 3 es n y, por tanto,

-- n es divisible por 6 y (n-1,n+1) están próximos a un múltiplo de 6.

-- Usando la propiedad tenemos una definición más eficiente

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6' :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6' n = [(3,5)]

4 Comentarios

import Data.Numbers.Primes

primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelos n = filter (\(x,y) -> x + 2 == y) 
                $ zip primes' (tail primes')
    where primes' = takeWhile (<n) primes

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 = 
    filter (\(x,_) -> (x+1) `mod` 6 /= 0) . primosGemelos

import Data.Numbers.Primes

primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelos n = filter (\(x,y) -> x + 2 == y)

$ zip primes' (tail primes')

where primes' = takeWhile (<n) primes

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 =

filter (\(x,_) -> (x+1) `mod` 6 /= 0) . primosGemelos

Responder

primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelos n = 
    [(a,b) | a <- [1..n-1], b <- [1..n-1], cercanos (a,b), parPrimo (a,b)]
    where cercanos (a,b) = a+2 == b
          divisores n    = filter (\x -> mod n x == 0) [1..n]
          primo n        = divisores n == [1,n]
          parPrimo (a,b) = primo a && primo b
 
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n = 
    filter (\x -> not (proxMult6 x n)) (primosGemelos n)
    where proxMult6 (a,b) n = elem (a,b) (prox n)
          prox n            = map (\x -> (6*x-1,6*x+1)) [1..n]

primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelos n =

[(a,b) | a <- [1..n-1], b <- [1..n-1], cercanos (a,b), parPrimo (a,b)]

where cercanos (a,b) = a+2 == b

divisores n = filter (\x -> mod n x == 0) [1..n]

primo n = divisores n == [1,n]

parPrimo (a,b) = primo a && primo b

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n =

filter (\x -> not (proxMult6 x n)) (primosGemelos n)

where proxMult6 (a,b) n = elem (a,b) (prox n)

prox n = map (\x -> (6*x-1,6*x+1)) [1..n]

Responder

-- Las funciones auxiliares son:

divisores :: Integral t => t -> [t]
divisores n = [ x | x <- [1..n], rem n x == 0 ]

primo :: Integral t => t -> Bool
primo n = divisores n == [1,n]

sonPrimosGemelos :: Integral a => (a, a) -> Bool
sonPrimosGemelos (x,y) = primo x && primo y && (y-x) == 2 

proximoMultiploDeSeis :: Integral a => (a, a) -> Bool
proximoMultiploDeSeis (x,y) = 
    rem (x+1) 6 == 0 && rem (y-1) 6 == 0 && (y-x) == 2

-- Las funciones que se nos piden son:

primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelos n = 
    [ (x,y) | x <- [1..n-1], y <- [1..n-1], sonPrimosGemelos (x,y) ]

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n = 
    [ (x,y) | (x,y) <- (primosGemelos n), not (proximoMultiploDeSeis (x,y) ) ]

-- Las funciones auxiliares son:

divisores :: Integral t => t -> [t]

divisores n = [ x | x <- [1..n], rem n x == 0 ]

primo :: Integral t => t -> Bool

primo n = divisores n == [1,n]

sonPrimosGemelos :: Integral a => (a, a) -> Bool

sonPrimosGemelos (x,y) = primo x && primo y && (y-x) == 2

proximoMultiploDeSeis :: Integral a => (a, a) -> Bool

proximoMultiploDeSeis (x,y) =

rem (x+1) 6 == 0 && rem (y-1) 6 == 0 && (y-x) == 2

-- Las funciones que se nos piden son:

primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelos n =

[ (x,y) | x <- [1..n-1], y <- [1..n-1], sonPrimosGemelos (x,y) ]

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n =

[ (x,y) | (x,y) <- (primosGemelos n), not (proximoMultiploDeSeis (x,y) ) ]

Responder

primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelos n = 
    [(p,p+2)| p <- [2..n-3], primo p, primo (p+2)]
            
           
primo :: Integer -> Bool 
primo x = [1,x] == divisores x

divisores :: Integer -> [Integer]
divisores x = [n | n <- [1..x], mod x n == 0]

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n = 
    [(p,p+2)| p <- [2..n-3], primo p
                           , primo (p+2)
                           , noMultiplo6 p]

noMultiplo6 :: Integer -> Bool
noMultiplo6 x = mod (x+1) 6 /= 0

primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelos n =

[(p,p+2)| p <- [2..n-3], primo p, primo (p+2)]

primo :: Integer -> Bool

primo x = [1,x] == divisores x

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores x = [n | n <- [1..x], mod x n == 0]

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n =

[(p,p+2)| p <- [2..n-3], primo p

, primo (p+2)

, noMultiplo6 p]

noMultiplo6 :: Integer -> Bool

noMultiplo6 x = mod (x+1) 6 /= 0

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