Exercitium

Números cíclicos

PorJosé A. Alonso 13-enero-202120-enero-2021

La indicatriz de Euler (también llamada función φ de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Por ejemplo,

φ(15) = 8 ya que los números menores o iguales a 36 y coprimos con 36 son ocho: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 y 14.
φ(21) = 12 ya que los números menores o iguales a 36 y coprimos con 36 son doce: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19 y 20.

Un número n es un número cíclico si n y φ(n) no tiene ningún divisor primo común. Por ejemplo, el número 15 es cíclico ya que 15 y 8 (que es φ(15)) no tiene ningún divisor primo común; en cambio, el número 21 no es cíclico ya 21 y 12 (que es φ(21)) son divisibles por 3.

Definir las funciones

   esCiclico :: Integer -> Bool
   ciclicos  :: [Integer]

1 2	esCiclico :: Integer -> Bool ciclicos :: [Integer]

tales que

(esCiclico n) se verifica si n es un número cíclico. Por ejemplo,

     esCiclico 15    ==  True
     esCiclico 16    ==  False
     esCiclico 2021  ==  True
     esCiclico (product [1..10^4])  ==  False

esCiclico 15 == True

esCiclico 16 == False

esCiclico 2021 == True

esCiclico (product [1..10^4]) == False

ciclicos es la lista de los números cíclicos. Por ejemplo,

     λ> take 20 ciclicos
     [2,3,5,7,11,13,15,17,19,23,29,31,33,35,37,41,43,47,51,53]
     λ> ciclicos !! (10^5)
     336059

λ> take 20 ciclicos

[2,3,5,7,11,13,15,17,19,23,29,31,33,35,37,41,43,47,51,53]

λ> ciclicos !! (10^5)

336059

Comprobar con QuickCheck que todos los números primos mayores que 2 son cíclicos.

Soluciones

module Numeros_ciclicos where

import Data.List (genericLength, group)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors, primes)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª definición
-- =============

ciclicos1 :: [Integer]
ciclicos1 = filter esCiclico1 [2..]

esCiclico1 :: Integer -> Bool
esCiclico1 n = gcd n (phi1 n) == 1

-- (phi1 n) es igual a φ(n). Por ejemplo,
--    phi1 15    ==  8
--    phi1 21    ==  12
--    phi1 2021  ==  1932
phi1 :: Integer -> Integer
phi1 n = genericLength [x | x <- [1..n], gcd x n == 1]

-- 2ª definición
-- =============

ciclicos2 :: [Integer]
ciclicos2 = filter esCiclico2 [2..]

esCiclico2 :: Integer -> Bool
esCiclico2 n = gcd n (phi2 n) == 1

-- (phi2 n) es igual a φ(n). Por ejemplo,
--    phi2 15    ==  8
--    phi2 21    ==  12
--    phi2 2021  ==  1932
phi2 :: Integer -> Integer
phi2 n = product [(p-1)*p^(e-1) | (p,e) <- factorizacion n]

-- (factorizacion n) es la descomposición de n en factores primos como
-- una lista de pares donde los primeros elementos son la base y los
-- segundo son los exponentes. Por ejemplo,
--    factorizacion 3000  ==  [(2,3),(3,1),(5,3)]
-- ya que 3000 = 2^3*3*5^3
factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion n =
  [(head xs,genericLength xs) | xs <- group (primeFactors n)]

-- 3ª definición
-- =============

ciclicos3 :: [Integer]
ciclicos3 = filter esCiclico3 [2..]

esCiclico3 :: Integer -> Bool
esCiclico3 n = gcd n (phi3 n) == 1

-- (phi3 n) es igual a φ(n). Por ejemplo,
--    phi3 15    ==  8
--    phi3 21    ==  12
--    phi3 2021  ==  1932
phi3 :: Integer -> Integer
phi3 n =
  product [(x-1) * product xs | (x:xs) <- group (primeFactors n)]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> esCiclico1 (4*10^6)
--    False
--    (3.64 secs, 4,448,223,616 bytes)
--    λ> esCiclico2 (4*10^6)
--    False
--    (0.01 secs, 116,144 bytes)
--    λ> esCiclico3 (4*10^6)
--    False
--    (0.01 secs, 111,336 bytes)
--
--    λ> esCiclico2 (product [1..3*10^4])
--    False
--    (2.49 secs, 5,846,361,904 bytes)
--    λ> esCiclico3 (product [1..3*10^4])
--    False
--    (2.50 secs, 5,947,164,552 bytes)


-- Verificación de la propiedad
-- ============================

-- La propiedad es
prop_ciclicos :: Int -> Property
prop_ciclicos n =
    n > 1 ==> esCiclico3 (primes !! n)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_ciclicos
--    +++ OK, passed 100 tests.

verificacion :: IO ()
verificacion = quickCheck prop_ciclicos

100

module Numeros_ciclicos where

import Data.List (genericLength, group)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors, primes)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª definición

-- =============

ciclicos1 :: [Integer]

ciclicos1 = filter esCiclico1 [2..]

esCiclico1 :: Integer -> Bool

esCiclico1 n = gcd n (phi1 n) == 1

-- (phi1 n) es igual a φ(n). Por ejemplo,

-- phi1 15 == 8

-- phi1 21 == 12

-- phi1 2021 == 1932

phi1 :: Integer -> Integer

phi1 n = genericLength [x | x <- [1..n], gcd x n == 1]

-- 2ª definición

-- =============

ciclicos2 :: [Integer]

ciclicos2 = filter esCiclico2 [2..]

esCiclico2 :: Integer -> Bool

esCiclico2 n = gcd n (phi2 n) == 1

-- (phi2 n) es igual a φ(n). Por ejemplo,

-- phi2 15 == 8

-- phi2 21 == 12

-- phi2 2021 == 1932

phi2 :: Integer -> Integer

phi2 n = product [(p-1)*p^(e-1) | (p,e) <- factorizacion n]

-- (factorizacion n) es la descomposición de n en factores primos como

-- una lista de pares donde los primeros elementos son la base y los

-- segundo son los exponentes. Por ejemplo,

-- factorizacion 3000 == [(2,3),(3,1),(5,3)]

-- ya que 3000 = 2^3*3*5^3

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]

factorizacion n =

[(head xs,genericLength xs) | xs <- group (primeFactors n)]

-- 3ª definición

-- =============

ciclicos3 :: [Integer]

ciclicos3 = filter esCiclico3 [2..]

esCiclico3 :: Integer -> Bool

esCiclico3 n = gcd n (phi3 n) == 1

-- (phi3 n) es igual a φ(n). Por ejemplo,

-- phi3 15 == 8

-- phi3 21 == 12

-- phi3 2021 == 1932

phi3 :: Integer -> Integer

phi3 n =

product [(x-1) * product xs | (x:xs) <- group (primeFactors n)]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> esCiclico1 (4*10^6)

-- False

-- (3.64 secs, 4,448,223,616 bytes)

-- λ> esCiclico2 (4*10^6)

-- False

-- (0.01 secs, 116,144 bytes)

-- λ> esCiclico3 (4*10^6)

-- False

-- (0.01 secs, 111,336 bytes)

-- λ> esCiclico2 (product [1..3*10^4])

-- False

-- (2.49 secs, 5,846,361,904 bytes)

-- λ> esCiclico3 (product [1..3*10^4])

-- False

-- (2.50 secs, 5,947,164,552 bytes)

-- Verificación de la propiedad

-- ============================

-- La propiedad es

prop_ciclicos :: Int -> Property

prop_ciclicos n =

n > 1 ==> esCiclico3 (primes !! n)

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_ciclicos

-- +++ OK, passed 100 tests.

verificacion :: IO ()

verificacion = quickCheck prop_ciclicos

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Números duffinianos

PorJosé A. Alonso 12-enero-202119-enero-2021

Los números duffinianos, llamados así por Richard Duffy, son los números compuestos n que son coprimos con la suma de sus divisores; es decir, n y la suma de los divisores de n no tienen ningún factor primo común.

Por ejemplo, 35 es un número duffiniano ya que la suma de sus divisores es 1 + 5 + 7 + 35 = 48 que es coprimo con 35.

Definir las funciones

   esDuffiniano :: Integer -> Bool
   duffinianos :: [Integer]

1 2	esDuffiniano :: Integer -> Bool duffinianos :: [Integer]

tales que

(esDuffiniano n) se verifica si n es duffiniano. Por ejemplo,

     esDuffiniano 35    ==  True
     esDuffiniano 2021  ==  True
     esDuffiniano 11    ==  False
     esDuffiniano 12    ==  False
     esDuffiniano (product [1..2*10^4])  ==  False

esDuffiniano 35 == True

esDuffiniano 2021 == True

esDuffiniano 11 == False

esDuffiniano 12 == False

esDuffiniano (product [1..2*10^4]) == False

duffinianos es la sucesión de los números duffinianos. Por ejemplo,

     take 12 duffinianos  ==  [4,8,9,16,21,25,27,32,35,36,39,49]
     length (takeWhile (< 10^5) duffinianos)  ==  24434

1 2	take 12 duffinianos == [4,8,9,16,21,25,27,32,35,36,39,49] length (takeWhile (< 10^5) duffinianos) == 24434

Comprobar con QuickCheck que los números de la forma p^k, con p un primo mayor que 2 y k un entero mayor que 1, son duffinianos.

Soluciones

import Data.List (genericLength, group)
import Data.Numbers.Primes (isPrime, primeFactors, primes)
import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

duffinianos :: [Integer]
duffinianos = filter esDuffiniano [1..]

esDuffiniano :: Integer -> Bool
esDuffiniano n =
  n > 1 &&
  not (isPrime n) &&
  gcd n (sumaDivisores n) == 1

-- (sumaDivisores n) es la suma de los divisores de n. Por ejemplo.
--      sumaDivisores 35  ==  48
sumaDivisores :: Integer -> Integer
sumaDivisores = sum . divisores

-- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,
--      divisores 35  ==  [1,5,7,35]
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores n = [x | x <- [1..n]
                 , n `mod` x == 0]

-- 2ª solución
-- ===========

duffinianos2 :: [Integer]
duffinianos2 = filter esDuffiniano2 [1..]

esDuffiniano2 :: Integer -> Bool
esDuffiniano2 n =
  n > 1 &&
  not (isPrime n) &&
  gcd n (sumaDivisores2 n) == 1

-- Si la descomposición de x en factores primos es
--    x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n)
-- entonces la suma de los divisores de x es
--    p(1)^(e(1)+1) - 1     p(2)^(e(2)+1) - 1       p(n)^(e(2)+1) - 1
--   ------------------- . ------------------- ... -------------------
--        p(1)-1                p(2)-1                  p(n)-1
-- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc

-- (sumaDivisores2 n) es la suma de los divisores de n. Por ejemplo.
--      sumaDivisores2 35  ==  48
sumaDivisores2 :: Integer -> Integer
sumaDivisores2 x =
  product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x]

-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la
-- descomposición prima de x. Por ejemplo,
--    factorizacion 600  ==  [(2,3),(3,1),(5,2)]
factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors

-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs
-- y la longitud de xs. Por ejemplo,
--    primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)
primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)
primeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs)
primeroYlongitud _      = error "No tiene elementos"

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> esDuffiniano (product [1..11])
--    False
--    (14.09 secs, 7,983,535,608 bytes)
--    λ> esDuffiniano2 (product [1..11])
--    False
--    (0.01 secs, 125,760 bytes)
--
--    λ> head (dropWhile (<10^4) duffinianos)
--    10000
--    (13.45 secs, 8,872,967,976 bytes)
--    λ> head (dropWhile (<10^4) duffinianos2)
--    10000
--    (0.15 secs, 280,668,240 bytes)
--
--    λ> length (takeWhile (<10^4) duffinianos)
--    2370
--    (13.43 secs, 8,966,138,016 bytes)
--    λ> length (takeWhile (<10^4) duffinianos2)
--    2370
--    (0.15 secs, 286,120,048 bytes)

-- Propiedad
-- =========

-- La propiedad es
prop_duffinianos :: Int -> Int -> Property
prop_duffinianos n k =
  n >= 0 && k > 1 ==> esDuffiniano2 (p^k)
  where p = primes !! n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_duffinianos
--    +++ OK, passed 100 tests.

100

101

102

103

import Data.List (genericLength, group)

import Data.Numbers.Primes (isPrime, primeFactors, primes)

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

duffinianos :: [Integer]

duffinianos = filter esDuffiniano [1..]

esDuffiniano :: Integer -> Bool

esDuffiniano n =

n > 1 &&

not (isPrime n) &&

gcd n (sumaDivisores n) == 1

-- (sumaDivisores n) es la suma de los divisores de n. Por ejemplo.

-- sumaDivisores 35 == 48

sumaDivisores :: Integer -> Integer

sumaDivisores = sum . divisores

-- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,

-- divisores 35 == [1,5,7,35]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores n = [x | x <- [1..n]

, n `mod` x == 0]

-- 2ª solución

-- ===========

duffinianos2 :: [Integer]

duffinianos2 = filter esDuffiniano2 [1..]

esDuffiniano2 :: Integer -> Bool

esDuffiniano2 n =

n > 1 &&

not (isPrime n) &&

gcd n (sumaDivisores2 n) == 1

-- Si la descomposición de x en factores primos es

-- x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n)

-- entonces la suma de los divisores de x es

-- p(1)^(e(1)+1) - 1 p(2)^(e(2)+1) - 1 p(n)^(e(2)+1) - 1

-- ------------------- . ------------------- ... -------------------

-- p(1)-1 p(2)-1 p(n)-1

-- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc

-- (sumaDivisores2 n) es la suma de los divisores de n. Por ejemplo.

-- sumaDivisores2 35 == 48

sumaDivisores2 :: Integer -> Integer

sumaDivisores2 x =

product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x]

-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la

-- descomposición prima de x. Por ejemplo,

-- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)]

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]

factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors

-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs

-- y la longitud de xs. Por ejemplo,

-- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)

primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)

primeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs)

primeroYlongitud _ = error "No tiene elementos"

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> esDuffiniano (product [1..11])

-- False

-- (14.09 secs, 7,983,535,608 bytes)

-- λ> esDuffiniano2 (product [1..11])

-- False

-- (0.01 secs, 125,760 bytes)

-- λ> head (dropWhile (<10^4) duffinianos)

-- 10000

-- (13.45 secs, 8,872,967,976 bytes)

-- λ> head (dropWhile (<10^4) duffinianos2)

-- 10000

-- (0.15 secs, 280,668,240 bytes)

-- λ> length (takeWhile (<10^4) duffinianos)

-- 2370

-- (13.43 secs, 8,966,138,016 bytes)

-- λ> length (takeWhile (<10^4) duffinianos2)

-- 2370

-- (0.15 secs, 286,120,048 bytes)

-- Propiedad

-- =========

-- La propiedad es

prop_duffinianos :: Int -> Int -> Property

prop_duffinianos n k =

n >= 0 && k > 1 ==> esDuffiniano2 (p^k)

where p = primes !! n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_duffinianos

-- +++ OK, passed 100 tests.

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Caminos reducidos

PorJosé A. Alonso 5-junio-20202-enero-2021

Un camino es una sucesión de pasos en una de las cuatros direcciones Norte, Sur, Este, Oeste. Ir en una dirección y a continuación en la opuesta es un esfuerzo que se puede reducir, Por ejemplo, el camino [Norte,Sur,Este,Sur] se puede reducir a [Este,Sur].

Un camino se dice que es reducido si no tiene dos pasos consecutivos en direcciones opuesta. Por ejemplo, [Este,Sur] es reducido y [Norte,Sur,Este,Sur] no lo es.

En Haskell, las direcciones y los caminos se pueden definir por

   data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq)
   type Camino = [Direccion]

1 2	data Direccion = N \| S \| E \| O deriving (Show, Eq) type Camino = [Direccion]

Definir la función

   reducido :: Camino -> Camino

1	reducido :: Camino -> Camino

tal que (reducido ds) es el camino reducido equivalente al camino ds. Por ejemplo,

   reducido []                              ==  []
   reducido [N]                             ==  [N]
   reducido [N,O]                           ==  [N,O]
   reducido [N,O,E]                         ==  [N]
   reducido [N,O,E,S]                       ==  [] 
   reducido [N,O,S,E]                       ==  [N,O,S,E]
   reducido [S,S,S,N,N,N]                   ==  []
   reducido [N,S,S,E,O,N]                   ==  []
   reducido [N,S,S,E,O,N,O]                 ==  [O]
   reducido (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) ==  []

reducido [] == []

reducido [N] == [N]

reducido [N,O] == [N,O]

reducido [N,O,E] == [N]

reducido [N,O,E,S] == []

reducido [N,O,S,E] == [N,O,S,E]

reducido [S,S,S,N,N,N] == []

reducido [N,S,S,E,O,N] == []

reducido [N,S,S,E,O,N,O] == [O]

reducido (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) == []

Nótese que en el penúltimo ejemplo las reducciones son

       [N,S,S,E,O,N,O]  
   --> [S,E,O,N,O]  
   --> [S,N,O]  
   --> [O]

[N,S,S,E,O,N,O]

--> [S,E,O,N,O]

--> [S,N,O]

--> [O]

Soluciones

data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq)

type Camino = [Direccion]

-- 1ª solución (por recursión):
reducido1 :: Camino -> Camino
reducido1 [] = []
reducido1 (d:ds) | null ds'                = [d]
                 | d == opuesta (head ds') = tail ds'
                 | otherwise               = d:ds'
    where ds' = reducido1 ds

opuesta :: Direccion -> Direccion
opuesta N = S
opuesta S = N
opuesta E = O
opuesta O = E

-- 2ª solución (por plegado)
reducido2 :: Camino -> Camino
reducido2 = foldr aux []
    where aux N (S:xs) = xs
          aux S (N:xs) = xs
          aux E (O:xs) = xs
          aux O (E:xs) = xs
          aux x xs     = x:xs

-- 3ª solución 
reducido3 :: Camino -> Camino
reducido3 []       = []
reducido3 (N:S:ds) = reducido3 ds
reducido3 (S:N:ds) = reducido3 ds
reducido3 (E:O:ds) = reducido3 ds
reducido3 (O:E:ds) = reducido3 ds
reducido3 (d:ds) | null ds'                = [d]
                 | d == opuesta (head ds') = tail ds'
                 | otherwise               = d:ds'
    where ds' = reducido3 ds

-- 4ª solución
reducido4 :: Camino -> Camino
reducido4 ds = reverse (aux ([],ds)) where 
    aux (N:xs, S:ys) = aux (xs,ys)
    aux (S:xs, N:ys) = aux (xs,ys)
    aux (E:xs, O:ys) = aux (xs,ys)
    aux (O:xs, E:ys) = aux (xs,ys)
    aux (  xs, y:ys) = aux (y:xs,ys)
    aux (  xs,   []) = xs

-- Comparación de eficiencia
--    ghci> reducido1 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (3.87 secs, 460160736 bytes)
--    ghci> reducido2 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (1.16 secs, 216582880 bytes)
--    ghci> reducido3 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (0.58 secs, 98561872 bytes)
--    ghci> reducido4 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (0.64 secs, 176154640 bytes)
--    
--    ghci> reducido3 (take (10^7) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (5.43 secs, 962694784 bytes)
--    ghci> reducido4 (take (10^7) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (9.29 secs, 1722601528 bytes)
-- 
--    ghci> length $ reducido3 (take 2000000 $ cycle [N,O,N,S,E,N,S,O,S,S])
--    400002
--    (4.52 secs, 547004960 bytes)
--    ghci> length $ reducido4 (take 2000000 $ cycle [N,O,N,S,E,N,S,O,S,S])
--    400002
--    
--    ghci> let n=10^6 in reducido1 (replicate n N ++ replicate n S)
--    []
--    (7.35 secs, 537797096 bytes)
--    ghci> let n=10^6 in reducido2 (replicate n N ++ replicate n S)
--    []
--    (2.30 secs, 244553404 bytes)
--    ghci> let n=10^6 in reducido3 (replicate n N ++ replicate n S)
--    []
--    (8.08 secs, 545043608 bytes)
--    ghci> let n=10^6 in reducido4 (replicate n N ++ replicate n S)
--    []
--    (1.96 secs, 205552240 bytes)

data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq)

type Camino = [Direccion]

-- 1ª solución (por recursión):

reducido1 :: Camino -> Camino

reducido1 [] = []

reducido1 (d:ds) | null ds' = [d]

| d == opuesta (head ds') = tail ds'

| otherwise = d:ds'

where ds' = reducido1 ds

opuesta :: Direccion -> Direccion

opuesta N = S

opuesta S = N

opuesta E = O

opuesta O = E

-- 2ª solución (por plegado)

reducido2 :: Camino -> Camino

reducido2 = foldr aux []

where aux N (S:xs) = xs

aux S (N:xs) = xs

aux E (O:xs) = xs

aux O (E:xs) = xs

aux x xs = x:xs

-- 3ª solución

reducido3 :: Camino -> Camino

reducido3 [] = []

reducido3 (N:S:ds) = reducido3 ds

reducido3 (S:N:ds) = reducido3 ds

reducido3 (E:O:ds) = reducido3 ds

reducido3 (O:E:ds) = reducido3 ds

reducido3 (d:ds) | null ds' = [d]

| d == opuesta (head ds') = tail ds'

| otherwise = d:ds'

where ds' = reducido3 ds

-- 4ª solución

reducido4 :: Camino -> Camino

reducido4 ds = reverse (aux ([],ds)) where

aux (N:xs, S:ys) = aux (xs,ys)

aux (S:xs, N:ys) = aux (xs,ys)

aux (E:xs, O:ys) = aux (xs,ys)

aux (O:xs, E:ys) = aux (xs,ys)

aux ( xs, y:ys) = aux (y:xs,ys)

aux ( xs, []) = xs

-- Comparación de eficiencia

-- ghci> reducido1 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (3.87 secs, 460160736 bytes)

-- ghci> reducido2 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (1.16 secs, 216582880 bytes)

-- ghci> reducido3 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (0.58 secs, 98561872 bytes)

-- ghci> reducido4 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (0.64 secs, 176154640 bytes)

-- ghci> reducido3 (take (10^7) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (5.43 secs, 962694784 bytes)

-- ghci> reducido4 (take (10^7) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (9.29 secs, 1722601528 bytes)

-- ghci> length $ reducido3 (take 2000000 $ cycle [N,O,N,S,E,N,S,O,S,S])

-- 400002

-- (4.52 secs, 547004960 bytes)

-- ghci> length $ reducido4 (take 2000000 $ cycle [N,O,N,S,E,N,S,O,S,S])

-- 400002

-- ghci> let n=10^6 in reducido1 (replicate n N ++ replicate n S)

-- []

-- (7.35 secs, 537797096 bytes)

-- ghci> let n=10^6 in reducido2 (replicate n N ++ replicate n S)

-- []

-- (2.30 secs, 244553404 bytes)

-- ghci> let n=10^6 in reducido3 (replicate n N ++ replicate n S)

-- []

-- (8.08 secs, 545043608 bytes)

-- ghci> let n=10^6 in reducido4 (replicate n N ++ replicate n S)

-- []

-- (1.96 secs, 205552240 bytes)

Subexpresiones aritméticas

PorJosé A. Alonso 4-junio-20202-enero-2021

Las expresiones aritméticas pueden representarse usando el siguiente tipo de datos

   data Expr = N Int | S Expr Expr | P Expr Expr  
     deriving (Eq, Ord, Show)

1 2	data Expr = N Int \| S Expr Expr \| P Expr Expr deriving (Eq, Ord, Show)

Por ejemplo, la expresión 2*(3+7) se representa por

   P (N 2) (S (N 3) (N 7))

1	P (N 2) (S (N 3) (N 7))

Definir la función

   subexpresiones :: Expr -> Set Expr

1	subexpresiones :: Expr -> Set Expr

tal que (subexpresiones e) es el conjunto de las subexpresiones de e. Por ejemplo,

   λ> subexpresiones (S (N 2) (N 3))
   fromList [N 2,N 3,S (N 2) (N 3)]
   λ> subexpresiones (P (S (N 2) (N 2)) (N 7))
   fromList [N 2,N 7,S (N 2) (N 2),P (S (N 2) (N 2)) (N 7)]

λ> subexpresiones (S (N 2) (N 3))

fromList [N 2,N 3,S (N 2) (N 3)]

λ> subexpresiones (P (S (N 2) (N 2)) (N 7))

fromList [N 2,N 7,S (N 2) (N 2),P (S (N 2) (N 2)) (N 7)]

Soluciones

import Data.Set

data Expr = N Int | S Expr Expr | P Expr Expr  
  deriving (Eq, Ord, Show)

subexpresiones :: Expr -> Set Expr
subexpresiones (N x)   = singleton (N x)
subexpresiones (S i d) =
  S i d `insert` (subexpresiones i `union` subexpresiones d)
subexpresiones (P i d) =
  P i d `insert` (subexpresiones i `union` subexpresiones d)

import Data.Set

data Expr = N Int | S Expr Expr | P Expr Expr

deriving (Eq, Ord, Show)

subexpresiones :: Expr -> Set Expr

subexpresiones (N x) = singleton (N x)

subexpresiones (S i d) =

S i d `insert` (subexpresiones i `union` subexpresiones d)

subexpresiones (P i d) =

P i d `insert` (subexpresiones i `union` subexpresiones d)

Número como suma de sus dígitos

PorJosé A. Alonso 3-junio-20202-enero-2021

El número 23 se puede escribir de 4 formas como suma de sus dígitos

   2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3
   2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3
   2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
   2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3

2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

La de menor número de sumando es la última, que tiene 8 sumandos.

Definir las funciones

   minimoSumandosDigitos        :: Integer -> Integer
   graficaMinimoSumandosDigitos :: Integer -> IO ()

1 2	minimoSumandosDigitos :: Integer -> Integer graficaMinimoSumandosDigitos :: Integer -> IO ()

tales que

(minimoSumandosDigitos n) es el menor número de dígitos de n cuya suma es n. Por ejemplo,

     minimoSumandosDigitos 23    ==  8
     minimoSumandosDigitos 232   ==  78
     minimoSumandosDigitos 2323  ==  775
     map minimoSumandosDigitos [10..20] == [10,11,6,5,5,3,6,5,4,3,10]

minimoSumandosDigitos 23 == 8

minimoSumandosDigitos 232 == 78

minimoSumandosDigitos 2323 == 775

map minimoSumandosDigitos [10..20] == [10,11,6,5,5,3,6,5,4,3,10]

(graficaMinimoSumandosDigitos n) dibuja la gráfica de (minimoSumandosDigitos k) par los k primeros números naturales. Por ejemplo, (graficaMinimoSumandosDigitos 300) dibuja

Soluciones

import Test.QuickCheck
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Data.List (nub, genericLength, sort)
import Data.Array (array, (!))

minimoSumandosDigitos :: Integer -> Integer
minimoSumandosDigitos n =
  minimoSumandos (digitos n) n

-- (digitos n) es el conjunto de los dígitos no nulos de n. Por ejemplo,
--    digitos 2032  ==  [2,3]
digitos :: Integer -> [Integer]
digitos n =
  nub [read [c] | c <- show n, c /= '0']

-- (minimoSumandos xs n) es el menor número de elementos de la lista de
-- enteros positivos xs (con posibles repeticiones) cuya suma es n. Por
-- ejemplo, 
--    minimoSumandos [7,2,4] 11  ==  2
minimoSumandos :: [Integer] -> Integer -> Integer
minimoSumandos xs n =
  minimum (map genericLength (sumas xs n))

-- (sumas xs n) es la lista de elementos de la lista de enteros
-- positivos xs (con posibles repeticiones) cuya suma es n. Por ejemplo,  
--    sumas [7,2,4] 11  ==  [[7,2,2],[7,4]]
sumas :: [Integer] -> Integer -> [[Integer]]
sumas [] 0 = [[]]
sumas [] _ = []
sumas (x:xs) n
  | x <= n    = map (x:) (sumas (x:xs) (n-x)) ++ sumas xs n
  | otherwise = sumas xs n

-- 2ª solución
-- ===========

minimoSumandosDigitos2 :: Integer -> Integer
minimoSumandosDigitos2 n = aux n 
  where
    aux 0 = 0
    aux k = 1 + minimo [aux (k - x) | x <- ds,  k >= x]
    ds    = digitos n
    infinito = 10^100
    minimo xs | null xs   = infinito
              | otherwise = minimum xs

-- 3ª solución
-- ===========

minimoSumandosDigitos3 :: Integer -> Integer
minimoSumandosDigitos3 n = v ! n
  where
    v   = array (0,n) [(i,f i) | i <- [0..n]]
    f 0 = 0
    f k = 1 + minimo [v ! (k - x) | x <- ds, k >= x]
    ds       = digitos n
    infinito = 10^100
    minimo xs | null xs   = infinito
              | otherwise = minimum xs
        
-- Equivalencia de las definiciones
-- ================================

-- La propiedad es
prop_minimoSumandosDigitos :: Positive Integer -> Bool
prop_minimoSumandosDigitos (Positive n) =
  r1 == r2 && r2 == r3
  where
    r1 = minimoSumandosDigitos n
    r2 = minimoSumandosDigitos n
    r3 = minimoSumandosDigitos n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=9}) prop_minimoSumandosDigitos
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Definición de graficaMinimoSumandosDigitos
-- ==========================================

graficaMinimoSumandosDigitos :: Integer -> IO ()
graficaMinimoSumandosDigitos n =
  plotList [ Key Nothing
           -- , PNG "Numero_como_suma_de_sus_digitos.png"
           ]
           [minimoSumandosDigitos k | k <- [0..n-1]]

import Test.QuickCheck

import Graphics.Gnuplot.Simple

import Data.List (nub, genericLength, sort)

import Data.Array (array, (!))

minimoSumandosDigitos :: Integer -> Integer

minimoSumandosDigitos n =

minimoSumandos (digitos n) n

-- (digitos n) es el conjunto de los dígitos no nulos de n. Por ejemplo,

-- digitos 2032 == [2,3]

digitos :: Integer -> [Integer]

digitos n =

nub [read [c] | c <- show n, c /= '0']

-- (minimoSumandos xs n) es el menor número de elementos de la lista de

-- enteros positivos xs (con posibles repeticiones) cuya suma es n. Por

-- ejemplo,

-- minimoSumandos [7,2,4] 11 == 2

minimoSumandos :: [Integer] -> Integer -> Integer

minimoSumandos xs n =

minimum (map genericLength (sumas xs n))

-- (sumas xs n) es la lista de elementos de la lista de enteros

-- positivos xs (con posibles repeticiones) cuya suma es n. Por ejemplo,

-- sumas [7,2,4] 11 == [[7,2,2],[7,4]]

sumas :: [Integer] -> Integer -> [[Integer]]

sumas [] 0 = [[]]

sumas [] _ = []

sumas (x:xs) n

| x <= n = map (x:) (sumas (x:xs) (n-x)) ++ sumas xs n

| otherwise = sumas xs n

-- 2ª solución

-- ===========

minimoSumandosDigitos2 :: Integer -> Integer

minimoSumandosDigitos2 n = aux n

where

aux 0 = 0

aux k = 1 + minimo [aux (k - x) | x <- ds, k >= x]

ds = digitos n

infinito = 10^100

minimo xs | null xs = infinito

| otherwise = minimum xs

-- 3ª solución

-- ===========

minimoSumandosDigitos3 :: Integer -> Integer

minimoSumandosDigitos3 n = v ! n

where

v = array (0,n) [(i,f i) | i <- [0..n]]

f 0 = 0

f k = 1 + minimo [v ! (k - x) | x <- ds, k >= x]

ds = digitos n

infinito = 10^100

minimo xs | null xs = infinito

| otherwise = minimum xs

-- Equivalencia de las definiciones

-- ================================

-- La propiedad es

prop_minimoSumandosDigitos :: Positive Integer -> Bool

prop_minimoSumandosDigitos (Positive n) =

r1 == r2 && r2 == r3

where

r1 = minimoSumandosDigitos n

r2 = minimoSumandosDigitos n

r3 = minimoSumandosDigitos n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=9}) prop_minimoSumandosDigitos

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Definición de graficaMinimoSumandosDigitos

-- ==========================================

graficaMinimoSumandosDigitos :: Integer -> IO ()

graficaMinimoSumandosDigitos n =

plotList [ Key Nothing

-- , PNG "Numero_como_suma_de_sus_digitos.png"

]

[minimoSumandosDigitos k | k <- [0..n-1]]

Números cíclicos

Soluciones

Nuevas soluciones

Números duffinianos

Soluciones

Nuevas soluciones

Caminos reducidos

Soluciones

Subexpresiones aritméticas

Soluciones

Número como suma de sus dígitos

Soluciones

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