Inicial

Biparticiones de un número

PorJosé A. Alonso 9-noviembre-201716-noviembre-2017

Definir la función

   biparticiones :: Integer -> [(Integer,Integer)]

1	biparticiones :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (biparticiones n) es la lista de pares de números formados por las primeras cifras de n y las restantes. Por ejemplo,

   biparticiones  2025  ==  [(202,5),(20,25),(2,25)]
   biparticiones 10000  ==  [(1000,0),(100,0),(10,0),(1,0)]

1 2	biparticiones 2025 == [(202,5),(20,25),(2,25)] biparticiones 10000 == [(1000,0),(100,0),(10,0),(1,0)]

Soluciones

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

biparticiones1 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
biparticiones1 x = [(read y, read z) | (y,z) <- biparticionesL1 xs]
  where xs = show x

-- (biparticionesL1 xs) es la lista de los pares formados por los
-- prefijos no vacío de xs y su resto. Por ejemplo,
--    biparticionesL1 "2025" == [("2","025"),("20","25"),("202","5")]
biparticionesL1 :: [a] -> [([a],[a])]
biparticionesL1 xs = [splitAt k xs | k <- [1..length xs - 1]]

-- 2ª solución
-- ===========

biparticiones2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
biparticiones2 x = [(read y, read z) | (y,z) <- biparticionesL2 xs]
  where xs = show x

-- (biparticionesL2 xs) es la lista de los pares formados por los
-- prefijos no vacío de xs y su resto. Por ejemplo,
--    biparticionesL2 "2025" == [("2","025"),("20","25"),("202","5")]
biparticionesL2 :: [a] -> [([a],[a])]
biparticionesL2 xs =
  takeWhile (not . null . snd) [splitAt n xs | n <- [1..]]

-- 3ª solución
-- ===========

biparticiones3 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
biparticiones3 a =
  takeWhile ((>0) . fst) [divMod a (10^n) | n <- [1..]] 

-- 4ª solución
-- ===========

biparticiones4 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
biparticiones4 n =
  [quotRem n (10^x) | x <- [1..length (show n) -1]]

-- 5ª solución
-- ===========

biparticiones5 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
biparticiones5 n =
  takeWhile (/= (0,n)) [divMod n (10^x) | x <- [1..]]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> numero n = (read (replicate n '2')) :: Integer
--    (0.00 secs, 0 bytes)
--    λ> length (biparticiones1 (numero 10000))
--    9999
--    (0.03 secs, 10,753,192 bytes)
--    λ> length (biparticiones2 (numero 10000))
--    9999
--    (1.89 secs, 6,410,513,136 bytes)
--    λ> length (biparticiones3 (numero 10000))
--    9999
--    (0.54 secs, 152,777,680 bytes)
--    λ> length (biparticiones4 (numero 10000))
--    9999
--    (0.01 secs, 7,382,816 bytes)
--    λ> length (biparticiones5 (numero 10000))
--    9999
--    (2.11 secs, 152,131,136 bytes)
--    
--    λ> length (biparticiones1 (numero (10^7)))
--    9999999
--    (14.23 secs, 10,401,100,848 bytes)
--    λ> length (biparticiones4 (numero (10^7)))
--    9999999
--    (11.43 secs, 7,361,097,856 bytes)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

biparticiones1 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

biparticiones1 x = [(read y, read z) | (y,z) <- biparticionesL1 xs]

where xs = show x

-- (biparticionesL1 xs) es la lista de los pares formados por los

-- prefijos no vacío de xs y su resto. Por ejemplo,

-- biparticionesL1 "2025" == [("2","025"),("20","25"),("202","5")]

biparticionesL1 :: [a] -> [([a],[a])]

biparticionesL1 xs = [splitAt k xs | k <- [1..length xs - 1]]

-- 2ª solución

-- ===========

biparticiones2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

biparticiones2 x = [(read y, read z) | (y,z) <- biparticionesL2 xs]

where xs = show x

-- (biparticionesL2 xs) es la lista de los pares formados por los

-- prefijos no vacío de xs y su resto. Por ejemplo,

-- biparticionesL2 "2025" == [("2","025"),("20","25"),("202","5")]

biparticionesL2 :: [a] -> [([a],[a])]

biparticionesL2 xs =

takeWhile (not . null . snd) [splitAt n xs | n <- [1..]]

-- 3ª solución

-- ===========

biparticiones3 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

biparticiones3 a =

takeWhile ((>0) . fst) [divMod a (10^n) | n <- [1..]]

-- 4ª solución

-- ===========

biparticiones4 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

biparticiones4 n =

[quotRem n (10^x) | x <- [1..length (show n) -1]]

-- 5ª solución

-- ===========

biparticiones5 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

biparticiones5 n =

takeWhile (/= (0,n)) [divMod n (10^x) | x <- [1..]]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> numero n = (read (replicate n '2')) :: Integer

-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- λ> length (biparticiones1 (numero 10000))

-- 9999

-- (0.03 secs, 10,753,192 bytes)

-- λ> length (biparticiones2 (numero 10000))

-- 9999

-- (1.89 secs, 6,410,513,136 bytes)

-- λ> length (biparticiones3 (numero 10000))

-- 9999

-- (0.54 secs, 152,777,680 bytes)

-- λ> length (biparticiones4 (numero 10000))

-- 9999

-- (0.01 secs, 7,382,816 bytes)

-- λ> length (biparticiones5 (numero 10000))

-- 9999

-- (2.11 secs, 152,131,136 bytes)

-- λ> length (biparticiones1 (numero (10^7)))

-- 9999999

-- (14.23 secs, 10,401,100,848 bytes)

-- λ> length (biparticiones4 (numero (10^7)))

-- 9999999

-- (11.43 secs, 7,361,097,856 bytes)

Números completos

PorJosé A. Alonso 6-noviembre-201714-noviembre-2017

Las descomposiciones de un número n son las parejas de números (x,y) tales que x >= y y la suma de las cuatro operaciones básicas (suma, producto, resta (el mayor menos el menor) y cociente (el mayor entre el menor)) es el número n. Por ejemplo, (8,2) es una descomposición de 36 ya que

   (8 + 2) + (8 - 2) + (8 * 2) + (8 / 2) = 36

1	(8 + 2) + (8 - 2) + (8 * 2) + (8 / 2) = 36

Un número es completo si tiene alguna descomposición como las anteriores. Por ejemplo, el 36 es completo pero el 21 no lo es.

Definir las siguientes funciones

   descomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   completos        :: [Integer]

1 2	descomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer)] completos :: [Integer]

tales que

(descomposiciones n) es la lista de las descomposiones de n. Por ejemplo,

     descomposiciones 12   ==  [(3,1)]
     descomposiciones 16   ==  [(3,3),(4,1)]
     descomposiciones 36   ==  [(5,5),(8,2),(9,1)]
     descomposiciones 288  ==  [(22,11),(40,5),(54,3),(64,2),(72,1)]
     descomposiciones 21   ==  []

descomposiciones 12 == [(3,1)]

descomposiciones 16 == [(3,3),(4,1)]

descomposiciones 36 == [(5,5),(8,2),(9,1)]

descomposiciones 288 == [(22,11),(40,5),(54,3),(64,2),(72,1)]

descomposiciones 21 == []

completos es la lista de los números completos. Por ejemplo,

     take 15 completos  ==  [4,8,9,12,16,18,20,24,25,27,28,32,36,40,44]
     completos !! 100   ==  261

1 2	take 15 completos == [4,8,9,12,16,18,20,24,25,27,28,32,36,40,44] completos !! 100 == 261

Soluciones

-- 1ª solución de descomposiciones
descomposiciones1 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposiciones1 n =
  [(x,y) | x <- [1..n]
         , y <- [1..x]
         , x `rem` y == 0
         , (x + y) + (x - y) + (x * y) + (x `div` y) == n]

-- 2ª solución de descomposiciones
descomposiciones2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposiciones2 n =
  [(n `div` ((y+1)^2) * y,y)
  | y <- [1..(floor . sqrt . fromIntegral) n]
  , n `mod` ((y+1)^2) == 0]

-- Comparación de eficiencia
--    λ> length (descomposiciones1 4000)
--    5
--    (3.16 secs, 1,618,693,272 bytes)
--    λ> length (descomposiciones2 4000)
--    5
--    (0.00 secs, 188,208 bytes)

-- Usaremos la 2ª definició de descomposiciones
descomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposiciones = descomposiciones2

-- 1ª definición de completos
completos1 :: [Integer]
completos1 = [n | n <- [1..]
                , not (null (descomposiciones n))]

-- 2ª definición de completos
completos2 :: [Integer]
completos2 = filter (not . null . descomposiciones) [1..]

-- Usaremos la 2ª definición de completos
completos :: [Integer]
completos = completos2

-- 1ª solución de descomposiciones

descomposiciones1 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

descomposiciones1 n =

[(x,y) | x <- [1..n]

, y <- [1..x]

, x `rem` y == 0

, (x + y) + (x - y) + (x * y) + (x `div` y) == n]

-- 2ª solución de descomposiciones

descomposiciones2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

descomposiciones2 n =

[(n `div` ((y+1)^2) * y,y)

| y <- [1..(floor . sqrt . fromIntegral) n]

, n `mod` ((y+1)^2) == 0]

-- Comparación de eficiencia

-- λ> length (descomposiciones1 4000)

-- 5

-- (3.16 secs, 1,618,693,272 bytes)

-- λ> length (descomposiciones2 4000)

-- 5

-- (0.00 secs, 188,208 bytes)

-- Usaremos la 2ª definició de descomposiciones

descomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]

descomposiciones = descomposiciones2

-- 1ª definición de completos

completos1 :: [Integer]

completos1 = [n | n <- [1..]

, not (null (descomposiciones n))]

-- 2ª definición de completos

completos2 :: [Integer]

completos2 = filter (not . null . descomposiciones) [1..]

-- Usaremos la 2ª definición de completos

completos :: [Integer]

completos = completos2

Números libres de cuadrados

PorJosé A. Alonso 3-noviembre-201725-abril-2021

Un número entero positivo es libre de cuadrados si no es divisible el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2^2.

Definir la función

   libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

1	libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

tal que (libreDeCuadrados x) se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,

   libreDeCuadrados 70                    ==  True
   libreDeCuadrados 40                    ==  False
   libreDeCuadrados 510510                ==  True
   libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10)     ==  False

libreDeCuadrados 70 == True

libreDeCuadrados 40 == False

libreDeCuadrados 510510 == True

libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10) == False

Otro ejemplo,

   λ> filter (not . libreDeCuadrados) [1..50]
   [4,8,9,12,16,18,20,24,25,27,28,32,36,40,44,45,48,49,50]

1 2	λ> filter (not . libreDeCuadrados) [1..50] [4,8,9,12,16,18,20,24,25,27,28,32,36,40,44,45,48,49,50]

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primeFactors, primes)
import Data.List (nub)
import Test.QuickCheck

import Data.List (genericLength) -- Para OS

-- 1ª definición:
libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados x = x == product (divisoresPrimos x)

-- (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. Por
-- ejemplo,  
--    divisoresPrimos 40  ==  [2,5]
--    divisoresPrimos 70  ==  [2,5,7]
divisoresPrimos :: Integer -> [Integer]
divisoresPrimos x = [n | n <- divisores x, primo n]

-- (divisores n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,
--    divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]  
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

-- (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,
--    primo 30  == False
--    primo 31  == True  
primo :: Integer -> Bool
primo n = divisores n == [1, n]

-- 2ª definición
libreDeCuadrados2 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados2 n = 
    null [x | x <- [2..n], rem n (x^2) == 0]

-- 3ª definición
libreDeCuadrados3 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados3 n = 
    null [x | x <- [2..floor (sqrt (fromIntegral n))], 
              rem n (x^2) == 0]

-- 4ª definición
libreDeCuadrados4 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados4 n = 
  xs == nub xs
  where xs = primeFactors n

-- 5ª definición
libreDeCuadrados5 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados5 n = 
  all (\(x,y) -> x /= y) (zip xs (tail xs))
  where xs = primeFactors n

-- Equivalencia de las definiciones
-- ================================

prop_equivalencia :: Integer -> Property
prop_equivalencia n =
  n > 0 ==>
  all (== libreDeCuadrados n)
      [f n | f <- [ libreDeCuadrados2
                  , libreDeCuadrados3
                  , libreDeCuadrados4
                  , libreDeCuadrados5
                  ]]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_equivalencia
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> libreDeCuadrados 510510
--    True
--    (0.76 secs, 89,522,360 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados2 510510
--    True
--    (1.78 secs, 371,826,320 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados3 510510
--    True
--    (0.01 secs, 0 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados4 510510
--    True
--    (0.00 secs, 152,712 bytes)
--
--    λ> filter libreDeCuadrados3 [1..] !! (2*10^4)
--    32906
--    (2.24 secs, 1,812,139,456 bytes)
--    λ> filter libreDeCuadrados4 [1..] !! (2*10^4)
--    32906
--    (0.51 secs, 936,216,664 bytes)
--    λ> filter libreDeCuadrados5 [1..] !! (2*10^4)
--    32906
--    (0.38 secs, 806,833,952 bytes)
--
--    λ> filter libreDeCuadrados4 [1..] !! (10^5)
--    164499
--    (3.28 secs, 7,470,629,888 bytes)
--    λ> filter libreDeCuadrados5 [1..] !! (10^5)
--    164499
--    (2.88 secs, 6,390,072,384 bytes)

100

import Data.Numbers.Primes (primeFactors, primes)

import Data.List (nub)

import Test.QuickCheck

import Data.List (genericLength) -- Para OS

-- 1ª definición:

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados x = x == product (divisoresPrimos x)

-- (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. Por

-- ejemplo,

-- divisoresPrimos 40 == [2,5]

-- divisoresPrimos 70 == [2,5,7]

divisoresPrimos :: Integer -> [Integer]

divisoresPrimos x = [n | n <- divisores x, primo n]

-- (divisores n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,

-- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

-- (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,

-- primo 30 == False

-- primo 31 == True

primo :: Integer -> Bool

primo n = divisores n == [1, n]

-- 2ª definición

libreDeCuadrados2 :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados2 n =

null [x | x <- [2..n], rem n (x^2) == 0]

-- 3ª definición

libreDeCuadrados3 :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados3 n =

null [x | x <- [2..floor (sqrt (fromIntegral n))],

rem n (x^2) == 0]

-- 4ª definición

libreDeCuadrados4 :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados4 n =

xs == nub xs

where xs = primeFactors n

-- 5ª definición

libreDeCuadrados5 :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados5 n =

all (\(x,y) -> x /= y) (zip xs (tail xs))

where xs = primeFactors n

-- Equivalencia de las definiciones

-- ================================

prop_equivalencia :: Integer -> Property

prop_equivalencia n =

n > 0 ==>

all (== libreDeCuadrados n)

[f n | f <- [ libreDeCuadrados2

, libreDeCuadrados3

, libreDeCuadrados4

, libreDeCuadrados5

]]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_equivalencia

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> libreDeCuadrados 510510

-- True

-- (0.76 secs, 89,522,360 bytes)

-- λ> libreDeCuadrados2 510510

-- True

-- (1.78 secs, 371,826,320 bytes)

-- λ> libreDeCuadrados3 510510

-- True

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- λ> libreDeCuadrados4 510510

-- True

-- (0.00 secs, 152,712 bytes)

-- λ> filter libreDeCuadrados3 [1..] !! (2*10^4)

-- 32906

-- (2.24 secs, 1,812,139,456 bytes)

-- λ> filter libreDeCuadrados4 [1..] !! (2*10^4)

-- 32906

-- (0.51 secs, 936,216,664 bytes)

-- λ> filter libreDeCuadrados5 [1..] !! (2*10^4)

-- 32906

-- (0.38 secs, 806,833,952 bytes)

-- λ> filter libreDeCuadrados4 [1..] !! (10^5)

-- 164499

-- (3.28 secs, 7,470,629,888 bytes)

-- λ> filter libreDeCuadrados5 [1..] !! (10^5)

-- 164499

-- (2.88 secs, 6,390,072,384 bytes)

Elementos con su doble en el conjunto

PorJosé A. Alonso 17-abril-201724-abril-2017

Definir la función

   conDoble :: [Int] -> [Int]

1	conDoble :: [Int] -> [Int]

tal que (conDoble xs) es la lista de los elementos del conjunto xs (representado como una lista sin elementos repetidos) cuyo doble pertenece a xs. Por ejemplo,

   conDoble [1, 4, 3, 2, 9, 7, 18, 22]  ==  [1,2,9]
   conDoble [2, 4, 8, 10]               ==  [2,4]
   conDoble [7, 5, 11, 13, 1, 3]        ==  []
   length (conDoble4 [1..10^6])         ==  500000

conDoble [1, 4, 3, 2, 9, 7, 18, 22] == [1,2,9]

conDoble [2, 4, 8, 10] == [2,4]

conDoble [7, 5, 11, 13, 1, 3] == []

length (conDoble4 [1..10^6]) == 500000

Referencia: Basado en el problema Doubles de POJ (Peking University Online Judge System).

Soluciones

import Data.List (intersect, sort)
import qualified Data.Set as S

-- 1ª Definición
conDoble :: [Int] -> [Int]
conDoble xs =
  [x | x <- xs, 2 * x `elem` xs]

-- 2ª Definición
conDoble2 :: [Int] -> [Int]
conDoble2 xs = aux (sort xs)
  where aux [] = []
        aux (y:ys) | 2 * y `elem` xs = y : aux ys
                   | otherwise       = aux ys

-- 3ª definición
conDoble3 :: [Int] -> [Int]
conDoble3 xs =
  sort (map (`div` 2) (xs `intersect` (map (*2) xs)))

-- 4ª definición
conDoble4 :: [Int] -> [Int]
conDoble4 xs =
  S.toList (S.map (`div` 2) (ys `S.intersection` (S.map (*2) ys)))
  where ys = S.fromList xs

-- Comparación de eficiencia
--    λ> length (conDoble [1..10^4])
--    5000
--    (3.27 secs, 0 bytes)
--    λ> length (conDoble2 [1..10^4])
--    5000
--    (3.42 secs, 0 bytes)
--    λ> length (conDoble3 [1..10^4])
--    5000
--    (4.78 secs, 0 bytes)
--    λ> length (conDoble4 [1..10^4])
--    5000
--    (0.02 secs, 0 bytes)

import Data.List (intersect, sort)

import qualified Data.Set as S

-- 1ª Definición

conDoble :: [Int] -> [Int]

conDoble xs =

[x | x <- xs, 2 * x `elem` xs]

-- 2ª Definición

conDoble2 :: [Int] -> [Int]

conDoble2 xs = aux (sort xs)

where aux [] = []

aux (y:ys) | 2 * y `elem` xs = y : aux ys

| otherwise = aux ys

-- 3ª definición

conDoble3 :: [Int] -> [Int]

conDoble3 xs =

sort (map (`div` 2) (xs `intersect` (map (*2) xs)))

-- 4ª definición

conDoble4 :: [Int] -> [Int]

conDoble4 xs =

S.toList (S.map (`div` 2) (ys `S.intersection` (S.map (*2) ys)))

where ys = S.fromList xs

-- Comparación de eficiencia

-- λ> length (conDoble [1..10^4])

-- 5000

-- (3.27 secs, 0 bytes)

-- λ> length (conDoble2 [1..10^4])

-- 5000

-- (3.42 secs, 0 bytes)

-- λ> length (conDoble3 [1..10^4])

-- 5000

-- (4.78 secs, 0 bytes)

-- λ> length (conDoble4 [1..10^4])

-- 5000

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Suma de subconjuntos

PorJosé A. Alonso 17-marzo-201724-marzo-2017

Los subconjuntos de [1, 4, 2] son

   [], [1], [4], [1, 4], [2], [1, 2], [4, 2], [1, 4, 2]

1	[], [1], [4], [1, 4], [2], [1, 2], [4, 2], [1, 4, 2]

Las sumas de sus elementos son

   0, 1, 4, 5, 2, 3, 6, 7

1	0, 1, 4, 5, 2, 3, 6, 7

Y la suma de las sumas es 28.

Definir la función

   sumaSubconjuntos :: [Integer] -> Integer

1	sumaSubconjuntos :: [Integer] -> Integer

tal que (sumaSubconjuntos xs) es la suma de las sumas de los
subconjuntos de xs. Por ejemplo,

   sumaSubconjuntos [1,2]                     == 6
   sumaSubconjuntos [1,4,2]                   == 28
   length (show (sumaSubconjuntos [1..10^6])) == 301042

sumaSubconjuntos [1,2] == 6

sumaSubconjuntos [1,4,2] == 28

length (show (sumaSubconjuntos [1..10^6])) == 301042

Soluciones

import Data.List (subsequences)

-- 1ª definición
sumaSubconjuntos :: [Integer] -> Integer
sumaSubconjuntos xs =
  sum [sum ys | ys <- subsequences xs]

-- 2ª definición
sumaSubconjuntos2 :: [Integer] -> Integer
sumaSubconjuntos2 =
  sum . map sum . subsequences

-- 3ª definición
sumaSubconjuntos3 :: [Integer] -> Integer
sumaSubconjuntos3 xs =
  2^(n-1) * sum xs
  where n = length xs

import Data.List (subsequences)

-- 1ª definición

sumaSubconjuntos :: [Integer] -> Integer

sumaSubconjuntos xs =

sum [sum ys | ys <- subsequences xs]

-- 2ª definición

sumaSubconjuntos2 :: [Integer] -> Integer

sumaSubconjuntos2 =

sum . map sum . subsequences

-- 3ª definición

sumaSubconjuntos3 :: [Integer] -> Integer

sumaSubconjuntos3 xs =

2^(n-1) * sum xs

where n = length xs

Biparticiones de un número

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Números completos

Soluciones

Números libres de cuadrados

Soluciones

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Soluciones

Suma de subconjuntos

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