Descomposiciones como sumas de consecutivos

El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas) de 1966 es

(a) Calcular el número de maneras de expresar 500 como suma de números naturales consecutivos.

(b) Calcular el número de tales representaciones para n = 2^x·3^y·5^z, con x, y, z ∈ ℕ. ¿Cuántas de ellas están formadas por un único elemento?

(c) Calcular el número de tales representaciones para un número natural n.

Definir las funciones

   consecutivosConSuma    :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   nDeConsecutivosConSuma :: Integer -> Integer

1 2	consecutivosConSuma :: Integer -> [(Integer,Integer)] nDeConsecutivosConSuma :: Integer -> Integer

tales que

(consecutivosConSuma n) es la lista de los extremos de las sucesiones de números naturales consecutivos cuya suma es n. Por ejemplo,

     consecutivosConSuma 3  ==  [(0,2),(1,2),(3,3)]
     consecutivosConSuma 4  ==  [(4,4)]
     consecutivosConSuma 5  ==  [(2,3),(5,5)]
     consecutivosConSuma 6  ==  [(0,3),(1,3),(6,6)]
     consecutivosConSuma 15 ==  [(0,5),(1,5),(4,6),(7,8),(15,15)]
     maximum [length (consecutivosConSuma n) | n <- [1..1000]] == 16

consecutivosConSuma 3 == [(0,2),(1,2),(3,3)]

consecutivosConSuma 4 == [(4,4)]

consecutivosConSuma 5 == [(2,3),(5,5)]

consecutivosConSuma 6 == [(0,3),(1,3),(6,6)]

consecutivosConSuma 15 == [(0,5),(1,5),(4,6),(7,8),(15,15)]

maximum [length (consecutivosConSuma n) | n <- [1..1000]] == 16

(nDeConsecutivosConSuma n) es la cantidad de sucesiones de números naturales consecutivos cuya suma es n. Por ejemplo,

     nDeConsecutivosConSuma 3  ==  3
     nDeConsecutivosConSuma 4  ==  1
     nDeConsecutivosConSuma 5  ==  2
     nDeConsecutivosConSuma 6  ==  3
     nDeConsecutivosConSuma 15 ==  5
     maximum [nDeConsecutivosConSuma n | n <- [1..10^5]] == 49
     nDeConsecutivosConSuma (product [1..17])            == 672

nDeConsecutivosConSuma 3 == 3

nDeConsecutivosConSuma 4 == 1

nDeConsecutivosConSuma 5 == 2

nDeConsecutivosConSuma 6 == 3

nDeConsecutivosConSuma 15 == 5

maximum [nDeConsecutivosConSuma n | n <- [1..10^5]] == 49

nDeConsecutivosConSuma (product [1..17]) == 672

Usando las funciones anteriores, calcular las respuestas del problema de la Olimpiada.

Soluciones

import Data.List (genericLength, genericTake, group)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck (Positive(..), quickCheck)

-- 1ª  definición de consecutivosConSuma
-- =====================================

consecutivosConSuma :: Integer -> [(Integer,Integer)]
consecutivosConSuma n =
  [(x,y) | y <- [0..n],
           x <- [0..y],
           sum [x..y] == n]

-- 2ª  definición de consecutivosConSuma
-- =====================================

consecutivosConSuma2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
consecutivosConSuma2 n =
  [(x,y) | y <- [0..n],
           x <- [0..y],
           (x+y)*(y-x+1) == 2*n]

-- 3ª  definición de consecutivosConSuma
-- =====================================

consecutivosConSuma3 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
consecutivosConSuma3 n
  | esTriangular n = (0, p n - 1) : [(p x, p y - 1) | (x,y) <- aux n]
  | otherwise      = [(p x, p y - 1) | (x,y) <- aux n]
  where p x = posicion x triangulares
        aux n = [(x,y) | y <- zs,
                         let x = y-n,
                         x `elem` zs]
          where zs = genericTake (n+1) triangulares

-- (esTriangular n) se verifica si n es un número triangular (es decir,
-- existe un m tal que n es 1+2+···+m). Por ejemplo,
--    esTriangular 6  ==  True
--    esTriangular 8  ==  False
esTriangular :: Integer -> Bool
esTriangular n =
  n `pertenece` triangulares

-- triangulares es la sucesión de los números triangulares. Por ejemplo,
--    take 10 triangulares  ==  [0,1,3,6,10,15,21,28,36,45]
triangulares :: [Integer]
triangulares = scanl1 (+) [0..]

-- (pertenece x ys) se verifica si x pertenece a la lista infinita
-- creciente ys. Por ejemplo,
--    pertenece 11 [1,3..]  ==  True
--    pertenece 12 [1,3..]  ==  False
pertenece :: Ord a => a -> [a] -> Bool
pertenece x ys =
  x == head (dropWhile (< x) ys)

-- (posicion x ys) es la posición de x en la lista ys. Por ejemplo,
--    posicion 7 [1,3..]  ==  4
posicion :: Eq a => a -> [a] -> Integer
posicion x (y:ys) | x == y    = 1
                  | otherwise = 1 + posicion x ys

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> maximum [length (consecutivosConSuma2 n) | n <- [1..200]]
--    9
--    (0.96 secs, 651,218,112 bytes)
--    λ> maximum [length (consecutivosConSuma3 n) | n <- [1..200]]
--    9
--    (0.04 secs, 6,664,544 bytes)
--
--    λ> maximum [length (consecutivosConSuma2 n) | n <- [1..300]]
--    9
--    (3.14 secs, 2,172,860,536 bytes)
--    λ> maximum [length (consecutivosConSuma3 n) | n <- [1..300]]
--    9
--    (0.16 secs, 14,523,880 bytes)

-- 1ª definición de nDeConsecutivosConSuma
-- =======================================

nDeConsecutivosConSuma :: Integer -> Integer
nDeConsecutivosConSuma = genericLength . consecutivosConSuma

-- 2ª definición de nDeConsecutivosConSuma
-- =======================================

nDeConsecutivosConSuma2 :: Integer -> Integer
nDeConsecutivosConSuma2 = genericLength . consecutivosConSuma2

-- 3ª definición de nDeConsecutivosConSuma
-- =======================================

nDeConsecutivosConSuma3 :: Integer -> Integer
nDeConsecutivosConSuma3 = genericLength . consecutivosConSuma3

-- Cálculo de las respuestas
-- =========================

-- El número de maneras de expresar 500 como suma de números naturales
-- consecutivos se calcula con
--    λ> nDeConsecutivosConSuma 500
--    4
-- Por tanto, se puede expresar de 4 formas distintas. Dichas
-- expresiones se pueden calcular consecutivos
--    λ> consecutivosConSuma 500
--    [(8,32),(59,66),(98,102),(500,500)]
-- Es decir,
--    500 = sum [8..32]
--    500 = sum [59..66]
--    500 = sum [98..102]
--    500 = sum [500..500]

-- Para la segunda pregunta realizamos los siguientes cálculos
--    λ> ts = [(x,y,z) | x <- [0..3], y <- [0..3], z <- [0..3]]
--    λ> as = [nDeConsecutivosConSuma3 (2^x*3^y*5^z) | (x,y,z) <- ts]
--    λ> as
--    [2,2,3,4,3,5,6,8,3,7,9,12,4,8,12,16,
--     1,3,3,4,3,4,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16,
--     1,2,3,4,2,4,7,8,4,6,9,12,4,8,12,16,
--     1,2,3,4,2,5,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16]
--    λ> bs = [(y+1)*(z+1) | (x,y,z) <- ts]
--    λ> bs
--    [1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16,
--     1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16,
--     1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16,
--     1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16]
-- Casi todos elementos de as son iguales que los de bs y los que no lo
-- son se diferencian en 1 como se observa en el siguiente cálculo
--    λ> zipWith (-) as bs
--    [1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,
--     0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
--     0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
--     0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
-- Los que no son iguales se calcula con
--    λ> [n | (x,y,z) <- ts, let n = 2^x*3^y*5^z, nDeConsecutivosConSuma3 n /= (y+1)*(z+1)]
--    [1,3,15,45,10,6,300,36,120]
-- Dichos elementos son los números triangulares (es decir, los son
-- sumas de los primeros números naturales) como se comprueba con
--    λ> [n | (x,y,z) <- ts, let n = 2^x*3^y*5^z, esTriangular n]
--    [1,3,15,45,10,6,300,36,120]
--
-- En definitiva, el número de representaciones de n = 2^x·3^y·5^z es
-- + (y+1)*(z+1), si n no es triangular,
-- + 1 + (y+1)*(z+1), si n es triangular,

-- En el número n = 2^x·3^y·5^z, la parte 3^y·5^z es la parte impar de
-- n y (y+1)*(z+1) es el número de divisores de la parte impar de n. Por
-- tanto, el número de representaciones de n = 2^x·3^y·5^z es
-- + el número de divisores de la parte impar de n, si n no es triangular,
-- + uno más el número de divisores de la parte impar de n, si n es triangular,

-- El cálculo de la segunda parte del apartado (b) es
--    λ> [n | n <- [0..100], nDeConsecutivosConSuma3 n == 1]
--    [2,4,8,16,32,64]
--  que son las potencias de 2 con exponentes positivos.

-- Finalmente, para el apartado (c), se puede generalizar el resultado
-- anterior y el número de representaciones de n = 2^x·3^y·5^z es
-- + el número de divisores de la parte impar de n, si n no es triangular,
-- + uno más el número de divisores de la parte impar de n, si n es triangular,
-- donde la parte impar de n es el número impar y tal que existe un
-- número natural k tal que n = 2^k·y.

-- Vamas a comprobar la conjetura haciendo la siguente definición y
-- comprobando que es equivalente a la anterior.

-- 4ª definición de nDeConsecutivosConSuma
-- =======================================

nDeConsecutivosConSuma4 :: Integer -> Integer
nDeConsecutivosConSuma4 n
  | esTriangular n = 1 + (numeroDivisores (parteImpar n))
  | otherwise      = numeroDivisores (parteImpar n)

-- (parteImpar n) es la parte impar de n. Por ejemplo,
--    parteImpar 60  ==  15
parteImpar :: Integer -> Integer
parteImpar n | odd n     = n
             | otherwise = parteImpar (n `div` 2)

-- (numeroDivisores n) es el número de divisores de n. Por ejemplo,
--    numeroDivisores 12  ==  6
--    numeroDivisores 14  ==  4
numeroDivisores :: Integer -> Integer
numeroDivisores =
  product . map ((+1) . genericLength) . group . primeFactors

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_equivalencia :: Positive Integer -> Bool
prop_equivalencia (Positive n) =
  nDeConsecutivosConSuma3 n == nDeConsecutivosConSuma4 n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_equivalencia
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> nDeConsecutivosConSuma (product [1..6])
--    6
--    (2.34 secs, 8,110,570,304 bytes)
--    λ> nDeConsecutivosConSuma2 (product [1..6])
--    6
--    (0.24 secs, 123,044,288 bytes)
--    λ> nDeConsecutivosConSuma3 (product [1..6])
--    6
--    (0.04 secs, 443,408 bytes)
--    λ> nDeConsecutivosConSuma4 (product [1..6])
--    6
--    (0.01 secs, 103,424 bytes)
--
--    λ> nDeConsecutivosConSuma2 (product [1..7])
--    12
--    (10.27 secs, 5,999,094,088 bytes)
--    λ> nDeConsecutivosConSuma3 (product [1..7])
--    12
--    (0.44 secs, 2,465,936 bytes)
--    λ> nDeConsecutivosConSuma4 (product [1..7])
--    12
--    (0.01 secs, 107,424 bytes)
--
--    λ> nDeConsecutivosConSuma3 (product [1..8])
--    12
--    (53.51 secs, 19,137,984 bytes)
--    λ> nDeConsecutivosConSuma4 (product [1..8])
--    12
--    (0.01 secs, 107,808 bytes)

100

101

102

103

104

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200

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230

231

232

233

234

235

import Data.List (genericLength, genericTake, group)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Test.QuickCheck (Positive(..), quickCheck)

-- 1ª definición de consecutivosConSuma

-- =====================================

consecutivosConSuma :: Integer -> [(Integer,Integer)]

consecutivosConSuma n =

[(x,y) | y <- [0..n],

x <- [0..y],

sum [x..y] == n]

-- 2ª definición de consecutivosConSuma

-- =====================================

consecutivosConSuma2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

consecutivosConSuma2 n =

[(x,y) | y <- [0..n],

x <- [0..y],

(x+y)*(y-x+1) == 2*n]

-- 3ª definición de consecutivosConSuma

-- =====================================

consecutivosConSuma3 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

consecutivosConSuma3 n

| esTriangular n = (0, p n - 1) : [(p x, p y - 1) | (x,y) <- aux n]

| otherwise = [(p x, p y - 1) | (x,y) <- aux n]

where p x = posicion x triangulares

aux n = [(x,y) | y <- zs,

let x = y-n,

x `elem` zs]

where zs = genericTake (n+1) triangulares

-- (esTriangular n) se verifica si n es un número triangular (es decir,

-- existe un m tal que n es 1+2+···+m). Por ejemplo,

-- esTriangular 6 == True

-- esTriangular 8 == False

esTriangular :: Integer -> Bool

esTriangular n =

n `pertenece` triangulares

-- triangulares es la sucesión de los números triangulares. Por ejemplo,

-- take 10 triangulares == [0,1,3,6,10,15,21,28,36,45]

triangulares :: [Integer]

triangulares = scanl1 (+) [0..]

-- (pertenece x ys) se verifica si x pertenece a la lista infinita

-- creciente ys. Por ejemplo,

-- pertenece 11 [1,3..] == True

-- pertenece 12 [1,3..] == False

pertenece :: Ord a => a -> [a] -> Bool

pertenece x ys =

x == head (dropWhile (< x) ys)

-- (posicion x ys) es la posición de x en la lista ys. Por ejemplo,

-- posicion 7 [1,3..] == 4

posicion :: Eq a => a -> [a] -> Integer

posicion x (y:ys) | x == y = 1

| otherwise = 1 + posicion x ys

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> maximum [length (consecutivosConSuma2 n) | n <- [1..200]]

-- 9

-- (0.96 secs, 651,218,112 bytes)

-- λ> maximum [length (consecutivosConSuma3 n) | n <- [1..200]]

-- 9

-- (0.04 secs, 6,664,544 bytes)

-- λ> maximum [length (consecutivosConSuma2 n) | n <- [1..300]]

-- 9

-- (3.14 secs, 2,172,860,536 bytes)

-- λ> maximum [length (consecutivosConSuma3 n) | n <- [1..300]]

-- 9

-- (0.16 secs, 14,523,880 bytes)

-- 1ª definición de nDeConsecutivosConSuma

-- =======================================

nDeConsecutivosConSuma :: Integer -> Integer

nDeConsecutivosConSuma = genericLength . consecutivosConSuma

-- 2ª definición de nDeConsecutivosConSuma

-- =======================================

nDeConsecutivosConSuma2 :: Integer -> Integer

nDeConsecutivosConSuma2 = genericLength . consecutivosConSuma2

-- 3ª definición de nDeConsecutivosConSuma

-- =======================================

nDeConsecutivosConSuma3 :: Integer -> Integer

nDeConsecutivosConSuma3 = genericLength . consecutivosConSuma3

-- Cálculo de las respuestas

-- =========================

-- El número de maneras de expresar 500 como suma de números naturales

-- consecutivos se calcula con

-- λ> nDeConsecutivosConSuma 500

-- 4

-- Por tanto, se puede expresar de 4 formas distintas. Dichas

-- expresiones se pueden calcular consecutivos

-- λ> consecutivosConSuma 500

-- [(8,32),(59,66),(98,102),(500,500)]

-- Es decir,

-- 500 = sum [8..32]

-- 500 = sum [59..66]

-- 500 = sum [98..102]

-- 500 = sum [500..500]

-- Para la segunda pregunta realizamos los siguientes cálculos

-- λ> ts = [(x,y,z) | x <- [0..3], y <- [0..3], z <- [0..3]]

-- λ> as = [nDeConsecutivosConSuma3 (2^x*3^y*5^z) | (x,y,z) <- ts]

-- λ> as

-- [2,2,3,4,3,5,6,8,3,7,9,12,4,8,12,16,

-- 1,3,3,4,3,4,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16,

-- 1,2,3,4,2,4,7,8,4,6,9,12,4,8,12,16,

-- 1,2,3,4,2,5,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16]

-- λ> bs = [(y+1)*(z+1) | (x,y,z) <- ts]

-- λ> bs

-- [1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16,

-- 1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16,

-- 1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16]

-- Casi todos elementos de as son iguales que los de bs y los que no lo

-- son se diferencian en 1 como se observa en el siguiente cálculo

-- λ> zipWith (-) as bs

-- [1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,

-- 0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

-- 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,

-- 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]

-- Los que no son iguales se calcula con

-- λ> [n | (x,y,z) <- ts, let n = 2^x*3^y*5^z, nDeConsecutivosConSuma3 n /= (y+1)*(z+1)]

-- [1,3,15,45,10,6,300,36,120]

-- Dichos elementos son los números triangulares (es decir, los son

-- sumas de los primeros números naturales) como se comprueba con

-- λ> [n | (x,y,z) <- ts, let n = 2^x*3^y*5^z, esTriangular n]

-- [1,3,15,45,10,6,300,36,120]

-- En definitiva, el número de representaciones de n = 2^x·3^y·5^z es

-- + (y+1)*(z+1), si n no es triangular,

-- + 1 + (y+1)*(z+1), si n es triangular,

-- En el número n = 2^x·3^y·5^z, la parte 3^y·5^z es la parte impar de

-- n y (y+1)*(z+1) es el número de divisores de la parte impar de n. Por

-- tanto, el número de representaciones de n = 2^x·3^y·5^z es

-- + el número de divisores de la parte impar de n, si n no es triangular,

-- + uno más el número de divisores de la parte impar de n, si n es triangular,

-- El cálculo de la segunda parte del apartado (b) es

-- λ> [n | n <- [0..100], nDeConsecutivosConSuma3 n == 1]

-- [2,4,8,16,32,64]

-- que son las potencias de 2 con exponentes positivos.

-- Finalmente, para el apartado (c), se puede generalizar el resultado

-- anterior y el número de representaciones de n = 2^x·3^y·5^z es

-- + el número de divisores de la parte impar de n, si n no es triangular,

-- + uno más el número de divisores de la parte impar de n, si n es triangular,

-- donde la parte impar de n es el número impar y tal que existe un

-- número natural k tal que n = 2^k·y.

-- Vamas a comprobar la conjetura haciendo la siguente definición y

-- comprobando que es equivalente a la anterior.

-- 4ª definición de nDeConsecutivosConSuma

-- =======================================

nDeConsecutivosConSuma4 :: Integer -> Integer

nDeConsecutivosConSuma4 n

| esTriangular n = 1 + (numeroDivisores (parteImpar n))

| otherwise = numeroDivisores (parteImpar n)

-- (parteImpar n) es la parte impar de n. Por ejemplo,

-- parteImpar 60 == 15

parteImpar :: Integer -> Integer

parteImpar n | odd n = n

| otherwise = parteImpar (n `div` 2)

-- (numeroDivisores n) es el número de divisores de n. Por ejemplo,

-- numeroDivisores 12 == 6

-- numeroDivisores 14 == 4

numeroDivisores :: Integer -> Integer

numeroDivisores =

product . map ((+1) . genericLength) . group . primeFactors

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_equivalencia :: Positive Integer -> Bool

prop_equivalencia (Positive n) =

nDeConsecutivosConSuma3 n == nDeConsecutivosConSuma4 n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_equivalencia

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> nDeConsecutivosConSuma (product [1..6])

-- 6

-- (2.34 secs, 8,110,570,304 bytes)

-- λ> nDeConsecutivosConSuma2 (product [1..6])

-- 6

-- (0.24 secs, 123,044,288 bytes)

-- λ> nDeConsecutivosConSuma3 (product [1..6])

-- 6

-- (0.04 secs, 443,408 bytes)

-- λ> nDeConsecutivosConSuma4 (product [1..6])

-- 6

-- (0.01 secs, 103,424 bytes)

-- λ> nDeConsecutivosConSuma2 (product [1..7])

-- 12

-- (10.27 secs, 5,999,094,088 bytes)

-- λ> nDeConsecutivosConSuma3 (product [1..7])

-- 12

-- (0.44 secs, 2,465,936 bytes)

-- λ> nDeConsecutivosConSuma4 (product [1..7])

-- 12

-- (0.01 secs, 107,424 bytes)

-- λ> nDeConsecutivosConSuma3 (product [1..8])

-- 12

-- (53.51 secs, 19,137,984 bytes)

-- λ> nDeConsecutivosConSuma4 (product [1..8])

-- 12

-- (0.01 secs, 107,808 bytes)

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import Data.List (genericLength)
import Data.Numbers.Primes
import Test.QuickCheck
-- Hacemos una primera definicion: 
consecutivosConSuma' :: Integer -> [(Integer,Integer)]
consecutivosConSuma' n =
  [(x,y) | x <- [0..s], y <- [0..s], f x y ==n] ++ [(n,n)] 
 where s = div n 2 + 1
       f x y = div (y*(y+1)) 2 - div (t*(t+1)) 2
         where t = x-1

-- Observamos que si n es primo, entonces, la longitud de esta lista es
-- dos. Comprobamos que esto sea cierto:

prop :: Integer -> Property
prop n = isPrime n && n > 3 ==> nDeConsecutivosConSuma n == 2

-- quickCheck prop
-- +++ OK, passed 100 tests.
-- Aprovechando esto, pulimos un poco mas la funcion anterior. Si n es primo,
-- se descompondra como (n,n) - descomposicion trivial- y como (div n 2, div n
-- 2 +1). Verificamos que esto vuelva a ser cierto.

prop2 :: Integer -> Property
prop2 n = isPrime n && n > 3 ==>
  consecutivosConSuma' n == [(t, t + 1), (n,n)]
   where t = div n 2
 -- quickCheck prop2
 -- +++ OK, passed 100 tests.

-- Luego, esto nos lleva a la siguiente definicion:
consecutivosConSuma :: Integer -> [(Integer,Integer)]
consecutivosConSuma n
  | isPrime n && n>3 = [(s-1, s), (n,n)]
  | otherwise        = [(x,y) | x <- [0..s-1], y <- [x..s], f x y == n] ++[(n,n)]
 where s = div n 2 + 1
       f x y = div (y*(y+1) - (x-1)*x) 2
         where t = x-1

-- Gracias a esta funcion, podemos responder a la primera pregunta:
-- consecutivosConSuma 500 == [(8,32),(59,66),(98,102),(500,500)]
-- Luego, 500 se podra expresar como suma de cuatro sucesiones de numeros
-- consecutivos distintas.

nDeConsecutivosConSuma :: Integer -> Integer
nDeConsecutivosConSuma n = genericLength $ consecutivosConSuma' n

import Data.List (genericLength)

import Data.Numbers.Primes

import Test.QuickCheck

-- Hacemos una primera definicion:

consecutivosConSuma' :: Integer -> [(Integer,Integer)]

consecutivosConSuma' n =

[(x,y) | x <- [0..s], y <- [0..s], f x y ==n] ++ [(n,n)]

where s = div n 2 + 1

f x y = div (y*(y+1)) 2 - div (t*(t+1)) 2

where t = x-1

-- Observamos que si n es primo, entonces, la longitud de esta lista es

-- dos. Comprobamos que esto sea cierto:

prop :: Integer -> Property

prop n = isPrime n && n > 3 ==> nDeConsecutivosConSuma n == 2

-- quickCheck prop

-- Aprovechando esto, pulimos un poco mas la funcion anterior. Si n es primo,

-- se descompondra como (n,n) - descomposicion trivial- y como (div n 2, div n

-- 2 +1). Verificamos que esto vuelva a ser cierto.

prop2 :: Integer -> Property

prop2 n = isPrime n && n > 3 ==>

consecutivosConSuma' n == [(t, t + 1), (n,n)]

where t = div n 2

-- quickCheck prop2

-- Luego, esto nos lleva a la siguiente definicion:

consecutivosConSuma n

| isPrime n && n>3 = [(s-1, s), (n,n)]

| otherwise = [(x,y) | x <- [0..s-1], y <- [x..s], f x y == n] ++[(n,n)]

f x y = div (y*(y+1) - (x-1)*x) 2

-- Gracias a esta funcion, podemos responder a la primera pregunta:

-- consecutivosConSuma 500 == [(8,32),(59,66),(98,102),(500,500)]

-- Luego, 500 se podra expresar como suma de cuatro sucesiones de numeros

-- consecutivos distintas.

nDeConsecutivosConSuma n = genericLength $ consecutivosConSuma' n

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Descomposiciones como sumas de consecutivos

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